График зависимости скорости от координаты

• Следующая публикация Зависимость координаты тела от времени в случае равноускоренного прямолинейного движения. Формулы для проекции перемещения, проекции скорости и проекции ускорения при равноускоренном прямолинейном движении. Графики зависимости от времени для проекции ускорения, проекции скорости, проекции перемещения, координаты при равноускоренном прямолинейном движении
• Предыдущая публикация Механическое движение. Относительность движения. Траектория. Путь. Перемещение. Равномерное и неравномерное движение. Средняя скорость. Формула для вычисления средней скорости

Кинетическая и потенциальная энергия. Формула для вычисления кинетической энергии. Формула для вычисления потенциальной энергии тела, поднятого над Землёй

Автор: author · Published 01.10.2019 · Last modified 19.10.2019

Закон Архимеда. Формула для определения выталкивающей силы, действующей на тело, погружённое в жидкость или газ. Условие плавания тела. Плавание судов и воздухоплавание

Автор: author · Published 01.10.2019 · Last modified 19.10.2019

Молекула — мельчайшая частица вещества. Агрегатные состояния вещества. Модели строения газов, жидкостей, твёрдых тел

Автор: author · Published 01.10.2019 · Last modified 19.10.2019

Добавить комментарий Отменить ответ

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте как обрабатываются ваши данные комментариев.

Познакомимся подробнее с самым наглядным способом описания движения — графическим — на примере равномерного прямолинейного движения.

График модуля скорости

При равномерном прямолинейном движении скорость v_x = const. Следовательно, и ее модуль v = const, т. е. не изменяется с течением времени. Графиком зависимости модуля скорости от времени 1 является прямая АВ, параллельная оси времени и расположенная выше этой оси, так как v > О (рис. 1.9).

Площадь прямоугольника ОАВС, заштрихованного на рисунке, численно равна пути, пройденному телом за время t. Ведь сторона ОА в определенном масштабе есть модуль скорости v, а сторона ОС — время движения t, поэтому s = vt.

График скорости

В отличие от модуля скорости скорость, определяемая выражением (1.4.1), может быть положительной или отрицательной. Поэтому графиком зависимости скорости v_x от времени t может быть либо прямая ВС, либо прямая KF (рис. 1.10).

Обе прямые параллельны оси времени. Прямая ВС соответствует положительному значению скорости (v_1x > 0), а прямая KF — отрицательному значению (v_2x О, то изменение координаты первого тела Аx₁ = v_1xt₁ положительно. Поэтому и площади прямоугольника OBCD приписывается положительный знак. Скорость движения второго тела отрицательна: v_2x 0; прямая 2 — случаю, когда х₀₂ 0; а прямая 3 — случаю, когда х₀₃ > 0, v_3x

Скорость тела равна v_x = = -0,5 м/с, а модуль скорости v = 0,5 м/с.

Обратите внимание на то, что по графику зависимости x(t) можно судить о «прошлом» в движении тела, т. е. можно находить положения тела до начала отсчета времени при условии, что и до этого момента тело двигалось равномерно и прямолинейно с той же скоростью. Моменты времени до начала отсчета считаются отрицательными. Согласно рисунку 1.13 за 3 с до начала отсчета времени тело имело координату 4,5 м.

Все графики равномерного прямолинейного движения представляют собой прямые линии. Для их построения достаточно указать значения x(t) или s(t) для двух моментов времени.

1 В дальнейшем для краткости мы будем часто говорить: «график модуля скорости», «график проекции скорости» и т. д.

1. Равномерное прямолинейное движение — движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения. Слова «любые равные» означают, что за каждый час, за каждую минуту, за каждые 30 минут, за каждую секунду, за каждую долю секунды тело совершает одинаковые перемещения.

Равномерное движение — идеализация, поскольку практически невозможно создать такие условия, чтобы движение тела было равномерным в течение достаточно большого промежутка времени. Реальное движение может лишь приближаться к равномерному движению с той или иной степенью точности.

2. Изменение положения тела в пространстве при равномерном движении может происходить с разной быстротой. Это свойство движения — его «быстрота» характеризуется физической величиной, называемой скоростью.

Скоростью равномерного прямолинейного движения называют векторную физическую величину, равную отношению перемещения ко времени, за которое это перемещение произошло.

Если за время ​ ( t ) ​ тело совершило перемещение ​ ( vec ) ​, то скорость его движения ​ ( vec ) ​ равна ​ ( vec=frac<vec> ) ​.

Единица скорости: ( [,v,]=frac<[,s,]> <[,t,]>) ; ( [,v,]=frac<1,м><1,с>=1frac<м> <с>) . За единицу скорости принимается 1 м/с — скорость такого равномерного движения, при котором тело за 1 с совершает перемещение 1 м.

Зная скорость равномерного движения, можно найти перемещение за любой промежуток времени: ( vec=vect ) . Вектор скорости и вектор перемещения направлены в одну сторону — в сторону движения тела.

3. Поскольку основной задачей механики является определение в любой момент времени положения тела, т.е. его координаты, необходимо записать уравнение зависимости координаты тела от времени при равномерном движении.

Пусть ( vec ) — перемещение тела (рис. 11). Направим координатную ось ОХ по направлению перемещения. Найдем проекцию перемещения на координатную ось ОХ. На рисунке ​ ( x_0 ) ​ — координата начальной точки перемещения, ​ ( x ) ​ — координата конечной точки перемещения. Проекция перемещения равна разности координат конечной и начальной точек: ​ ( vec_x=x-x_0 ) ​. С другой стороны, проекция перемещения равна проекции скорости, умноженной на время, т.е. ( vec_x=vec_xt ) . Откуда ​ ( x-x_0=vec_xt ) ​ или ( x=x_0+vec_xt ) . Если начальная координата ​ ( x_0 ) ​ = 0, то ​ ( x=vec_xt ) ​.

Полученная формула позволяет определить координату тела при равномерном движении в любой момент времени, если известны начальная координата и проекция скорости движения.

Проекция скорости может быть как положительной, так и отрицательной. Проекция скорости положительна, если направление движения совпадает с положительным направлением оси ОХ (рис. 12). В этом случае ​ ( x>x_0 ) ​. Проекция скорости отрицательна, если тело движется против положительного направления оси ОХ (рис. 12). В этом случае ( x .

4. Зависимость координаты от времени можно представить графически.

Предположим, что тело движется из начала координат вдоль положительного направления оси ОХ с постоянной скоростью. Проекция скорости на ось ОХ равна 4 м/с. Уравнение движения в этом случае имеет вид: ​ ( x ) ​ = 4 м/с · ​ ( t ) ​. Зависимость координаты от времени — линейная. Графиком такой зависимости является прямая линия, проходящая через начало координат (рис. 13).

Для того чтобы её построить, необходимо иметь две точки: одна из них ​ ( t ) ​ = 0 и ​ ( x ) ​ = 0, а другая ​ ( t ) ​ = 1 с, ​ ( x ) ​ = 4 м. На рисунке приведён график зависимости координаты от времени, соответствующий данному уравнению движения.

Если в начальный момент времени координата тела ​ ( x_0 ) ​ = 2 м, а проекция его скорости ​ ( v_x ) ​ = 4 м/с, то уравнение движения имеет вид: ​ ( x ) ​ = 2 м + 4 м/с · ​ ( t ) ​. Это тоже линейная зависимость координаты от скорости, и её графиком является прямая линия, проходящая через точку, для которой ​ ( t ) ​ = 0, ​ ( x ) ​ = 2 м (рис. 14).

В том случае, если проекция скорости отрицательна, уравнение движения имеет вид: ( x ) ​ = 2 м – 4 м/с · ​ ( t ) ​. График зависимости координаты такого движения от времени представлен на рисунке 15.

Таким образом, движение тела может быть описано аналитически, т.е. с помощью уравнения движения (уравнения зависимости координаты тела от времени), и графически, т.е. с помощью графика зависимости координаты тела от времени.

График зависимости проекции скорости равномерного прямолинейного движения от времени представлен на рисунке 16.

5. Ниже приведён пример решения основной задачи кинематики — определения положения тела в некоторый момент времени.

Задача. Два автомобиля движутся навстречу друг другу равномерно и прямолинейно: один со скоростью 15 м/с, другой — со скоростью 12 м/с. Определите время и место встречи автомобилей, если в начальный момент времени расстояние между ними равно 270 м.

При решении задачи целесообразно придерживаться следующей последовательности действий:

1. Кратко записать условие задачи.
2. Проанализировать ситуацию, описанную в условии задачи:
   — выяснить, можно ли принять движущиеся тела за материальные точки;
   — сделать рисунок, изобразив на нём векторы скорости;
   — выбрать систему отсчёта — тело отсчёта, направления координатных осей, начало отсчёта координат, начало отсчёта времени; записать начальные условия (значения координат в начальный момент времени) для каждого тела.
3. Записать в общем виде уравнение движения в векторной форме и для проекций на координатные оси.
4. Записать уравнение движения для каждого тела с учётом начальных условий и знаков проекций скорости.
5. Решить задачу в общем виде.
6. Подставить в формулу значения величин и выполнить вычисления.
7. Проанализировать ответ.

Применим эту последовательность действий к приведённой выше задаче.

Дано: ​ ( v_1 ) ​ = 15 м/с ​ ( v_2 ) ​= 12 м/с ​ ( l ) ​= 270 м. Найти: ​ ( t ) ​ – ? ( x) ​ – ?

Автомобили можно считать материальными точками, поскольку расстояние между ними много больше их размеров и размерами автомобилей можно пренебречь

Система отсчёта связана с Землёй, ось ​ ( Ox ) ​ направлена в сторону движения первого тела, начало отсчёта координаты — т. ​ ( O ) ​ — положение первого тела в начальный момент времени.

Начальные условия: ​ ( t ) ​ = 0; ​ ( x_ <01>) ​ = 0; ( x_ <02>) = 270.

Уравнение в общем виде: ​ ( vec=vect ) ​; ​ ( x=x_0+v_xt ) .

Уравнения для каждого тела с учётом начальных условий: ​ ( x_1=v_1t ) ​; ​ ( x_2=l-v_2t ) ​. В месте встречи тел ​ ( x_1=x_2 ) ; следовательно: ​ ( v_1t=l-v_2t ) ​. Откуда ​ ( t=fraccdot t ) ​. Подставив значение времени в уравнение для координаты первого автомобиля, получим значение координаты места встречи автомобилей: ​ ( x ) ​ = 150 м.

ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ

Часть 1

1. Чему равна проекция скорости равномерно движущегося автомобиля, если проекция его перемещения за 4 с равна 80 м?

1) 320 м/с
2) 80 м/с
3) 20 м/с
4) 0,05 м/с

2. Чему равен модуль перемещения мухи за 0,5 мин., если она летит со скоростью 5 м/с?

1) 0,25 м
2) 6 м
3) 10 м
4) 150 м

3. Автомобиль «Рено» проезжает за 1 мин. путь 1,2 км. Автомобиль «Пежо» проезжает за 20 с путь 0,2 км. Сравните значения скорости «Рено» — ​ ( v_1 ) ​ и скорости «Пежо» — ( v_2 ) .

1) ​ ( v_1=v_2 ) ​
2) ​ ( v_1=2v_2 ) ​
3) ( 2v_1=v_2 )
4) ( 1,2v_1=10v_2 )

4. На рисунке приведена столбчатая диаграмма. На ней представлены значения пути, которые при равномерном движении пролетают за одно и то же время муха (1) и воробей (2). Сравните их скорости ​ ( v_1 ) ​ и ( v_2 ) .

1) ​ ( v_1=v_2 ) ​
2) ​ ( v_1=2v_2 ) ​
3) ( 3v_1=v_2 )
4) ( 2v_1=v_2 )

5. На рисунке приведён график зависимости модуля скорости равномерного движения от времени. Модуль перемещения тела за 2 с равен

1) 20 м
2) 40 м
3) 80 м
4) 160 м

6. На рисунке приведён график зависимости пути, пройденного телом при равномерном движении от времени. Модуль скорости тела равен

1) 0,1 м/с
2) 10 м/с
3) 20 м/с
4) 40 м/с

7. На рисунке приведены графики зависимости пути от времени для трёх тел. Сравните значения скорости ​ ( v_1 ) ​, ( v_2 ) и ( v_3 ) движения этих тел.

1) ​ ( v_1=v_2=v_3 ) ​
2) ( v_1>v_2>v_3 ) ​
3) ( v_1 ​
4) ​ ( v_1=v_2 ) , ( v_3

8. Какой из приведённых ниже графиков представляет собой график зависимости пути от времени при равномерном движении тела?

9. На рисунке приведён график зависимости координаты тела от времени. Чему равна координата тела в момент времени 6 с?

1) 9,8 м
2) 6 м
3) 4 м
4) 2 м

10. Уравнение движения тела, соответствующее приведённому в задаче 9 графику, имеет вид

1) ​ ( x=1t ) ​ (м)
2) ( x=2+3t ) (м)
3) ( x=2-1t ) (м)
4) ( x=4+2t ) (м)

11. Установите соответствие между величинами в левом столбце и зависимостью значения величины от выбора системы отсчёта в правом столбце. В таблице под номером элемента знаний левого столбца запишите соответствующий номер выбранного вами элемента правого столбца.

ВЕЛИЧИНА
A) перемещение
Б) время
B) скорость

ЗАВИСИМОСТЬ ОТ ВЫБОРА СИСТЕМЫ ОТСЧЁТА
1) зависит
2) не зависит

12. На рисунке приведён график зависимости координаты тела от времени. Какие выводы можно сделать из анализа графика? Укажите два правильных ответа.

1) тело двигалось все время в одну сторону
2) в течение четырёх секунд модуль скорости тела уменьшался, а затем увеличивался
3) проекция скорости тела все время была положительной
4) проекция скорости тела в течение четырёх секунд была положительной, а затем — отрицательной
5) в момент времени 4 с тело остановилось

Часть 2

13. Два автомобиля движутся друг за другом равномерно и прямолинейно: один со скоростью 20 м/с, другой — со скоростью 15 м/с. Через какое время второй автомобиль догонит первый, если в начальный момент времени расстояние между ними равно 100 м?