0

Задачи на составление дифференциальных уравнений

Теперь, когда вы научились находить производные и интегралы, самое время перейти к более сложной теме: решению дифференциальных уравнений (они же дифуры, диффуры и диф.уры :)), то есть уравнений, которые вместе с самой функцией (и/или аргументом), содержат и производную или даже несколько.

Как же решать дифференциальные уравнения? Главное, что понадобится, это а) умение правильно определить тип дифференциального уравнения и б) умение хорошо интегрировать – это существенная часть работы. А дальше следовать алгоримам для каждого из типов уравнений, которые подробно описаны в учебниках и ниже в примерах.

В этом разделе вы найдете решенные задачи на составление и решение дифференциальных уравнений. Примеры решений дифуров выложены бесплатно для вашего удобства и отсортированы по темам – изучайте, ищите похожие, решайте свои. Есть трудности в выполнении заданий? Мы готовы оказать помощь по дифференциальным уравнениям

Как решить дифференциальное уравнение онлайн?

Да ладно, неужели только вручную? Мучиться, определять тип, переносить, интегрировать, заменять, снова интегрировать, подставлять, выводить? Наверняка ведь есть онлайн-калькуляторы, которые позволяют решать дифференциальные уравнения?

У меня две новости, хорошая и плохая. Хорошая в том, что действительно самые распространенные типы дифференциальных уравнений математические программы умеют решать. Плохая в том, что обычно они выводят ответ (для научных расчетов этого достаточно), а не полное решение.

Есть известный математический сервис www.wolframalpha.com, которые представляет полные решения множества математических задач, в том числе диффуров онлайн (на английском языке) за 7 долларов в месяц. Ответы же доступны всем и могут помочь проверять правильность своего решения (см. ниже на скриншоте обведено само уравнение и его решение). Подробнее об этом сайте и типичных задачах, решаемых на нем, вы можете узнать тут.

Если вы забьете в поисковик что-то вроде "решить дифференциальное уравнение онлайн", то получите десятки ссылок на сайты, обещающие именно это.

Я проверила все сайты с первых страниц Яндекса и Гугла. Большая часть сайтов использует результаты расчетов www.wolframalpha.com (см. выше) и показывает вам ответ (и рекламу :)). Некоторые при этом не показывают даже ответа или говорят, что уравнение введено некорректно (хотя это вполне стандартное решаемое вручную линейное уравнение с постоянными коэффициентами). Полное решение не выдал ни один сайт.

Выводы? Бесплатно и полно и онлайн – не бывает. Хотите получать полные решения – используйте платную подписку на ВольфрамАльфа (или проконсультируйтесь у нас). Хотите ответы – там же бесплатно. Хотите научиться решать? Придется засучить рукава. Примеры на этой странице и ссылки внизу помогут вам. Удачи!

Общий интеграл, семейство кривых

Задача 1. Показать, что функция $y^2-x^2-Cy=0$ является общим интегралом дифференциального уравнения $y'(x^2+y^2)-2xy=0.$

Задача 2. Составить дифференциальное уравнение семейства кривых $C_1 x+(y-C_2)^2=0.$

Решения дифференциальных уравнений 1 порядка

Задача 3. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка $ xy’+x^2+xy-y=0.$

Задача 4. Решить однородное дифференциальное уравнение $y’=-y/x quad (x
e 0).$

Задача 5. Решить дифференциальное уравнение $(y^4-2x^3y)dx+(x^4-2xy^3)dy=0.$

Задача 6. Решить однородное дифференциальное уравнение $(2x+y+1)dx+(x+2y-1)dy=0.$

Задача 7. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка $y’-2xy=3x^2-2x^4.$

Задача 8. Решить дифференциальное уравнение $(x+y^2)y’=y-1.$

Решение задачи Коши для ДУ

Задача 9. Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными $(1+x^2)dy-2xydx=0.$ Найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию $y(0)=1$.

Задача 10. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка $2y y” +1 =(y’)^2, , y(1/3)=1, , y'(1/3)=2$.

Задача 11. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения $$ y’= frac<2y-x><2x+y>, y(1)=1. $$

Читайте также:  Вспомогательная служба ip windows 7 что это

Задача 12. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения третьего порядка $$ y”’=x+cos x, quad y(0)=0, y'(0)=0, y”(0)=0. $$

Решения дифференциальных уравнений 2 порядка

Задача 13. Решить дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами $y”+4y’+4y=xe^<2x>.$

Задача 14. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации: $$ y”-3y’=frac<9e^<-3x>><3+e^<-3x>>, quad y(0)=4ln 4, y'(0)=3(3ln 4-1). $$

Cоставление дифференциальных уравнений

Задача 15. Скорость остывания нагретого тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. За 10 минут тело охладилось от 100 до 60 градусов. Температура среды постоянна и равна 20 градусам. Когда тело остынет до 25 градусов?

Задача 16. Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью 5 м/сек. На полном ходу ее мотор выключается и через 40 сек после этого скорость лодки уменьшается до 2 м/сек. Определить скорость лодки через 2 минуты после остановки мотора, считая, что сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки.

Решения нелинейных дифференциальных уравнений

Задача 17. Решить дифференциальное уравнение $y^2

Задача 18. Решить дифференциальное уравнение $

Методика составления и решения прикладных задач теории обыкновенных дифференциальных уравнений

Составление дифференциального уравнения по условию за­дачи (механической, физической, химической или технической) состоит в определении математической зависимости между пе­ременными величинами и их приращениями.

В ряде случаев дифференциальное уравнение получается без рассмотрения приращений – за счет их предварительного учета. Например, представляя скорость выражением , мы не привлекаем приращений ∆s и ∆t, хотя они фактически учтены в силу того, что

.

Ускорение в какой-нибудь момент времени t выражается зависимостью:

.

При составлении дифференциальных уравнений приращения сразу же заменяются соответствующими дифференциалами. Изучение любого процесса сводится:

1) к определению его отдельных моментов;

2) к установлению общего закона его хода.

Отдельный момент процесса (т. н. элементарный процесс) выражается уравнением, связывающим переменные величины процесса с их дифференциалами или производными — диффе­ренциальным уравнением; закон общего хода процесса выра­жается уравнением, связывающим переменные величины про­цесса, но уже без дифференциалов этих величии.

Исчерпывающих правил для составления дифференциальных уравнений нет. В большинстве случаев методика решения техни­ческих задач с применением теории обыкновенных дифферен­циальных уравнений сводится к следующему:

1.Подробный разбор условий задачи и составление чертежа, поясняющего ее суть.

2.Составление дифференциального уравнения рассматривае­мого процесса.

3.Интегрирование составленного дифференциального уравне­ния и определение общего решения этого уравнения.

4.Определение частного решения задачи на основании дан­ных начальных условий.

5.Определение, по мере необходимости, вспомогательных пара­
метров (например, коэффициента пропорциональности и др.),
используя для этой цели дополнительные условия задачи.

6. Вывод общего закона рассматриваемого процесса и число­
вое определение искомых величии.

7. Анализ ответа и проверка исходного положения задачи.
Некоторые из этих рекомендаций в зависимости от характера
задачи могут отсутствовать.

Как и при составлении алгебраических уравнений, при реше­нии прикладных задач по дифференциальным уравнениям многое зависит от навыков, приобретаемых упражнением. Однако здесь еще в большей степени требуется изобретательность и глубокое понимание сути изучаемых процессов.

Рассмотрим процесс решения следующих задач:

Температура вынутого из печи хлеба в течение 20 мин. падает от 100 0 до 60 0 (рис. 3.1). Температура воздуха равна 25 0 . Через сколько времени от момента начала охлаждения температура хлеба понизится до 30 0 ?

Решение:

В силу закона Ньютона скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Это – процесс неравномерный. С изменением разности температур в течение процесса меняется также и скорость охлаждения тела. Дифференциальное уравнение охлаждения хлеба будет:

.

где Т – температура хлеба;

t – температура окружающего воздуха ( в нашем случае 25 0 );

Читайте также:  Видеокарта ati radeon hd 3870

k – коэффициент пропорциональности;

– скорость охлаждения хлеба.

Пусть – время охлаждения.

Тогда, разделяя переменные, получим:

,

или для условий данной задачи :

.

Потенцируя обе части последнего равенства, имеем:

,

. (1)

Произвольную постоянную С определяем, исходя из начального условия: при мин, Т=100 о .

или С=75.

Величину определяем, исходя из данного дополнительного условия: при мин, Т=60 о .

и .

Таким образом, уравнение охлаждения хлеба при условиях нашей задачи примет вид:

. (2)

Из уравнения (2) легко определяем искомое время при температуре хлеба Т=30 о :

, или.

мин.

Итак, после 1 часа 11 мин. Хлеб охлаждается до температуры 30 о С.

Задача 3.2. Трубопровод тепловой магистрали (диаметр 20 см) защищен изоляцией толщиной 10 см; величина коэффициента теплопроводности k=1,00017. Температура трубы 160о; температура внешнего покрова 30о (рис.8). Найти распределение температуры внутри изоляции, а также количество теплоты, отдаваемого одним погонным метром трубы.

Решение. Если тело находится в стационарном тепловом состоянии и температура Т в каждой его точке есть функция только одной координаты х, то согласно закону теплопроводности Фурье количество теплоты, испускаемое в секунду:

, (1)

где F(x)- площадь сечения тела на расстоянии х,

k – коэффициент теплопроводности.

Здесь (2)

где l – длина трубы в см,

х – радиус трубопровода в см.

Таким образом, после разделения переменных дифференциальное уравнение примет вид:

(3)

Интегрируя обе части равенства (3), находим:

или (4)

Разделив почленно уравнения второе на первое, получим:

.

Отсюда закон распределения температуры внутри изоляции:

.

Из первого уравнения системы(4) при =100 см имеем:

Количество теплоты, отдаваемое в течение суток, равно

кал.

Дата добавления: 2017-02-24 ; просмотров: 4054 | Нарушение авторских прав

Наука: Математика

  • Условия публикаций
  • Все статьи конференции

Статья опубликована в рамках:

Выходные данные сборника:

СОСТАВЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПО УСЛОВИЮ ФИЗИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ

Смакова Фаниля Фиргатовна

студент 2 курса физико-математического факультета Стерлитамакского филиала Башкирского государственного университета, РФ, г. Стерлитамак

Сабитова Юлия Камилевна

канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры математического анализа Стерлитамакского филиала Башкирского государственного университета, РФ, г. Стерлитамак

DRAWING UP THE DIFFERENTIAL EQUATION ACCORDING TO A CONDITION OF A PHYSICAL TASK

student of 2 years of training of physical and mathematical faculty of Sterlitamak branch of the Bashkir State University, Russia, Sterlitamak

candidate of physical and mathematical Science, assistant professor of the mathematical analysis of Sterlitamak branch of the Bashkir State University, Russia, Sterlitamak

В данной работе приведен алгоритм составления дифференциального уравнения по условию физической задачи. Решена физическая задача на установление закона изменения физических величин с помощью дифференциального уравнения.

In this article the algorithm of drawing up the differential equation according to condition of physical task. Physical example on establishment of the law of change of physical quantities by means of the differential equations is reviewed.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение; алгоритм.

Keywords : differential equation, algorithm.

Дифференциальные уравнения являются одним из основных средств для математического решения практических задач. Особенно широко они используются в теоретической механике и физике [1, c. 39], [2, с. 391]. Решение задач физики с помощью дифференциальных уравнений состоит из трех этапов: а) составление дифференциального уравнения; б) решения этого уравнения; в) исследования полученного решения. Удобнее воспользоваться следующим алгоритмом действий:

1. установить изменяющиеся в данном явлении величины, выявить физические законы, которые связывают их;

2. выбрать независимую переменную и функцию этой переменной, которую необходимо найти;

3. по условию задачи определить начальные или краевые условия;

4. выразить все фигурирующие в условии задачи величины через независимую переменную, искомую функцию и ее производные;

Читайте также:  База данных перенесенных абонентских номеров

5. составить дифференциальное уравнение по условию задачи и физическому закону;

6. найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения;

7. найти частное решение;

8. исследовать полученное решение.

В течение малого промежутка времени величины изменяются с постоянной скоростью. Данное свойство позволяет применить известные физические законы, которые описывают равномерно протекающие явления, для составления соотношения между значениями , т. е. величинами, участвующими в процессе и их приращениями. Но равенства будут иметь лишь приближенное значение. Если требуется получить точное решения, то следует разделить обе части получившегося равенства на и перейти к пределу, когда стремится к нулю. Получившееся равенство содержит: время , меняющиеся с течением времени физические величины и их производные — являются дифференциальным уравнением, которое описывает данное явление. Существует также второй способ для получения дифференциального уравнения. Он заключается в замене приращения на дифференциал , а приращение функций — соответствующими дифференциалами.

Рассмотрим конкретный пример.

Задача. Парашютист падает под действием силы тяжести. Сопротивление воздуха пропорционально скорости его падения, вначале падения он находился на высоте и в состоянии покоя. Найти закон изменения высоты парашютиста над уровнем земной поверхности.

Решение. Воспользуемся вторым законом Ньютона:. Выберем вертикальное направление оси. Тогда. Сила тяжести направлена в отрицательном направлении, а сила сопротивления воздуха направлена в сторону, противоположную скорости падения. Таким образом, равенство принимает вид: . Известно, что ускорение является производной от скорости , тогдаполучаем следующее дифференциальное уравнение , т. е.

По условию известно, что . Разделяя переменные в уравнении (1) и интегрируя, находим:

Вычислим значение произвольной постоянной используя значение Так как при значение , то . Подставляя значение в (2), получим

или Следовательно

Формула (3) представляет собой закон изменения скорости с течением времени. Найдем закон изменения высоты парашютиста, так как, то получим следующее дифференциальное уравнение

По условию при высота равна H. Подставим эти значения в (5), получим, что и тогда

Закон определения высоты парашютиста над уровнем земной поверхности при заданных условиях определяется формулой (6). Исследуя формулу (6), можно прийти к следующим выводам. Воспользуемся формулой Тейлора для функции и при малых значениях будем иметь:

Сохраняя лишь первые два слагаемых, получаем из формулы (3), что . Это показывает, что в начале движения парашютист движется почти равноускоренно. В дальнейшем влияние сопротивления воздуха становится ощутимым, и при имеем: , а потому стремится к . Движение становится почти равномерным со скоростью , направленной вниз. Эта скорость пропорциональна силе тяжести , действующей на парашютиста, и обратно пропорциональна коэффициенту показывающему силу сопротивления воздуха. Из формулы (6) можно приближенно найти время, за которое парашютист упадет на земную поверхность. Для этого учтем, что

и напишем по формуле (6) приближенное равенство . Из него находим, что . Заметим, что слагаемое равно времени, которое заняло бы падение парашютиста с постоянной скоростью , а добавка произошла потому, что вначале падение было более медленным. При решении задачи было сделано предположение о пропорциональности силы сопротивления воздуха скорости падения. Оно было приближенным. Если считать эту силу пропорциональной квадрату скорости падения, то уравнение (1) заменится на линейное неоднородное дифференциальное уравнение вида

,

здесь направление силы сопротивления воздуха при выбранном направлении оси положительно.

1.Виленкин Н.Я., Доброхотова М.А., Сафонов А.Н. Дифференциальные уравнения: учебное пособие. М.: Просвещение, 1984. — 102 с.

2.Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения: учебное пособие. М.: Высш. шк., 2005. — 671 с.

admin

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *