0

Дифференцируемость функции двух переменных

Частные производные.

Пусть функция
$$
f(x) = f(x_<1>, ldots, x_)
onumber
$$
определена в окрестности точки (x^ <0>= (x_<1>^<0>, ldots, x_
^<0>)). Рассмотрим функцию одной переменной
$$
varphi (x_<1>) = f(x_<1>,x_<2>^<0>, ldots, x_
^<0>)
onumber
$$
Функция (varphi (x_<1>)) может иметь производную в точке (x_<1>^<0>). По определению такая производная называется частной производной (frac<partial f><partial x_<1>>(x^<0>)).

Аналогично определяются частные производные (первого порядка)
$$
frac<partial f><partial x_>(x_<1>^<0>, ldots, x_^<0>), i = overline<2, n>.
onumber
$$

Функция двух переменных может иметь в точке (x^<0>, y^<0>) две частные производные первого порядка
$$
frac<partial f><partial x>(x^<0>, y^<0>),quad frac<partial f><partial y>(x^<0>, y^<0>).
onumber
$$

Поскольку при вычислении частных производных все переменные, кроме одной, фиксируются, то техника вычисления частных производных такая же, как техника вычисления производных функции одной переменной.

Дифференцируемость функции многих переменных в точке.

Дадим определение дифференцируемости функции в точке.

Функция (f(x) = f(x_<1>, ldots, x_)) называется дифференцируемой в точке (x^ <0>= (x_<1>^<0>, ldots, x_^<0>)), если она определена в некоторой окрестности этой точки и существуют такие числа (A_<1>, ldots, A_), что
$$
f(x) — f(x^<0>) = sum_ <substack>^<substack
>A_(x_ — x_^<0>) + o(
ho(x, x^<0>)),quad при x
ightarrow x^<0>.label
$$

Функция (f(x)) дифференцируема в точке (x^<0>) в том и только том случае, когда в некоторой окрестности точки (x^<0>) функция (f(x)) может быть представлена в следующем виде:
$$
f(x) = f(x^<0>) + sum_^f_(x)(x_ — x_^<0>)label
$$
где функции (f_
(x)) непрерывны в точке (x^<0>).

(circ) Пусть функция (f(x)) дифференцируема в точке (x^<0>). Тогда выполнено условие (1). Заметим, что равенство (psi(x) = o(
ho(x, x^<0>))) при (x longrightarrow x^<0>) означает, что (psi(x) = varepsilon(x)
ho(x, x^<0>)), где (displaystylelim_<substack>>varepsilon(x) = 0).

Доопределим функции (varepsilon_(x)) в точке (x^<0>) по непрерывности, полагая (displaystylelim_<substack>>varepsilon_(x) = varepsilon_(x^<0>) = 0).

Показать, что функция
$$
f(x, y) = sqrt [3] <3>+ y^<4>>
onumber
$$
дифференцируема в точке ((0,0)).

(vartriangle) Покажем, что существует число (C > 0) такое, что для любых (x in oldsymbol ) и (y in oldsymbol ) справедливо неравенство
$$
|sqrt [3] <3>+ y^<4>> — x| leq C |y|^<4/3>label
$$

Если (y = 0), то неравенство eqref справедливо при любом (C). Пусть (y
eq 0). Положим (t = xy^<-4/3>). Тогда неравенство eqref
эквивалентно неравенству (vert psi(t) vert Пример 2.

Показать, что функция
$$
f(x, y) = sqrt [3] <3>+ y^<3>>
onumber
$$
недифференцируема в точке (0,0).

( riangle) Первый способ. Пусть функция дифференцируема в точке ((0,0)), тогда, согласно определению, существуют числа (A) и (B) такие, что
$$
f(x, y) — f(0, 0) = Ax + By + o(
ho),quad
ho = sqrt <2>+ y^<2>>,
onumber
$$
где (f(x, y) = sqrt [3] <3>+ y^<3>>, f(0, 0) = 0, A =displaystyle frac<partial f(0, 0)> <partial x>= 1, B = frac<partial f(0, 0)> <partial y>= 1).

Пусть (x = y > 0), тогда
$$
sqrt [3] <2>x = 2x + o(x)
onumber
$$
или ((sqrt [3] <2>— 2) x = o(x)) при (x
ightarrow 0), что противоречит определению символа (o(x)). Следовательно, функция (sqrt [3] <3>+ y^<3>>), недифференцируема в точке ((0, 0)).

Второй способ. Если функция (f(x, y)) дифференцируема в точке ((0,0)), то ее можно в некоторой окрестности этой точки, согласно теореме 1, представить в следующем виде:
$$
sqrt [3] <3>+ y^<3>> = x varphi (x, y) + y psi (x, y),label
$$
где функции (varphi (x, y)) и (psi (x, y)) непрерывны в точке ((0,0)).

Пусть (k) — произвольное число. Положим в eqref (y = kx). Тогда
$$
sqrt[3]<1 + k^<3>>=varphi(x,kx)+kpsi(x,kx).
onumber
$$
Переходя к пределу при (x
ightarrow 0) и пользуясь непрерывностью функций (varphi (x, y)) и (psi (x, y)) в точке ((0,0)), получаем, что при любом (k) выполняется равенство
$$
sqrt [3] <1 + k^<3>> = varphi (0, 0) + k psi (0, 0) = a + kb.
onumber
$$
Это неверно, так как функция (sqrt [3] <1 + k^<3>>) не есть линейная функция (ее вторая производная по (k) не обращается тождественно в нуль). (lacktriangle)

Необходимое условие дифференцируемости функции в точке.

Если функция (f(x)) дифференцируема в точке (x^ <0>in R^), то она имеет в точке (x^<0>) все частные производные (displaystylefrac<partial f><partial x_>(x^<0>), i = overline<1, n>), и
$$
f(x) — f(x^<0>) = sum_ <substack>^<substack
>frac<partial f><partial x_>(x^<0>)(x_ — x_^<0>) + o(
ho(x, x^<0>))quad при x
ightarrow x^<0>.label
$$

(circ) Пусть функция (f(x)) дифференцируема в точке (x^<0>). Тогда найдутся такие числа (A_<1>, ldots, A_), что при (x
ightarrow x^<0>) будет выполнено равенство eqref. Пусть в этом равенстве (x_ <1>
eq x_<1>^<0>), а (x_ <2>= x_<2>^<0>, ldots, x_
= x_^<0>). Тогда равенство eqref принимает следующий вид:
$$
f(x_<1>, x_<2>^<0>, ldots, x_
^<0>) — f(x_<1>^<0>, ldots, x_^<0>) = A_ <1>(x_ <1>— x_<1>^<0>) + o (|Delta x_<1>|)
onumber
$$
при (x_ <1>— x_<1>^ <0>= Delta x_ <1>longrightarrow 0).

Аналогично доказывается, что у функции (f(x)) в точке (x^<0>) существуют и остальные частные производные и что
$$
A_ = frac<partial f><partial x_>(x^<0>), i = overline<2, n>.
onumber
$$

Подставляя эти выражения в равенство eqref, получаем eqref. (ullet)

Так как функция (f(x, y) = sqrt [3] <3>+ y^<3>>) примера 2 недифференцируема в точке ((0,0)), то этот пример показывает, что из существования частных производных в точке не следует дифференцируемость функции в этой точке. Существование частных производных функции в точке не гарантирует даже непрерывности функции в этой точке. Так, функция
$$
f(x, y) = egin
displaystylefrac<2xy> <2>+ y^<2>> & ext <при (x^<2>+ y^ <2>> 0)>\
0 & ext<при (x = y = 0)>
end

onumber
$$
не имеет предела при (x, y)
ightarrow (0, 0)), а поэтому и не является непрерывной в точке ((0,0)). Тем не менее у этой функции в точке ((0,0)) существуют обе частные производные:
$$
frac<partial f><partial x>(0,0) = lim_<substack>frac = 0,quad frac<partial f><partial y>(0,0) = 0.
onumber
$$

Достаточные условия дифференцируемости функции в точке.

Если все частные производные (frac<partial f><partial x_>(x), i = overline<1, n>), определены в окрестности точки (x^ <0>in R^) и непрерывны в точке (x^<0>), то функция (f(x)) дифференцируема в точке (x^<0>).

(circ) Рассмотрим случай функции трех переменных. Общий случай рассматривается аналогично. Пусть функции (displaystyle frac<partial f><partial x>(x, y, z), frac<partial f><partial y>(x, y, z), frac<partial f><partial z>(x, y, z)), определены в некотором шаре (S_<varepsilon>(x^<0>, y^<0>, z^<0>)) и непрерывны в центре шара ((x^<0>, y^<0>, z^<0>)).

