0

Интерполяционный многочлен ньютона в паскале

Предупреждение: полиномы Ньютона (их два) – вещь гнилая. 1-й работает плохо в конце отрезка, 2-й – в начале. На практике вряд ли используются

Добрый день! Я являюсь постоянным читателем http://nickolay.info. У меня к вам огромная просьба, не могли бы вы помочь мне разобраться с задачей на Pascal связанная с численными методами, читал у вас "Реализация основных методов интерполяции функции одной переменной", но это не совсем то что мне нужно. Если бы вы помогли разобраться со следующей задачей я был бы вам очень признателен: Построить интерполяционный многочлен Ньютона по известным в узлах х0,х1. х5 значениями f(x). Вычислить значения этого многочлена в равномерной сетке точек [a,b] с шагом h и сравнить их со значением функции f(x) в этих точках. Использовать схему интерполяции вперед.
Функция f(x)=x+exp(-x^2).
Значения функции:
Х0=0,2
Х1=0,5
Х2=1
Х3=1,3
Х4=1,5
Х5=1.9
Отрезок:
a=0
b=2
Шаг: h=0,05

Ответ: (вдруг кому пригодится, всё ж минуты 4 "труда" 🙂

Добрый день, насколько я ориентируюсь на своём сайте, полином Ньютона на Паскале есть вот тут: http://nickolay.info/study/pas_methods.html оттуда и можно надёргать кода, как-то вот так, не проверял толком:

Скриншот тестового прогона на этих данных (Турбо Паскаль 7.1 в консольке):

Узлы интерполяции по оси X предполагаются равноотстоящими. Ясно, что вне интервала ]Xmin,Xmax[ вычисленные значения смысла не имеют. Также может и глюк где.

Вот C++-реализация первой интерполяционный формулы Ньютона (для левой половины интервала), запускалась в консоли Visual Studio.

Вторая интерполяционная формула Ньютона (для правой половины интервала).

19.03.2013, 16:53; рейтинг: 18820

Интерполяционный многочлен в форме Ньютона

Выборка экспериментальных данных представляет собой массив данных, который характеризует процесс изменения измеряемого сигнала в течение заданного времени (либо относительно другой переменной). Для выполнения теоретического анализа измеряемого сигнала необходимо найти аппроксимирующую функцию, которая свяжет дискретный набор экспериментальных данных с непрерывной функцией – интерполяционным полиномом n -степени. Данный интерполяционный полином n-степени может быть записан, например, в форме Ньютона (один из способов представления).

Интерполяционный многочлен в форме Ньютона – это математическая функция позволяющая записать полином n -степени, который будет соединять все заданные точки из набора значений, полученных опытным путём или методом случайной выборки с постоянным/переменным временным шагом измерений.

Читайте также:  Выход блэк опс 4

1. Интерполяционная формула Ньютона для неравноотстоящих значений аргумента

В общем виде интерполяционный многочлен в форме Ньютона записывается в следующем виде:

где n – вещественное число, которое указывает степень полинома;

– переменная, которая представляет собой разделенную разность k-го порядка, которая вычисляется по следующей формуле:

Разделённая разность является симметричной функцией своих аргументов, то есть при любой их перестановке её значение не меняется. Следует отметить, что для разделённой разности k-го порядка справедлива следующая формула:

В качестве примера, рассмотрим построение полинома в форме Ньютона по представленной выборке данных, которая состоит из трех заданных точек . Интерполяционный многочлен в форме Ньютона, который проходит через три заданных точки, будет записываться в следующем виде:

• Разделенная разность 1-го порядка определяется следующим выражением

Следует отметить, что данное выражение может быть переписано в другом виде:

• Разделенная разность 2-го порядка определяется следующим выражением

Следует отметить, что данное выражение может быть переписано в другом виде:

Форма Ньютона является удобной формой представления интерполяционного полинома n-степени, так как при добавлении дополнительного узла все вычисленные ранее слагаемые остаются без изменения, а к выражению добавляется только одно новое слагаемое. Следует отметить, что интерполяционный полином в форме Ньютона только по форме отличается от интерполяционного полинома в форме Лагранжа, представляя собой на заданной сетке один и тот же интерполяционный полином.

Следует отметить, что полином в форме Ньютона может быть представлен в более компактном виде (по схеме Горнера), которая получается путем последовательного вынесения за скобки множителей

2. Интерполяционная формула Ньютона для равноотстоящих значений аргумента

В случае если значения функции заданы для равноотстоящих значений аргумента, которые имеют постоянный шаг измерений , то используют другую форму записи интерполяционного многочлена по формуле Ньютона.

• Для интерполирования функции в конце рассматриваемого интервала (интерполирование назад и экстраполирование вперед) используют интерполяционный полином в форме Ньютона в следующей записи:

где конечные разности k -порядка определяются по следующему выражению

Получаемые конечные разности удобно представлять в табличной форме записи, в виде горизонтальной таблице конечных разностей. В этой формуле из таблицы конечных разностей используются верхней диагонали.

Читайте также:  Дрель шуруповерт headliner отзывы

• Для интерполирования функции в начале рассматриваемого интервала (интерполирование вперед и экстраполирование назад) используют интерполяционный полином в форме Ньютона в следующей записи:

где конечные разности k -порядка определяются по следующему выражению

Получаемые конечные разности удобно представлять в табличной форме записи, в виде горизонтальной таблице конечных разностей. В формуле из таблицы конечных разностей используются нижней диагонали.

3. Погрешность интерполяционного полинома в форме Ньютона

Рассмотрим функцию f ( x ), которая непрерывна и дифференцируема на рассматриваемом отрезке [a, b]. Интерполяционный полином P (x) в форме Ньютона принимает в точках заданные значения функции . В остальных точках интерполяционный полином P (x) отличается от значения функции f ( x ) на величину остаточного члена, который определяет абсолютную погрешность интерполяционной формулы Ньютона:

Абсолютную погрешность интерполяционной формулы Ньютона определяют следующим образом:

Переменная представляет собой верхнюю границу значения модуля (n +1)-й производной функции f(x) на заданном интервале [a, b]

В случае равноотстоящих узлов абсолютная погрешность интерполяционной формулы Ньютона определяют следующим образом:

Выражение записано с учетом следующей формулы:

Выбор узлов интерполяции

С помощью корректного выбора узлов можно минимизировать значение в оценке погрешности, тем самым повысить точность интерполяции. Данная задача может быть решена с помощью многочлена Чебышева:


В качестве узлов следует взять корни этого многочлена, то есть точки:

4. Методика вычисления полинома в форме Ньютона (прямой способ)

Алгоритм вычисления полинома в форме Ньютона позволяет разделить задачи определения коэффициентов и вычисления значений полинома при различных значениях аргумента:

1. В качестве исходных данных задается выборка из n -точек, которая включает в себя значения функции и значения аргумента функции.

2. Выполняется вычисление разделенных разностей n-порядка, которые будет использоваться для построения полинома в форме Ньютона.

3. Выполняется вычисление полинома n-степени в форме Ньютона по следующей формуле:

Алгоритм вычисления полинома в форме Ньютона представлен на рисунке 1.

Рис.1 . Методика вычисления полинома в форме Ньютона

Следует отметить, что разделённые разности k-го порядка в соответствии с представленной методикой перезаписывается в вектор столбец функции , а результирующая разделенная разность всегда находится в первой ячейке функций . Рассмотрим, каким образом будет изменяться вектор столбец функции при выполнении расчета по представленной методике.

Читайте также:  В каком из сосудов внутренняя энергия расширяющегося

В качестве примера рассмотрим следующую практическую задачу. В рамках задачи известен набор шести значений, которые получены методом случайной выборки для различных моментов времени. Следует отметить, что данная выборка значений описывает функция на интервале [0, 10]. Необходимо построить многочлен в форме Ньютона для представленного набора значений. С помощью интерполяционной формулы вычислить приближенное значение функции в точке , а также определить оценку погрешности результата вычислений.

Многочлен в форме Ньютона, который строится на основании шести значений, представляет собой полином 5 степени. Результат построения полинома в форме Ньютона показан в графическом виде.

Рис.2 . Исходная функция и полином в форме Ньютона, построенный по шести заданным точкам

С помощью найденного полинома можно определить значение функции в любой точке заданного интервала. Определение промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений называется «интерполяцией». В соответствии с условиями задачи полином в форме Ньютона в точке x =9,5 принимает следующее значение: L (9,5)= – 4,121. Из графика видно, что полученное значение не совпадает c о значением функции f ( x ) на величину абсолютной погрешности интерполяционной формулы Ньютона.

Интерполяционный полином в форме Ньютона часто оказывается удобным для проведения различных теоретических исследований в области вычислительной математики. Так, например, полином в форме Ньютона используются для интерполяции, а также для численного интегрирования таблично-заданной функцией.

Для того, чтобы добавить Ваш комментарий к статье, пожалуйста, зарегистрируйтесь на сайте.

Б) дПЛБЦЙФЕ, ЮФП ДМС МАВПЗП НОПЗПЮМЕОБ f ( x ) УФЕРЕОЙ n УХЭЕУФЧХЕФ ЕДЙОУФЧЕООПЕ РТЕДУФБЧМЕОЙЕ ЕЗП Ч ЧЙДЕ

В) дПЛБЦЙФЕ, ЮФП ЛПЬЖЖЙГЙЕОФЩ d 0 , d 1 , . d n Ч ЬФПН РТЕДУФБЧМЕОЙЙ ЧЩЮЙУМСАФУС РП ЖПТНХМЕ d k = Δ k f (0) (0 ≤ k ≤ n ).

рХУФШ НОПЗПЮМЕО f ( x ) УФЕРЕОЙ n РТЙОЙНБЕФ ГЕМЩЕ ЪОБЮЕОЙС Ч ФПЮЛБИ x = 0, 1, . n .
дПЛБЦЙФЕ, ЮФП ЗДЕ d 0 , d 1 , . d n – ОЕЛПФПТЩЕ ГЕМЩЕ ЮЙУМБ.

дПЛБЦЙФЕ, ЮФП ЕУМЙ НОПЗПЮМЕО f ( x ) УФЕРЕОЙ n РТЙОЙНБЕФ ГЕМЩЕ ЪОБЮЕОЙС Ч ФПЮЛБИ x = 0, 1, . n , ФП ПО РТЙОЙНБЕФ ГЕМЩЕ ЪОБЮЕОЙС ЧП ЧУЕИ ГЕМЩИ ФПЮЛБИ.

йЪЧЕУФОП, ЮФП ОЕЛПФПТЩК НОПЗПЮМЕО Ч ТБГЙПОБМШОЩИ ФПЮЛБИ РТЙОЙНБЕФ ТБГЙПОБМШОЩЕ ЪОБЮЕОЙС.
дПЛБЦЙФЕ, ЮФП ЧУЕ ЕЗП ЛПЬЖЖЙГЙЕОФЩ ТБГЙПОБМШОЩ.

уФТБОЙГБ: 1 [чУЕЗП ЪБДБЮ: 4]

рТПЕЛФ ПУХЭЕУФЧМСЕФУС РТЙ РПДДЕТЦЛЕ Й .

admin

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *