Движение колеса вокруг оси

Основные законы и формулы, применяемые при решении задач

Вращательное движение вокруг неподвижной оси

Рассмотри твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси z . Сделаем рисунок. Ось вращения направим перпендикулярно плоскости рисунка, на нас. Пусть φ – угол поворота тела вокруг оси, отсчитываемый от некоторого начального положения. За положительное направление выберем направление против часовой стрелки. Угловая скорость ω равна производной угла поворота по времени t :
.
При , тело вращается против часовой стрелки; при – по часовой. Вектор угловой скорости направлен перпендикулярно плоскости рисунка. При он направлен на нас; при – от нас.

Угловое ускорение ε равно производной угловой скорости по времени:
.
Вектор углового ускорения также направлен перпендикулярно плоскости рисунка. При он направлен на нас; при – от нас.

Скорость точки при вращательном движении тела вокруг неподвижной оси

Рассмотрим точку A , принадлежащую твердому телу. Опустим из нее перпендикуляр OA на ось вращения. Пусть – расстояние от точки до оси. Траекторией движения точки A является окружность (или дуга) с центром в точке O радиуса .

Абсолютное значение скорости точки A определяется по формуле:
.
Вектор скорости направлен по касательной к траектории (окружности), перпендикулярно отрезку OA . При этом вектор должен производить закручивание в ту же сторону, что и вектор угловой скорости .

Касательное (или тангенциальное) ускорение точки A определяется аналогично скорости:
.
Оно направлено по касательной к окружности, перпендикулярно OA . При этом вектор должен производить закручивание в ту же сторону, что и вектор углового ускорения .

Ускорение точки при вращательном движении тела вокруг неподвижной оси

Нормальное ускорение всегда направлено к центру окружности и имеет абсолютную величину
.

Полное ускорение точки A , или просто ускорение, равно векторной сумме касательного и нормального ускорений:
.
Поскольку векторы и перпендикулярны, то абсолютная величина ускорения точки A определяется по формуле:
.

Поступательное прямолинейное движение

Теперь рассмотрим прямолинейное поступательное движение тела. Направим ось x вдоль его линии движения. Пусть s есть перемещение тела вдоль этой оси относительно некоторого начального положения. Тогда скорость движения всех точек тела равна производной перемещения по времени:
.
При , вектор скорости направлен вдоль оси x . При – противоположно этой оси.

Ускорение точек тела равно производной скорости по времени, или второй производной перемещения по времени:
.
При , вектор ускорения направлен вдоль оси x . При – противоположно.

Соприкосновение тел без проскальзывания

Рассмотрим два тела, находящиеся в зацеплении без проскальзывания. Пусть точка A принадлежит первому телу, а точка B – второму. И пусть, в рассматриваемый момент времени, положения этих точек совпадают. Тогда, если между телами нет проскальзывания, то скорости этих точек равны:
.
Если каждое из тел вращается вокруг неподвижной оси, то равны соответствующие касательные ускорения:
.
Если одно из тел движется поступательно (пусть это второе тело), то ускорение его точек равно касательному ускорению точки соприкосновения первого тела:
.

Пример решения задачи

Механизм состоит из ступенчатых колес 1, 2, 3, находящихся в зацеплении и связанных ременной передачей, зубчатой рейки 4 и груза 5, привязанного к концу нити, намотанной на одно из колес. Радиусы ступеней колес равны соответственно: у колеса 1 – r₁ = 2 см, R₁ = 4 см, у колеса 2 – r₂ = 6 см, R₂ = 8 см, у колеса 3 – r₃ = 12 см, R₃ = 16 см. На ободьях колес расположены точки A, B и C. Задан закон движения груза: s₅ = t 3 – 6t (см). Положительное направление для s₅ – вниз.

Определить в момент времени t = 2 скорости точек A, C; угловое ускорение колеса 3; ускорение точки B и ускорение рейки 4.

Указания. Эта задача – на исследование вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. При решении задачи учесть, что проскальзывание в ременной передаче и в точках сцепления колес отсутствует. То есть скорости точек колес, находящихся в зацеплении равны, а скорости точек ремня равны скорости точек, лежащих на ободе колес, связанных ременной передачей.

Дано:
t = 2 с; r₁ = 2 см, R₁ = 4 см; r₂ = 6 см, R₂ = 8 см; r₃ = 12 см, R₃ = 16 см; s₅ = t 3 – 6t (см).

Определение скорости и ускорения груза 5

Груз 5 совершает поступательное движение. Поэтому скорости (и ускорения) всех его точек равны. В условии задачи задано смещение s груза относительно некоторого начального положения. Дифференцируя по времени t , находим зависимость скорости точек груза от времени:
.
Дифференцируя скорость груза по времени, находим зависимость ускорения груза от времени:
.

Находим скорость и ускорение груза в заданный момент времени :
см/с;
см/с 2 .

Определение угловых скоростей и ускорений колес

Груз 5 связан нитью с внутренним ободом колеса 3. Поэтому скорости точек внутреннего обода колеса 3 равны скорости груза:
.
Отсюда находим угловую скорость колеса 3 для произвольного момента времени:
.
Здесь подразумевается, что и являются функциями от времени t . Дифференцируя по t , находим угловое ускорение колеса 3:
.
Находим значения угловой скорости и углового ускорения в момент времени с. Для этого подставляем найденные значения и при с:
с –1 ;
с –2 .

Рассмотрим колесо 2. Его внутренний обод связан нитью с внешним ободом колеса 3. Поэтому скорости точек на этих ободьях равны:
. Отсюда
.
Дифференцируя по времени, находим угловое ускорение колеса 2 в произвольный момент времени:
.
Подставляем значения для с:
с –1 ;
с –2 .

Рассмотрим колесо 1. Его внутренний обод находится в зацеплении с внешним ободом колеса 2. Поэтому скорости точек на этих ободьях равны:
. Отсюда
.
Дифференцируя по времени, находим угловое ускорение колеса 1 в произвольный момент времени:
.
Подставляем значения для с:
с –1 ;
с –2 .

Итак, мы нашли:
ω ₁ = 5.3333 с –1 , ω ₂ = 1.3333 с –1 , ω ₃ = 0.5 с –1 , ε ₁ = 10.6667 с –2 , ε ₂ = 2.6667 с –2 , ε ₃ = 1 с –2 .

Определение скоростей точек A и C

Точка A лежит на окружности радиуса R₁ с центром в точке O₁, расположенной на оси вращения. Поэтому скорость этой точки направлена по касательной к окружности и по абсолютной величине равна
см/с.

Точка C лежит на окружности радиуса R₃ с центром O₃ на оси вращения. Скорость этой точки:
см/с.

Определение ускорения точки B

Точка B лежит на окружности радиуса R₂ с центром O₂, расположенном на оси вращения. Касательное (или тангенциальное) ускорение этой точки направлено по касательной к окружности в сторону, на которую указывает угловое ускорение (по часовой стрелке). По абсолютной величине оно равно
см/с 2 .

Нормальное ускорение всегда направлено к центру окружности. По абсолютной величине оно равно
см/с 2 .

Полное ускорение равно векторной сумме касательного и нормального ускорений:
.
Поскольку касательное ускорение перпендикулярно нормальному, то для абсолютной величины полного ускорения имеем:
см/с 2 .

Определение ускорения рейки 4

Рейка 4 движется поступательно по направляющим. Она находится в зацеплении с внешним ободом колеса 1. Поэтому ее скорость равна скорости точек внешнего обода колеса 1:
.
Дифференцирую по времени, получаем ускорение рейки в произвольный момент времени:
.
Подставляем численные значения для момента времени t = 2 с :
см/с 2 .

см/с; см/с; с –2 ; см/с 2 ; см/с 2 .

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 25-10-2019

Последняя бука буква "е"

Ответ на вопрос "Движение колеса вокруг оси ", 8 букв:
вращение

Альтернативные вопросы в кроссвордах для слова вращение

Обороты вокруг оси

Круговое движение в рифму с вощением

Движение вокруг своей оси

Движение по окружности, верчение

Определение слова вращение в словарях

Большая Советская Энциклопедия Значение слова в словаре Большая Советская Энциклопедия
в геометрии, вид движения (см. Движение в геометрии), при котором остаётся неподвижной по крайней мере одна точка. При В. на плоскости есть лишь одна неподвижная точка, называемая центром В. В случае В. в пространстве имеется одна неподвижная прямая, называемая.

Толковый словарь русского языка. Д.Н. Ушаков Значение слова в словаре Толковый словарь русского языка. Д.Н. Ушаков
вращения, мн. нет, ср. (книжн.). Движение вокруг своей оси по окружности. Суточное вращение земли. Вращение земли вокруг солнца. Вращение зубчатого колеса.

Википедия Значение слова в словаре Википедия
Враще́ние — круговое движение объекта. В плоскости объект вращается вокруг центра (или точки ) вращения . В трёхмерном пространстве объект вращается вокруг линии , называемой осью . Если ось вращения расположена внутри тела, то говорят, что тело вращается.

Примеры употребления слова вращение в литературе.

Заговорили — о том о сем, о наждаке, о скоростях вращения абразивного камня, о заточке резцов, еще о чем-то.

У него был двухъярусный мир – антресоли и второй этаж, соединенные внутренней лестницей, как бы служившей осью вращения двух этих сфер.

Вследствие образования новой оси вращения, выходящей из Баффинова залива на севере и из Земли Адели на юге, образуется новый экватор, на котором, никогда с него не сходя и не отклоняясь, будет совершать свое суточное движение Солнце.

Потом бензеля замедлили свое вращение и остановились, а Пятерка выбралась из Машины в состоянии крайнего возбуждения.

Сигера Брабантского, защищавшего астрологический тезис Вечного Вращения.

Источник: библиотека Максима Мошкова

Такое движение тела, при котором какие- нибудь две его точки (А и В на рис. 6.4) остаются неподвижными, называют вращением вокруг неподвижной оси.

Можно показать, что в этом случае неподвижной остаётся любая точка тела, лежащая на прямой, соединяющей точки Aw В.

Ось, проходящую через эти точки, называют осью вращения тела; её положительное направление выбирается произвольно (рис. 6.4).

Любая точка М тела, не лежащая на оси вращения, описывает окружность, центр которой расположен на оси вращения (рис. 6.4).

Положение тела с неподвижной осью вращения z (рис. 6.5) можно описать при помощи всего лишь одного скалярного параметра – угла поворота (р . Это угол между двумя плоскостями проведенными через ось вращения: неподвижной плоскостью N и подвижной – Р, жестко связанной с телом (рис. 6.5). За положительное примем направление отсчета угла

Размерность углового ускорения – рад/с 2 (или с

Замечание. Символами со и ? в этой лекции обозначаются алгебраические значения угловой скорости и углового ускорения. Их знаки указывают направление вращения и его характер (ускоренное или замедленное). Например, если со = ф > 0 , то угол (р со временем увеличивается и, следовательно, тело вращается в направлении отсчета (р.

Скорость и ускорение каждой точки вращающегося тела нетрудно связать с его угловой скоростью и угловым ускорением. Рассмотрим движение произвольной точки М тела (рис. 6.6).

Поскольку её траектория – окружность, то дуговая координата .9 точки М после поворота тела на угол 0 и ф > 0, показаны на рис. 6.7.

Пример 1. Механизм передачи состоит из колес / и 2, которые связаны в точке К так, что при их вращении взаимное проскальзывание отсутствует. Уравнение вращения колеса 1:

положительное направление отсчета угла (р указано дуговой стрелкой на рис. 6.8.

Известны размеры механизма: Г = 4 см, R₂ = 6 см, г₂ = 2 см.

Найти скорость и ускорение точки М колеса 2 для момента времени /| = 2 с.

Решение. При движении механизма колеса 1 и 2 вращаются вокруг неподвижных осей, проходящих через точки и ₂ перпендикулярно плоскости рис. 6.8. Находим угловую скорость и угловое ускорение колеса I в момент времени / = 2 с, используя данные выше определения (6.4) и (6.5) этих величин:

Их отрицательные знаки указывают на то, что в момент времени t – 2 с колесо / вращается по ходу часовой стрелки (противоположно направлению отсчета угла (р ) и это вращение ускоренное. Благодаря отсутствию взаимного проскальзывания колес I и 2 векторы скоростей их точек в месте соприкосновения К должны быть равными. Выразим модуль этой скорости через угловые скорости колес, используя (6.6):

Из последнего равенства выражаем модуль угловой скорости колеса 2 и находим его значение для указанного момента времени 6 = 2 с:

Направление скорости _к (рис. 6.9) указывает, что колесо 2 вращается против хода часовой стрелки и, следовательно, оь > 0. Из (6.10) и последнего неравенства видно, что угловые скорости колес отличаются на постоянный отрицательный множитель (- г1г₂): со₂ = г_</г₂). Но тогда и производные этих скоростей – угловые ускорения колес должны отличаются на такой же множитель: е₂ =?_](-г_]/г₁)=-2- (-4/2) = 4с

Находим величины скорости и ускорения точки М ступенчатого колеса 2 при помощи формул (6.6) – (6.9):

Направления векторов v _и , , а . а_д/ показаны на рис. 6.9.