Читайте также:  Выбор ос при загрузке с разных дисков

Запишем приращение функции в следующем виде:
$$
f(x, y, z) — f(x^<0>, y^<0>, z^<0>) = f(x, y, z) — f(x^<0>, y, z) +\+ f(x^<0>, y, z) — f(x^<0>, y^<0>, z) + f(x^<0>, y^<0>, z) — f(x^<0>, y^<0>, z^<0>).
onumber
$$

Пусть (x^ <0>0)>\
0, & ext<при (x = y = 0)>
end
onumber
$$
дифференцируема в точке ((0,0)), так как
$$
f(x, y) = 0 cdot x + 0 cdot y + o(sqrt <2>+ y^<2>>)
onumber
$$
при ((x, y)
ightarrow (0, 0)).

Но при (x^ <2>+ y^ <2>> 0) частная производная
$$
frac<partial f><partial x>(x, y) = 2x sin frac<1> <sqrt<2>+ y^<2>>> — frac <sqrt<2>+ y^<2>>> cos frac<1> <sqrt<2>+ y^<2>>>
onumber
$$
не имеет предела при ((x, y)
ightarrow (0, 0)) и, следовательно, не является непрерывной функцией в точке ((0,0)). Чтобы в этом убедиться, достаточно показать, что (displaystylefrac<partial f (x, 0)><partial x>) не имеет предела при (x
ightarrow 0).

Дифференцируемость сложной функции.

Пусть функции (varphi_ <1>(x), ldots, varphi_ (x)) дифференцируемы в точке (x^ <0>= (x_<1>^<0>, ldots, x_^<0>) in R^, y^ <0>= (varphi_ <1>(x^<0>), ldots, varphi_ (x^<0>)) in R^) и функция (f(y) = f(y_<1>, ldots, y_)) дифференцируема в точке (y^<0>).

(circ) Так как функция (f(y)) дифференцируема в точке (y^<0>), то в силу теоремы 1 найдутся функции (f_(y), y = overline<1, m>), непрерывные в точке (y^ <0>= (y_<1>^<0>, ldots, y_^<0>)) и такие, что
$$
f(y) — f(y^<0>) = sum_ <substack>^<substack
>f_
(y)(y_ — y_^<0>),quad f_(y^<0>) = frac<partial f><partial y_>(y^<0>).label
$$

Воспользовавшись тем, что дифференцируемая в точке функция непрерывна в этой точке, а также теоремой о непрерывности сложной функции, получаем, что функции
$$
psi_ (x) = f_(varphi_ <1>(x), ldots, varphi_ (x)),quad j = overline<1, m>,label
$$
непрерывны в точке (x^<0>), причем
$$
psi_
(x^<0>) = f_(varphi_ <1>(x^<0>), ldots, varphi_ (x^<0>)) = f_(y^<0>) = frac<partial f><partial y_>(y^<0>).label
$$

Подставив в eqref (y_ <1>= varphi_ <1>(x), ldots, y_ = varphi_ (x)) и воспользовавшись обозначениями eqref, получаем
$$
Phi (x) — Phi (x^<0>) = sum_ <substack>^<substack
>psi_(x)(varphi_ (x^<0>) — varphi_ (x^<0>)).label
$$

Но функции (varphi_ (x^<0>), j = overline<1, m>), дифференцируемы в точке (x^<0>), поэтому найдутся такие непрерывные в точке (x^<0>) функции (varphi_(x)), что
$$
egin
displaystyle varphi_ (x) — varphi_ (x^<0>) = sum_ <substack>^<substack>varphi_
(x)(x_
— x_^<0>),quad varphi_(x^<0>)=frac<partial varphi_><partial x_>(x^<0>),\ i = overline<1, n>,quad j = overline<1, m>.
endlabel
$$

Так как функции (psi_(x)) и (varphi_(x)) непрерывны в точке (x^<0>), то и функции (Phi_(x)) непрерывны в точке (x^<0>). А это означает, что сложная функция (Phi(x)) дифференцируема в точке (x^<0>) (теорема 1).

Вторая из формул eqref дает правило нахождения частных производных сложной функции, аналогичное соответствующему правилу для функций одной переменной.

Пусть функция (f(x, y)) дифференцируема во всех точках пространства (R^<2>). Перейти к полярным координатам и найти выражения для (displaystylefrac<partial f><partial r>) и (displaystylefrac<partial f><partial varphi>).

Дифференциал. Инвариантность формы первого дифференциала. Правила дифференцирования.

Пусть функция (f(x)) дифференцируема в точке (x^<0>). Тогда при (x
ightarrow x^<0>) ее можно записать в виде eqref:
$$
f(x) = f(x^<0>) + sum_ <substack>^<substack>frac<partial f(x^<0>)><partial x_>(x^<0>)(x_ — x_^<0>) + o(
ho(x, x^<0>)).
onumber
$$

Положим по определению
$$
dx_ = Delta x_ = x_ — x_^<0>.
onumber
$$

Если функция (f(x)) дифференцируема в точке (x^<0>), то линейную форму относительно приращений независимых переменных
$$
df(x^<0>) = sum_ <substack>^<substack>frac<partial f><partial x_>(x^<0>)dx_label
$$
назовем
дифференциалом функции (f(x)) в точке (x^<0>). Тогда
$$
f(x) = f(x^<0>) + d f(x^<0>) + o(
ho(x, x^<0>)) mbox <при> x
ightarrow x^<0>.
onumber
$$

Иногда выражение eqref называют первым дифференциалом функции (f(x)) в точке (x^<0>).

Если бы (y_<1>, ldots, y_) были независимыми переменными, то (df(y^<0>)) отличался бы от дифференциала сложной функции eqref только тем, что в выражении eqref (dy_(x^<0>)) — дифференциалы функций (varphi_), а в
$$
df(y^<0>) = sum_ <substack>^<substack
>frac<partial f><partial y_>(y^<0>)dy_
onumber
$$
(dy_
) — дифференциалы независимых переменных. Формальная запись дифференциала в обоих случаях одинакова. Говорят, что форма первого дифференциала инвариантна относительно замены переменных.

Инвариантность формы первого дифференциала является весьма удобным его свойством. При записи (df(y^<0>)) в виде eqref мы можем не задумываться о том, являются ли переменные (y_<1>, ldots, y_) независимыми. Заметим, что во многих прикладных задачах часто бывает затруднительно выяснить вопрос о независимости переменных.

Пусть функция (f(x)) дифференцируема во всех точках некоторого открытого множества (G subset R^). Тогда в каждой точке (x in G) можно вычислить дифференциал
$$
df(x) = sum_ <substack>^<substack
>frac<partial f><partial x_>(y^<0>)dx_.
onumber
$$

Он будет функцией (2n) переменных (x_<1>, ldots, x_), (dx_<1>, ldots, dx_), причем при фиксированных (x_<1>, ldots, x_) дифференциал есть линейная функция (dx_<1>, ldots, dx_). Правила дифференцирования такие же, как и для функций одной переменной:

Докажем, например, что (d(uv) = u dv + v du).

Найти дифференциал функции (displaystyleoperatornamefrac).

Формула конечных приращений Лагранжа.

Пусть функция (f(x)) дифференцируема в выпуклой области (G subset R^). Напомним, что выпуклая область есть открытое множество, любые две точки которого можно соединить отрезком, лежащим в области. Тогда для любых двух точек (x = (x_<1>, ldots, x_) in G, y = (y_<1>, ldots, y_) in G) найдется число ( heta in (0, 1)) такое, что
$$
f(y) — f(x) = sum_ <substack>^<substack
>frac<partial f><partial y_>(x + heta(y — x))(y_ — x_).label
$$

Формула eqref называется формулой конечных приращений Лагранжа. Докажем ее.

(circ) Пусть точки (x, y in G). Так как область (G) выпукла, то отрезок, соединяющий точки (x) и (y), лежит в области (G). Поэтому определена функция одной переменной
$$
varphi (t) = f(x_ <1>+ t(y_ <1>— x_<1>), ldots, x_ + t(y_ — x_)), 0 leq t leq 1.label
$$

Очевидно, что (varphi (0) = f(x), varphi (1) = f(y)) и что функция (varphi (t)) дифференцируема на отрезке [0,1]. По правилу нахождения производной сложной функции имеем
$$
varphi'(t) = sum_ <substack>^<substack>frac<partial f><partial x_>(x_ <1>+ t(y_ <1>— x_<1>), ldots, x_ + t(y_ — x_))(y_ — x_).label
$$

Применим к функции (varphi (t)) формулу конечных приращений Лагранжа для функции одной переменной. Получаем, что найдется число ( heta in (0, 1)) такое, что (varphi (1) — varphi (0) = varphi’ ( heta)). Используя формулы eqref и eqref, теперь легко получаем формулу eqref. (ullet)

Касательная плоскость к графику функции двух переменных. Геометрический смысл дифференциала.

Пусть функция (f(x, y)) дифференцируема на открытом множестве (G subset R^<2>). Рассмотрим ее график
$$
operatorname f = <(x, y, z): z = f(x, y), (x, y) in G>.
onumber
$$

Читайте также:  Заполнение табличной части документа программно

Пусть точка (P(x_<0>, y_<0>, z_<0>)) лежит на (operatorname f), то есть (z_ <0>= f(x_<0>, y_<0>)), и пусть гладкая кривая
$$
Gamma =
onumber
$$
лежит на графике и проходит через точку ((x_<0>, y_<0>, z_<0>)). Это означает, что
$$
z(t) = f(x(t), y(t)); (x(t_<0>), y(t_<0>), z(t_<0>) = (x_<0>, y_<0>, z_<0>), t_ <0>in (alpha, eta).label
$$

Дифференцируя тождество eqref в точке (t_<0>) и пользуясь инвариантностью формы первого дифференциала, получаем
$$
dz = frac<partial f><partial x>(x_<0>, y_<0>)dx + frac<partial f><partial y>(x_<0>, y_<0>)dy.label
$$

Вектор (d au = (dx, dy, dz)) есть касательный вектор к кривой (Gamma) в точке ((x_<0>, y_<0>, z_<0>)). Введем вектор
$$
extbf = left(- frac<partial f><partial x>(x_<0>, y_<0>), — frac<partial f><partial y>(x_<0>, y_<0>), 1
ight).label
$$

Условие eqref означает, что вектор ( extbf) ортогонален к касательной к кривой (Gamma) в точке ((x_<0>, y_<0>, z_<0>)). Говорят, что вектор ( extbf) ортогонален к кривой (Gamma) в точке (P). Но (Gamma) — любая гладкая кривая, лежащая на (operatorname f) и проходящая через точку (P). Поэтому вектор ( extbf) ортогонален к любой кривой, лежащей на (operatorname f) и проходящей через точку (P). Он называется вектором нормали к (operatorname f) в точке (P).

Плоскость, проходящая через точку (P) и ортогональная вектору нормали ( extbf), называется касательной плоскостью к (operatorname f) в точке (P). Ее уравнение есть
$$
Z — f(x_<0>, y_<0>) = frac<partial f><partial x>(x_<0>, y_<0>)(X — x_<0>) + frac<partial f><partial y>(x_<0>, y_<0>)(Y — y_<0>).label
$$

Прямая, проходящая через точку (P) и параллельная вектору (N), называется нормалью к (operatorname f) в точке (P). Ее уравнение —
$$
frac><- f_(x_<0>, y_<0>)> = frac><- f_(x_<0>, y_<0>)> = Z — f(x_<0>, y_<0>).
$$

Найдем значение аппликаты касательной плоскости, построенной в точке (P(x_<0>, y_<0>, z_<0>) in operatorname f).

Таким образом, (d f(x_<0>, y_<0>)) есть приращение аппликаты касательной плоскости (рис. 26.1).

Рис. 26.1

Производная по направлению. Градиент.

Пусть функция (f(x, y, z)) определена в области (G subset R^<3>), и пусть точка (P(x_<0>, y_<0>, z_<0>) in G). Рассмотрим луч, проходящий через точку и параллельный направлению
$$
extbf = (cos alpha, cos eta, cos gamma),
onumber
$$
где
$$
cos^ <2>alpha + cos^ <2>eta + cos^ <2>gamma = 1.
onumber
$$

Так как (P) — внутренняя точка (G), то найдется число (t_<0>) такое, что отрезок
$$
x = x_ <0>+ tcos alpha, y = y_ <0>+ tcos eta, z = z_ <0>+ tcos gamma,quad -t_ <0>leq t leq t_<0>,
onumber
$$
лежит в области (G). Производной функции (f(x, y, z)) в точке ((x_<0>, y_<0>, z_<0>)) в направлении ( extbf) назовем
$$
frac<partial f><partial l>(x_<0>, y_<0>, z_<0>) = lim_<substack>frac <0>+ tcos alpha, y_ <0>+ tcos eta, z_ <0>+ tcos gamma) — f(x_<0>, y_<0>, z_<0>)>.
onumber
$$

Если функция (f(x, y, z)) дифференцируема в точке (P(x_<0>, y_<0>, z_<0>) in G), то производную по направлению ( extbf) в этой точке можно вычислить при помощи следующей формулы:
$$
frac<partial f><partial l>(x_<0>, y_<0>, z_<0>) = left.frac

f(x_ <0>+ tcos alpha, y_ <0>+ tcos eta, z_ <0>+ tcos gamma)
ight|_ =\= frac<partial f><partial x>(x_<0>, y_<0>, z_<0>) cos alpha + frac<partial f><partial y>(x_<0>, y_<0>, z_<0>) cos eta + frac<partial f><partial z>(x_<0>, y_<0>, z_<0>) cos gamma.label
$$

(circ) Формула eqref есть простое следствие правила нахождения производной сложной функции. (ullet)

Если ввести символический вектор (оператор Гамильтона)
$$
abla = extbffrac<partial> <partial x>+ extbffrac<partial> <partial y>+ extbffrac<partial><partial z>label
$$
и договориться, что векторы, стоящие слева от (
abla), перемножаются с (
abla) по правилам векторной алгебры, а на величины, стоящие справа, (
abla) действует как дифференциальный оператор, то
$$
( extbf,
abla) =cos alpha frac<partial> <partial x>+ cos eta frac<partial> <partial y>+ cos gamma frac<partial><partial z>.
onumber
$$
Тогда формулу eqref можно записать через оператор Гамильтона
$$
frac<partial f><partial l>(x_<0>, y_<0>, z_<0>) = ( extbf
,
abla)f(x_<0>, y_<0>, z_<0>).
onumber
$$

Дифференци́руемая (в точке) фу́нкция — это функция, у которой существует дифференциал (в данной точке). Дифференцируемая на некотором множестве функция — это функция, дифференцируемая в каждой точке данного множества. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет значительное число приложений как в самой математике, так и в других естественных науках.

Приращение дифференцируемой в данной точке функции можно представить как линейную функцию приращения аргумента с точностью до величин более высокого порядка малости. Это означает, что для достаточно малых окрестностей данной точки функцию можно заменить линейной (скорость изменения функции можно считать неизменной). Линейная часть приращения функции называется её дифференциалом (в данной точке).

Необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости является непрерывность функции. В случае функции от одной вещественной переменной дифференцируемость равносильна существованию производной. В случае функции нескольких вещественных переменных необходимым (но не достаточным) условием дифференцируемости является существование частных производных по всем переменным. Для дифференцируемости функции нескольких переменных в точке достаточно, чтобы частные производные существовали в некоторой окрестности рассматриваемой точки и были непрерывны в данной точке. [1]

В случае функции комплексной переменной дифференцируемость в точке часто называется моногенностью и существенно отличается от понятия дифференцируемости в вещественном случае. Ключевую роль в этом играет так называемое условие Коши — Римана. Функция, моногенная в окрестности точки, называется голоморфной в этой точке. [2] [3]

В функциональном анализе существует обобщение понятия дифференцирования на случай отображений бесконечномерных пространств — производные Гато и Фреше.

Обобщением понятия дифференцируемой функции являются понятия субдифференцируемых, супердифференцируемых и квазидифференцируемых функций.

    Валентин Щербачёв 4 лет назад Просмотров:

1 В.В. Жук, А.М. Камачкин Дифференцируемость функций многих переменных. Дифференцируемость функции в точке. Достаточные условия дифференцируемости в терминах частных производных. Дифференцирование сложной функции.. Дифференцируемость функции в точке. Рассмотрим сначала случай двух переменных. Пусть функция z = f(x, y) определена в некоторой окрестности S = S(M 0, δ) точки M 0 = (x 0, y 0 ) и пусть M = (x, y) S, x = x x 0, y = y y 0 и, значит, ρ = ρ(m, M 0 ) = x + y 2 Лемма. Условие () эквивалентно условию α( x, y) = ε ( x, y) x + ε ( x, y) y, ρ 0, (5) lim ε = lim ε = 0. ρ 0 ρ 0 Доказательство. Пусть выполнено (), т.е. α = ερ ε 0 при ρ 0. Тогда α = ερ = ε x x + y x + ε y x + y y = ε x + ε y, ε = ε x x + y, ε ε y = x + y. Так как x x,, x + y x + y то ε ε, ε ε и, следовательно, lim ρ 0 ε = lim ρ 0 ε = 0. Тем самым представление (5) получено. Пусть теперь выполнено условие (5), т.е. α = ε x + ε y, ρ 0, ε 0 и ε 0 при ρ 0. Тогда α = ( x x + y ε y x + ) x + y ε + y = ερ, ε = x x + y ε y + x + y ε, и, значит, ε ε + ε. Поэтому ε 0 при ρ 0, т.е. представление () получено. Теорема. Если функция z = f(x, y) дифференцируема в точке (x 0, y 0 ), то она непрерывна в этой точке. Доказательство. Так как x ρ и y ρ, то из () и () следует, что lim ρ 0 z = 0, а это и означает непрерывность функции в точке (x 0, y 0 ).

Читайте также:  Вайфай главная вход в личный кабинет

3 Теорема. Если функция z = f(x, y) дифференцируема в точке (x 0, y 0 ) и dz = A x + B y ее дифференциал в этой точке, то в этой точке у функции f существуют все частные производные и Таким образом, f(x 0, y 0 ) x = A, f(x 0, y 0 ) = B. (6) dz = z z dx + x dy. Доказательство. Согласно определению дифференцируемости z = A x + B y + ε x + ε y, lim ρ 0 ε = lim ρ 0 ε = 0. Полагая y = 0, получим z = f(x 0 + x, y 0 ) f(x 0, y 0 ) =: x z = A x + ε x, lim x 0 ε = 0. Значит x z x = A + ε. (7) Правая часть (7) при x 0 стремится к A, поэтому и левая часть при x 0 имеет тот же предел, а это означает, что в точке (x 0, y 0 ) существует частная производная z/ x = A. Аналогично, полагая x = 0 и переходя к пределу при y 0, получим z/ = B. Отметим, что из непрерывности в данной точке функции n переменных не вытекает существование у нее в этой точке частных производных. Важно заметить, что при n из существования даже всех частных производных в некоторой точке не следует непрерывность в этой точке. Чтобы убедиться в этом рассмотрим функцию f(x, y) равную нулю, если xy = 0 и, если xy 0. Очевидно, f(x, 0) = f(0, y) = 0 и значит f(0, 0) x = f(0, 0) = 0. Однако, эта функция разрывная в точке (0,0), так как, например, ее предел вдоль прямой y = x при (x, y) (0, 0) равен, а f(0, 0) = 0.. Достаточное условие дифференцируемости функции в терминах частных производных. Теорема 3. Пусть функция z = f(x, y) в некоторой окрестности точки (x 0, y 0 ) имеет частные производные z/ x и z/, которые непрерывны в самой точке (x 0, y 0 ). Тогда функция z = f(x, y) дифференцируема в этой точке. 3

4 Доказательство. Пусть S(δ) δ окрестность точки (x 0, y 0 ), в которой определена вместе со своими частными производными f x и f y функция f. Выберем x и y так, чтобы (x 0 + x, y 0 + y) S(δ). Замечая, что z = f(x 0 + x, y 0 + y) f(x 0, y 0 ) = = [f(x 0 + x, y 0 + y) f(x 0, y 0 + y)] + [f(x 0, y 0 + y) f(x 0, y 0 )], применим к выражениям, стоящим в квадратных скобках и являющимися приращениями функции только по одной переменной, формулу Лагранжа. z = f x(x 0 + θ x, y 0 + y) x + f y(x 0, y 0 + θ y) y, (8) 0 5 ρ = n x i, y = f(x. x n ) f(x (0). x(0) n ), x i = x i x (0) i (i =, n), i= причем в этом случае A i = f(x(0) ) x i, (i =, n). В случае, когда имеет место () линейная функция f(x) x x f(x) x n x n n переменных x. x n (здесь вместо x (0) написано x) называется дифференциалом функции в данной точке x и обозначается df(x): df(x) = f(x) x x f(x) x n x n Переменные x i называются также дифференциалами переменных x i и обозначаются dx i (i =, n). В этих обозначениях дифференциал функции f записывается в виде df(x) = f(x) dx f(x) dx n. x x n Теоремы -3 очевидным образом обобщаются на функции n переменных..4 Дифференцирование сложной функции. Теорема 4. Пусть функции x(t) и y(t) одного переменного t дифференцируемы в точке t 0 и пусть x 0 = x(t 0 ), y 0 = y(t 0 ). Пусть, далее, функция z = f(x, y) дифференцируема в точке (x 0, y 0 ) и в некоторой окрестности точки t 0 имеет смысл суперпозиция f(x(t), y(t)). Тогда функция z = f(x(t), y(t)) имеет в точке t 0 производную dz/dt и в этой точке или, подробнее, dz dt = z dx x dt + z dy dt () df(x(t 0 ), y(t 0 )) dt = f(x 0, y 0 ) x dx(t 0 ) dt + f(x 0, y 0 ) dy(t 0 ). dt Доказательство. В силу дифференцируемости функции z = f(x, y) в точке (x 0, y 0 ) z = f(x 0 + x, y 0 + y) f(x 0, y 0 ) 5

6 представимо в виде z = z z x + x y + ε x + y, (3) функция ε = ε( x, y) такова, что lim ρ 0 ε = 0 (ρ = x + y ). Доопределим функцию ε( x, y) в точке (0,0), положив ε(0, 0) = 0. Так доопределенная функция ε( x, y) является непрерывной в точке (0,0). Пусть теперь t – приращение переменной t и x = x(t 0 + t) x(t 0 ), y = y(t 0 + t) y(t 0 ). Разделим обе части равенства (3) на t ( x z t = z x x t + z y t ± ε t ) + ( ) y. (4) t При t 0, в силу непрерывности функций x(t) и y(t) в точке t 0, получим x 0 и y 0, а значит, и lim t 0 ρ = 0. Отсюда по теореме о суперпозиции непрерывных функций Далее, lim t 0 ( x ) + t lim ε( x, y) = 0. t 0 ( ) y = x t (t 0 ) + y (t 0 ). Из всего сказанного следует, что при t 0 правая часть (4) стремится к конечному пределу z dx x dt + z dy dt, а потому и левая часть этой формулы, т.е. z/ t стремится к тому же пределу, а это и означает, что в точке t 0 существует производная dz/dt и выражается формулой (). Замечание. Хотя в окончательную формулу производной сложной функции входят только производные z/ x и z/ функции z = f(x, y), по ходу доказательства существенно использовалось более сильное свойство этой функции, чем существование частных производных, а именно ее дифференцируемость. Следствие. Пусть функции x = x(u, v), y = y(u, v) определены в некоторой окрестности точки (u 0, v 0 ), а функция z = f(x, y) определена в некоторой окрестности точки (x 0, y 0 ), x 0 = x(u 0, v 0 ), y 0 = y(u 0, v 0 ) и в некоторой окрестности точки (u 0, v 0 ) имеет смысл суперпозиция f(x(u, v), y(u, v)). 6

7 Если функция f(x, y) дифференцируема в точке (x 0, y 0 ) и существуют частные производные x/ u и / u в точке (u 0, v 0 ), то в точке (u 0, v 0 ) существует частная производная z/ u сложной функции z = f(x(u, v), y(u, v)), причем z u = z x x u + z u. (5) Доказательство. Фиксируем v = v 0 и рассмотрим сложную функцию z = f(x(u, v 0 ), y(u, v 0 )) одного переменного u. Согласно теореме 4 получаем, что производная z/ u в точке (u 0, v 0 ) существует и выражается формулой (5). Аналогично, если в точке (u 0, v 0 ) существуют частные производные x/ v и / v, то у сложной функции z = f(x(u, v), y(u, v)) существует в точке (u 0, v 0 ) частная производная по v и для нее справедлива формула (x (0) z v = z x x v + z v. Рассмотрим общий n-мерный случай. Пусть в окрестности точки x (0) =. x(0) n ) задана функция y = y(x. x n ), а на некотором множестве E t R k заданы функции x i = x i (t. t k ) (i =, n), такие, что x i (t (0). t(0) k ) = x (0) i. Пусть, далее функция y = y(x. x n ) дифференцируема в точке x (0) и в точке t (0) = (t (0). t(0) k ) существуют частные производные x i/ t j (i =, n, j =, k). Тогда, если в некоторой окрестности точки t (0) имеет смысл сложная функция y(x(t)), то она имеет в точке t (0) частные производные / t j (j =, k), причем t j = n i= x i (j =, k). x i t j 7

admin

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *