0

Изменение анализа носителя с использованием полиномов эрмита

В теории вероятностей полиномы Эрмита обычно определяются выражением:

;

в физике обычно используется другое определение:

.

Два определения, приведенные выше, не являются в точности эквивалентными друг другу; каждое из них является "отмасштабированной" версией другого

.

Явные выражения для первых десяти многочленов Эрмита приведены ниже (вероятностное определение):

.

Свойства

Ортогональность

Hn(x) — полином порядка n, где n = 0, 1, 2, 3, . Полиномы этой последовательности попарно ортогональны относительно скалярного произведения, задаваемого выражением:

(вероятностная версия)

(физическая версия)

где δnm — Символ Кронекера, по определению равный 1, когда n = m и нулю во всех остальных случаях.

Таким образом, многочлены Эрмита образуют отрогональный базис в Гильбертовом пространстве функций, ограниченных в соответствующей норме

.

Дифференциальное уравнение Эрмита

Многочлен Эрмита n-го порядка удовлетворяет дифференциальному уравнению Эрмита:

(в теории вероятностей) (в физике)

Рекурсивное выражение

Последовательность многочленов Эрмита допускает рекурсивное определение:

(в теории вероятностей) (в физике)

Применение

  1. Полиномы Эрмита применяются, в частности, в методе конечных элементов в качестве функций формы, что позволяет повысить гладкость получаемых приближенных решений.
  2. В квантовой механике полиномы Эрмита появляются при решении задачи квантового гармонического осциллятора

Ссылки

  • Weisstein, Eric W.Hermite Polynomial на сайте Wolfram MathWorld. (англ.)
  • Module for Hermite Polynomial Interpolation by John H. Mathews

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Полиномы Эрмита" в других словарях:

ЭРМИТА ФУНКЦИИ — специальные функции, удовлетворяющие ур нию Эрмита (С. Hermit) Частные решения (1) имеют вид При целом v>0 Э. ф. совпадают с полиномами Эрмита (см. Ортогональные полиномы). Интегральное представление, ф лу дифференцирования и рекуррентное… … Физическая энциклопедия

Полиномы — В математике, многочлены или полиномы от одной переменной функции вида где ci фиксированные коэффициенты, а x переменная. Многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций. Изучение полиномиальных уравнений и их решений… … Википедия

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ — системыполиномов , п =0, 1, . ортогональных с весом на интервале ( а, b): где квадрат нормы. Подобные системы возникают в разл. задачах матем. физики:в теории представлений групп, в вычислит. математике, при решении задачна собственные… … Физическая энциклопедия

Многочлен Эрмита — Многочлены Эрмита определенного вида последовательность многочленов одной вещественной переменной. Многочлены Эрмита возникают в теории вероятностей, в комбинаторике, физике. Эти многочлены названы в честь Шарля Эрмита. Содержание 1 Определение 2 … Википедия

Полином Эрмита — Многочлены Эрмита определенного вида последовательность многочленов одной вещественной переменной. Многочлены Эрмита возникают в теории вероятностей, в комбинаторике, физике. Эти многочлены названы в честь Шарля Эрмита. Содержание 1 Определение 2 … Википедия

Многочлены Эрмита — Многочлены Эрмита определённого вида последовательность многочленов одной вещественной переменной. Многочлены Эрмита возникают в теории вероятностей, в комбинаторике, физике. Эти многочлены названы в честь Шарля Эрмита. Содержание 1… … Википедия

Сплайн Эрмита — Кубический эрмитов сплайн сплайн, построенный из кубических полиномов с использованием эрмитовой интерполяции, в соответствии с которой интерполируемая функция задается не только своими значениями в n точках, но и ее первыми производными. Для… … Википедия

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ — замена по определенному правилу функции f(t).близкой к ней в том или ином смысле функцией j(t). из заранее фиксированного множества (приближающего множества). Предполагается, что функция f определена на том множестве Qm мерного евклидова… … Математическая энциклопедия

Эрмит, Шарль — Шарль Эрмит Шарль Эрмит (190 … Википедия

Шарль Эрмит — (фр. Charles Hermite; 24 декабря 1822, Дьёзе, Лотарингия, Франция 14 января 1901, Париж, Франция) французский математик. Основные работы в теории чисел, теории квадратичных форм, теории инвариантов, ортогональных многочленов, эллиптических… … Википедия

Аннотация научной статьи по строительству и архитектуре, автор научной работы — Тарасов Юрий Леонидович, Перов Сергей Николаевич, Чернякин Сергей Алексеевич

В статье приводится алгоритм, позволяющий связать заданный уровень надёжности конструкции с коэффициентом безопасности . Алгоритм изложен методически и легко реализуется при решении практических задач. При решении практической задачи о напряжённо-деформированном состоянии сопряжения цилиндрической оболочки со сферическим днищем через упругий шпангоут был использован метод интерполяционных полиномов . Получено минимальное значение коэффициента безопасности для рассмотренной задачи. Проведен анализ влияния рассеяния параметров поведения, свойств системы и параметра предельного состояния на значение минимального коэффициента безопасности . Указаны пути обеспечения заданного уровня вероятности безотказной работы .

Похожие темы научных работ по строительству и архитектуре , автор научной работы — Тарасов Юрий Леонидович, Перов Сергей Николаевич, Чернякин Сергей Алексеевич

ESTIMATION THE MINIMUM SAFETY COEFFICIENT WITH USING THE INTERPOLATION POLYNOMS METHOD

The algorithm allowing to connect the set level of reliability of a design with safety coefficient is given in article. The algorithm is stated methodically and is easily realized at the solution of practical tasks. At the solution of practical task on stress-strain state of interface of cylindrical shell with spherical bottom through the elastic bulkhead the method of interpolation polynoms was used. The minimum value of safety coefficient for the considered task is received. The analysis of influence of dispersion the parameters of behavior, properties of system and parameter of limit state on value of minimum safety coefficient is carried out. Ways of ensuring the set level of probability of failure-free operation are specified.

Текст научной работы на тему «Оценка минимального коэффициента безопасности с использованием метода интерполяционных полиномов»

ОЦЕНКА МИНИМАЛЬНОГО КОЭФФИЦИЕНТА БЕЗОПАСНОСТИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПОЛИНОМОВ

© 2014 Ю.Л. Тарасов, С.Н. Перов, С.А. Чернякин

Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королёва

Поступила в редакцию 09.12.2014

В статье приводится алгоритм, позволяющий связать заданный уровень надёжности конструкции с коэффициентом безопасности. Алгоритм изложен методически и легко реализуется при решении практических задач. При решении практической задачи о напряжённо-деформированном состоянии сопряжения цилиндрической оболочки со сферическим днищем через упругий шпангоут был использован метод интерполяционных полиномов. Получено минимальное значение коэффициента безопасности для рассмотренной задачи. Проведен анализ влияния рассеяния параметров поведения, свойств системы и параметра предельного состояния на значение минимального коэффициента безопасности. Указаны пути обеспечения заданного уровня вероятности безотказной работы.

Ключевые слова: коэффициент безопасности, метод интерполяционных полиномов, несущая способность, шпангоут, обечайка, вероятность, безотказная работа

Из-за недостаточной информации об эксплуатационных нагрузках и приближенного представления о значениях механических характеристик материала конструкции, определяющих его сопротивление внешним нагрузкам, основным методом оценки прочностной надежности до настоящего времени является назначение запасов прочности [1, 2]. Значение этих запасов принимаются в зависимости от стабильности условий нагружения, справочных данных о механических характеристиках, уровня технологии и ряда других факторов. Допустимые значения запасов прочности назначают с учётом инженерного опыта создания подобных конструкций. До настоящего времени отсутствуют теоретическое и экспериментальное обоснования составляющих запаса прочности, не учитывается стохастическая природа действующих квазистатических и циклических нагрузок и характеристик используемых конструкционных материалов, что приводит к существенному увеличению металлоемкости конструкций и назначению неоправданно высоких значений коэффициентов безопасности.

Тарасов Юрий Леонидович, доктор технических наук, профессор кафедры космического машиностроения. E-mail: proch@ssau.ru

Читайте также:  Делаем консоль своими руками

Перов Сергей Николаевич, доктор технических наук, доцент кафедры космического машиностроения. Email: perov@imi-samara.ru Чернякин Сергей Алексеевич, аспирант

Нормативный подход имеет и недостатки. Во-первых, наблюдается традиционность в проектировании. Из-за этого нередко нормативные материалы превращаются в своего рода тормоз на пути совершенствования показателей металлоемкости конструкции. Во-вторых, наблюдается нарушение системного подхода к проблеме. При этом нормативные материалы не охватывают весь комплекс вопросов, связанных с оценкой потребных значений несущей способности, а ограничиваются регламентацией лишь некоторых из них. В существующих материалах основных отраслей техники отсутствуют явные количественные связи нормативных нагрузок и соответствующих поправочных коэффициентов с потребной надежностью конструкций в целом и их частей. В сущности, при таком подходе уровень надежности конструкций оценивается лишь качественно. В-третьих, при реализации детерминистического нормативного подхода не может быть в полном объеме учтено разнообразие условий эксплуатации конструкций, сочетание различных факторов, статистический разброс механических свойств материала, геометрических параметров, начальная дефектность элементов конструкции. Указанные обстоятельства обусловливают повышение удельного веса вероятностных моделей при обеспечении прочности и надёжности.

Статистическая интерпретация нормативных расчетов основана на моделях, использующих элементарные понятия теории вероятностей.

Эти модели вполне применимы, если нагруже-ние представляет собой единичный дискретный акт или последовательность таких актов и можно исключить из рассмотрения временные эффекты, процессы накопления повреждений и т.п. С некоторыми оговорками эти модели могут быть использованы также для нагрузок, непрерывно развертывающихся во времени, если в расчеты ввести распределение максимальных значений нагрузок на всем рассматриваемом отрезке времени.

Установим связь между показателями уровня прочностной надежности, т.е. вероятности безотказной работы, с традиционным для детерминированных прочностных расчетов коэффициентом безопасности / с учетом рассеивания значений тех параметров, которые используются в вычислениях. Установим связь между уровнем прочностной надёжности (вероятности безотказной работы) и традиционными для прочностных детерминистических расчётов коэффициентами безопасности, а также запасами прочности при учёте рассеяния параметров, входящих в расчёт. Условие прочности для элемента конструкции записывается в виде:

где Ятт – уинимальная несущая способность, ^ртах – максимальная расчётная нагрузка.

Для элементов конструкций летательных аппаратов максимальная расчётная нагрузка представляется в виде

здесь N’max – максимальная эксплуатационная нагрузка,/- коэффициент безопасности.

В статической постановке связь расчётных (нормативных) величин с учётом рассеяния со статическими характеристиками устанавливается с помощью зависимостей:

Коэффициенты вариации величин записываются следующим образом:

Рис. 1. Плотности распределения нагрузки/К(х) и несущей способности/^)

Учитывая (3)-(6) получим новое выражение для коэффициента избытка прочности (1):

Я -а.^к Я _ 1 Я 1 -ак я

/ (N + aN&NN) fN 1 + aNN^

Введём условный коэффициент избытка прочности, соответствующий отношению средних величин N и Я :

Запишем выражение коэффициента избытка прочности п с учётом (7) и (8)

Здесь N, Я – средние значения нагрузки N и несущей способности Я, aN, ая – доли отклонения расчётных величин ^^ Ятт от соответствующих значений N и Я, выраженные в долях среднего квадратического отклонения, ¿к, -среднеквадратические отклонения величин N и Я . На рис. 1 представлены плотности распределения нагрузки N и несущей способности Я.

Гауссова мера надёжности находится следующим образом:

С учётом (5), (6) и (8) имеем:

Установим вероятность безотказной работы. При нормальном законе распределения величин N и R вероятность безотказной работы конструкции H можно определить по таблицам функций нормального распределения:

Формулы (9) и (10) дают возможность связать традиционный коэффициент безопасности f с вероятностью безотказной работы Н. Для этого выражение (10) разрешается относительно цусл:

По заданным статистическим характеристикам нагрузки N и несущей способности R, учитывающим рассеяние этих параметров, можно решать две задачи: определить вероятность безотказной работы конструкции H (11) и условный коэффициент избытка прочности цусл (12); на основании формулы (9) найти минимальное значение коэффициента безопасности, обеспечивающее заданное значение вероятности безотказной работы H конструкции:

статистической динамики. Одним из таких методов является метод интерполяционных полиномов [3].

Рассмотрим применение изложенного выше подхода совместно с использованием метода интерполяционных полиномов к задаче об оценке минимального коэффициента безопасности при анализе напряжённо-деформированного состояния стыка днища топливного бака ракеты-носителя с обечайкой, подкреплённого шпангоутом. На рис. 2 представлено поперечное сечение шпангоута и примыкающие к нему участки днища и обечайки.

приняв минимально допустимое значение коэффициента избытка прочности.

Для сравнительно простых систем, для которых параметр поведения системы получается оценить с помощью простых формул, для отыскания минимального значения f используется метод линеаризации. Для сложных вырожденных систем, где связь между характеристиками системы, параметром внешней нагрузки и параметром поведения системы не получается выразить в явном виде, используются методы

Рис. 2. Схема рассматриваемой конструкции

Первым этапом решения этой задачи является выполнение детерминированного расчёта. В качестве исходных данных для анализа напряжённо-деформированного состояния элемента бака ракеты-носителя берутся значения мат. Ожиданий, приведенных в табл. 1 величин. Для расчёта целесообразно воспользоваться методом конечных элементов. В качестве программного пакета можно использовать пакет А№У8, позволяющим в дальнейшем реализовать метод интерполяционных полиномов с помощью удобного встроенного языка программирования АРОЬ. Данный программный пакет позволяет выявить опасное сечение, в котором достигаются наибольшие напряжения (рис. 2).

Далее проводится решение задачи статистической динамики для вырожденных систем методом интерполяционных полиномов. В качестве параметра внешнего воздействия берётся давление наддува, действующего в баке ракеты-носителя. В качестве свойств системы принимаются модуль упругости материала E, толщина обечайки ¿об., толщина днища ¿дн., радиус обечайки Rоб., геометрические характеристики шпангоута А и /2. За параметр, характеризующий предельное состояние конструкции при котором не происходит её разрушения принимается условный предел текучести а0,2. Законы

распределения и числовые характеристики указанных случайных величин приведены в табл. 1.

25.7204 73.739Е 131.751 Ж 131.763 237.771 _52.2341_105.246_153^57_211.265_264.28

Рис. 2. Опасное сечение элемента конструкции бака ракеты-носителя

В качестве параметра, характеризующего поведение системы, можно принять эквивалентное напряжение, определяемое по одной из теории прочности. В рассматриваемом случае для этих целей выбирается напряжение по Мизесу (или эквивалентное напряжение по теории прочности энергии формоизменения):

здесь о1>о2>о3 – главные напряжения.

Для вычисления минимального значения коэффициента безопасности, обеспечивающего

Следует иметь ввиду, что это значение коэффициента безопасности обеспечивает тот уровень вероятности безотказной работы конструкции, который соответствует гауссовой мере надёжности у. В рассматриваемом примере она взята равной 3,72, что соответствует уровню вероятности безотказной работы Н=0,9999.

заданный уровень надёжности, методом интерполяционных полиномов следует выполнить следующие шаги:

1. Определяются законы распределения случайных входных величин и их вероятностные характеристики, а также задаётся потребный уровень надёжности (задаётся Гауссова мера надёжности у, соответствующая потребному уровню надёжности Н);

2. Для каждой конкретной реализации входных случайных величин с использованием программного пакета А№У8 определяется напряжённое состояние в наиболее опасном сечении. Выполнив q решений, находятся q реализаций выходного параметра;

3. Проводится статистическая обработка полученных результатов в соответствии с методом интерполяционных полиномов. Определяется математическое ожидание, дисперсия, коэффициенты вариации параметра поведения системы.

4. Определяется условный коэффициент безопасности в соответствии с формулой:

5. Определяется коэффициент безопасности, полагая ц=1 по формуле:

Коэффициенты „ и ао1ЬЕе. характеризующие степень рассеяния случайных величин в долях среднего квадратического отклонения взяты по единице.

Изложенный алгоритм достаточно просто реализуется в том же программном пакете А№У8, в котором производится расчёт

Таблица 1. Параметры распределения

Случайная Закон рас- Математическое Среднее квадратиче-

величина пределения ожидание ское отклонение

V нормальный = 0,45 МПа 5р = 0,0067 мш

Е нормальный (Е) = 7 ■ 104 МПа 5е = 0,1 (Е) МПа

8*6. равномерный (6о5) = 5,5 мм Ч* ^ мм

Ят равномерный Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

¿1 равномерный = 163,8 мм 5’1 = °’3ММ

^оВ. равномерный = 1324,7мм = 0,3 ■ ■: : мм

напряжённо-деформированного состояния конструкции. Это возможно с помощью средств встроенного языка программирования APDL. Представленный выше алгоритм можно изобразить в виде блок-схемы, показанной на рис. 3. В табл. 2 приведены результаты, полученные

Читайте также:  Игры с кучей возможностей

методом интерполяционных полиномов, при выборе по два и по три узла интерполяции для каждой случайной величины. Видно, что сходимость метода достигается уже при использовании двух узлов интерполяции.

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ К РАСЧЕТУ

Задание Гауссовой меры надёжности, обеспечивающей требуемый уровень вероятности безотказной работы

—► Оценка условного коэффициента запаса прочности

Оценка коэффициента минимального коэффициента безопасности, обеспечивающего заданный уровень вероятности безотказной работы

Рис. 3. Блок-схема Таблица 2. Результаты расчёта

Число узлов Напряжения по Мизесу Коэффициент безопасности

математическое ожидание, МПа среднее квадратиче-ское отлонение, МПа

2x2x2x2x2x2x2 264,1513 18,8945 1,05895

3x3x3x3x3x3x3 264,3782 19,0878 1,05905

1. Необходимо иметь достоверную и наиболее полную информацию по вероятностным характеристикам свойств системы, параметров

предельного состояния и параметров внешних воздействий, как на этапе изготовления изделия, так и на этапе его эксплуатации.

2. Обеспечивать заданную вероятность безотказной работы можно двумя путями: а) добиваться меньшего рассеяния значений параметров свойств системы, параметров предельного состояния и параметров внешних воздействий (т.е. значения случайных величин должны лежать в меньшем диапазоне коэффициентов а), что в свою очередь приводит к ужесточению условий эксплуатации и технологии изготовления изделия; второй путь заключается в снижении параметра поведения системы, либо в повышении параметра предельного состояния. Добиться этого можно изменяя конструктивные параметры, физико-механические свойства и/или параметры внешнего воздействия.

3. Метод интерполяционных полиномов является эффективным средством решения задачи об определении минимального значения коэффициента безопасности, соответствующего заданному уровню безотказной работы конструкции. Это обусловлено малым числом реализаций случайных величин при достаточной для инженерных расчётов точности, а также возможностью и

удобством численной реализации данного метода.

В заключении следует отметить, что изложенный в данной статье подход для оценки минимального коэффициента безопасности применим для широко круга инженерно-технических систем и позволяет не только получать нижнюю границу коэффициентов безопасности, но и анализировать пути и методы повышения вероятности безотказной работы различных изделий.

1. Надёжность и эффективность в технике: Справочник в 10 т. Т. 1: Методология. Организация. Терминология; под ред. А.И. Рембезы. – М.: Машиностроение, 1987. 224 с.

2. Надёжность и эффективность в технике: Справочник в 10 т. Т. 2: Математические методы в теории надёжности и эффективности; под ред. Б.В. Гне-денко. – М.: Машиностроение, 1987. 280 с.

3. Перов, С.Н. Обеспечение надёжности трубопроводных систем / С.Н. Перов, С.И. Аграфенин, Ю.В. Скворцов, Ю.Л. Тарасов. Самара: СНЦ РАН, 2008. 246 с.

ESTIMATION THE MINIMUM SAFETY COEFFICIENT WITH USING THE INTERPOLATION POLYNOMS METHOD

© 2014 Yu.L. Tarasov, S.N. Perov, S.A. Chernyakrn

Samara State Aerospace University named after the academician S.P. Korolyov

The algorithm allowing to connect the set level of reliability of a design with safety coefficient is given in article. The algorithm is stated methodically and is easily realized at the solution of practical tasks. At the solution of practical task on stress-strain state of interface of cylindrical shell with spherical bottom through the elastic bulkhead the method of interpolation polynoms was used. The minimum value of safety coefficient for the considered task is received. The analysis of influence of dispersion the parameters of behavior, properties of system and parameter of limit state on value of minimum safety coefficient is carried out. Ways of ensuring the set level of probability of failure-free operation are specified.

Keywords: safety coefficient, interpolation polynoms method, bearing capacity, bulkhead, shell, probability, failure-free operation

Д. А. Балакин, В. В. Штыков

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Статья получена 27 августа 2014 г.

Аннотация. В работе излагаются принципы построения ортогонального банка фильтров на основе преобразований Эрмита. Осуществляется проверка работоспособности разработанного алгоритма фильтрации на моделях последовательности импульсов, состоящих из суммы функций Эрмита различных порядков. Продемонстрировано выделение локальных особенностей исследуемого процесса. В качестве исследуемого сигнала выступает акустическая запись с грудной клетки человека.

Ключевые слова: банк ортогональных фильтров, преобразование Эрмита, функции Эрмита, локальные особенности.

Abstract. The article states the main principles of construction of orthogonal filters bank based on Hermit transform. The test of availability of developed filtering algorithm is realized on the models of pulse sequences based on the sum of Hermit functions. The local features of the investigated process are shown. The acoustic recording with human chest is performed as a test signal.

Keywords: bank of orthogonal filters , Hermit transform , Hermit functions , local features .

Введение

Банком фильтров можно назвать устройство, которое разбивает входной сигнал на сигналов, каждый из которых несет индивидуальную информацию об исследуемом процессе. В основе разработанного банка фильтров лежит преобразование Эрмита. Преобразование Эрмита – э то полиномиальное преобразование с производной гауссовой оконной функцией [1]. Преобразование Эрмита находит широкое применение в обработки и кодирования изображения [2], в областях распознавания и идентификации сигналов [3,4]. Разложение исследуемого процесса на базисные функции Эрмита также применяется в медицинской диагностике [5]. Несомненным преимуществом разработанного банка фильтров является возможност ь поиска локальных особенностей сигнала. Это позволяет определять значения интервалов следования выбранной характерной особенности процесса, что может нести важную диагностическую информацию об исследуемо м объект е . Таким образом, разработка банка фильтров на основе преобразований Эрмита является актуальной задачей.

1. Функции Эрмита

Следуя [1,2,3,4], будем использовать функцию Эрмита (ФЭ), которая в соответствии с [6,7] можно представить в следующей форме:

, (1)

где − полиномы Эрмита.

Рис. 1. Функции Эрмита: нулевого – 0, первого – 1 и второго порядка – 2; штриховая кривая – MHAT -функция «мексиканская шляпа»

Функции Эрмита обладают, как пространственной, так и частотной локализацией. Кроме того они образуют ортонормированный базис функций как во временной, так и в частотной области. Это позволяет использовать их в качестве «материнской» функции в вейвлет-преобразовании [8]:

(2)

где − параметр масштаба.

Подставив (1) в (2), получим выражение вейвлет-преобразования на базисе функций Эрмита в следующем виде:

(3)

Ф о р м ула (3) представляет собой взаимнокорреляционную функцию. Принимая во внимание [9] , можно записать в виде преобразования Фурье:

(4)

где − спектральная плотность входной сигна ла , − комплексно сопряженное преобразование Фурье от функции .

В преобразовании (4) произведение перед экспонентой можно рассматривать спектральную плотность сигнала на выходе фильтра:

комплексный коэффициент передачи которого равен:

. ( 5 )

Подставляя функций вида (1) в (5), находим комплексный коэффициент передачи фильтров:

Воспользовавшись [10], получаем комплексный коэффициент передачи фильтра n -го порядка в виде:

(6 )

Функции (6) образуют ортогональный базис частотных характеристик, т к.

.

Спектр сигнала на выходе фильтра порядка будет иметь вид:

. (7)

В выражение (7) ради удобства записи веден коэффициент и переменная .

Таким образом, и спользование ортонормированного базиса функций Эрмита в качестве «материнских в е йвлетов» эквивалентно фильтрации сигнала с помощью банка ортогональных фильтров.

На практике, вейвлет-преобразование использует разнообразные материнские функции, такие как, например, «Морле», MHAT -функция [ 11 ] . На рис.1 видно, что MHAT -функция близка к функции Эрмита второго порядка. По сравнения с традиционными функциями, функции Эрмита позволяют осуществить более точную фильтрацию сигнала определенной формы. Это связано с тем, что широкий класс функций можно представить в виде дискретного ряда, используя преобразование Эрмита [12].

На основании приведенных выше выкладок операцию обработки сигнала можно представить в виде структурной схемы, показанной на рис. 2.

Варьируя параметр масштаба фильтра, можно обнаружи ть присутствие функции Эрмита заданного порядка в исследуемом сигнале. При совпадение длительности функции Эрмита и параметра масштаба фильтра с параметрами сигнала будем наблюдать ся локальные максимумы и минимумы.

Читайте также:  Виды кнопок в html

Рис. 2. Структурная схема алгоритма

В качестве демонстрации этого рассмотрим тестовые модели, состоящие из Эрмитов заданного порядка.

2. Тестирование алгоритма

В качестве тестовой модели использовалась периодическая последовательность импульсов, в виде функций Эрмита второго порядка (см. рис.3). Общая длительностью тестового сигнала равна 1 с, а период следования импульсов – с.

Рис. 3 Тестовый сигнал в виде периодической последовательности функций Эрмита второго порядка

На рис. 4 приведены частотные характеристики фильтров нулевого, второго, четвертого и шестого порядков, рассчитанные по формуле ( 6 ).

Рис. 4 Амплитудно-частотные характеристики фильтров нулевого (а), второго (б), четвертого (в) и шестого (г) порядков

Результаты обработки тестового сигнала представлены на рис. 5. На выходе фильтра второго порядка наблюдается ярко выраженный локальный максимум и боковые лепестки (рис. 5.в), в то время как после обработки сигнала фильтрами нулевого, четверного и шестого (рис. 5.а, ) и г) центральный лепесток отсутствует, а уровень боковых лепестков не превышает величины ≈ 0,5.

Рис. 5. Результаты обработки сигнала, показанного на рис. 3 фильтрами:

а – шестого, б – четвертого, в – второго и г – нулевого порядков

Продемонстрируем обработку аддитивной смеси шума и сигнала в виде квазипериодической последовательности импульсов, каждый из которых состоит из разности функций Эрмита нулевого и первого порядков. Форма такого сигнала напоминает запись электрокардиографа (см. рис. 6 справа). Длительность выборки 16 с., среднее значение периода равно 1 с., дисперсия шума ≈ 0,08 В 2 , шумовая полоса около 200 Гц.

Рис. 6. Имитация сигнала электрокардиографа

Поскольку форма сигнала заранее определена, то функция , нормированная к единице, равна:

Этой функции соответствует составной фильтр с комплексным коэффициентом передачи:

Результат обработки представлен на рис. 7.

Рис. 7. Результат вейвлет-преобразования на базисе функций Эрмита

3. Пример обработки реального сигнала

В качестве примера, приведем процедуру обработки записи биений сердца на фоне акустических шумов, которая была получена с использованием разработанной нами электронного стетоскопа [13]. Фрагмент записи показан на рис. 8. Длительность записи составляет 17 с, частота дискретизации 8000Гц.

Рис. 8. Запись акустического сигнала с грудной клетки человека

В этом случае достоверных априорных сведений о форме импульсного сигнала нет. Поскольку наиболее ценная информация об активности сердца содержится в импульсах, то целесообразно предварительно выделить один из них и использовать его в качестве образчика полезного сигнала. Выделение можно выполнить, используя функцию Эрмита нулевого порядка. Численное значение параметра функции , нужно определить так, чтобы не потерять характерные детали импульса с одной стороны и не захватить шумы и помехи, с другой. Ясно, что эта задача не имеет строгого аналитического решения. Определение границ фрагмента, представляющего интерес, во многом определяется предыдущим опытом исследователя.

На рис. 9 приведен фрагмент записи между 2 и 3 секундой. Интервал с можно принять за область, где существует импульс биения сердца. Середина интервала находится в точке . Максимум функции Эрмита следует совместить с этой точкой. Что касается масштаба, то также как в [14] критерий для его определения выберем так, чтобы

Однако в отличие от [14], примем более жесткий критерий с , что соответствует . Это дает значение параметра . На рис. 9 показан результат локализации импульса, проведенный изложенным методом.

Рис. 9 . Локализация фрагмента сигнала (сплошная) с помощь функции Эрмита нулевого порядка (штрих); вертикальные линии – границы импульса

Теперь можно перейти к синтезу образчика сигнала. Для этого представим выделенный фрагмент в виде суммы функций Эрмита [14, 15]. Амплитуды дискретного спектра равны:

.

Рис. 10 . Спектр фрагмента сигнала на базисе функции Эрмита

Спектр представлен на рис. 10. Функции Эрмита более высоких порядков соответствуют более быстрым колебанием во временной области. Видно, что основной вклад в исследуемый импульс дают функции с номерами не превышающими 10. Если удержать бесконечное число членов ряда, то импульс будет воспроизводиться полностью (при условии сходимости ряда [15]). Однако ясно, быстропеременные процессы, прежде всего, связаны с помехами и шумами (например, с шумами дыхания). Потому вполне оправданным является ограничение спектра функциями Эрмита с . Такое ограничение можно рассматривать как фильтрацию в пространстве функций Эрмита.

Рис. 11 . Сопоставление фрагмента сигнала и вейвлет функции

Нормированная функция образчика сигнала имеет вид:

(8)

На рис . 11 видно, что усеченный ряд (8) хорошо воспроизводит импульс в пределах выделенного интервала и практически полностью подавляет быстрые малые колебания вне интервала.

Используя (6), получаем комплексный коэффициент передачи фильтра, согласованного с образчиком сигнала:

. (9)

На рис. 12 показаны спектр исходного сигнала и модуль коэффициента передачи согласованного фильтра.

Рис. 12 . Сопоставление спектра сигнала и АЧХ фильтра

Результат использования фильтра (9) показан на рис.13. Видно, что быстрые флуктуации подавлены, а максимумы локализованы в точках на оси времени, которые соответствуют моментам появления импульсов. Такую локализацию можно использовать для выявления особенностей сердечного ритма на больших отрезках времени.

Рис. 1 3 . Результат обработки.

Для увеличения скорости вычисления коэффициентов передачи фильтров можно воспользоваться свойством рекуррентного соотношения для полиномов Эрмита:

.

В результате получаем рекуррентное соотношение для комплексных коэффициентов передачи фильтров:

Для обработки изображения в качестве базиса можно использовать двумерное преобразование Эрмита [1, 2]:

Такое преобразование Эрмита нашло применение, например, для идентификации человека по радужной оболочке глаза [3]. Следует отметить, что при исследовании объектов, обладающих осью симметрии, вместо полиномов Эрмита целесообразно использовать полиномы Лагерра.

3. Е.А. Павельева, А. С. Крылов. Поиск и анализ ключевых точек радужной оболочки глаза методом преобразования Эрмита. // Информатика и её применения, 2010, т. 4, №. 1, с. 79−82.

4. Е.А. Павельева, А. С. Крылов, О. С. Ушмаев. Развитие информационной технологии идентификации человека по радужной оболочке глаза на основе преобразований Эрмита. // Системы высокой доступности, 2009, №. 1 , с. 36−42.

5. Н.В. Мамаев, А. С. Лукин, Д. В. Юрин, М. А. Глазкова, В. Е. Синицин. Алгоритм нелокального среднего на основе разложения по функциям Эрмита в задачах компьютерной томографии. // 23-я международная конференция по компьютерной графике и зрению GrephiCon 2013. Владивосток, Россия, 2013, с. 254−258.

6. Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Лёш. Специальные функции. – М.: Наука, 1964. – 344 с.

7. Г. Сеге. Ортогональные многочлены. – М.: Физматгиз , 1962, – 500 с.

8. Д. А. Балакин, В. В. Штыков. Использование функций параболического цилиндра для вейвлет-анализа. // Вестник МЭИ , 2013, №5, с. 119-123.

9. С. И. Баскаков. Радиотехнические цепи и сигналы. – М.: Высш. школа, 2000, – 450 с.

10. И С Градштейн, И. М. Рыжик Таблицы интегралов, сумм рядов и произведений. – М.: Физматгиз, 1963, – 1100 с

11. Н. М. Астафьева. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения. // Успехи физических наук, 1996, №11, том 166.

12. П. К. Суетин. Классические ортогональные многочленеы, М.: Физматлит, 2005, – 480 с

14. Жирков А. О. Нейросетевой анализ и сопоставление частотно – временных векторов на основе краткосрочного спектрального представления и адаптивного преобразования Эрмита. // A.О. Жирков, Д.Н. Корчагин, А.С. Лукин, А.С. Крылов, Ю.М. Баяковский. – М.: Институт прикладной математики РАН, 2001.

15. Математическая энциклопедия т. 5 Под ред. Виноградова И.М. – М.: Советская энциклопедия, 1985, – 623 с.

admin

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *