Динамика вращательного движения задачи с решениями

Динамика вращательного движения

Основные законы и формулы

1. При криволинейном движении сила, действующая на материальную точку, может быть определена по формуле

где и – линейная и угловая скорости тела массой m; R – радиус кривизны траектории в данной точке.

Если касательная составляющая равнодействующей силы, действующей на точку, а нормальная составляющая с течением времени не меняется по величине, то точка будет равномерно двигаться по окружности

2. Между двумя точечными телами массами m1 и m2, находящимися на расстоянии r друг от друга, действует сила тяготения, которая определяется законом всемирного тяготения:

где γ – гравитационная постоянная: γ≈6,67∙10-11 Н∙м2/кг2.

3. Для характеристики вращательного движения твердых тел часто пользуются моментом М силы F относительно оси вращения.

Момент М является векторной величиной. Величина момента М некоторой силы F относительно оси вращения определяется формулой:

где l – расстояние от оси вращения до прямой, вдоль которой действует сила.

4. Основное уравнение динамики вращательного движения:

а) в общем случае

Мω),

где М – момент силы, действующей на тело в течении времени dt, J – момент инерции тела, – угловая скорость, J – момент импульса;

б) в случае постоянных момента силы и момента инерции

в) в случае постоянного момента инерции

где – угловое ускорение.

5. Момент импульса материальной точки

где m – масса точки, – линейная скорость точки, r – расстояние точки от оси, относительно которой определяется момент импульса.

Закон сохранения момента импульса системы тел, вращающихся вокруг неподвижной оси z:

ω=const,

где Jz – момент инерции системы тел относительно оси z; – угловая скорость вращения тел системы вокруг оси z.

6. Момент инерции материальной точки:

где m – масса точки; r – расстояние до оси вращения.

Моменты инерции некоторых тел массой m относительно оси z, проходящей через центр масс:

а) стержня длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню:

б) обруча (тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра):

где R – радиус обруча (цилиндра);

в) диска или сплошного цилиндра радиусом R относительно оси, перпендикулярной плоскости основания:

г) однородного шара радиуса R относительно оси, проходящей через его центр:

где – момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс; – момент инерции относительно параллельной оси, отстоящей от первой на расстоянии а; m – масса тела.

Общее условие равновесия тела гласит, что для того, чтобы тело находилось в равновесии, необходимо, чтобы были равны нулю равнодействующая приложенных к телу сил и сумма моментов этих сил относительно оси вращения:

FFi = 0; Mi = 0.

Примеры решения задач

Пример 1. Два шарика с массами m1=40 г и m2=10 г, надетые на горизонтальный стержень (рис. 7), связаны нитью длиной l=20 см. Определить силу натяжения нити при вращении стержня с угловой скоростью если шарики не смещаются относительно оси вращения. Трением шариков о стержень пренебречь. Рис.7

Решение. В данном случае нормальные ускорения шариков вызваны действием сил натяжения Т1 и Т2. Поскольку шарики не смещаются относительно оси вращения, то Т1=Т2. Согласно второму закону Ньютона, можно записать:

Сила натяжения нити будет равна:

Пример 2. Шарик массой 200 г, привязанный нитью к подвесу, описывает в горизонтальной плоскости окружность, имея постоянную скорость. Определить скорость шарика и период его вращения по окружности, если длина нити 1 м, а ее угол с вертикалью составляет 600.

Решение. На шарик действуют: mg – сила тяжести, Т- сила натяжения нити (рис.8). Запишем для шарика уравнение второго закона Ньютона в векторной форме: Рис. 8

Спроецируем это уравнение на выбранные направления осей X и Y:

(1)

Учитывая, что (шарик не движется в вертикальном направлении,R – радиус окружности), , и подставляя выражение для ах, ау и R в (1), получаем:

(2)

Решив уравнения (2) получим:

При равномерном движении шарика по окружности его период вращения

Пример 3. Тело массой кг вращается на тонком стержне в вертикальной плоскости. Частота вращения равна , длина стержня см. Определить силу натяжения стержня: 1) в верхней и 2) в нижней точках.

Решение. 1. На тело в верхней точке действуют сила тяжестии Рис. 9

сила натяжения Т стержня (рис.9). В результате действия двух сил тело движется по окружности, т.е. с центростремительным ускорением

, (1)

где – угловая скорость; R – радиус траектории. Учитывая, что , можем записать

. (2)

Направление сил Т1 и Р совпадает с вектором ац.с, поэтому второй закон Ньютона запишем в скалярном виде:

, (3)

, (4)

. (5)

Выразим в СИ числовые значения R и g: R=0,125 м, g=9,81 м/с2.

Вычислим по формуле (5) искомую силу натяжения стержня в верхней точке траектории:

.

2. В нижней точке траектории на тело действуют (рис.10) те же силы и Т2. Однако сила Р в данном случае направлена противоположно вектору ац.с. В связи с этим второй закон Ньютона имеет вид

,

.

После подстановки имеем

Пример 4. Маховик в виде диска массой m=50 кг и радиусом r=20 см, был раскручен до частоты n1=480 об/мин и затем предоставлен самому себе. Под воздействием трения маховик остановился.

Найти момент М сил трения, считая его постоянным, принимая, что: а) маховик остановился через t=50 c; б) маховик до полной остановки сделал N=200 об.

Решение. а). По второму закону динамики вращательного движения изменение момента импульса вращающегося тела равно произведению момента силы, действующего на тело, на время действия этого момента

где J – момент инерции маховика, и – начальная и конечная угловые скорости, соответственно.

Так как то

(1)

Момент инерции диска относительно его геометрической оси

Подставив выражение момента инерции в формулу (1), найдем:

(2)

Выразим угловую скорость маховика через частоту вращения

рад/с=50,2 рад/с.

Подставим числовые значения в формулу (2), получим

Н·м = –1 Н∙м.

б). В условии задачи дано число оборотов, сделанных маховиком до остановки, т.е. его угловое перемещение. Поэтому следует применить формулу, выражающую связь работы с изменением кинетической энергии:

(3)

так как

Работа при вращательном движении определяется по формуле:

Подставим это выражение работы, а также выражение момента инерции диска в формулу (3), получим:

Отсюда момент силы трения

(4)

Угол поворота в радианах

рад = 1256 рад.

Подставим числовые значения в выражение (4), найдем

Н·м = –1 Н∙м.

Знак «минус» показывает, что момент силы трения оказывает тормозящее действие.

Пример 5. Определить расстояние от центра Земли до искусственного спутника и скорость его относительно поверхности Земли, если спутник запущен так, что он движется в плоскости земного экватора и с Земли все время кажется неподвижным.

Решение. С достаточной степенью точности можно считать, что на спутник при его движении действует только сила земного притяжения:

где m – масса спутника; М – масса Земли; R – расстояние от центра Земли до спутника.

Под действием этой силы спутник, равномерно движется по окружности с ускорением поэтому где – скорость спутника. Учитывая, что можно записать:

Поскольку спутник с Земли все время кажется неподвижным, то где Т – период суточного вращения Земли ( Т=24 ч). Поэтому

.

Определим скорость движения спутника:

Пример 6. Сравнить ускорение свободного падения у поверхности Луны с ускорением свободного падения у поверхности Земли.

Решение. На тело массой m вблизи поверхности Земли и Луны будут действовать соответственно силы:

где – гравитационная постоянная; MЗ и MЛ – массы соответственно Земли и Луны; RЗ и RЛ – радиусы Земли и Луны. Эти силы будут сообщать телу соответствующие ускорения свободного падения:

Поскольку угловое перемещение φ, угловая скоростьи угловое ускорение связаны между собой так же, как и соответствующие им линейные величины,,, то методы решения задач на вращательное движение твёрдого тела во многом совпадают с теми, что рассмотрены для движения точки.

Если тело одновременно участвует в двух вращательных движениях с угловыми скоростями иотносительно двух пересекающихся осей, то результирующее движение будет также вращательным с угловой скоростью, равной=W= , (19)

где – I– момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр

тяжести параллельно образующей;

– угловая скорость тела.

Момент инерции сплошного цилиндра относительно его оси равен

I = ,

где r– радиус цилиндра.

Линейная скорость точек поверхности качения

, то есть.

Подставим I и в (19):W= .

Кинетическая энергия цилиндра погашена работой силы торможения, то есть

F S = .

Искомая скорость .

Вычисляем: м/с;

м/с.

Пример 5. Две гири с массамиm₁=2кг и m₂=1кгсоединены нитью, перекинутой через блок массойm=1кг. Найти ускорениеа, с которым движутся гири, и силы натяженияТ₁иТ₂нитей, к которым подвешены гири. Блок считать однородным диском. Трением пренебречь.

Рисунок 6 – Пример 5

Запишем в векторной форме уравнения поступательного движения первой и второй гири

m₁=m₁+;m₂=m₂+

и уравнение вращательного движения диска

J= +,

Спроектируем первые два уравнения на ось х, а последнее на ось yи добавим уравнение кинематической связи. Получим систему 4-х уравнений:

Подставим (23) в (22): J= R(T₁–T₂)(24)

Вычтем (21) из (20), подставим в полученное выражение (24) и найдем

а ==2,8 м/с 2 (25)

Подставляя (25) в (20) и (21), получим

Пример 6. Блок массойm=1кгукреплен на конце стола. Гири1и2одинаковой массойm₁ = m₂ = 1 кгсоединены нитью, перекинутой через блок. Коэффициент трения гири2о столk =0,1.Найти ускорениеa, с которым движутся гири, и силы натяженияТ₁ иТ₂нитей. Блок считать однородным диском. Трением в блоке пренебречь.

Рисунок 7 –Пример 6

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на ось х и у:

где =km₂g(28)

(Т₁-Т₂)R=,

где J = ,

откуда Т₁-Т₂ = (29)

Из уравнений (26) – (28) найдем

Т₁= ,(30)

Т₂=. (31)

mg (1-k) = + 2 ma = ,

откуда а = ;

Тогда из уравнения (30)

Пример 7. Мальчик катит обруч по горизонтальной дороге со скоростью =7,2 км/ч. На какое расстояниеSможет вкатиться обруч на горку за счет его кинетической энергии? Уклон горки равен10мна каждые100мпути.

Рисунок 8 – Пример 7

У основания горки обруч обладал кинетической энергией W_k, которая складывалась из кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращения. Когда обруч вкатился на горку на расстояниеS, его кинетическая энергия перешла в потенциальную.W_k = W_п.

W_k = +;

Момент инерции обруча J=mR 2 , частота вращения = .

Тогда W_k = +=m 2 .

откуда Н = .

Из рисунка видно, что =,

откуда S = ,

или S = .

Подставив числовые данные с учетом  = 2 м/с, получимS = 4,1м.

При решении задач на динамику твердого тела, как правило, необходимо применять основное уравнение динамики вращательного движения. Часто в подобных задачах твердое тело приводится в движение силами натяжения нитей, к которым подвешены грузы, поэтому необходимо также записывать уравнения движения (второй закон Ньютона) для грузов. Условие, связывающее два типа движения, как правило, заключается в отсутствии проскальзывания нити, что позволяет получить кинематическую связь между линейным ускорением груза и угловым ускорением твердого тела. Рассмотрим конкретные примеры.

Задача 1. Два тела, массы которых и , связаны нитью, переброшенной через блок. Блок массой укреплен на краю горизонтального стола, по поверхности которого скользит тело массой . Коэффициент трения тела о поверхность стола . С каким ускорением движутся тела и каковы силы натяжения нити по обе стороны от блока? Массу блока можно считать равномерно распределенной по ободу, трением в подшипниках оси блока пренебречь.

Применим для грузов второй закон Ньютона, а для блока – основное уравнение динамики вращательного движения. Силы, действующие на грузы, показаны на рис.1.4.1.

Для груза второй закон Ньютона в проекциях на горизонтальное и вертикальное направления принимает вид

, , (1.4.1)

а по определению сила трения скольжения

.

Для груза уравнение вертикального движения

. (1.4.2)

Наконец, уравнение вращательного движения блока

, (1.4.3)

где – момент инерции блока (обруча), – угловое ускорение блока, – результирующий момент сил натяжения, действующий на блок.

При отсутствии скольжения нити по блоку его угловое ускорение связано с линейным ускорением грузов по формуле . С учетом приведенных соотношений уравнение (1.4.3) принимает вид

. (1.4.4)

Исключая из (1.4.1) силы трения и реакции опоры, получаем

. (1.4.5)

Наконец, складывая уравнения (1.4.2), (1.4.4), (1.4.5), получаем

,

. (1.4.6)

Подставляя числовые значения, получаем

.

Подставляя (1.4.6) в (1.4.2) и (1.4.5), находим силы натяжения:

,

.

Вычисления приводят к результатам:

, .

Задача 2. В однородном диске массой и радиусом вырезано круглое отверстие диаметром , центр которого находится на расстоянии от оси диска. Найти момент инерции полученного тела относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости диска через его центр.

Данное тело можно представить как совокупность сплошного диска, изготовленного из материала с некоторой плотностью, и другого диска из материала с такой же по величине, но противоположной по знаку плотностью, расположенного в отверстии первого диска. Тогда результирующий момент инерции этой системы можно найти, вычитая из момента инерции первого диска момент инерции второго диска.

Для первого диска

,

а для второго по теореме Штейнера

,

где , а массу второго диска можно определить из условия пропорциональности массы и площади: .

Тогда , следовательно,

.

Выполняя вычисления, находим

.

.

Задача 3. Однородный тонкий стержень массой и

длиной может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку О (рис.1.4.2). В верхний конец стержня попадает пластилиновый шарик массой , движущийся со скоростью , и прилипает к стержню. Определить угловую скорость стержня и линейную скорость нижнего конца стержня сразу после удара, если расстояние от верхнего конца стержня до точки О равно .

Для определения угловой скорости вращения стержня воспользуемся законом сохранения момента импульса. Рассматривая шарик как материальную точку, получаем:

, (1.4.7)

где момент инерции стержня относительно точки О по теореме Штейнера равен

. (1.4.8)

Из (1.4.7) и (1.4.8) находим угловую скорость стержня сразу после удара

.

.

Для определения линейной скорости нижнего конца стержня воспользуемся связью линейной и угловой скорости: , где радиус окружности равен . Получаем

.

Задача 4. На ступенчатый цилиндрический блок намотаны в противоположных направлениях две нити с подвешенными к ним грузами массами и (рис.1.4.3). Найти ускорения грузов и силы натяжения нитей. Момент инерции блока , радиусы соответствующих участков блока и .

Запишем второй закон Ньютона для грузов в проекции на вертикальное направление

, , (1.4.9)

где и – силы натяжения нитей.

Уравнение вращательного движения блока

. (1.4.10)

В силу отсутствия проскальзывания нитей по блоку можно записать

. (1.4.11)

Из (1.4.9) – (1.4.11) следует

, . (1.4.12)

Подставляя в уравнения движения грузов, получаем систему уравнений для определения сил натяжения нитей

,

. (1.4.13)

Решая систему (1.4.13), находим

, .

Подстановка полученных результатов в (1.4.12) дает

, .

Задача 5. Два диска с моментами инерции и вращаются с угловыми скоростями и вокруг одной и той же оси без трения. Диски пришли в соприкосновение друг с другом. Из-за возникшего между дисками трения через некоторое время проскальзывание одного диска по другому прекращается. Какова станет тогда угловая скорость вращения дисков? Какое количество теплоты выделится?

Применим закон сохранения момента импульса. Получаем

,

где – момент инерции системы, – угловая скорость системы после прекращения проскальзывания. В результате находим

.

Для определения количества теплоты, выделившегося в результате взаимодействия дисков, воспользуемся законом сохранения энергии, согласно которому

,

где и – кинетические энергии дисков до взаимодействия, – кинетическая энергия системы после взаимодействия. Поскольку

, , ,

.

Задача 6. Тонкий обруч радиуса раскрутили вокруг его оси до угловой скорости и положили плашмя на горизонтальный стол. Через какое время обруч остановится, если коэффициент трения между столом и обручем равен ? Сколько оборотов сделает обруч до полной остановки?

Так как действующая на обруч сила трения постоянна, то вращение обруча будет равнозамедленным, и мы можем применить уравнения равнозамедленного вращения

, .

Если обруч сделает до остановки оборотов, то угол поворота составит . В момент остановки обруча угловая скорость , следовательно,

. (1.4.14)

Воспользуемся законом сохранения энергии, согласно которому работа силы трения равна изменению кинетической энергии обруча

. (1.4.15)

Здесь – момент инерции обруча, – сила трения и – путь, пройденный каждой точкой обруча до его остановки.

Решая систему уравнений (1.4.14), (1.4.15) с учетом выписанных соотношений для пути, силы трения и момента инерции, получаем

, .

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Только сон приблежает студента к концу лекции. А чужой храп его отдаляет. 8832 – | 7546 – или читать все.

78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

“>