0

Исследовать на непрерывность систему функций

Процесс исследования функции на непрерывность неразрывно связан с навыком нахождения односторонних пределов функции. Поэтому, чтобы приступить к изучению материала данной статьи, желательно предварительно разобрать тему предела функции.

Непрерывность функции в точке

Функция f ( x ) является непрерывной в точке x 0 , если предел слева равен пределу справа и совпадает со значением функции в точке x 0 , т.е.: lim x → x 0 – 0 f ( x ) = lim x → x 0 + 0 f ( x ) = f ( x 0 )

Данное определение позволяет вывести следствие: значение предела функции в точках непрерывности совпадает со значением функции в этих точках.

Дана функция f ( x ) = 1 6 ( x – 8 ) 2 – 8 . Необходимо доказать ее непрерывность в точке х 0 = 2 .

Решение

В первую очередь, определим существование предела слева. Чтобы это сделать, используем последовательность аргументов х n , сводящуюся к х 0 = 2 · ( х n 2 ) . Например, такой последовательностью может быть:

– 2 , 0 , 1 , 1 1 2 , 1 3 4 , 1 7 8 , 1 15 16 , . . . , 1 1023 1024 , . . . → 2

Соответствующая последовательность значений функций выглядит так:

f ( – 2 ) ; f ( 0 ) ; f ( 1 ) ; f 1 1 2 ; f 1 3 4 ; f 1 7 8 ; f 1 15 16 ; . . . ; f 1 1023 1024 ; . . . = = 8 . 667 ; 2 . 667 ; 0 . 167 ; – 0 . 958 ; – 1 . 489 ; – 1 . 747 ; – 1 . 874 ; . . . ; – 1 . 998 ; . . . → – 2

на чертеже они обозначены зеленым цветом.

Достаточно очевидно, что такая последовательность сводится к – 2 , значит lim x → 2 – 0 1 6 ( x – 8 ) 2 – 8 = – 2 .

Определим существование предела справа: используем последовательность аргументов х n , сводящуюся к х 0 = 2 ( х n > 2 ) . Например, такой последовательностью может быть:

6 , 4 , 3 , 2 1 2 , 2 1 4 , 2 1 8 , 2 1 16 , . . . , 2 1 1024 , . . . → 2

Соответствующая последовательность функций:

f ( 6 ) ; f ( 4 ) ; f ( 3 ) ; f 2 1 2 ; f 2 1 4 ; f 2 1 8 ; f 2 1 16 ; . . . ; f 2 1 1024 ; . . . = = – 7 . 333 ; – 5 . 333 ; – 3 . 833 ; – 2 . 958 ; – 2 . 489 ; – 2 . 247 ; – 2 . 247 ; – 2 . 124 ; . . . ; – 2 . 001 ; . . . → – 2

на рисунке обозначена синим цветом.

И эта последовательность сводится к – 2 , тогда lim x → 2 + 0 1 6 ( x – 8 ) 2 – 8 = – 2 .

Действиями выше было показано, что пределы справа и слева являются равными, а значит существует предел функции f ( x ) = 1 6 x – 8 2 – 8 в точке х 0 = 2 , при этом lim x → 2 1 6 ( x – 8 ) 2 – 8 = – 2 .

После вычисления значения функции в заданной точке очевидно выполнение равенства:

lim x → 2 – 0 f ( x ) = lim x → 2 + 0 f ( x ) = f ( 2 ) = 1 6 ( 2 – 8 ) 2 – 8 = – 2 что свидетельствует о непрерывности заданной функции в заданной точке.

Ответ: Непрерывность функции f ( x ) = 1 6 ( x – 8 ) 2 – 8 в заданной части доказано.

Устранимый разрыв первого рода

Функция имеет устранимый разрыв первого рода в точке х 0 , когда пределы справа и слева равны, но не равны значению функции в точке, т.е.:

lim x → x 0 – 0 f ( x ) = lim x → x 0 + 0 f ( x ) ≠ f ( x 0 )

Задана функция f ( x ) = x 2 – 25 x – 5 . Необходимо определить точки ее разрыва и определить их тип.

Решение

Сначала обозначим область определения функции: D ( f ( x ) ) ⇔ D x 2 – 25 x – 5 ⇔ x – 5 ≠ 0 ⇔ x ∈ ( – ∞ ; 5 ) ∪ ( 5 ; + ∞ )

В заданной функции точкой разрыва может служить только граничная точка области определения, т.е. х 0 = 5 . Исследуем функцию на непрерывность в этой точке.

Выражение x 2 – 25 x – 5 упростим: x 2 – 25 x – 5 = ( x – 5 ) ( x + 5 ) x – 5 = x + 5 .

Определим пределы справа и слева. Поскольку функция g ( x ) = x + 5 является непрерывной при любом действительном x , тогда:

lim x → 5 – 0 ( x + 5 ) = 5 + 5 = 10 lim x → 5 + 0 ( x + 5 ) = 5 + 5 = 10

Ответ: пределы справа и слева являются равными, а заданная функция в точке х 0 = 5 не определена, т.е. в этой точке функция имеет устранимый разрыв первого рода.

Неустранимый разрыв первого рода

Неустранимый разрыв первого рода также определяется точкой скачка функции.

Функция имеет неустранимый разрыв первого рода в точке х 0 , когда пределы справа и слева не являются равными, т.е.: lim x → x 0 – 0 f ( x ) ≠ lim x → x 0 + 0 f ( x ) . Точка х 0 здесь – точка скачка функции.

Задана кусочно-непрерывная функция f ( x ) = x + 4 , x – 1 , x 2 + 2 , – 1 ≤ x 1 2 x , x ≥ 1 . Необходимо изучить заданную функцию на предмет непрерывности, обозначить вид точек разрыва, составить чертеж.

Решение

Разрывы данной функции могут быть лишь в точке х 0 = – 1 или в точке х 0 = 1 .

Определим пределы справа и слева от этих точек и значение заданной функции в этих точках:

  • слева от точки х 0 = – 1 заданная функция есть f ( x ) = x + 4 , тогда в силу непрерывности линейной функции: lim x → – 1 – 0 f ( x ) = lim x → – 1 – 0 ( x + 4 ) = – 1 + 4 = 3 ;
  • непосредственно в точке х 0 = – 1 функция принимает вид: f ( x ) = x 2 + 2 , тогда: f ( – 1 ) = ( – 1 ) 2 + 2 = 3 ;
  • на промежутке ( – 1 ; 1 ) заданная функция есть: f ( x ) = x 2 + 2 . Опираясь на свойство непрерывности квадратичной функции, имеем: lim x → – 1 + 0 f ( x ) = lim x → – 1 + 0 ( x 2 + 2 ) = ( – 1 ) 2 + 2 = 3 lim x → 1 – 0 f ( x ) = lim x → 1 – 0 ( x 2 + 2 ) = ( 1 ) 2 + 2 = 3
  • в точке х 0 = – 1 функция имеет вид: f ( x ) = 2 x и f ( 1 ) = 2 · 1 = 2 .
  • справа от точки х 0 заданная функция есть f ( x ) = 2 x . В силу непрерывности линейной функции: lim x → 1 + 0 f ( x ) = lim x → 1 + 0 ( 2 x ) = 2 · 1 = 2
Читайте также:  Бесплатные программы для обновления драйверов windows 10

Ответ: в конечном счете мы получили:

  • lim x → – 1 – 0 f ( x ) = lim x → – 1 + 0 f ( x ) = f ( – 1 ) = 3 – это означает, что в точке х 0 = – 1 заданная кусочная функция непрерывна;
  • lim x → – 1 – 0 f ( x ) = 3 , lim x → 1 + 0 f ( x ) = 2 – таким образом, в точке х 0 = 1 определён неустранимый разрыв первого рода (скачок).

Нам остается только подготовить чертеж данного задания.

Разрыв второго рода (бесконечный разрыв)

Функция имеет разрыв второго рода в точке х 0 , когда какой-либо из пределов слева lim x → x 0 – 0 f ( x ) или справа lim x → x 0 + 0 f ( x ) не существует или бесконечен.

Задана функция f ( x ) = 1 x . Необходимо исследовать заданную функцию на непрерывность, определить вид точек разрыва, подготовить чертеж.

Решение

Запишем область определения функции: x ∈ ( – ∞ ; 0 ) ∪ ( 0 ; + ∞ ) .

Найдем пределы справа и слева от точки х 0 = 0 .

Зададим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к х 0 слева. К примеру:

– 8 ; – 4 ; – 2 ; – 1 ; – 1 2 ; – 1 4 ; . . . ; – 1 1024 ; . . .

Ей соответствует последовательность значений функции:

f ( – 8 ) ; f ( – 4 ) ; f ( – 2 ) ; f ( – 1 ) ; f – 1 2 ; f – 1 4 ; . . . ; f – 1 1024 ; . . . = = – 1 8 ; – 1 4 ; – 1 2 ; – 1 ; – 2 ; – 4 ; . . . ; – 1024 ; . . .

Очевидно, что эта последовательность является бесконечно большой отрицательной, тогда lim x → 0 – 0 f ( x ) = lim x → 0 – 0 1 x = – ∞ .

Тепереь зададим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к х 0 справа. К примеру: 8 ; 4 ; 2 ; 1 ; 1 2 ; 1 4 ; . . . ; 1 1024 ; . . . , и ей соответствует последовательность значений функции:

f ( 8 ) ; f ( 4 ) ; f ( 2 ) ; f ( 1 ) ; f 1 2 ; f 1 4 ; . . . ; f 1 1024 ; . . . = = 1 8 ; 1 4 ; 1 2 ; 1 ; 2 ; 4 ; . . . ; 1024 ; . . .

Эта последовательность – бесконечно большая положительная, а значит lim x → 0 + 0 f ( x ) = lim x → 0 + 0 1 x = + ∞ .

Ответ: точка х 0 = 0 – точка разрыва функции второго рода.

Примеры и условия непрерывности функции. Непрерывность в точке и на промежутке

На этом уроке будем учиться устанавливать непрерывность функции. Будем делать это с помощью пределов, причем односторонних – правого и левого, которые совсем не страшны, несмотря на то что записываются как и .

Но что такое вообще непрерывность функции? Пока мы не дошли до строгого определения, проще всего представить себе линию, которую можно начертить, не отрывая карандаш от бумаги. Если такая линия начерчена, то она непрерывна. Эта линия и является графиком непрерывной функции.

Графически функция непрерывна в точке , если её график не "разрывается" в этой точке. График такой непрерывной функции – показан на рисунке ниже.

Определение непрерывности функции через предел. Функция является непрерывной в точке при соблюдении трёх условий:

1. Функция определена в точке .

2. Существует предел функции в точке , при этом правый и левый пределы равны: . Правый и левый пределы вычисляются как предел вообще: в выражение функции вместо икса подставляется то, к чему стремится икс, причём вместе с плюс нулём при правом пределе и с минус нулём при левом пределе.

3. Предел функции в точке равен значению функции в этой точке:

А могут ли правый и левый пределы хоть когда-нибудь быть не равны, если к значению, к которому стремится икс, прибавляется или вычитается всего лишь нуль? Могут. Когда и почему – это объяснено на уроке о точках разрыва функции и их видах.

Если хотя бы одно из перечисленных условий не соблюдено, функция не является непрерывной в точке. При этом говорят, что функция терпит разрыв, а точки на графике, в которых график прерывается, называются точками разрыва функции. График такой функции , терпящей разрыв в точке x=2 – на рисунке ниже.

Пример 1. Функция f(x) определена следующим образом:

Будет ли эта функция непрерывной в каждой из граничных точек её ветвей, то есть в точках x = 0 , x = 1 , x = 3 ?

Решение. Проверяем все три условия непрерывности функции в каждой граничной точке. Первое условие соблюдается, так как то, что функция определена в каждой из граничных точек, следует из определения функции. Осталось проверить остальные два условия.

Точка x = 0 . Найдём левосторонний предел в этой точке:

.

Найдём правосторонний предел:

.

Предел функции и значение функции в точке x = 0 должны быть найдены при той ветви функции, которая включает в себя эту точку, то есть второй ветви. Находим их:

Читайте также:  Как войти на адрес электронной почты

.

Как видим, предел функции и значение функции в точке x = 0 равны. Следовательно, функция является непрерывной в точке x = 0 .

Точка x = 1 . Найдём левосторонний предел в этой точке:

.

Найдём правосторонний предел:

Предел функции и значение функции в точке x = 1 должны быть найдены при той ветви функции, которая включает в себя эту точку, то есть второй ветви. Находим их:

.

Предел функции и значение функции в точке x = 1 равны. Следовательно, функция является непрерывной в точке x = 1 .

Точка x = 3 . Найдём левосторонний предел в этой точке:

Найдём правосторонний предел:

Предел функции и значение функции в точке x = 3 должны быть найдены при той ветви функции, которая включает в себя эту точку, то есть второй ветви. Находим их:

.

Предел функции и значение функции в точке x = 3 равны. Следовательно, функция является непрерывной в точке x = 3 .

Основной вывод: данная функция является непрерывной в каждой граничной точке.

Установить непрерывность функции в точке самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 2. Установить, непрерывна ли функция в точке x = 2 .

Пример 3. Установить, непрерывна ли функция в точке x = 8 .

Непрерывное изменение функции можно определить как изменение постепенное, без скачков, при котором малое изменение аргумента влечёт малое изменение функции .

Проиллюстрируем это непрерывное изменение функции на примере.

Пусть над столом висит на нитке груз. Под действием этого груза нитка растягивается, поэтому расстояние l груза от точки подвеса нити является функцией массы груза m , то есть l = f(m) , m≥0 .

Если немного изменить массу груза, то расстояние l изменится мало: малым изменениям m соответствуют малые изменения l . Однако если масса груза близка к пределу прочности нити, то небольшое увеличение массы груза может вызвать разрыв нити: расстояние l скачкообразно увеличится и станет равным расстоянию от точки подвеса до поверхности стола. График функции l = f(m) изображён на рисунке. На участке этот график является непрерывной (сплошной) линией, а в точке он прерывается. В результате получается график, состоящий из двух ветвей. Во всех точках, кроме , функция l = f(m) непрерывна, а в точке она имеет разрыв.

Если речь идёт о косвенном измерении y путём измерения величины x , то слова "при малом изменении x величина y меняется мало", означают: "при малой ошибке в измерении x погрешность значения y мала". Точнее говоря, погрешность значения y можно сделать сколь угодно малой, если достаточно точно измерить значение x .

Величина погрешности измерения оценивается наибольшей допустимой ошибкой или, иначе говоря, точностью измерения. Если величина x измерена с точностью , то это означает, что отклонение полученного значения x от точного значения a меньше , то есть что . Таким образом, какая бы точность ни была задана, всегда можно добиться того, чтобы отклонение f(x) от f(a) было меньше, то есть . Добиться такой точности можно, выбрав x достаточно близким к a .

Из неравенства следует неравенство .

Вернёмся к примеру с висящим грузом. Для любого заранее указанного удлинения нити можно подобрать такое значение , что если масса дополнительной нагрузки меньше , то нить удлинится менее чем на .

Определение непрерывности функции через окрестность точки. Функция является непрерывной в точке a при соблюдении двух условий:

1) функция определена в некоторой окрестности точки a ;

2) для любого существует такое , что из следует (если отклонение x от a ) меньше , то отклонение f(x) от f(a) меньше .

Исследование функции на непрерывность может быть как самостоятельной задачей, так и одним из этапов полного исследования функции и построения её графика.

Непрерывность функции на промежутке

Примером непрерывной функции может служить любая из элементарных функций. Каждая элементарная функция непрерывна на любом отрезке, на котором она определена. Например, функции и непрерывны на любом отрезке [a, b] , функция непрерывна на отрезке [, b] , функция непрерывна на любом отрезке, не содержащем точку a = 2 .

Пример 4. Исследовать функцию на непрерывность.

Решение. Проверяем первое условие. Функция не определена в точках – 3 и 3. По меньшей мере одно из условий непрерывности функции на всей числовой прямой не выполняется. Поэтому данная функция является непрерывной на интервалах

Пример 5. Определить, при каком значении параметра a непрерывна на всей области определения функция

Решение.
Найдём левосторонний предел функции в точке :

.

Найдём правосторонний предел при :

.

Очевидно, что значение в точке x = 2 должно быть равно ax :

Ответ: функция непрерывна на всей области определения при a = 1,5 .

Пример 6. Определить, при каких значениях параметров a и b непрерывна на всей области определения функция

Решение.
Найдём левосторонний предел функции в точке :

Читайте также:  Вызов тко что это

.

Следовательно, значение в точке должно быть равно 1:

.

Найдём левосторонний функции в точке :

.

Очевидно, что значение функции в точке должно быть равно :

Ответ: функция непрерывна на всей области определения при a = 1; b = -3 .

Основные свойства непрерывных функций

К понятию непрерывной функции математика пришла, изучая в первую очередь различные законы движения. Пространство и время бесконечны, и зависимость, например, пути s от времени t , выраженная законом s = f(t) , даёт пример непрерывной функции f(t) . Непрерывно изменяется и температура нагреваемой воды, она также является непрерывной функцией от времени: T = f(t) .

В математическом анализе доказаны некоторые свойства, которыми обладают непрерывные функции. Приведём важнейшие из этих свойств.

1. Если непрерывная на интервале функция принимает на концах интервала значения разных знаков, то в некоторой точке этого отрезка она принимает значение, равное нулю. В более формальном изложении это свойство дано в теореме, известной как первая теорема Больцано-Коши.

2. Функция f(x) , непрерывная на интервале [a, b] , принимает все промежуточные значения между значениями в концевых точках, то есть, между f(a) и f(b) . В более формальном изложении это свойство дано в теореме, известной как вторая теорема Больцано-Коши.

3. Если функция непрерывна на интервале, то на этом интервале она достигает своего наибольшего и своего наименьшего значения: если m – наименьшее, а M – наибольшее значение функции на интервале [a, b] , то найдутся на этом отрезке такие точки и , что и . Теорема, в которой изложено это свойство, называется второй теоремой Вейерштрасса.

Пример 7. Используя первое из приведённых выше свойств непрерывных функций, доказать, что уравнение имеет по меньшей мере один вещественный корень в интервале [1; 2] .

Пусть .

Вычислим значения функции при x = 1 и x = 2 .

.

.

Получили, что функция на концах интервала принимает значения разных знаков:
и , т. е.

Следовательно, в интервале [1; 2] существует такое число a , при котором f(a) = 0 . То есть, уравнение имеет по меньшей мере один вещественный корень в данном интервале.

Установление непрерывности функции может быть как самостоятельной задачей, так и частью Полного исследования функции и построения графика.

Пример 8. Есть ли у уравнения хотя бы один вещественный корень?

Решение.
Функция определена на интервале .

Вычислим значения функции при x = 0 и .

.

.

Получили
и .

Следовательно, существует такое число a , при котором f(a) = 0 . Ответ на вопрос задачи: уравнение имеет по меньшей мере один вещественный корень.

Исследовать функцию на непрерывность и построить график

  • Попроси больше объяснений
  • Следить
  • Отметить нарушение

Sdasdsdsds 30.09.2019

Ответ

Проверено экспертом

Внимание!

В условии задачи опечатки. Одна исправлена, а вторая – нет. Запишем условие задачи правильно.

1) y(x) = x+1 при х 1.

Пошаговое объяснение:

Три разных участка графика.

1) y = х +1 – прямая линия.

Построение по двум точкам, Например,

у= х + 1 = 0 получаем х = 1

х = -4 и у = -4+1 = – 3.

Важно! При Х=-1 функция не существует – точку (-1;0) изображаем в виде кольца ("дырки").

Область значений этой части функции – Е(у)∈(-∞;0)

2) y = x² + 1 – парабола поднятая на единицу вверх.

Для построения графика вычислим пять точек.

а) при х = 0 и у(0) = 1

б) при х= ±0.5 функция y= 1/4 + 1 = 1.25.

в) при х= ±1 функция у = 1 + 1 = 2.

Здесь по краям области определения она существует – ставим "точки", .

3) y = 3/(1-x) – гипербола.

Деление на 0 недопустимо. Находим область определения функции – D(y) ∈(1;+∞)

При x=1 – разрыв – вертикальная асимптота – к ней стремится линия графика.

Построение графика по нескольким точкам.

При х = 1. 1, у = 3/(-0,1) = – 30 (вне рисунка).

х = 1,5, у = 3/(-0,5) = -6.

х = 7, у = 3/(-6) = – 0,5

Соединяем точки плавной линией.

График функции на рисунке в приложении.

На графике видно, что имеются два разрыва.

Если точки в разрыве имеют конечные значения – это разрыв первого рода – при Х = -1. Он неустранимый, так как значения рядом с точкой х = -1 разные.

При Х = +1 – разрыв II рода – там нет значений справа от Х = 1.

Слева от х = 1 функция у = 2, а справа от х = 1 равна -∞.

admin

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *