Содержание
- 1 Содержание
- 2 Булева логика [ править | править код ]
- 3 Синонимические импликации выражения в русском языке [ править | править код ]
- 4 Многозначная логика [ править | править код ]
- 5 Теория множеств [ править | править код ]
- 6 Классическая логика [ править | править код ]
- 7 Интуиционистская логика [ править | править код ]
- 8 Логика силлогизмов [ править | править код ]
- 9 Программирование [ править | править код ]
- 10 Эквивалентность
- 11 Строгая дизъюнкция
- 12 Логические формулы и функции Логическая формула
Импликация — бинарная логическая связка, по своему применению приближенная к союзам «если… то…».
Импликация записывается как посылка → следствие; применяются также стрелки другой формы и направленные в другую сторону (остриё всегда указывает на следствие).
Суждение, выражаемое импликацией, выражается также следующими способами:
Посылка является условием, достаточным для выполнения следствия;
Следствие является условием, необходимым для истинности посылки.
Переменные могут принимать значения из множества < 0,1 >. Результат также принадлежит множеству < 0,1 >. Вычисление результата производится по простому правилу, либо по таблице истинности. Вместо значений 0, 1 может использоваться любая другая пара подходящих символов, например false, true или F, T или "ложь", "истина".
Правило: результат равен 1 , если все операнды равны 1 ; во всех остальных случаях результат равен 0 .
Таблицы истинности:
прямая импликация (от a к b)
«Житейский» смысл импликации. Для более лёгкого понимания смысла прямой импликации и запоминания ее таблицы истинности может пригодиться житейская модель: А — начальник. Он может приказать «работай» (1) или сказать «делай что хочешь» (0). В — подчиненный. Он может работать (1) или бездельничать (0). В таком случае импликация — не что иное, как послушание подчиненного начальнику. По таблице истинности легко проверить, что послушания нет только тогда, когда начальник приказывает работать, а подчиненный бездельничает.
Импликация | |
---|---|
Не больше, IMPLY | |
Диаграмма Венна |
|
Определение | x → y <displaystyle x ightarrow y> |
Таблица истинности | ( 1011 ) <displaystyle (1011)> |
Логический вентиль | |
Нормальные формы | |
Дизъюнктивная | x ¯ + y <displaystyle <overline |
Конъюнктивная | x ¯ + y <displaystyle <overline |
Полином Жегалкина | 1 ⊕ x ⊕ x y <displaystyle 1oplus xoplus xy> |
Принадлежность предполным классам | |
Сохраняет 0 | Нет |
Сохраняет 1 | Да |
Монотонна | Нет |
Линейна | Нет |
Самодвойственна | Нет |
Импликация (от лат. implicatio — «связь») — бинарная логическая связка, по своему применению приближенная к союзам «если…, то…». Импликация записывается как посылка ⇒ <displaystyle Rightarrow > следствие; применяются также стрелки другой формы и направленные в другую сторону, но всегда указывающие на следствие. Суждение, выражаемое импликацией, выражается также следующими способами [1] [2] :
Импликация играет очень важную роль в умозаключениях. С её помощью формулируются определения различных понятий, теоремы, научные законы [3] . При учёте смыслового содержания высказываний импликация подразумевает причинную связь между посылкой и заключением [4] . СодержаниеБулева логика [ править | править код ]В булевой логике импликация — это функция двух переменных (они же — операнды операции, они же — аргументы функции). Переменные могут принимать значения из множества < 0 , 1 ><displaystyle <0,1>> . Результат также принадлежит множеству < 0 , 1 ><displaystyle <0,1>> . Вычисление результата производится по простому правилу, либо по таблице истинности. Вместо значений 0 , 1 <displaystyle 0,1> может использоваться любая другая пара подходящих символов, например false , true <displaystyle operatorname Импликация как булева функция ложна лишь тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно. Иными словами, импликация A → B <displaystyle A o B> это сокращённая запись для выражения ¬ A ∨ B <displaystyle «Житейский» смысл импликации. Для более лёгкого понимания смысла прямой импликации и запоминания её таблицы истинности может пригодиться житейская модель: А — начальник. Он может приказать «работай» (1) или сказать «делай что хочешь» (0). В — подчиненный. Он может работать (1) или бездельничать (0). В таком случае импликация — не что иное, как послушание подчиненного начальнику. По таблице истинности легко проверить, что послушания нет только тогда, когда начальник приказывает работать, а подчиненный бездельничает. обратная импликация (англ.) русск. (от b к a, A ∨ ( ¬ B ) <displaystyle Alor ( Обратная импликация — отрицание (негация, инверсия) обнаружения увеличения (перехода от 0 к 1, инкремента). отрицание (инверсия, негация) прямой импликации отрицание (инверсия, негация) обратной импликации (англ.) русск. ( ¬ A ∧ B <displaystyle lnot Aland B> ), разряд займа в двоичном полувычитателе. Другими словами, две импликации (прямая и обратная) и две их инверсии — это четыре оператора отношений. Результат операций зависит от перемены мест операндов. Синонимические импликации выражения в русском языке [ править | править код ]
Многозначная логика [ править | править код ]Теория множеств [ править | править код ]Импликация высказываний означает, что одно из них следует из другого. Импликация обозначается символом ⇒ <displaystyle Rightarrow > , и ей соответствует вложение множеств: пусть A ⊂ B <displaystyle Asubset B> , тогда x ∈ A ⇒ x ∈ B . <displaystyle xin ARightarrow xin B.> Например, если A <displaystyle A> — множество всех квадратов, а B <displaystyle B> — множество прямоугольников, то, конечно, A ⊂ B <displaystyle Asubset B> и (a — квадрат) ⇒ <displaystyle Rightarrow > (a — прямоугольник). (если a является квадратом, то a является прямоугольником). Классическая логика [ править | править код ]Можно доказать эквивалентность импликации A → B <displaystyle A Интуиционистская логика [ править | править код ]В интуиционистской логике импликация никоим образом не сводится к отрицаниям. Скорее напротив, отрицание ¬A можно представить в виде A → ⊭ <displaystyle A В интуиционистской теории типов импликации соответствует множество (тип) отображений из A в B. Логика силлогизмов [ править | править код ]В учении о силлогизмах импликации отвечает «общеутвердительное атрибутивное высказывание». Программирование [ править | править код ]В языках программирования импликация используется, как правило, неявно. Например, конструкция, предполагающая истинность условий B в данном участке программы: будет успешно выполняться тогда и только тогда, когда верна импликация A → B. В то же время эти условия можно спокойно написать в одной строке, объединив их оператором конъюнкции. При стандартных опциях компилятора (Delphi, C++ Builder) [ прояснить ] проверка идёт до тех пор, пока результат не станет очевидным, и если А ложно, то (А и В) ложно вне зависимости от В, и не нужно ставить ещё один условный оператор. В функциональных языках импликация может быть не только правилом вычислений, но и видом отношения между данными, то есть обрабатываться (в том числе и выполняться) и создаваться по ходу выполнения программы. Импликация или логическое следование соответствует обороту «если. то. », обозначается A→ B. Таблица истинности импликации имеет вид: Высказывание A→ B ложно в том и только в том случае, когда условие (первое высказывание A) истинно, а следствие (второе высказывание B) ложно. A = «Завтра будет хорошая погода» A→ B = «Если завтра будет хорошая погода, я пойду гулять» Другой пример сложного высказывания: «Если поезд прибывает на данный путь, то подается сигнал, что путь закрыт». A= « Поезд прибывает на данный путь» В= «Подается сигнал, что путь закрыт» Рассматриваемое сложное высказывание истинно, если: 1) поезд прибывает, сигнал «закрыт» (1, 1, 1); 2) поезд не прибывает, сигнал «свободен» (0, 0, 1); 3) поезд не пребывает, сигнал «закрыт» (0, 0, 1) – если поезд не пребывает, безопасен любой сигнал. Высказывание ложно (безопасность не обеспечивается) только в том случае, если поезд прибывает, а сигнал «свободен» (1, 0, 0). Операция импликации в русском языке является самой «загадочной». Ей соответствую также следующие речевые обороты: «из А следует В»; «В только в случае А»; «А влечет В»; «А достаточно для В»; «В необходимо для А». В обычной речи связка "если . то…" описывает причинно-следственную связь между высказываниями. Но в логических операциях смысл высказываний не учитывается. Рассматривается только их истинность или ложность. Поэтому не надо смущаться "бессмысленностью" импликаций, образованных высказываниями, совершенно не связанными по содержанию. Например, такими: "если президент США — демократ, то в Африке водятся жирафы", "если арбуз — ягода, то в бензоколонке есть бензин". ЭквивалентностьЭквивалентность (равноценность или равнозначность) соответствует оборотам речи «тогда и только тогда», «в том и только в том случае», «. равносильно . » и обозначается A↔B , или A≡B. Таблица истинности эквивалентности имеет вид: Выражение A↔B истинно в том и только в том случае, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны. Пример эквивалентности: «Петя выучит уроки тогда и только тогда, когда Пете поставят хорошую отметку». В русском языке операции эквивалентности также соответствует речевой оборот «A необходимо и достаточно B». Строгая дизъюнкцияСтрогая дизъюнкция или «исключающее или», соответствует оборотам речи «или. или. » или «либо. либо...», и обозначается AB . Таблица истинности эквивалентности имеет вид: Выражение AB истинно в том и только в том случае, когда исходные высказывания A и B не равны между собой. Это определение можно обобщить для любого количества логических переменных, объединенных строгой дизъюнкцией. Например, A B C = 1, (3) Логические формулы и функции Логическая формулаС помощью логических переменных и символов логических операций любое сложное (составное) высказывание можно записать в виде логической формулы. Её определение: Всякая логическая переменная и символы "истина" ("1") и "ложь" ("0") — формулы. Если А и В — формулы, то – тоже формулы. Никаких других формул в алгебре высказываний нет. Значение логической формулы определяется заданными значениями входящих в формулу переменных. Тем самым каждая формула может рассматриваться как способ задания функции в алгебре высказываний. |