Имеется 8 пар перчаток различных размеров

Ниже вы найдете задания из типовой контрольной работы по комбинаторике, разбитые по темам.

Если нужна помощь с решениями подобных задач – обращайтесь: комбинаторика на заказ. Решаем задачи в Word, от 70 рублей, от нескольких часов, гарантии и отзывы.

Правило суммы и произведения

1. На книжной полке стоит 20 книг по геометрии, 12 – по теории вероятностей, 7 – по дифференциальным уравнениям и 25 по истории. Сколькими способами можно выбрать книгу по математике?

2. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 2, 4, 6, если цифры в числе не повторяются?

3. В магазине имеются 6 сортов шоколадных конфет и 4 сорта карамели. Сколько различных покупок конфет одного сорта можно сделать в этом магазине?

4. Имеется 8 билетов денежно-вещевой лотереи, 6 билетов спортлото и 10 билетов автомотолотереи. Сколькими способами можно выбрать один билет спортлото или автомотолотереи?

5. Сколько можно молчить различных четырехзначных чисел, вставляя пропущенные цифры в число "*3*4"?

6. У одного студента имеется 7 книг по математике, а другого – 10. Сколькими способами они могут осуществить обмен?

7. Сколько различных трехбуквенных слов можно составить из букв слова ромб?

8. У англичан принято давать детям несколько имен. Сколькими способами можно назвать ребенка, если общее число имет равно 300, а ребенку дают не более трех разных имен?

9. Имеется 8 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами можно выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну на правую руку так, чтобы эти перчатки были различных размеров?

10. Лесник должен посадить 5 видов деревьев по двум лесополосам. Сколькими способами лесник может посадить деревья?

Формула включений и исключений

1. В течение 30 дней сентября было 12 дождливых дней, 8 ветреных, 4 холодных, 5 дождливых и ветреных, 3 дождливых и холодных, 2 ветреных и холодных, а один день был и дождливым, и ветреным, и холодным. В течение скольких дней в сентябре стояла хорошая погода.

2. Сколько натуральных числе от 1 до 1000 не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5?

Размещения, перестановки и сочетания

1. Даны натуральные числа от 1 до 30. Сколькими способами можно выбрать три числа так, чтобы их сумма была четной?

2. Сколькими способами можно разделить 12 различных учебников между 4 студентами.

3. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из пяти языков: русского, английского, французского, немецкого, испанского на любой другой из этих пяти языков?

4. Сколькими способами 8 человек могут встать в очередь друг за другом?

5. Из полного набора шахмат вынули 4 фигуры или пешки. Во скольких случаях среди них окажется: а) два коня, б) не менее двух коней?

6. 5 юношей и 3 девушки играют в городки. Сколькими способами они могут разбиться на 2 команды по 4 человека, если в каждой команде должно быть хотя бы по одному юноше?

7. Сколько ожерелий из 6 бусинок каждое можно составить из 6 бусинок разного цвета?

8. Учащемуся необходимо сдать 4 экзамена на протяжении 8 дней. Сколькими способами это можно сделать?

9. Сколькими способами в отделе из 8 человек можно выбрать 3 для поощрения?

10. Из группы в 25 человек должны быть выделены староста и 4 члена студкома. Сколькими способами это можно сделать?

11. Флаги многих государств представляют собой полотнища, состоящие из трех горизонтальных полос различного цвета. Сколько таких трехцветных флагов можно составить, имея в распоряжении материал 6 цветов?

12. Сколькими способами можно разложить 15 одинаковых мячей в 4 разные коробки?

Перестановки и сочетания с повторениями

1. В цветочном магазине продаются цветы 6 сортов. Сколько можно составить различных букетов из десяти цветов в каждом? (букеты, различающиеся лишь расположением цетов, считаются одинаковыми).

2. Найти число возможных перестановок в слове ПАРАБОЛА.

3. Сколько четырехзначных чисел имеется в пятеричной системе счисления?

4. В почтовом отделении продаются открытки 10 видов. Сколькими способами можно купить здесь набор из восьми открыток, если открыток каждого вида имеется не менее 8 штук?

5. Сколько чисел, меньших чем миллион, можно написать с помощью цифр 7 и 8?

Другие задания по комбинаторике

1. Сколькими способами из колоды карт в 36 листов можно выбрать неупорядоченный набор из 5 карт так, чтобы в этом наборе были бы точно 1 валет, 2 дамы и 3 бубновых карты?

2. Имеется 2 разные 3-х литровые банки и 6 разных литровых банок. Сколькими способами можно наполнить 6 литров воды, если выбранные банки должны быть наполнены?

3. Сколько можно образовать 4-х значных чисел из цифр 0, 1, 3, 4, 6, которые содержат хотя бы одну цифру 0?

4. Сколько различных кодовых номеров можно составить из 7 десятичных цифр?

5. Сколькими способами восемь монет различного достоинства можно разложить по двум карманам?

6. Сколько существует автомобильных номеров состоящих из трех цифр и трех букв?

7. Издательство планирует выпустить в текущем году 6 различных учебников по статистике. Каким количеством способов можно выбрать 30 экземпляров, если в библиотеке университета должны быть представлены все виды учебников по статистике?

8. 15 занумерованных бильярдных шаров раскладывают по 6 лузам. Сколькими способами это можно сделать?

9. Сколькими способами можно поставить на доску две шашки – белую и черную так, чтобы
А) белая шашка могла бить черную?
Б) обе шашки могут бить друг друга?
В) ни одна из них не может бить друг друга?

10. В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий было сыграно в этом турнире?

1.Выбрать перчатку на левую руку можно 6-ю способами. После этого можно 5-ю способами выбрать правую перчатку другого размера.
По правилу произведения выбрать одну перчатку на левую руку и одну на правую так, чтобы перчатки были разных размеров можно выбрать
6 * 5 = 30
Ответ: 30-ю способами.
▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒
2.Число способов выбрать 3-ёх друзей из 6-ти — это сочетания без повторений из 6-ти по 3 и оно равно 20.
В первый день у человека имеется именно 20 вариантов.
Во второй день будет уже на один вариант меньше (чтобы не повторялись)
В третий на 2 меньше…
………
На двадцатый день останется только один вариант.

По правилу произведения всего вариантов
20 * 19 * 18 * … * 2 * 1 = 20! = 2432902008176640000
Ответ: 2432902008176640000

При решении конкретной комбинаторной задачи надо сначала выяснить, не решается ли она непосредственно применением правил суммы и произведения. Если такое решение окажется затруднительным, то следует составить математическую схему решаемой задачи, выяснив, идет ли в ней речь о составлении подмножеств или кортежей, допустимы или нет повторения.

Приведем примеры решения комбинаторных задач.

1. Из города А в город В ведут пять дорог, а из города В в город С — три дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из

Каждый путь искомого вида задается парой где а — один из путей, соединяющих один из путей, соединяющих Так как по условию а можно выбрать пятью способами, тремя способами, то пару можно по правилу произведения выбрать способами.

Решение задачи может быть более наглядным, если составить схему, изображенную на рисунке 7. Здесь римские цифры — номера путей из а арабские — номера путей из

2. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «полка»?

В этом слове две гласные буквы и три согласные. По правилу произведения выбор может быть сделан способами.

3. Имеется 6 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами можно выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну перчатку на правую руку таку чтобы эти перчатки были различных размеров?

Эту задачу тоже можно решить по правилу произведения. Перчатка на левую руку может быть выбрана шестью способами. После того как она выбрана, перчатку на правую руку можно выбрать лишь пятью способами (размеры перчаток должны быть разными). Поэтому всего имеем способов выбора.

Другой способ решения этой задачи основан на формуле для размещений без повторений. Каждый выбор можно задать парой различных чисел где Число таких пар равно

4. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трех горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал пяти различных цветов?

Обозначим пять имеющихся цветов буквами Тогда любой флаг «зашифровывается» кортежем из трех различных букв. Поэтому число флагов равно числу размещений без повторений из

5. Сколькими способами можно составить четырехцветный флаг из горизонтальных полос, имея четыре различных цвета?

В этом случае различные флаги отличаются друг от друга лишь порядком цветов. Их число равно числу перестановок из четырех элементов,

6. Из колоды, содержащей 52 карты, вынули 10 карт. Сколькими различными способами это можно сделать? В скольких случаях среди этих карт окажется хотя бы один туз? В скольких случаях окажется ровно один туз? В скольких случаях — ровно 4 туза?

Каждый выбор карт из колоды есть выбор -множества из -множества. Это может быть сделано

Найти число способов, когда среди выбранных карт есть хотя бы один туз, на первый взгляд сложнее — надо разбирать случаи, когда есть ровно один туз, ровно два туза, ровно три туза, ровно четыре туза. Но проще найти сначала, в скольких случаях среди выбранных карт нет ни одного туза — во всех остальных случаях будет хотя бы один туз. Но если среди выбранных карт нет ни одного туза, то выбор совершался не из 52, а из 48 карт (всех карт, кроме тузов), а потому число таких выборов равно Следовательно, хотя бы один туз будет в случаях.

Чтобы найти, в скольких случаях будет ровно один туз, разобьем операцию выбора карт на две — сначала выбирают из четырех тузов один туз — это можно сделать способами. А потом из оставшихся 48 карт выберем 9, что можно сделать способами. По правилу произведения получаем, что весь выбор можно сделать способами.

Наконец, выбор, содержащий четыре туза, можно сделать способами — надо взять 4 туза и выбрать еще 6 карт из 48.

7. В некотором государстве не было двух жителей с одинаковым набором зубов. Какова может быть наибольшая численность населения государства (наибольшее число зубов равно 32)?

Каждому жителю государства соответствует подмножество множества состоящего из 32 зубов, показывающее, каков набор зубов у этого жителя. Общее число подмножеств -множества равно 232. Значит, в государстве не может быть больше, чем 232 жителей.

8. Пусть различные простые числа. Сколько делителей имеет число где некоторые натуральные числа (делители 1 и включаются)?

Каждый делитель числа имеет вид где

Значит, показатель может принимать значений. Но тогда по правилу произведения число кортежей (Эх, (а тем самым и число делителей равно

9. Сколькими способами можно расставить белые фигуры

(2 коня, 2 слона у 2 ладьи, ферзя и короля) на первой линии шахматной доски?

В этой задаче надо найти число кортежей длины 8, имеющих заданный состав (2, 2, 2, 1, 1). Число таких кортежей (т. е. перестановок с повторениями) равно:

10. Пятнадцать занумерованных биллиардных шаров разложены по шести лузам. Сколькими способами это можно сделать?

Поставим каждому числу от 1 до 15 в соответствие номер лузы, в которую положен шар, номер шара равен этому числу. Получим кортеж длины 15, составленный из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 (номеров луз). Число таких кортежей равно 615.

11. Сколькими способами можно расставить на 32 черных полях шахматной доски 12 белых и 12 черных шашек?

Поля для белых шашек можно выбрать способами. После этого остается 20 полей, из которых можно способами выбрать поля для черных шашек. Всего получаем

12. Сколькими способами можно составить набор из 8 пирожных, если имеется 4 сорта пирожных?

Поскольку в этой задаче порядок пирожных не играет роли, то каждый набор задается кортежем длины 8 из 4 элементов (названий сортов пирожных), причем порядок компонент кортежа не играет роли. Иными словами, нам надо найти число различных составов таких кортежей. А это число равно числу сочетаний с повторениями из 4 элементов по 8, т. е. Значит, существует 165 различных наборов.