Импликация может обозначаться как

Импликация (от лат. implicatio — «связь») — бинарная логическая связка, по своему применению приближенная к союзам «если…, то…».

Импликация записывается как посылка ⇒ <displaystyle Rightarrow > следствие; применяются также стрелки другой формы и направленные в другую сторону, но всегда указывающие на следствие.

Суждение, выражаемое импликацией, выражается также следующими способами [1] [2] :

• посылка является условием, достаточным для выполнения следствия;
• следствие является условием, необходимым для истинности посылки.

Импликация играет очень важную роль в умозаключениях. С её помощью формулируются определения различных понятий, теоремы, научные законы [3] .

При учёте смыслового содержания высказываний импликация подразумевает причинную связь между посылкой и заключением [4] .

Содержание

Булева логика [ править | править код ]

В булевой логике импликация — это функция двух переменных (они же — операнды операции, они же — аргументы функции). Переменные могут принимать значения из множества < 0 , 1 ><displaystyle <0,1>> . Результат также принадлежит множеству < 0 , 1 ><displaystyle <0,1>> . Вычисление результата производится по простому правилу, либо по таблице истинности. Вместо значений 0 , 1 <displaystyle 0,1> может использоваться любая другая пара подходящих символов, например false , true <displaystyle operatorname ,operatorname > или F , T <displaystyle F,T> или «ложь», «истина».

Импликация как булева функция ложна лишь тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно. Иными словами, импликация A → B <displaystyle A o B> это сокращённая запись для выражения ¬ A ∨ B <displaystyle
eg Alor B> .

«Житейский» смысл импликации. Для более лёгкого понимания смысла прямой импликации и запоминания её таблицы истинности может пригодиться житейская модель:

А — начальник. Он может приказать «работай» (1) или сказать «делай что хочешь» (0). В — подчиненный. Он может работать (1) или бездельничать (0).

В таком случае импликация — не что иное, как послушание подчиненного начальнику. По таблице истинности легко проверить, что послушания нет только тогда, когда начальник приказывает работать, а подчиненный бездельничает.

обратная импликация (англ.) русск. (от b к a, A ∨ ( ¬ B ) <displaystyle Alor (
eg B)> )

Обратная импликация — отрицание (негация, инверсия) обнаружения увеличения (перехода от 0 к 1, инкремента).

отрицание (инверсия, негация) прямой импликации

отрицание (инверсия, негация) обратной импликации (англ.) русск. ( ¬ A ∧ B <displaystyle lnot Aland B> ), разряд займа в двоичном полувычитателе.

Другими словами, две импликации (прямая и обратная) и две их инверсии — это четыре оператора отношений. Результат операций зависит от перемены мест операндов.

Синонимические импликации выражения в русском языке [ править | править код ]

• Если А, то Б
• Б в том случае, если А
• При А будет Б
• Из А следует Б
• В случае А произойдет Б
• Б, так как А
• Б, потому что А
• А — достаточное условие для Б
• Б — необходимое условие для А

Многозначная логика [ править | править код ]

Теория множеств [ править | править код ]

Импликация высказываний означает, что одно из них следует из другого. Импликация обозначается символом ⇒ <displaystyle Rightarrow > , и ей соответствует вложение множеств: пусть A ⊂ B <displaystyle Asubset B> , тогда

x ∈ A ⇒ x ∈ B . <displaystyle xin ARightarrow xin B.>

Например, если A <displaystyle A> — множество всех квадратов, а B <displaystyle B> — множество прямоугольников, то, конечно, A ⊂ B <displaystyle Asubset B> и

(a — квадрат) ⇒ <displaystyle Rightarrow > (a — прямоугольник).

(если a является квадратом, то a является прямоугольником).

Классическая логика [ править | править код ]

Можно доказать эквивалентность импликации A → B <displaystyle A
ightarrow B> формуле ¬ A ∨ B <displaystyle
eg Alor B> (с первого взгляда более очевидна её эквивалентность формуле ¬ ( A ∧ ¬ B ) <displaystyle
eg (Aland
eg B)> , которая принимает значение «ложь» в случае, если выполняется A (посылка), но не выполняется B (следствие)). Поэтому любое высказывание можно заменить на эквивалентное ему без знаков импликации.

Интуиционистская логика [ править | править код ]

В интуиционистской логике импликация никоим образом не сводится к отрицаниям. Скорее напротив, отрицание ¬A можно представить в виде A → ⊭ <displaystyle A
ightarrow
vDash > , где ⊭ <displaystyle
vDash > — пропозициональная константа «ложь». Впрочем, такое представление отрицания возможно и в классической логике.

В интуиционистской теории типов импликации соответствует множество (тип) отображений из A в B.

Логика силлогизмов [ править | править код ]

В учении о силлогизмах импликации отвечает «общеутвердительное атрибутивное высказывание».

Программирование [ править | править код ]

В языках программирования импликация используется, как правило, неявно. Например, конструкция, предполагающая истинность условий B в данном участке программы:

будет успешно выполняться тогда и только тогда, когда верна импликация A → B. В то же время эти условия можно спокойно написать в одной строке, объединив их оператором конъюнкции.

При стандартных опциях компилятора (Delphi, C++ Builder) [ прояснить ] проверка идёт до тех пор, пока результат не станет очевидным, и если А ложно, то (А и В) ложно вне зависимости от В, и не нужно ставить ещё один условный оператор.

В функциональных языках импликация может быть не только правилом вычислений, но и видом отношения между данными, то есть обрабатываться (в том числе и выполняться) и создаваться по ходу выполнения программы.