0

Быстрое возведение матрицы в степень

Опубликовано автором admin

На данной странице калькулятор поможет возвести матрицу в степень онлайн с подробным решением. Для расчета задайте целые или десятичные числа.

Матрицу в степень

Теория

Возвести в степень можно только квадратную матрицу 2×2, 3×3 и т.д.

Чтобы возвести матрицу A в квадрат, нужно это матрицу умножить саму на себя.

Пример

Возвести матрицу А в квадрат.

Умножим матрицу A саму на себя.

Чтобы возвести матрицу A в куб, нужно это матрицу умножить саму на себя три раза.

A 3 = A · A · A = A 2 · A.

Пример

Возвести матрицу А в куб.

Умножим матрицу A саму на себя и найдем матрицу во второй степени.

Полученную матрицу умножим на исходную A.

Алгоритмы быстрого возведения в степень (дихотомический алгоритм возведения в степень, бинарный алгоритм возведения в степень) — алгоритмы, предназначенные для возведения числа x <displaystyle x> в натуральную степень n <displaystyle n> за меньшее число умножений, чем это требуется в определении степени [1] . Алгоритмы основаны на том, что для возведения числа x <displaystyle x> в степень n <displaystyle n> не обязательно перемножать число x <displaystyle x> на само себя n <displaystyle n> раз, а можно перемножать уже вычисленные степени. В частности, если n = 2 k <displaystyle n=2^> степень двойки, то для возведения в степень n <displaystyle n> достаточно число возвести в квадрат k <displaystyle k> раз, затратив при этом k <displaystyle k> умножений вместо 2 k <displaystyle 2^> . Например, чтобы возвести число x <displaystyle x> в восьмую степень, вместо выполнения семи умножений x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x <displaystyle xcdot xcdot xcdot xcdot xcdot xcdot xcdot x> можно возвести число в квадрат ( x 2 = x ⋅ x <displaystyle x^<2>=xcdot x> ), потом результат возвести ещё раз в квадрат и получить четвёртую степень ( x 4 = x 2 ⋅ x 2 <displaystyle x^<4>=x^<2>cdot x^<2>> ), и наконец результат ещё раз возвести в квадрат и получить ответ ( x 8 = x 4 ⋅ x 4 <displaystyle x^<8>=x^<4>cdot x^<4>> ).

Кроме того, некоторые алгоритмы для дальнейшей оптимизации используют тот факт, что операция возведения в квадрат быстрее операции умножения за счёт того, что при возведении в квадрат цифры в сомножителе повторяются [2] .

Бинарный алгоритм возведения в степень был впервые предложен в XV веке персидским математиком Аль-Каши [3] .

Данные алгоритмы не всегда оптимальны. Например, при использовании схемы «слева направо» быстрое возведение в степень n = 15 потребует выполнения трёх операций умножения и трёх операций возведения в квадрат, хотя возведение в 15-ю степень можно выполнить и за 3 умножения и 2 возведения в квадрат [4] .

Читайте также:  Источник бесперебойного питания что это такое

Содержание

Описание [ править | править код ]

Основным алгоритмом быстрого возведения в степень является схема «слева направо». Она получила своё название вследствие того, что биты показателя степени просматриваются слева направо, то есть от старшего к младшему [5] .

n = ( m k m k − 1 . . . m 1 m 0 ¯ ) 2 <displaystyle n=(<overline m_. m_<1>m_<0>>>)_<2>> — двоичное представление степени n, то есть, n = m k ⋅ 2 k + m k − 1 ⋅ 2 k − 1 + ⋯ + m 1 ⋅ 2 + m 0 , <displaystyle n=m_cdot 2^+m_cdot 2^+dots +m_<1>cdot 2+m_<0>,>

где m k = 1 , m i ∈ < 0 , 1 ><displaystyle m_=1,m_in <0,1>> . Тогда

x n = x ( ( … ( ( m k ⋅ 2 + m k − 1 ) ⋅ 2 + m k − 2 ) ⋅ 2 + … ) ⋅ 2 + m 1 ) ⋅ 2 + m 0 = ( ( … ( ( ( x m k ) 2 ⋅ x m k − 1 ) 2 … ) 2 ⋅ x m 1 ) 2 ⋅ x m 0 <displaystyle x^=x^<((dots ((m_cdot 2+m_)cdot 2+m_)cdot 2+dots )cdot 2+m_<1>)cdot 2+m_<0>>=((dots (((x^>)^<2>cdot x^>)^<2>dots )^<2>cdot x^<1>>)^<2>cdot x^<0>>> [5] .

Последовательность действий при использовании данной схемы можно описать так:

  1. Представить показатель степени n в двоичном виде
  2. Если m i <displaystyle m_>= 1, то текущий результат возводится в квадрат и затем умножается на x. Если m i <displaystyle m_>= 0, то текущий результат просто возводится в квадрат [6] . Индекс i изменяется от k-1 до 0 [7] .

Таким образом, алгоритм быстрого возведения в степень сводится к мультипликативному аналогу схемы Горнера [6] :

Обобщения [ править | править код ]

Пусть пара (S, *) — полугруппа, тогда мы можем назвать операцию * умножением и определить операцию возведения в натуральную степень:

1end>
ight.>"> a n = < a n = 1 a ∗ ( a n − 1 ) n >1 <displaystyle a^=left<<egina&n=1\a*left(a^
ight)&n>1end>
ight.> 1end>
ight."/>

Тогда для вычисления значений a n в любой полугруппе (в абелевой группе в частности) можно использовать алгоритмы быстрого возведения в степень [8] .

Примеры решения задач [ править | править код ]

Применяя алгоритм, вычислим 21 13 :

13 10 = 1101 2 <displaystyle 13_<10>=1101_<2>> m 3 = 1 , m 2 = 1 , m 1 = 0 , m 0 = 1 <displaystyle m_<3>=1,m_<2>=1,m_<1>=0,m_<0>=1> 21 13 = ( ( ( 1 ⋅ 21 m 3 ) 2 ⋅ 21 m 2 ) 2 ⋅ 21 m 1 ) 2 ⋅ 21 m 0 = ( ( ( 1 ⋅ 21 1 ) 2 ⋅ 21 1 ) 2 ⋅ 21 0 ) 2 ⋅ 21 1 = ( ( ( 1 ⋅ 21 ) 2 ⋅ 21 ) 2 ⋅ 1 ) 2 ⋅ 21 = ( ( 21 2 ⋅ 21 ) 2 ) 2 ⋅ 21 = ( ( 441 ⋅ 21 ) 2 ) 2 ⋅ 21 = 85766121 2 ⋅ 21 = 154472377739119461 <displaystyle <egin21^<13>&=(((1cdot 21^<3>>)^<2>cdot 21^<2>>)^<2>cdot 21^<1>>)^<2>cdot 21^<0>>\&=(((1cdot 21^<1>)^<2>cdot 21^<1>)^<2>cdot 21^<0>)^<2>cdot 21^<1>\&=(((1cdot 21)^<2>cdot 21)^<2>cdot 1)^<2>cdot 21\&=((21^<2>cdot 21)^<2>)^<2>cdot 21\&=((441cdot 21)^<2>)^<2>cdot 21\&=85766121^<2>cdot 21\&=154472377739119461end>>

Схема «справа налево» [ править | править код ]

В данной схеме, в отличие от схемы «слева направо», биты показателя степени просматриваются от младшего к старшему [5] .

Последовательность действий при реализации данного алгоритма.

  1. Представить показатель степени n в двоичном виде.
  2. Положить вспомогательную переменную z равной числу x.
  1. Если m i = 1 <displaystyle m_=1>, то текущий результат умножается на z, а само число z возводится в квадрат. Если m i <displaystyle m_>= 0, то требуется только возвести z в квадрат [6] . При этом индекс i, в отличие от схемы слева направо, изменяется от 0 до k-1 включительно [7] .
Читайте также:  В каком году появился инстаграм

Данная схема содержит столько же умножений и возведений в квадрат, сколько и схема «слева направо». Однако несмотря на это, схема «слева направо» выгоднее схемы «справа налево», особенно в случае, если показатель степени содержит много единиц. Дело в том, что в схеме слева направо в операции result = result · x содержится постоянный множитель x. А для небольших x (что нередко бывает в тестах простоты) умножение будет быстрым. К примеру, для x = 2 мы можем операцию умножения заменить операцией сложения [7] .

Математическое обоснование работы данного алгоритма можно представить следующей формулой:

d = a n = <displaystyle d=a^=> = a ∑ i = 0 k m i ⋅ 2 i = <displaystyle =a^<sum _^m_cdot 2^>=> = a m 0 ⋅ a 2 m 1 ⋅ a 2 2 ∗ m 2 ⋅ . . . ⋅ a 2 k ∗ m k = <displaystyle =a^<0>>cdot a^<2m_<1>>cdot a^<2^<2>*m_<2>>cdot . cdot a^<2^*m_>=> = a m 0 ⋅ ( a 2 ) m 1 ⋅ ( a 2 2 ) m 2 ⋅ . . . ⋅ ( a 2 k ) m k = <displaystyle =a^<0>>cdot (a^<2>)^<1>>cdot (a^<2^<2>>)^<2>>cdot . cdot (a^<2^>)^>=> = ∏ i = 0 k ( a 2 i ) m i <displaystyle =prod _^<(a^<2^>)^>>> [9] .

Пример. Посчитаем с помощью схемы возведения в степень «справа налево» значение 21 13 .

i 1 2 3
a 2 i <displaystyle a^<2^>> 21 441 194 481 37 822 859 361
m 1 <displaystyle m_<1>> 1 1 1
  1. 21 · 194 481 = 4084 101
  2. 4084 101 · 37 822 859 361 = 154 472 377 739 119 461

Вычислительная сложность [ править | править код ]

И для схемы «слева направо», и для схемы «справа налево» количество операций возведения в квадрат одинаково и равно k, где k — длина показателя степени n в битах, k ∼ ln ⁡ n <displaystyle ksim ln > . Количество же требуемых операций умножения равно весу Хэмминга, то есть количеству ненулевых элементов в двоичной записи числа n. В среднем требуется 1 2 ⋅ ln ⁡ n <displaystyle <frac <1><2>>cdot ln > операций умножения [6] .

Например, для возведения числа в сотую степень этим алгоритмом потребуется всего лишь 8 операций умножения и возведения в квадрат [5] .

Для сравнения, при стандартном способе возведения в степень требуется n − 1 <displaystyle n-1> операция умножения, то есть количество операций может быть оценено как O ( n ) <displaystyle O(n)> [10] .

Оптимизация алгоритма [ править | править код ]

Как правило, операция возведения в квадрат выполняется быстрее операции умножения. Метод окон позволяет сократить количество операций умножения и, следовательно, сделать алгоритм возведения в степень более оптимальным [8] .

Окно фактически представляет собой основание системы счисления [7] . Пусть w — ширина окна, то есть за один раз учитывается w знаков показателя.

Рассмотрим метод окна.

  1. Для i = 0 , 2 w − 1 ¯ <displaystyle i=<overline <0,2^-1>>>заранее вычисляется x i
  2. Показатель степени представляется в следующем виде: n = ∑ i = 0 k / w n i ⋅ 2 i ⋅ w <displaystyle n=sum _^cdot 2^>>, где n i ∈ ( 0 , 1 , . . . , 2 w − 1 ) <displaystyle n_in <(0,1. 2^-1)>>
  3. Пусть y — переменная, в которой будет вычислен конечный результат. Положим y = x n k / w <displaystyle y=x^>>.
  4. Для всех i = k/w — 1, k/w — 2, …, 0 выполнить следующие действия:
  1. y = y 2 w <displaystyle y=y^<2^>>
  2. y = y ⋅ x n i <displaystyle y=ycdot x^>>[8] .
Читайте также:  Возвращение денег с покупок

В данном алгоритме требуется k возведений в квадрат, но число умножений в среднем сокращается до k/w [8] .

Ещё более эффективным является метод скользящего окна. Он заключается в том, что ширина окна во время выполнения процесса может изменяться:

  1. Показатель степени представляется в виде n = ∑ i = 0 l n i ⋅ 2 e i <displaystyle n=sum _^cdot 2^>>>, где n i ∈ ( 1 , 3 , 5 , . . . , 2 w − 1 ) <displaystyle n_in <(1,3,5. 2^-1)>>, а ei+1 — ei ≥ w.
  2. Для i = ( 1 , 3 , 5 , . . . , 2 w − 1 ) <displaystyle i=(1,3,5. 2^-1)>вычисляется x i . Далее будем обозначать x i как xi.
  3. Пусть y — переменная, в которой будет вычислен конечный результат. Положим y = x n l <displaystyle y=x^>>.
  4. Для всех i = l — 1, l — 2, …, 0 выполнить следующие действия:
  1. Для всех j от 0 до ei+1 — ei — 1 y возвести в квадрат
  2. j = m i <displaystyle j=m_>
  3. y = y ⋅ x j <displaystyle y=ycdot x_>
  • Для всех j от 0 до e — 1 y возвести в квадрат [8] .

    • Количество операций возведения в степень в данном алгоритме такое же, как и в методе окна, а вот количество операций умножений сократилось до l, то есть до k w + 1 <displaystyle <frac >> в среднем [8] .

    Для примера возведём методом скользящего окна число x в степень 215. Ширина окна w = 3.

    1. 215 = 2 7 + 5 · 2 4 + 7
    2. y = 1
    3. y = y · x = x
    4. y 3 раза возводится в квадрат, так как на данном шаге e2 — e1 −1 = 7 — 4 — 1 = 2, а отсчёт ведётся с нуля, то есть y = y 8 = x 8
    5. y = y · x 5 = x 13
    6. y 4 раза возводится в квадрат, так как на данном шаге e1 — e −1 = 4 — 0 — 1 = 3, то есть y = y 16 = x 208
    7. y = y · x 7 = x 215

    Применение [ править | править код ]

    Алгоритм быстрого возведения в степень получил широкое распространение в криптосистемах с открытым ключом. В частности, алгоритм применяется в протоколе RSA, схеме Эль-Гамаля и других криптографических алгоритмах [11] .

    Пытаюсь применить быстрое возведение числа в степень на матрицу, работать работает, но считает не корректно. Код который получился:

    Что получилось при выполнении этого:

    Результат выполнения кода:

    В чем моя ошибка и как это исправить ?

    1 ответ 1

    При возведении матрицы в нулевую степень нужно возвращать единичную матрицу, а не исходную (которая получается при возведении в 1-ю степень). Из-за этого у вас выходит в результате возведение в четвёртую степень, а не во вторую.

    Всё ещё ищете ответ? Посмотрите другие вопросы с метками python python-3.x или задайте свой вопрос.

    Похожие

    Для подписки на ленту скопируйте и вставьте эту ссылку в вашу программу для чтения RSS.

    дизайн сайта / логотип © 2019 Stack Exchange Inc; пользовательское содержимое попадает под действие лицензии cc by-sa 4.0 с указанием ссылки на источник. rev 2019.11.15.35459

    Post Views: 6

    Похожие записи:

    1. Биметаллические радиаторы royalthermo vittoria 500 отзывы
    2. Вам по моему следует все таки проконсультироваться
    3. Заказать на алиэкспресс лего
    4. Запуск после длительного простоя

    admin

    More Posts

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    0

    Быстрое возведение матрицы в степень

    Опубликовано автором admin

    На данной странице калькулятор поможет возвести матрицу в степень онлайн с подробным решением. Для расчета задайте целые или десятичные числа.

    Матрицу в степень

    Теория

    Возвести в степень можно только квадратную матрицу 2×2, 3×3 и т.д.

    Чтобы возвести матрицу A в квадрат, нужно это матрицу умножить саму на себя.

    Пример

    Возвести матрицу А в квадрат.

    Умножим матрицу A саму на себя.

    Чтобы возвести матрицу A в куб, нужно это матрицу умножить саму на себя три раза.

    A 3 = A · A · A = A 2 · A.

    Пример

    Возвести матрицу А в куб.

    Умножим матрицу A саму на себя и найдем матрицу во второй степени.

    Полученную матрицу умножим на исходную A.

    Алгоритмы быстрого возведения в степень (дихотомический алгоритм возведения в степень, бинарный алгоритм возведения в степень) — алгоритмы, предназначенные для возведения числа x <displaystyle x> в натуральную степень n <displaystyle n> за меньшее число умножений, чем это требуется в определении степени [1] . Алгоритмы основаны на том, что для возведения числа x <displaystyle x> в степень n <displaystyle n> не обязательно перемножать число x <displaystyle x> на само себя n <displaystyle n> раз, а можно перемножать уже вычисленные степени. В частности, если n = 2 k <displaystyle n=2^> степень двойки, то для возведения в степень n <displaystyle n> достаточно число возвести в квадрат k <displaystyle k> раз, затратив при этом k <displaystyle k> умножений вместо 2 k <displaystyle 2^> . Например, чтобы возвести число x <displaystyle x> в восьмую степень, вместо выполнения семи умножений x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x <displaystyle xcdot xcdot xcdot xcdot xcdot xcdot xcdot x> можно возвести число в квадрат ( x 2 = x ⋅ x <displaystyle x^<2>=xcdot x> ), потом результат возвести ещё раз в квадрат и получить четвёртую степень ( x 4 = x 2 ⋅ x 2 <displaystyle x^<4>=x^<2>cdot x^<2>> ), и наконец результат ещё раз возвести в квадрат и получить ответ ( x 8 = x 4 ⋅ x 4 <displaystyle x^<8>=x^<4>cdot x^<4>> ).

    Кроме того, некоторые алгоритмы для дальнейшей оптимизации используют тот факт, что операция возведения в квадрат быстрее операции умножения за счёт того, что при возведении в квадрат цифры в сомножителе повторяются [2] .

    Бинарный алгоритм возведения в степень был впервые предложен в XV веке персидским математиком Аль-Каши [3] .

    Данные алгоритмы не всегда оптимальны. Например, при использовании схемы «слева направо» быстрое возведение в степень n = 15 потребует выполнения трёх операций умножения и трёх операций возведения в квадрат, хотя возведение в 15-ю степень можно выполнить и за 3 умножения и 2 возведения в квадрат [4] .

    Читайте также:  Как быстро удалять строки в excel

    Содержание

    Описание [ править | править код ]

    Основным алгоритмом быстрого возведения в степень является схема «слева направо». Она получила своё название вследствие того, что биты показателя степени просматриваются слева направо, то есть от старшего к младшему [5] .

    n = ( m k m k − 1 . . . m 1 m 0 ¯ ) 2 <displaystyle n=(<overline m_. m_<1>m_<0>>>)_<2>> — двоичное представление степени n, то есть, n = m k ⋅ 2 k + m k − 1 ⋅ 2 k − 1 + ⋯ + m 1 ⋅ 2 + m 0 , <displaystyle n=m_cdot 2^+m_cdot 2^+dots +m_<1>cdot 2+m_<0>,>

    где m k = 1 , m i ∈ < 0 , 1 ><displaystyle m_=1,m_in <0,1>> . Тогда

    x n = x ( ( … ( ( m k ⋅ 2 + m k − 1 ) ⋅ 2 + m k − 2 ) ⋅ 2 + … ) ⋅ 2 + m 1 ) ⋅ 2 + m 0 = ( ( … ( ( ( x m k ) 2 ⋅ x m k − 1 ) 2 … ) 2 ⋅ x m 1 ) 2 ⋅ x m 0 <displaystyle x^=x^<((dots ((m_cdot 2+m_)cdot 2+m_)cdot 2+dots )cdot 2+m_<1>)cdot 2+m_<0>>=((dots (((x^>)^<2>cdot x^>)^<2>dots )^<2>cdot x^<1>>)^<2>cdot x^<0>>> [5] .

    Последовательность действий при использовании данной схемы можно описать так:

    1. Представить показатель степени n в двоичном виде
    2. Если m i <displaystyle m_>= 1, то текущий результат возводится в квадрат и затем умножается на x. Если m i <displaystyle m_>= 0, то текущий результат просто возводится в квадрат [6] . Индекс i изменяется от k-1 до 0 [7] .

    Таким образом, алгоритм быстрого возведения в степень сводится к мультипликативному аналогу схемы Горнера [6] :

    Обобщения [ править | править код ]

    Пусть пара (S, *) — полугруппа, тогда мы можем назвать операцию * умножением и определить операцию возведения в натуральную степень:

    1end>
    ight.>"> a n = < a n = 1 a ∗ ( a n − 1 ) n >1 <displaystyle a^=left<<egin    a&n=1\a*left(a^
    ight)&n>1end    >
    ight.> 1end    >
    ight."/>

    Тогда для вычисления значений a n в любой полугруппе (в абелевой группе в частности) можно использовать алгоритмы быстрого возведения в степень [8] .

    Примеры решения задач [ править | править код ]

    Применяя алгоритм, вычислим 21 13 :

    13 10 = 1101 2 <displaystyle 13_<10>=1101_<2>> m 3 = 1 , m 2 = 1 , m 1 = 0 , m 0 = 1 <displaystyle m_<3>=1,m_<2>=1,m_<1>=0,m_<0>=1> 21 13 = ( ( ( 1 ⋅ 21 m 3 ) 2 ⋅ 21 m 2 ) 2 ⋅ 21 m 1 ) 2 ⋅ 21 m 0 = ( ( ( 1 ⋅ 21 1 ) 2 ⋅ 21 1 ) 2 ⋅ 21 0 ) 2 ⋅ 21 1 = ( ( ( 1 ⋅ 21 ) 2 ⋅ 21 ) 2 ⋅ 1 ) 2 ⋅ 21 = ( ( 21 2 ⋅ 21 ) 2 ) 2 ⋅ 21 = ( ( 441 ⋅ 21 ) 2 ) 2 ⋅ 21 = 85766121 2 ⋅ 21 = 154472377739119461 <displaystyle <egin21^<13>&=(((1cdot 21^<3>>)^<2>cdot 21^<2>>)^<2>cdot 21^<1>>)^<2>cdot 21^<0>>\&=(((1cdot 21^<1>)^<2>cdot 21^<1>)^<2>cdot 21^<0>)^<2>cdot 21^<1>\&=(((1cdot 21)^<2>cdot 21)^<2>cdot 1)^<2>cdot 21\&=((21^<2>cdot 21)^<2>)^<2>cdot 21\&=((441cdot 21)^<2>)^<2>cdot 21\&=85766121^<2>cdot 21\&=154472377739119461end>>

    Схема «справа налево» [ править | править код ]

    В данной схеме, в отличие от схемы «слева направо», биты показателя степени просматриваются от младшего к старшему [5] .

    Последовательность действий при реализации данного алгоритма.

    1. Представить показатель степени n в двоичном виде.
    2. Положить вспомогательную переменную z равной числу x.
    1. Если m i = 1 <displaystyle m_=1>, то текущий результат умножается на z, а само число z возводится в квадрат. Если m i <displaystyle m_>= 0, то требуется только возвести z в квадрат [6] . При этом индекс i, в отличие от схемы слева направо, изменяется от 0 до k-1 включительно [7] .
    Читайте также:  В каком году появился инстаграм

    Данная схема содержит столько же умножений и возведений в квадрат, сколько и схема «слева направо». Однако несмотря на это, схема «слева направо» выгоднее схемы «справа налево», особенно в случае, если показатель степени содержит много единиц. Дело в том, что в схеме слева направо в операции result = result · x содержится постоянный множитель x. А для небольших x (что нередко бывает в тестах простоты) умножение будет быстрым. К примеру, для x = 2 мы можем операцию умножения заменить операцией сложения [7] .

    Математическое обоснование работы данного алгоритма можно представить следующей формулой:

    d = a n = <displaystyle d=a^=> = a ∑ i = 0 k m i ⋅ 2 i = <displaystyle =a^<sum _^m_cdot 2^>=> = a m 0 ⋅ a 2 m 1 ⋅ a 2 2 ∗ m 2 ⋅ . . . ⋅ a 2 k ∗ m k = <displaystyle =a^<0>>cdot a^<2m_<1>>cdot a^<2^<2>*m_<2>>cdot . cdot a^<2^*m_>=> = a m 0 ⋅ ( a 2 ) m 1 ⋅ ( a 2 2 ) m 2 ⋅ . . . ⋅ ( a 2 k ) m k = <displaystyle =a^<0>>cdot (a^<2>)^<1>>cdot (a^<2^<2>>)^<2>>cdot . cdot (a^<2^>)^>=> = ∏ i = 0 k ( a 2 i ) m i <displaystyle =prod _^<(a^<2^>)^>>> [9] .

    Пример. Посчитаем с помощью схемы возведения в степень «справа налево» значение 21 13 .

    i 1 2 3
    a 2 i <displaystyle a^<2^>> 21 441 194 481 37 822 859 361
    m 1 <displaystyle m_<1>> 1 1 1
    1. 21 · 194 481 = 4084 101
    2. 4084 101 · 37 822 859 361 = 154 472 377 739 119 461

    Вычислительная сложность [ править | править код ]

    И для схемы «слева направо», и для схемы «справа налево» количество операций возведения в квадрат одинаково и равно k, где k — длина показателя степени n в битах, k ∼ ln ⁡ n <displaystyle ksim ln > . Количество же требуемых операций умножения равно весу Хэмминга, то есть количеству ненулевых элементов в двоичной записи числа n. В среднем требуется 1 2 ⋅ ln ⁡ n <displaystyle <frac <1><2>>cdot ln > операций умножения [6] .

    Например, для возведения числа в сотую степень этим алгоритмом потребуется всего лишь 8 операций умножения и возведения в квадрат [5] .

    Для сравнения, при стандартном способе возведения в степень требуется n − 1 <displaystyle n-1> операция умножения, то есть количество операций может быть оценено как O ( n ) <displaystyle O(n)> [10] .

    Оптимизация алгоритма [ править | править код ]

    Как правило, операция возведения в квадрат выполняется быстрее операции умножения. Метод окон позволяет сократить количество операций умножения и, следовательно, сделать алгоритм возведения в степень более оптимальным [8] .

    Окно фактически представляет собой основание системы счисления [7] . Пусть w — ширина окна, то есть за один раз учитывается w знаков показателя.

    Рассмотрим метод окна.

    1. Для i = 0 , 2 w − 1 ¯ <displaystyle i=<overline <0,2^-1>>>заранее вычисляется x i
    2. Показатель степени представляется в следующем виде: n = ∑ i = 0 k / w n i ⋅ 2 i ⋅ w <displaystyle n=sum _^cdot 2^>>, где n i ∈ ( 0 , 1 , . . . , 2 w − 1 ) <displaystyle n_in <(0,1. 2^-1)>>
    3. Пусть y — переменная, в которой будет вычислен конечный результат. Положим y = x n k / w <displaystyle y=x^>>.
    4. Для всех i = k/w — 1, k/w — 2, …, 0 выполнить следующие действия:
    1. y = y 2 w <displaystyle y=y^<2^>>
    2. y = y ⋅ x n i <displaystyle y=ycdot x^>>[8] .
    Читайте также:  Возвращение денег с покупок

    В данном алгоритме требуется k возведений в квадрат, но число умножений в среднем сокращается до k/w [8] .

    Ещё более эффективным является метод скользящего окна. Он заключается в том, что ширина окна во время выполнения процесса может изменяться:

    1. Показатель степени представляется в виде n = ∑ i = 0 l n i ⋅ 2 e i <displaystyle n=sum _^cdot 2^>>>, где n i ∈ ( 1 , 3 , 5 , . . . , 2 w − 1 ) <displaystyle n_in <(1,3,5. 2^-1)>>, а ei+1 — ei ≥ w.
    2. Для i = ( 1 , 3 , 5 , . . . , 2 w − 1 ) <displaystyle i=(1,3,5. 2^-1)>вычисляется x i . Далее будем обозначать x i как xi.
    3. Пусть y — переменная, в которой будет вычислен конечный результат. Положим y = x n l <displaystyle y=x^>>.
    4. Для всех i = l — 1, l — 2, …, 0 выполнить следующие действия:
    1. Для всех j от 0 до ei+1 — ei — 1 y возвести в квадрат
    2. j = m i <displaystyle j=m_>
    3. y = y ⋅ x j <displaystyle y=ycdot x_>
  • Для всех j от 0 до e — 1 y возвести в квадрат [8] .

    • Количество операций возведения в степень в данном алгоритме такое же, как и в методе окна, а вот количество операций умножений сократилось до l, то есть до k w + 1 <displaystyle <frac >> в среднем [8] .

    Для примера возведём методом скользящего окна число x в степень 215. Ширина окна w = 3.

    1. 215 = 2 7 + 5 · 2 4 + 7
    2. y = 1
    3. y = y · x = x
    4. y 3 раза возводится в квадрат, так как на данном шаге e2 — e1 −1 = 7 — 4 — 1 = 2, а отсчёт ведётся с нуля, то есть y = y 8 = x 8
    5. y = y · x 5 = x 13
    6. y 4 раза возводится в квадрат, так как на данном шаге e1 — e −1 = 4 — 0 — 1 = 3, то есть y = y 16 = x 208
    7. y = y · x 7 = x 215

    Применение [ править | править код ]

    Алгоритм быстрого возведения в степень получил широкое распространение в криптосистемах с открытым ключом. В частности, алгоритм применяется в протоколе RSA, схеме Эль-Гамаля и других криптографических алгоритмах [11] .

    Пытаюсь применить быстрое возведение числа в степень на матрицу, работать работает, но считает не корректно. Код который получился:

    Что получилось при выполнении этого:

    Результат выполнения кода:

    В чем моя ошибка и как это исправить ?

    1 ответ 1

    При возведении матрицы в нулевую степень нужно возвращать единичную матрицу, а не исходную (которая получается при возведении в 1-ю степень). Из-за этого у вас выходит в результате возведение в четвёртую степень, а не во вторую.

    Всё ещё ищете ответ? Посмотрите другие вопросы с метками python python-3.x или задайте свой вопрос.

    Похожие

    Для подписки на ленту скопируйте и вставьте эту ссылку в вашу программу для чтения RSS.

    дизайн сайта / логотип © 2019 Stack Exchange Inc; пользовательское содержимое попадает под действие лицензии cc by-sa 4.0 с указанием ссылки на источник. rev 2019.11.15.35459

    Post Views:

    Похожие записи:

    1. Биметаллические радиаторы royalthermo vittoria 500 отзывы
    2. Вам по моему следует все таки проконсультироваться
    3. Запуск после длительного простоя
    4. Как включить мобильную сеть на андроиде

    admin

    More Posts

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *