Используя определение предела последовательности доказать что

Содержание

1 Определение предела последовательности
2 Определение, что число a не является пределом
3 Эквивалентное определение предела последовательности
- 3.1 Доказательство равносильности определений
4 Примеры
5 1 ответ

Здесь мы рассмотрим определение конечного предела последовательности. Случай последовательности, сходящейся к бесконечности, рассмотрен на странице «Определение бесконечно большой последовательности».

Определение предела последовательности

ε – окрестность точки a – это открытый интервал ( a – ε, a + ε ). Сходящаяся последовательность – это последовательность, у которой существует предел . Также говорят, что последовательность сходится к a . Расходящаяся последовательность – это последовательность, не имеющая предела.

Из определения следует, что, если последовательность имеет предел a , то какую бы ε – окрестностью точки a мы не выбрали, за ее пределами может оказаться, лишь конечное число элементов последовательности, или вообще ни одного (пустое множество). А любая ε – окрестность содержит бесконечное число элементов. В самом деле, задав определенное число ε , мы, тем самым имеем число . Так что все элементы последовательности с номерами , по определению, находятся в ε – окрестностью точки a . Первые элементов могут находиться где угодно. То есть за пределами ε – окрестности может находиться не более элементов – то есть конечное число.

Также заметим, что разность вовсе не обязана монотонно стремиться к нулю, то есть все время убывать. Она может стремиться к нулю не монотонно: может то возрастать, то убывать, имея локальные максимумы. Однако эти максимумы, с ростом n , должны стремиться к нулю (возможно тоже не монотонно).

С помощью логических символов существования и всеобщности, определение предела можно записать следующим образом:
(1) .

Определение, что число a не является пределом

Теперь рассмотрим обратное утверждение, что число a не является пределом последовательности.

Число a не является пределом последовательности , если существует такое , что для любого натурального n существует такое натуральное m > n , что
.

Запишем это утверждение с помощью логических символов.
(2) .

Утверждение, что число a не является пределом последовательности, означает, что
можно выбрать такую ε – окрестность точки a , за пределами которой будет находиться бесконечное число элементов последовательности.

Рассмотрим пример. Пусть задана последовательность с общим элементом
(3)
Любая окрестность точки содержит бесконечное число элементов. Однако эта точка не является пределом последовательности, поскольку и любая окрестность точки также содержит бесконечное число элементов. Возьмем ε – окрестность точки с ε = 1 . Это будет интервал ( –1, +1) . Все элементы, кроме первого, с четными n принадлежат этому интервалу. Но все элементы с нечетными n находятся за пределами этого интервала, поскольку они удовлетворяют неравенству x_n > 2 . Поскольку число нечетных элементов бесконечно, то за пределами выбранной окрестности будет находиться бесконечное число элементов. Поэтому точка не является пределом последовательности.

Теперь покажем это, строго придерживаясь утверждения (2). Точка не является пределом последовательности (3), поскольку существует такое , так что, для любого натурального n , существует нечетное , для которого выполняется неравенство
.

Также можно показать, что любая точка a не может являться пределом этой последовательности. Мы всегда можем выбрать такую ε – окрестность точки a , которая не содержит либо точку 0, либо точку 2. И тогда за пределами выбранной окрестности будет находиться бесконечное число элементов последовательности.

Эквивалентное определение предела последовательности

Можно дать эквивалентное определение предела последовательности, если расширить понятие ε – окрестности. Мы получим равносильное определение, если в нем, вместо ε – окрестности, будет фигурировать любая окрестность точки a . Окрестности точки – это любой открытый интервал, содержащий эту точку. Математически окрестность точки определяется так: , где ε ₁ и ε ₂ – произвольные положительные числа.

Тогда эквивалентное определение предела будет следующим.

Предел последовательности – это такое число a , если для любой его окрестности существует такое натуральное число N , так что все элементы последовательности с номерами принадлежат этой окрестности.

Это определение можно представить и в развернутом виде.

Предел последовательности – это такое число a , если для любых положительных чисел и существует такое натуральное число N , зависящее от и , что для всех натуральных выполняются неравенства
.

Доказательство равносильности определений

Докажем, что, представленные выше, два определения предела последовательности равносильны.

Пусть число a является пределом последовательности согласно первому определению. Это означает, что имеется функция , так что для любого положительного числа ε выполняются неравенства:
(4) при .

Покажем, что число a является пределом последовательности и по второму определению. То есть нам нужно показать, что существует такая функция , так что для любых положительных чисел ε ₁ и ε ₂ выполняются неравенства:
(5) при .

Пусть мы имеем два положительных числа: ε ₁ и ε ₂ . И пусть ε – наименьшее из них: . Тогда ; ; . Используем это в (5):
.
Но неравенства выполняются при . Тогда и неравенства (5) выполняются при .

То есть мы нашли такую функцию , при которой выполняются неравенства (5) для любых положительных чисел ε ₁ и ε ₂ .
Первая часть доказана.

Теперь пусть число a является пределом последовательности согласно второму определению. Это означает, что имеется функция , так что для любых положительных чисел ε ₁ и ε ₂ выполняются неравенства:
(5) при .

Покажем, что число a является пределом последовательности и по первому определению. Для этого нужно положить . Тогда при выполняются неравенства:
.
Это соответствует первому определению с .
Равносильность определений доказана.

Примеры

Все примеры Здесь мы рассмотрим несколько примеров, в которых требуется доказать, что заданное число a является пределом последовательности. При этом нужно задать произвольные положительное число ε и определить функцию N от ε такую, что для всех выполняется неравенство .

Пример 1

Выпишем определение предела последовательности:
(1) .
В нашем случае ;
.

Вводим положительные числа и :
.
Воспользуемся свойствами неравенств. Тогда если и , то
.

То есть, для любого положительного , мы можем взять любое натуральное число, большее или равное :
.
Тогда
при .
Это означает, что число является пределом заданной последовательности:
.

Пример 2

Все примеры ⇑ С помощью определения предела последовательности доказать, что
.

Выпишем определение предела последовательности:
(1) .
В нашем случае , ;
.

Вводим положительные числа и :
.
Воспользуемся свойствами неравенств. Тогда если и , то
.

То есть, для любого положительного , мы можем взять любое натуральное число, большее или равное :
.
Тогда
при .
Это означает, что число является пределом последовательности :
.

Пример 3

Все примеры ⇑ Используя определение предела последовательности доказать, что
.

Вводим обозначения , .
Преобразуем разность:
.
Для натуральных n = 1, 2, 3, . имеем:
.

Выпишем определение предела последовательности:
(1) .
Вводим положительные числа и :
.
Тогда если и , то
.

То есть, для любого положительного , мы можем взять любое натуральное число, большее или равное :
.
При этом
при .
Это означает, что число является пределом последовательности :
.

Пример 4

Все примеры ⇑ Используя определение предела последовательности доказать, что
.

Выпишем определение предела последовательности:
(1) .
В нашем случае , ;
.

Вводим положительные числа и :
.
Тогда если и , то
.

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 12-07-2017 Изменено: 08-12-2017

Доброго времени суток!

Доказать через определение предела, подробнее, пожалуйста, т.к. не понимаю, что делать нужно.

lim x стремится к бесконечности (x^2+x+1)/(2x+5) = бесконечности
Lim x стремится к единице (x^4+2x^3+5) = 8
Lim x стремится к бесконечности (2x-1)/(x+3) = 2

Заранее спасибо ! 🙂

задан 19 Ноя ’13 12:40

1) разделите числитель и знаменатель на $%x$%. Числитель будет стремиться к бесконечности, знаменатель — к двум, т.е. частное тоже к бесконечности.

2) просто подставьте $%x=1$%.

3) числитель и знаменатель делим на $%x$% и применяем теорему о пределе частного: предел числителя равен 2, предел знаменателя равен 1.

Нужно доказать, а не решить, вот в чем проблема, с помощью, как я поняла определения Коши.

Слово "доказать" означает вывести из известных положений: аксиом, опредлений, лемм, теорем. Все перечисленные утверждения выводятся из теорем о пределах. Если же этими теоремами пользоваться не разрешено, то в условии задачи такая вещь должна быть явно оговорена. Рассуждения при этом становятся несколько более сложными, но возможно доказательство, опирающееся только на определение предела и на элементарные свойства неравенств. Если нужно, я по каждому пункту могу продемонстрировать, как это делается.

1 ответ

3) Докажем из определения, что $$limlimits_frac<2x-1>=2.$$ Рассмотрим разность $$2-frac<2x-1>=frac<7><2(x+3)>.$$ Мы хотим, чтобы эта величина стала по модулю меньше произвольно заданного положительного $%varepsilon$%, поэтому напишем желаемое неравенство и поймём, при каких $%x$% (достаточно больших по модулю) оно заведомо будет выполнено. Легко понять, что неравенство $$frac7 <2|x+3|>frac7<2varepsilon>$%. Это значит, что $%x+3 > frac7<2varepsilon>$% или $%x+3 3+frac7<2varepsilon>$%, то из свойств неравенств будет ясно, что для положительных $%x$% будет верно первое из условий (даже с "запасом"), а для отрицательных — второе условие. Тогда из определения предела следует доказываемый факт.

отвечен 19 Ноя ’13 15:46

falcao
242k ● 1 ● 34 ● 48

Если вас не затруднит, то напишите, пожалуйста, как это же доказательство нужно сделать, но для лимита равного не конкретному числу, как в этом примере числу 2, а бесконечности. А будет ещё лучше, если для оставшихся двух моих примеров, чтоб уж наверняка понимать как и что делать. Заранее спасибо 🙂

Это достаточно просто: пусть в примере 1 число $%x$% достаточно большое — например, $%xge5$%. Тогда знаменатель не превосходит $%3x$%, а числитель больше $%x^2$%. Сама дробь при этом больше $%x/3$%. Чтобы она оказалась больше заданного числа $%M$%, достаточно положить $%xge3M$%. Скажем, при $%xge3000$% значение дроби будет больше тысячи и т.п.

Пример 2 там тоже простой. Рассмотрим разность функции и значения предполагаемого предела. Получится $%(x^4-1)+2(x^3-1)$%. Выделим множитель $%x-1$% и посмотрим на то, что осталось. Там будет $%x^3+x^2+x+1+2(x^2+x+1)=x^3+3x^2+3x+3$%, хотя конкретный вид не так важен. Потребуем сначала, чтобы было $%|x-1| (20 Ноя ’13 17:30) falcao

Определение пределов последовательности и функции, свойства пределов, первый и второй замечательные пределы, примеры.

Постоянное число а называется пределом последовательности _n>, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε > 0 существует номер N, что все значения x_n_, у которых n>N, удовлетворяют неравенству

|x_n – a| N, лежат внутри интервала (a-ε , a+ε), т.е. попадают в какую угодно малую ε-окрестность точки а.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Понятие предел функции является обобщением понятия предел последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции x_n = f(n) целочисленного аргумента n.

Пусть дана функция f(x) и пусть a – предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a. Точка a может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.

Определение 1. Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→ a, если для всякой последовательности _n> значений аргумента, стремящейся к а, соответствующие им последовательности _n)> имеют один и тот же предел А.

Это определение называют определением предела функции по Гейне, или “на языке последовательностей”.

Определение 2. Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→a, если, задав произвольное, как угодно малое положительное число ε, можно найти такое δ >0 (зависящее от ε), что для всех x, лежащих в ε-окрестности числа а, т.е. для x, удовлетворяющих неравенству
0 » 2.7 – основание натурального логарифма. Формулы (6.10) и (6.11) носят название первый замечательного предело и второй замечательный предел.

Используются на практике и следствия формулы (6.11):

(6.12)

(6.13)

(6.14)

в частности предел,

Eсли x → a и при этом x > a, то пишут x →a + 0. Если, в частности, a = 0, то вместо символа 0+0 пишут +0. Аналогично если x→a и при этом x и называются соответственно предел справа и предел слева функции f(x) в точке а. Чтобы существовал предел функции f(x) при x→ a необходимо и достаточно, чтобы . Функция f(x) называется непрерывной в точке x, если предел

(6.15)

Условие (6.15) можно переписать в виде:

то есть возможен предельный переход под знаком функции, если она непрерывна в данной точке.

Если равенство (6.15) нарушено, то говорят, что при x = x_o функция f(x) имеет разрыв. Рассмотрим функцию y = 1/x. Областью определения этой функции является множество R, кроме x = 0. Точка x = 0 является предельной точкой множества D(f), поскольку в любой ее окрестности, т.е. в любом открытом интервале, содержащем точку 0, есть точки из D(f), но она сама не принадлежит этому множеству. Значение f(x_o)= f(0) не определено, поэтому в точке x_o = 0 функция имеет разрыв.

Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x_o, если предел

и непрерывной слева в точке x_o, если предел

Непрерывность функции в точке x_o равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно и справа и слева.

Для того, чтобы функция была непрерывна в точке x_o, например, справа, необходимо, во-первых, чтобы существовал конечный предел , а во-вторых, чтобы этот предел был равен f(x_o). Следовательно, если хотя бы одно из этих двух условий не выполняется, то функция будет иметь разрыв.

1. Если предел существует и не равен f(x_o), то говорят, что функция f(x) в точке x_o имеет разрыв первого рода, или скачок.

2. Если предел равен +∞ или -∞ или не существует, то говорят, что в точке x_o функция имеет разрыв второго рода.

Например, функция y = ctg x при x → +0 имеет предел, равный +∞ , значит, в точке x=0 она имеет разрыв второго рода. Функция y = E(x) (целая часть от x) в точках с целыми абсциссами имеет разрывы первого рода, или скачки.

Функция, непрерывная в каждой точке промежутка [a,b], называется непрерывной в [a,b]. Непрерывная функция изображается сплошной кривой.

Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, например, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и т.п.

Рассмотрим пример Я. И. Перельмана, дающий интерпретацию числа e в задаче о сложных процентах. Число e есть предел . В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100 ×1,5 = 150, а еще через полгода – в 150× 1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100 × (1 +1/3) 3 ≈ 237 (ден. ед.). Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:

100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (ден. ед.),

100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (ден. ед.),

100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (ден. ед.).

При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что предел

Пример 3.1. Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность x_n =(n-1)/n имеет предел, равный 1.

Решение. Нам надо доказать, что, какое бы ε > 0 мы ни взяли, для него найдется натуральное число N, такое, что для всех n > N имеет место неравенство |x_n -1| 0. Так как x_n -1 =(n+1)/n – 1= 1/n, то для отыскания N достаточно решить неравенство 1/n 1/ε и, следовательно, за N можно принять целую часть от 1/ε N = E(1/ε). Мы тем самым доказали, что предел .

Пример 3.2. Найти предел последовательности, заданной общим членом .

Решение. Применим теорему предел суммы и найдем предел каждого слагаемого. При n → ∞ числитель и знаменатель каждого слагаемого стремится к бесконечности, и мы не можем непосредственно применить теорему предел частного. Поэтому сначала преобразуем x_n, разделив числитель и знаменатель первого слагаемого на n 2 , а второго на n. Затем, применяя теорему предел частного и предел суммы, найдем:

Пример 3.3. . Найти .

Решение.

Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени равен степени от предела основания.

Пример 3.4. Найти ().

Решение. Применять теорему предел разности нельзя, поскольку имеем неопределенность вида ∞-∞. Преобразуем формулу общего члена:

Пример 3.5. Дана функция f(x)=2 1/x . Доказать, что предел не существует.

Решение. Воспользуемся определением 1 предела функции через последовательность. Возьмем последовательность < x_n >, сходящуюся к 0, т.е. Покажем, что величина f(x_n)= для разных последовательностей ведет себя по-разному. Пусть x_n = 1/n. Очевидно, что , тогда предел Выберем теперь в качестве x_n последовательность с общим членом x_n = -1/n, также стремящуюся к нулю. Поэтому предел не существует.

Пример 3.6. Доказать, что предел не существует.

Решение. Пусть x₁, x₂. x_n. – последовательность, для которой
. Как ведет себя последовательность _n)> = n > при различных x_n→ ∞

Если x_n= p n, то sin x_n= sin ( p n) = 0 при всех n и предел Если же
x_n=2 p n+ p /2, то sin x_n= sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 для всех n и следовательно предел . Таким образом, не существует.

Пример 3.7 Найти предел

Решение. Имеем: . Обозначим t = 5x. При x →0 имеем: t →0. Применяя формулу (3.10), получим .

Пример 3.8. Вычислить предел .

Решение. Обозначим y=π-x. Тогда при x→π, y→0. Имеем:

sin 3x = sin 3(π-y) = sin(3π-3y) = sin 3y.

sin 4x = sin 4(π-y) = sin (π4-4y)= – sin 4y.

_Предел

Пример 3.9. Найти предел .

Решение. Обозначим arcsin x=t. Тогда x=sin t и при x→0, t→0. .

Пример 3.10. Найти 1) ;

2) ;

3) .

1) Применяя теорему 1 предел разности и предел произведения, находим предел знаменателя: .

Предел знаменателя не равен нулю, поэтому, по теореме 1 предел частного, получаем:

2) Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю, т.е. имеет место неопределенность вида 0/0. Теорема о пределе частного непосредственно неприменима. Для “раскрытия неопределенности” преобразуем данную функцию. Разделив числитель и знаменатель на x-2, получим при x ≠ 2 равенство:

Так как предел , то, по теореме предел частного, найдем

3. Числитель и знаменатель при x &rarr ∞ являются бесконечно большими функциями. Поэтому теорема предел частного непосредственно не применима. Разделим числитель и знаменатель на x 2 и к полученной функции применим теорему предел частного: