Содержание
Интеграл от синуса
(largeint
ormalsize <sin x,dx>= – cos x + C)
Интеграл от косинуса
(largeint
ormalsize <cos x,dx>= sin x + C)
Интеграл от синуса в квадрате
(largeint
ormalsize <<<sin >^2>x,dx> = largefrac
ormalsize – largefrac<1><4>
ormalsize sin <2x>+ C)
Интеграл от косинуса в квадрате
(largeint
ormalsize <<<cos >^2>x,dx> = largefrac
ormalsize + largefrac<1><4>
ormalsize sin <2x>+ C)
Интеграл от синуса в кубе
(largeint
ormalsize <<<sin >^3>x,dx> = largefrac<1><3>
ormalsize<cos ^3>x – cos x + C = largefrac<1><<12>>
ormalsizecos <3x>- largefrac<3><4>
ormalsize cos x + C)
Интеграл от косинуса в кубе
(largeint
ormalsize <<<cos >^3>x,dx> = sin x – largefrac<1><3>
ormalsize<sin ^3>x + C = largefrac<1><<12>>
ormalsizesin <3x>+ largefrac<3><4>
ormalsize sin x + C)
Интеграл от секанса
(largeint <frac<
ormalsize = largeint
ormalsize <sec x,dx>= ln left| < an left( <largefrac
ormalsize + largefrac<pi ><4>
ormalsize>
ight)>
ight| + C)
Интеграл от косеканса
(largeint <frac<
ormalsize = largeint
ormalsize <csc x,dx>= ln left| < an <largefrac
ormalsize>>
ight| + C)
Интеграл от секанса в квадрате
(largeint <frac<
ormalsize = largeint
ormalsize <<<sec >^2>x,dx> = an x + C)
Интеграл от косеканса в квадрате
(largeint <frac<
ormalsize = largeint
ormalsize <<<csc >^2>x,dx> = -cot x + C)
Интеграл от секанса в кубе
(largeint <frac<
ormalsize = largeint
ormalsize <<<sec >^3>xdx> = largefrac<<sin x>><<2<<cos >^2>x>>
ormalsize + largefrac<1><2>
ormalsizeln left| < an left( <largefrac
ormalsize + largefrac<pi ><4>>
ormalsize
ight)>
ight| + C)
Интеграл от косеканса в кубе
(largeint <frac<
ormalsize = largeint
ormalsize <<<csc >^3>xdx> = -largefrac<<cos x>><<2<<sin >^2>x>>
ormalsize + largefrac<1><2>
ormalsizeln left| < an largefrac
ormalsize>
ight| + C)
Интеграл от произведения синуса и косинуса
(largeint
ormalsize <sin xcos x,dx>= – largefrac<1><4>
ormalsizecos <2x>+ C)
Интеграл от произведения синуса в квадрате и косинуса
(largeint
ormalsize <<<sin >^2>xcos x ,dx> = largefrac<1><3>
ormalsize <sin^3>x + C)
Интеграл от произведения косинуса в квадрате и синуса
(largeint
ormalsize <<<cos >^2>xsin x ,dx> = -largefrac<1><3>
ormalsize <cos^3>x + C)
Интеграл от произведения квадратов синуса и косинуса
(largeint
ormalsize <<<sin >^2>x,<<cos >^2>x,dx> = largefrac
ormalsize – largefrac<1><<32>>
ormalsize sin <4x>+ C)
Интеграл от тангенса
(largeint
ormalsize < an x,dx>= – ln left| <cos x>
ight| + C)
(largeint
ormalsize <largefrac<<sin x>><<<<cos >^2>x>>
ormalsize dx> = largefrac<1><<cos x>>
ormalsize + C = sec x + C)
(largeint
ormalsize <largefrac<<<<sin >^2>x>><<cos x>>
ormalsize dx> = ln left| < an left( <largefrac
ormalsize + largefrac<pi ><4>
ormalsize>
ight)>
ight| – sin x + C)
Интеграл от тангенса в квадрате
(largeint
ormalsize <<< an >^2>x,dx> = an x – x + C)
Интеграл от котангенса
(largeint
ormalsize <cot x,dx>= ln left| <sin x>
ight| + C)
(largeint
ormalsize <largefrac<<cos x>><<<<sin >^2>x>>
ormalsize dx> = – largefrac<1><<sin x>>
ormalsize + C = – csc x + C)
Интеграл от котангенса в квадрате
(largeint
ormalsize <<<cot >^2>x,dx> = – cot x – x + C)
(largeint
ormalsize <largefrac<
ormalsize> = – largefrac<1><<sin x>>
ormalsize + ln left| < an left( <largefrac
ormalsize + largefrac<pi ><4>>
ormalsize
ight)>
ight| + C)
Подынтегральное выражение можно преобразовать из произведения тригонометрических функций в сумму
Рассмотрим интегралы, в которых подынтегральная функция представляет собой произведение синусов и косинусов первой степени от икса, умноженного на разные множители, то есть интегралы вида
(1)
Воспользовавшись известными тригонометрическими формулами
(2)
(3)
(4)
можно преобразовать каждое из произведений в интегралах вида (31) в алгебраическую сумму и проинтегрировать по формулам
(5)
(6)
Решение. По формуле (2) при
Применяя далее формулу (5), получим
Решение. По формуле (3) при 
получаем следующее преобразование подынтегрального выражения:
Применяя далее формулу (6), получим
Решение. По формуле (4) при 
получаем следующее преобразование подынтегрального выражения:
Применяя формулу (6), получим
Интеграл произведения степеней синуса и косинуса одного и того же аргумента
Рассмотрим теперь интегралы от функций, представляющих собой произведение степеней синуса и косинуса одного и того же аргумента, т.е.
(7)
В частных случаях один из показателей (m или n) может равняться нулю.
При интегрировании таких функций используется то, что чётную степень косинуса можно выразить через синус, а дифференциал синуса равен cos x dx (или чётную степень синуса можно выразить через косинус, а дифференциал косинуса равен – sin x dx ) .
Следует различать два случая: 1) хотя бы один из показателей m и n нечётный; 2) оба показателя чётные.
Пусть имеет место первый случай, а именно показатель n = 2k + 1 – нечётный. Тогда, учитывая, что
Подынтегральное выражение представлено в таком виде, что одна его часть – функция только синуса, а другая – дифференциал синуса. Теперь с помощью замены переменной t = sin x решение сводится к интегрированию многочлена относительно t. Если же только степень m нечётна, то поступают аналогично, выделяя множитель sinx, выражая остальную часть подынтегральной функции через cos x и полагая t = cos x . Этот приём можно использовать и при интегрировании частного степеней синуса и косинуса, когда хотя бы один из показателей – нечётный. Всё дело в том, что частное степеней синуса и косинуса – это частный случай их произведения: когда тригонометрическая функция находится в знаменателе подынтегрального выражения, её степень – отрицательная. Но бывают и случаи частного тригонометрических функций, когда их степени – только чётные. О них – следующем абзаце.
Если же оба показателя m и n – чётные, то, используя тригонометрические формулы
понижают показатели степени синуса и косинуса, после чего получится интеграл того же типа, что и выше. Поэтому интегрирование следует продолжать по той же схеме. Если же один из чётных показателей – отрицательный, то есть рассматривается частное чётных степеней синуса и косинуса, то данная схема не годится. Тогда используется замена переменной в зависимости от того, как можно преобразовать подынтегральное выражение. Такой случай будет рассмотрен в следующем параграфе.
Пример 4. Найти интеграл от тригонометрической функции
Решение. Показатель степени косинуса – нечётный. Поэтому представим 
и произведём замену переменной t = sin x (тогда dt = cos x dx ). Тогда получим
Возвращаясь к старой переменной, окончательно найдём
Пример 5. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Решение. Показатель степени косинуса, как и в предыдущем примере – нечётный, но больше. Представим 
и произведём замену переменной t = sin x (тогда dt = cos x dx ). Тогда получим
и получим
Возвращаясь к старой переменной, получаем решение
Пример 6. Найти интеграл от тригонометрической функции
Решение. Показатели степени синуса и косинуса – чётные. Поэтому преобразуем подынтегральную функцию так:
Во втором интеграле произведём замену переменной, полагая t = sin2x . Тогда (1/2)dt = cos2x dx . Следовательно,
Найти интеграл от тригонометрической функции самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 7. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Использование метода замены переменой
Метод замены переменной при интегировании тригонометрических функций можно применять в случаях, когда в подынтегральном выражении присутствует только синус или только косинус, произведение синуса и косинуса, в котором или синус или косинус – в первой степени, тангенс или котангенс, а также частное чётных степеней синуса и косинуса одного и того же аргумента. При этом можно производить перестановки не только sinx = t и sinx = t , но и tgx = t и ctgx = t .
Пример 8. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Решение. Произведём замену переменной: 
, тогда 
. Получившееся подынтегральное выражение легко интегрируется по таблице интегралов:
.
Возвращаясь к первоначальной переменной, окончательно получаем:
Пример 9. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Решение. Преобразуем тангенс в отношение синуса и косинуса:
.
Произведём замену переменной: 
, тогда 
. Получившееся подынтегральное выражение представляет собой табличный интеграл со знаком минус:
.
Возвращаясь к первоначальной переменной, окончательно получаем:
.
Пример 10. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Решение. Произведём замену переменной: 
, тогда 
.
Преобразуем подынтегральное выражение, чтобы применить тригонометрическое тождество 
:
Производим замену переменной, не забывая перед интегралом поставить знак минус (смотрите выше, чему равно dt ). Далее раскладываем подынтегральное выражение на множители и интегрируем по таблице:
.
Возвращаясь к первоначальной переменной, окончательно получаем:
.
Найти интеграл от тригонометрической функции самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 11. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Универсальная тригонометрическая подстановка
Универсальную тригонометрическую подстановку можно применять в случаях, когда подынтегральное выражение не подпадает под случаи, разобранные в предыдущих параграфах. В основном, когда синус или косинус (или и то, и другое) находятся в знаменателе дроби. Доказано, что синус и косинус можно заменить другим выражением, содержащим тангенс половины исходного угла следующим образом:
где 
.
Тогда 
.
Но заметим, что универсальная тригонометрическая подстановка часто влечёт за собой довольно сложные алгебраические преобразования, поэтому её лучше применять, когда никакой другой метод не работает. Разберём примеры, когда вместе с универсальной тригонометрической подстановкой используются подведение под знак дифференциала и метод неопределённых коэффициентов.
Пример 12. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Решение. Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Тогда 
.
Дроби в числителе и знаменателе умножаем на 
, а двойку выносим и ставим перед знаком интеграла. Тогда
Чтобы в результате преобразований прийти к табличному интегралу, попытаемся получить в знаменателе полный квадрат. Для этого умножим числитель и знаменатель подынтегрального выражения на 2. Применяем интегрирование подведением под знак дифференциала. Получим
К полученному результату преобразований можем теперь применить табличный интеграл 21. В результате получаем окончательное решение:
.
Пример 13. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Решение. Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Тогда 
.
Дроби в числителе и знаменателе умножаем на , а двойку выносим и ставим перед знаком интеграла. Тогда
.
Чтобы в результате преобразований прийти к табличному интегралу, попытаемся получить в знаменателе полный квадрат. Для этого умножим числитель и знаменатель подынтегрального выражения на 3. Применяем интегрирование подведением под знак дифференциала. Получим
К полученному результату преобразований можем теперь применить табличный интеграл 21. В результате получаем окончательное решение:
.
Пример 14. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Решение. Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Тогда
Используем метод неопределённых коэффициентов. Получим следующее подынтегральное выражение:
Чтобы найти коэффициенты, решим систему уравнений:
Используем подведение под знак дифференциала:
К последнему слагаемому применяем замену переменной 
, тогда 
. Получаем:
Преобразуем и вернём на место первоначальную переменную и окончательно получим решение:
Это пример для самостоятельного решения. В образце решения дважды последовательно использована вышеупомянутая формула.
Если под степенью находится неразложимый на множители квадратный трехчлен, то решение сводится к двучлену путем выделения полного квадрата, например:
.
Далее следует «безболезненная» линейная замена 
и получается знакомый интеграл
.
Что делать, если дополнительно в числителе есть многочлен? В этом случае используется метод неопределенных коэффициентов, и подынтегральная функция раскладывается в сумму дробей. Если такой интеграл встретится, смотрите учебник – там всё просто.
Интегрирование сложных тригонометрических функций
На уроке Интегралы от тригонометрических функций мы разобрали интеграл от тангенса в квадрате. В том примере для нахождения интеграла мы применяли тригонометрическую формулу
.
Интеграл от тангенса в четвертой, пятой степени (редко в более высоких степенях) решается с помощью этой же формулы!
Пример 15 Найти неопределенный интеграл
.
Идея решения подобных интегралов состоит в том, чтобы с помощью формулы 
«развалить» исходный интеграл на несколько более простых интегралов:
(1) Готовим подынтегральную функцию к применению формулы.
(2) Для одного из множителей используем формулу
(3) Раскрываем скобки и сразу же используем свойство линейности неопределенного интеграла.
(4) В первом интеграле используем метод подведения функции под знак дифференциала , во втором интеграле еще раз используем формулу
, в данном случае 
.
(5) Берём все три интеграла и получаем ответ.
Найти неопределенный интеграл
Это пример для самостоятельного решения.
Для котангенса существует аналогичная формула:
. Полное решение и ответ в конце урока.
Если возникли затруднения или недопонимание, следует вернуться к уроку Интегралы от тригонометрических функций . На вышеупомянутом уроке мы рассматривали универсальную тригонометрическую подстановку для решения определенного вида интегралов от тригонометрических функций. Недостаток универсальной тригонометрической подстановки заключается в том, что при её применении часто возникают громоздкие интегралы с трудными вычислениями. И в ряде случаев универсальной тригонометрической подстановки можно избежать! Рассмотрим еще один канонический пример – интеграл от единицы, деленной на синус:
Пример 17 Найти неопределенный интеграл
.
Здесь можно использовать универсальную тригонометрическую подстановку и получить ответ, но существует более рациональный путь. Приведём это решение с комментариями к каждому шагу:
(1) Используем тригонометрическую формулу синуса двойного угла
.
(2) Проводим искусственное преобразование: В знаменателе делим и умножаем на
.
(3) По известной формуле в знаменателе превращаем дробь в тангенс.
(4) Подводим функцию под знак дифференциала.
(5) Берём интеграл.
Пример 18 Найти неопределенный интеграл
.
Указание: Самым первым действием следует использовать формулу прив е дения
и аккуратно провести аналогичные предыдущему примеру действия.
Пример 19 Найти неопределенный интеграл
.
Ну, это совсем простой пример. Полные решения и ответы в конце урока.
Думаем, теперь ни у кого не возникнет проблем с интегралами:
и т.п.
В чём состоит идея метода? Идея состоит в том, чтобы с помощью тождественных преобразований и тригонометрических формул организовать в подынтегральной функции только тангенсы и производную тангенса
.
То есть, речь идет о замене:
.
В Примерах 17-19 мы фактически и применяли данную замену, но интегралы были настолько просты, что дело обошлось эквивалентным действием – подведением функции под знак дифференциала.
Примечание: аналогичные рассуждения можно провести и для котангенса.
Существует и формальное правило для применения вышеуказанной замены:
Если сумма степеней косинуса и синуса – целое отрицательное число, то интеграл можно свести к тангенсам и его производной .
Для интеграла 
– целое отрицательное число.
Для интеграла 
– целое отрицательное число.
Для интеграла 
– целое отрицательное число. Рассмотрим пару более содержательных примеров на это правило:
Пример 20 Найти неопределенный интеграл
.
Сумма степеней синуса и косинуса 
: 2 – 6 = –4 – целое отрицательное число, значит, интеграл можно свести к тангенсам и его производной:
(1) Преобразуем знаменатель.
(2) По известной формуле получаем 
.
(3) Преобразуем знаменатель.
(4) Используем формулу
(5) Подводим функцию под знак дифференциала.
(6) Проводим замену 
. Более опытные студенты замену могут и не проводить, но всетаки лучше заменить тангенс одной буквой – меньше риск запутаться.
Далее берётся простой интеграл и проводится обратная замена.
Пример 21 Найти неопределенный интеграл
.
Это пример для самостоятельного решения.
Пример 22 Найти неопределенный интеграл
.
В этом интеграле изначально присутствует тангенс, что сразу наталкивает на уже знакомую мысль:
Пара творческих примеров для самостоятельного решения:
Пример 23 Найти неопределенный интеграл
.
Пример 24 Найти неопределенный интеграл
.
Да, в них, конечно, можно понизить степени синуса, косинуса, использовать универсальную тригонометрическую подстановку, но решение будет гораздо эффективнее и короче, если его провести через тангенсы. Полное решение и ответы в конце урока.
Переходим к заключительному пункту путешествия в мир сложных интегралов:
Интеграл от корня из дроби
Интеграл, который мы рассмотрим, встречается достаточно редко, но я буду очень рад, если единственный пример данного параграфа вам поможет.
Корнями всё начиналось, корнями и закончится. Рассмотрим неопределенный интеграл:
, где a , b , c , d – числа. Считаем, что все эти числа и коэффициенты не равны нулю.
В подынтегральной функции у нас находится корень, а под корнем – дробь, в числителе и знаменателе которой располагаются линейные функции.
Метод стар – необходимо избавиться от корня. Стар и уныл, но сейчас станет веселее, поскольку придется проводить непростую замену.
Замена, с помощью которой мы гарантированно избавимся от корня, такова:
.
Теперь нужно выразить «икс» и найти, чему равен дифференциал dx . Выражаем «икс»:
Теперь найдем дифференциал:
Зачем были эти нелепые скучные телодвижения?
Мы вывели готовые формулы, которыми можно пользовать при решении интеграла вида
!
Формулы замены таковы:
.
Пример 25 Найти неопределенный интеграл
.
.
В данном примере: a =-1, b = 2, c = 3, d = 1. Тогда для dx имеем:
.
.
Такой интеграл, кстати, уже фигурировал в Примере 13. Интегрируем по частям:
Проведем обратную замену. Если изначально
,
.
Некоторым страшно, а я это продифференцировал, ответ верный! Иногда встречаются интегралы вида
, 
,
но это нужно быть либо слишком умным, либо попасть под раздачу.
Идея та же – избавиться от корня, причем во втором случае, как все догадались, следует проводить подстановку
.
и самостоятельно выводить, чему будет равняться дифференциал dx . Теперь вам практически любой интеграл по силам, успехов!
Решения и ответы:
Пример 2: Решение:
.
Интегрируем по частям:
.
.
Пример 6: Решение:
.
Интегрируем по частям:
Пример 8: Решение:
Дважды интегрируем по частям и сводим интеграл к самому себе:
Пример 10: Решение:
.
Пример 11: Решение:
Пример 12: Решение:
.
Пример 14: Решение:
Дважды используем рекуррентную формулу
Пример 16: Решение:
Пример 18: Решение:
.
