0

Индийский царь захотел наградить изобретателя шахмат

a b c d e f g h
8 8
7 7
6 6
5 5
4 4
3 3
2 2
1 1
a b c d e f g h

Задача о зёрнах на шахматной доске — математическая задача, в которой вычисляется, сколько будет зёрен на шахматной доске, если класть на каждую следующую клетку доски вдвое больше зёрен, чем на предыдущую, начиная с одного.

Для её решения учтём, что доска имеет 64 клетки. При удвоении количества зёрен на каждой последующей клетке сумма зёрен на всех 64 клетках определяется выражением

T 64 = 1 + 2 + 4 + ⋯ + 2 63 = ∑ i = 0 63 2 i = 2 64 − 1 , <displaystyle T_<64>=1+2+4+cdots +2^<63>=sum _^<63>2^=2^<64>-1,>

Задача (и её вариации) демонстрирует высокую скорость роста экспоненциальных последовательностей.

Содержание

Истоки задачи [ править | править код ]

Хотя детали описания задачи в разных источниках отличаются, суть остаётся неизменной. По легенде [ источник не указан 637 дней ] , когда создатель шахмат (по одним данным [ источник не указан 637 дней ] — древнеиндийский математик, по другим [ источник не указан 637 дней ] — легендарный дравид велалар по имени Сесса или Сисса) показал своё изобретение правителю страны, тому так понравилась игра, что он дал изобретателю право самому выбрать награду. Мудрец попросил у короля за первую клетку шахматной доски заплатить ему одно зерно пшеницы (по другой версии [ источник не указан 637 дней ] — риса), за вторую — два, за третью — четыре и т. д., удваивая количество зёрен на каждой следующей клетке. Правитель, не разбиравшийся в математике, быстро согласился, даже несколько обидевшись на столь невысокую оценку изобретения, и приказал казначею подсчитать и выдать изобретателю нужное количество зерна. Однако, когда неделю спустя казначей всё ещё не смог подсчитать, сколько нужно зёрен, правитель спросил, в чём причина такой задержки. Казначей показал ему расчёты и сказал, что расплатиться невозможно, разве только осушить моря и океаны и засеять всё пространство пшеницей.

Количество зерна примерно в 1800 раз превышает мировой урожай пшеницы за год (в 2008-09 аграрном году урожай составил 686 млн тонн [1] ), то есть превышает весь урожай пшеницы, собранный за всю историю человечества. Количество зёрен составляет примерно 0,0031 % числа Авогадро. В единицах массы: если принять, что одно зёрнышко пшеницы имеет массу 0,065 грамма (Troy grain тройское зерно: 1 gr = 0,06479891 g [2] ), тогда общая масса пшеницы на шахматной доске составит 1200 миллиардов тонн или 1,2 триллиона тонн:

18446744073709551615 × 0,065 g ( 1000000 g / t ) ≈ 1 , 2 ⋅ 10 12 t . <displaystyle <frac <18446744073709551615 imes 0<,>065

<mathrm >.>

Варианты задачи [ править | править код ]

Есть похожая задача, в которой царь предлагает полководцу забирать каждый день монету в два раза большую предыдущей. Я. И. Перельман в своей книге «Живая математика» приводит следующий вариант задачи, сюжет которой, по его словам, позаимствован из «старинной латинской рукописи»: когда храбрый полководец вернулся в Рим из сражений, император спросил, какую плату он хочет за свою службу. Полководец запросил заоблачную сумму. Император, чтобы не прослыть скрягой или человеком, не держащим слово, предложил полководцу пойти на следующий день в казну и взять одну медную монету достоинством в один брасс (весом в пять грамм), через день — два брасса, потом четыре и т. д., пока тот сможет сам уносить полученные монеты (каждый день отливаются монеты нужного веса). Полководец, решив, что ему удастся легко разбогатеть, согласился. Однако на 18-й день он уже не смог унести монету и в результате получил только малую часть того вознаграждения, что просил у императора.

По другой версии, двое торговцев заключили соглашение о том, что в течение месяца первый будет давать второму по 10 000 долларов в день. Второй же должен возвращать первому в первый день один цент, во второй — два и т. д. Второй торговец согласился и первые три недели радовался доходам, но в конце месяца был полностью разорён, отдав всё своё состояние первому. Перельман приводит версию, согласно которой первый человек отдает не по 10 000, а по 100 000 в день (в русских денежных единицах), но результат от этого значительно не меняется.

Ещё в одной версии человек покупает коня, но недоволен ценой в 1000 рублей. Продавец ему предлагает платить не за коня, а за подковные гвозди, полушка за первый, две за второй, копейка за третий и так далее. Поскольку в каждой подкове по 6 гвоздей, покупатель вынужден заплатить более 40 000 рублей.

Вторая половина шахматной доски [ править | править код ]

В технологии стратегий «вторая часть шахматной доски» — фраза, придуманная Рэем Курцвайлем в отношении точки, в которой экспоненциальный рост фактора начинает оказывать существенное экономическое влияние на общую экономическую стратегию предприятия. В то время как количество зёрен на первой половине доски велико, количество на второй половине многократно его превышает. Количество зёрен на первой половине доски составляет 1 + 2 + 4 + … + 2 147 483 648 , всего 2 32 — 1 = 4 294 967 295 зёрен , или около 100 тонн риса при массе одного зёрнышка 25 мг [3] . Это примерно 1/1200000 от всего объёма риса, выращиваемого в Индии за год (данные за 2005 год) [4] .

Количество зерна на второй половине доски составляет 2 32 + 2 33 + 2 34 … + 2 63 = 2 64 — 2 32 зёрен риса . На одной только 64-й клетке доски будет 2 63 = 9 223 372 036 854 775 808 зёрен , более чем в 2 миллиарда раз больше, чем на всей первой половине доски. На всей доске будет 2 64 — 1 = 18 446 744 073 709 551 615 зёрен , их общая масса составит 461 168 601 842,738790375 тонн .

Есть два удивительных обстоятельства, связывающих счетные доски и игры переноса с возникновением чатуранги – родоначальницы шахмат.

  • Первое —это старинная легенда о награде изобретателю шахматной игры (чатуранги).
  • Второе —в общности философских и игровых идей нескольких четверных индийских игр, включая чатурангу, игру переноса "рума” (смотрите ниже – Буддийская "колесница" в индийских играх), игры нардового типа "чупур” и "тааям”, а также игру шашечного типа, на доске которой в Шри-Ланке и Индии дети играют "Леопард и стадо”, в Тибете – в игру "Два монаха”.
Читайте также:  Интересные приложения для эппл вотч

Легенда о награде изобретателю шахматной игры, проверка её методами древней математики.

В период арабского завоевания Ирана (7 век) появился ряд легенд об индийском происхождении шахмат. Самая известная из них об индийском царе Шераме-Шихране, который позвал к себе изобретателя шахматной игры, своего подданного Сету, чтобы наградить его за остроумную выдумку.

Давайте ознакомимся с популярной шахматной легендой и проведём её анализ с позиций индийской математики 4-5 -го века, то есть со времени реального появления этой игры. Она приводится не только в шахматной литературе, но и по праву в популярной математической литературе. В России данная легенда была впервые напечатана в журнале "Отечественные записки" 1839г. т.X, стр.12. в статье "Награда изобретателю шахматной игры". В последующем писатели передавали содержание этой статьи с незначительной разницей в деталях.

Индийский царь ознакомился с шахматами и поразился глубине идей и разнообразием событий в них. Узнав, что мудрец, придумавший эту чудесную игру, является его поданным, он решил позвать наградить его. Награда должна быть достойной властелина, а игра должна прославить не только страну, но и щедрость индийского царя. Властелин спросил мудреца,- какой награды он хочет? Изобретатель шахмат попросил зерна. Столько, сколько получится, если на первую клетку положить одно зерно, на вторую – в два раза больше, т.е. два зерна, на третью – снова в два раза больше, т.е. 4 зерна, и на каждую последующую клетку в два раза больше, чем на предыдущую, и так до 64-й клетки. Властелин приказал сосчитать и выдать положенное в награду зерно, сочтя такую награду ничтожной. Однако через некоторое время придворные математики доложили властелину, что не в состоянии выполнить просьбу мудреца, т.к. число зерен равно: 18.446.744.073.709.551.615 (!)

Надеюсь, читатель легко произнесёт вслух это двадцатизначное число зерен – 18446744073709551615 (18 квинтильонов 446 квадрильонов 744 триллиона 73 биллиона 709 миллионов 551 тысяча 615), чего мне не удалось сделать сразу. Такого количества зерна нельзя было собрать не только в амбарах властелина, но и во всем мире, и даже за всю историю человечества.

Попробуем ответить на два вопроса:

  • Могли ли индийские математики назвать это число?
  • Могли ли индийские математики правильно вычислить результат?

Дж. Неру в своей книге "Открытие Индии” писал: "В Индии имелось 18 специальных наименований (10 18 ) и встречались даже более длинные перечни. В сказании о раннем периоде учения Будды говорится, что он ввел наименование чисел для 10 50 ”. Бируни в 1030 году написал в книге "Индия”, что "названия всех разрядов счета до восемнадцатизначного числа даны в таблице:

Что касается употребления чисел в арифметике (у индийцев), то оно соответствует нашим обычаям. Я составил (особый) трактат о тех больших (чем у нас) достижениях в этой области, которые, быть может, у них имеются”.Бируни в своей книге пишет, что "некоторые индийцы утверждают, будто после парарадхи имеется еще девятнадцатый разряд, называемый бхури. и будто далее нет счета. Однако счет нескончаем, лишь условно можно установить его предел, который будет одновременно концом его разрядов. Похоже на то, что в этом выражении ("далее нет счета”) речь шла не о счете, а о названиях (разрядов счета)”. Необходимо признать, что в Индии существовали длинные перечни не только для десятичных разрядов. Позднее буден приведён перечень четверичных разрядов, которые реально использовались в Др. Индии для практических целей.

Следуя индийским названиям десятичных разрядов, напишем название числа из легенды. Непривычно звучит перечисление каждого разряда, но это факт!

18 бхури 4 парадха 4 антья 6 мадхья 7 самудра 4 шанку 4 махападва (0 никхарва) 3 кхарва 7 падма 7 ньярбуда (0 коти) 9 праюта 5 лакша 5 аюта 1 сахасрам 6 шатам 1 дашам 5 экам.

Попробуем сосчитать сами число зерен. Обозначим сумму зерен через S.
S = 1+ 2+2 2 +2 3 +2 4 +. +2 62 +2 63 .(1)
Умножим обе части записанного равенства на 2(знаменатель геометрической прогрессии) и получим:
2S= 2+2 2 +2 2 +2 3 +2 4 +. +2 62 +2 63 +2 64 .(2)
Вычтем почленно из 2-го равенства первое и проведем упрощения:
2S-S=(2+2 2 +2 2 +2 3 +2 4 +. +2 62 +2 63 +2 64 ) – (1+2+2 2 +2 3 +2 4 +. +2 62 +2 63 ).
S = 2 64 – 1.
Теперь компьютер выдаст результат, который можно получить и на счетной доске с лунками путем повторных сложений. В первых веках нашей эры (что соответствует времени изобретения шахмат) индийцы могли назвать приведенное выше число и могли вычислить его при помощи досок с лунками. Названия 18 разрядов соответствуют количеству счётных лунок, традиционно использовавшихся индийскими математиками. Для подсчётов по легенде количество лунок необходимо увеличить всего лишь до двадцати. Переход к десятичному счислению не требовал новой счетной доски и значительной переделки механизма переноса камней. Каждая счётная лунка могла заполняься до 9. При попадании десятого все камни вынимались,а один переносился в лунку старшего разряда. При вычитании из лунки вынимались камни, но при их нехватке в лунку добавляли десяток камней из резерва и при этом отнимали один из лунки старшего разряда. Использование десятичной системы счисления на досках требовало лишь увеличения набора счётных камней до 9 на каждую лунку.

Итак, анализ легенды об изобретателе шахматной игры и задаче о числе зерен за 64 клетки доски свидетельствует о том, что шахматный и математический фольклор не противоречит исторической действительности. К данной легенде необходимо относиться именно как к легенде, а не как к анекдоту. В Индии в начале 1-го тысячелетия умели возводить в квадрат и складывать большие числа. Для вычислений имелась традиция использования счетных досок, и даже специальные названия для десятичных разрядов. При дворах индийских махарадж существовала должность устроителя игр, в обязанности которого входило и изобретение новых игр. Изобретатель шахмат, безусловно, был математиком, но эту точку зрения способен подтвердить лишь анализ математического каркаса индийской шахматной игры, т.е. чатуранги

Тогыз-кумалак. Казахская игра – свидетельство зарождения десятеричной системы счисления

При переходе к десятичной системе на счётных досках изменился набор камней в сторону увеличения, так как для каждой разрядной лунки необходимо 9 камней. В связи с тем, что исторически счётные доски с лунками сопровождались играми переноса,мы вправе ожидать,что и десятичную счётную доску по традиции сопровождала игра. Самое интересное в том, что такая игра не только появилась, но и жива до сих пор. Это старинная казахская игра тогыз-кумалак.

Буддийская "колесница" в индийских играх.

Теперь обратимся к другой индийской игре, хорошо известной на территории бывшего СССР. Эта игра"Рума”. Появление этой игры, как упоминалось ранее, сопряжено с появлением чатуранги. Возможно даже, что изобретатель румы и чатуранги один и тот же человек, который был и математиком, и страстным игроком, и буддистом, и изобретателем игр. Рума представляется мне дхармачакрой – колесом судьбы. Играющих в руму можно назвать словами Николая Асеева "привязанными к колесу влачащихся дней и событий”. Одно малое колесо судьбы из 24 спиц: 4 колеса, вращающиеся в 4-х разных направлениях, замыкают еще один большой круг движения – большое колесо. У каждого игрока в руму по двадцать четыре шарика – ореха (помните: вибхидака) или раковины каури, по четыре в каждом из шести основных полей. Так как в руму играют 4 человека, то всего таких основных полей 4×6 = 24! (спицы большого колеса)

Читайте также:  Блок питания ноутбука уходит в защиту

В исходном положении игры рума круглые лунки по углам доски – это накопители. Их называют румами. Оказавшиеся в румах шарики более не участвуют в игре, как и в других играх переноса. Дополнительные удлиненные лунки в центре доски – это мусорные лунки. Они также исполняют роль накопителя, но для штрафных шариков. Игроки по очереди делают ход в направлении против часовой стрелки, перенося шарики по одному в лунку сначала по своим полям. затем по основным полям противника и т.д. Ход считается возможным только в том случае, если последний шарик не попадает на пустую лунку. Ход возможен, если последний шарик попадает в рум. Если один из игроков не может совершить ход, то он перекладывает один шарик из своего накопителя – рума в мусорную лунку, а ход пропускает. Выигрывает тот, кто первый избавится от всех шариков на своей стороне доски, хотя может иметь до 11 штрафных шариков в мусорной лунке. Получивший 12 штрафных шариков выбывает из игры, поэтому может выиграть и тот игрок, у которого все три соперника выбыли из-за штрафов.

Интерпретация игры Рума

Наличие "малых колес” и "большого колеса” – указывает на буддийскую идею "колесницы”. По буддийскому учению человек остается в кругу страданий и перерождений; чтобы достичь блаженства, он должен преодолеть пропасть, разделяющую "небесный град” от грешной земли. Следование учению Будды – это и есть колесница, способная перенести через поток жизни и прервать страдания. В Индии в течение многих веков до изобретения румы сложилось представление, что "движение светил в направлении юго-восток считается подобным движению колеса. Все планеты движутся на восток и движение их едино. И такова их цель в тысячах прошлых рождений”. О том, что доска для игры так же могла использоваться для счета, можно догадаться при ознакомлении с главой "Об индийской системе мер” в книге Бируни "Индия”. Вот цитата из книги Бируни:

Что касается сухих веществ [автор – речь о мерах объема для сыпучих веществ], то для них четыре палы – [одна] кудава, четыре кудавы – [одна] прастха, четыре прастхи – [одна] адхака. Для жидкостей: восемь пал – [одна] кудава, восемь кудав – [одна] прастха, четыре прастхи – [одна] адхака, четыре адхаки – [одна] дрона",- Бируни приводит меры веса, ссылаясь на книгу "Чарака – самхиту”. Я приведу лишь часть названий, исключая ряд промежуточных мер: "Четыре анди – одна маша, четыре маша – одна шана, четыре шана – одна карша (суварна), четыре суварны – одна пала, четыре палы – одна кудава, четыре кудавы – одна прастха, четыре прастхи – одна адхака, четыре адхаки – одна дрона".

Существование в Древней Индии разных систем мер, применение одних и тех же терминов по отношению к различным мерам – это возможно при использовании счетных досок с лунками, когда каждая лунка имеет определенное название. Тогда попадание камушка (ореха или раковины каури) в определенную лунку будет названо одним и тем же термином, несмотря на то, что подсчитываться может вес, объем сыпучих веществ, объем жидкости, расстояния, время. Например: термин "пала” в санскрите означает определенную единицу времени, равную приблизительно 24 секундам. Этот же термин "пала” применялся в Древней Индии как мера веса, как мера сыпучих тел, как мера объема жидкостей!

Итак, мы предположили, что доска Рума использовалась для расчетов. Это универсальная система счета идеально подходит для торговли. Для торговли с Румской землей, то есть с Византией. Название "Рум" на средневековом Востоке ассоциировалось с Малой Азией и Грецией и с названием Византии – "Восточной Римской империей".

Под влиянием индийской культуры, буддизма и торговли игры переноса распространялись по Юго-восточной Азии. Один комплект игры из Малайзии был подарен Государственному музею искусства народов Востока. Примечательно, что вместо круглых камушков в комплект игры джонгкак входят ракушки. В Древней Индии длительное время ракушки каури использовались в качестве денег. Эти красивые ракушки добывались у берегов Африки и доставлялись в Индию, благодаря торговле. После появления других денежных эквивалентов ракушки каури обесценились и стали использоваться для украшений и для игр на счётных досках, на тех самых, на которых эти ракушки считали за деньги. Игра из Малайзии подтверждает многовековые влияния африканской культуры (через Ирак – Иран – Индию) на удалённые страны Азии.

В Древнем Китае счетные доски с лунками не нашли применения по одной простой причине: для расчетов использовались счетные палочки! Отказ от лунок на счетной доске не означает отказ от позиционного принципа. Для распознавания разрядов счетные палочки раскладывались на доске в двух направлениях. Об этом методе написал китайский математик третьего века Сунь-цзы: ”В методах, которые употребляются при обычном счете, прежде всего [следует] познакомиться с разрядами: единицы вертикальны, десятки горизонтальны, сотни стоят, тысячи лежат, тысячи и десятки выглядят одинаково, десятки тысяч и сотни – тоже”. Сунь-цзы "Математический трактат”. Перевод Э.И.Березкиной. "Из истории физико-математических наук в станах Востока”, 1963, вып. 3, 23 . Слова Сунь-цзы о применении десятичной системы счисления в Китае напоминают мне один к одному о шумерской клинописи только для шестидесятеричной системы. Традиция использования счетных палочек в Китае воспрепятствовала проникновению в страну игр переноса, но может быть, благодаря этой традиции появилась "Книга перемен” и такие игры как домино и маджонг.

Читайте также:  Видеорегистратор mio какой выбрать

Компьютер и игры переноса.

В 1971 году в журнале "Наука и жизнь"№12 были опубликованы статьи "Игры и математика", "Машины играют в калах", в которых сотрудники Ленинградского Университета Андрей Аверьянович Аникеич, Гарольд Григорьевич Григорьев, спец. кор. Ю. Побожий рассказали об использовании древней игры для разработки компьютерных программ. Ученых привлекла в каллахе простота математической модели игры для целей програмирования. Игра в калах между машиной и человеком впервые показала,что компьютер может побеждать. В это время шахматные программы играли ещё слабо и не могли соревноваться с мастерами.

В настоящее время в интернете можно найти разные программы для игр переноса, если в поисковых системах ввести ключевые слова: "ВАРИ","МАНКАЛА","КАЛАХ".

Резюме:
Счётные доски с лунками, имевшие широкое распространение в древних цивилизациях, оставили после себя ряд игр на досках (с лунками, расположенными по тому же принципу, что и на счетных досках). Игры переноса являются ярким доказательством развития человеческой мысли более пяти тысяч лет назад, показывают развитие математики (разные системы счисления; математические действия, позиционные системы записи чисел) и применение систем измерения, привязанных к системе лунок счетных досок. Культура древних игр переноса переплелась с историей возникновения шахмат. Идея "дхармачакр” воплотилась и в игре переноса "рума” и в игре "чатуранга”. Надеюсь, что те читатели, которые интересуются в основном играми, теперь более ясно представляют, с чего началась история математики. По старинному изречению, как ребенок при рождении, так и начало математики — это чистая доска "tabula rasa”. Первым математиком был тот, кто первым положил на эту доску камушек "calculi”. Наши далекие предки несколько тысяч лет назад владели абстрактным мышлением и использовали его не только для выживания, но и для игры.

Эта древнеиндийская притча не просто интересна, но и полезна для всех новичков, стремящихся заработать в Интернете.
Вот она — поучительная для многих притча: Как изобретатель шахмат чуть не разорил индийского царя.

Притча об изобретателе шахмат, чуть не разорившем индийского царя.

В давние времена, в Индии, жил один умный человек; настолько умный, что однажды изобрёл игру в шахматы, позже завоевавшую весь мир, и ставшую игрой интеллектуалов.
Шахматы привлекли внимание самого индийского царя . Тот просто терял покой, пока вместе со всем своим двором не поучаствует в игре в шахматы.

Шахматы в древней Индии.

Надо сказать, в шахматы тогда играли не на настольной доске, а прямо на царском дворе.
Там расчерчивали большое шахматное поле из 64 клеток, и разыгрывали игру, больше похожую на захватывающее театрализованное представление.
Клетки были такие большие, что на них могли размещаться не только пешие воины, но и кони, и даже слоны, вместе со своими всадниками.
На очередное шахматное представление индийский царь пригласил и самого создателя шахмат.

Благодарность царя изобретателю шахмат.

Там, при всех знатных гостях и многочисленных придворных, царь похвалил умного человека и спросил, чем можно его отблагодарить за чудесную игру.
Изобретатель сказал, что ему ничего не нужно, разве что немного пшеничного зерна, чтобы не умереть от голода.
У царя склады просто ломились от зерна, поэтому он при всех собравшихся гостях пообещал обязательно выполнить просьбу умного человека, сумевшего порадовать его такой интересной игрой.

МИМОХОДОМ. А вот как играет в эту древнюю игру современный 3-летний малыш Миша Осипов в передаче Максима Галкина «Лучше всех!».

И ведь с кем сразился Миша? Да с самим Анатолием Карповым.

Во какое у нас растёт поколение!

А ещё новость: по радио слышала, что шахматы вводят в школу как новый предмет. Посмотрим, что из этого получится?

Хитрое условие изобретателя шахмат.

В ответ на вопрос царя: «Сколько же ему нужно пшеницы?», изобретатель немного задумался, а затем указал на первую шахматную клетку и попросил положить на неё одно зернышко. А на каждую последующую клетку он попросил класть в два раза больше зёрен, чем в предыдущую.
Слуги и счетоводы шаха, взяв чашку зерна, начали выполнять просьбу мудреца.
В первую клетку они положили 1 зерно, во вторую клетку — 2 зерна, в третью – 8 зёрен пшеницы, в четвёртую – 16, и так далее.


Но…случилась непредвиденное…

Мудрец разорил царя.

Чашка опустела уже через несколько клеток… Но и взятое затем ведро пшеницы, а, затем, и мешок с зерном быстро оказались пустыми…
Счет пошел уже не на зёрна, а на мешки. Но…пшеничные запасы царя стали быстро таять…

Объяснение современных математиков.

Скажем сразу, в этом нет ничего удивительного. Подсчёты, проведённые современными математиками, показали, что количество зерна на 64-ой клетке должно было бы оказаться в 1500 раз (. ) больше всех запасов пшеницы, собранных на всём земном шаре в самый урожайный год в наше время!


Куда до этой цифры зерновым запасам шахского двора?! Их и не должно было хватить.

Чем же закончилась древняя притча?

Создатель шахмат успокоил царя, что не нужно ему столько зерна, он лишь хотел привлечь внимание всех окружающих к математическим вычислениям.
Он показал всем силу геометрической прогрессии, когда последовательное умножение чисел всего лишь на 2 (не на 10!) приводит к умопомрачительно огромному числу.

Урок работающим в Интернете.

Всем желающим зарабатывать в Интернете эта притча даёт небольшой урок – не стоит игнорировать проекты, предлагающие порой выгоду на копейки, поскольку затем, в результате многократного преумножения, эти копейки могут превратиться в очень ощутимые цифры.
Разве не благодаря геометрической прогрессии богател мошенник Мавроди, а также быстро становились миллионерами современные гуру Интернета?

Так что, копейка не только рубль бережет, но и миллионы создаёт!

Как изобретатель шахмат чуть не разорил индийского царя

admin

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *