0

История числа пи реферат

Давно собирался опубликовать заметку про историю числа (pi ). Ниже приводится краткая версия истории числа Пи, в ней вы увидите становление науки на земле на примере вычисления трансцендентной константы.

Введение

В статье присутствуют математические формулы, поэтому для чтения перейдите на сайт для их корректного отображения. Число ( pi ) имеет богатую историю. Данная константа обозначает отношение длины окружности к ее диаметру.

В науке число ( pi ) используют в любых расчетах, где есть окружности. Начиная от объема банки газировки, до орбит спутников. И не только окружности. Ведь в изучении кривых линий число ( pi ) помогает понять периодические и колебательные системы. Например, электромагнитные волны и даже музыку.

В 1706 году в книге «Новое введение в математику» британского ученого Уильяма Джонса (1675-1749 гг.) для обозначения числа 3,141592… впервые была использована буква греческого алфавита ( pi ). Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов περιϕερεια — окружность, периферия и περιµετρoς — периметр. Общепринятым обозначение стало после работ Леонарда Эйлера в 1737 году.

Геометрический период

Постоянство отношения длины любой окружности к её диаметру было замечено уже давно. Жители Междуречья применяли [1, c.13] довольно грубое приближение числа ( pi ). Как следует из древних задач, в своих расчетах они используют значение ( pi ≈ 3 ).

Более точное значение для ( pi ) использовали древние египтяне. В Лондоне и Нью-Йорке хранятся две части древнеегипетского папируса, который называют «папирус Ринда». Папирус был составлен писцом Армесом примерно между 2000-1700 гг. до н.э.. Армес в своем папирусе написал, что площадь круга с радиусом (r) равна площади квадрата со стороной, равной (frac<8> <9>) от диаметра окружности (frac<8> <9>cdot 2r ), то есть ( frac<256> <81>cdot r^2 = pi r^2 ). Отсюда (pi = 3,16).

Древнегреческий математик Архимед (287-212 гг. до н.э.) впервые поставил задачу измерения круга на научную почву. Он получил [3, c.171] оценку (3frac <10>

4 комментария

Васильев Юрий

Если Вам интересно узнать, как заставить бесконечное Число Пи построиться в обыкновенный Отрезок длиной этого числа, получить по новому точный аналог Формулы вычисления исторического Числа Пи, познакомиться с новейшей рабочей Формулой вычисления точной длины Дуги, по трём произвольным точкам, а также с другими решениями с построениями других Античных задач. Некоторые решения задач уже имеют положительные решения Рецензента, остальные на рассмотрении. А также моя проза, «Юркины рассказы». Сайт смотри в электронном интернете. Интересующихся прошу писать автору.

Алека Радов

Цитата:
«Также Эйлер в своих вычислениях использовал разложения арктангенсов на сумму арктангенсов меньших аргументов [4, c.9]:
arctg 1/p=arctg 1/(p+q)+arctg 1/(p^2+pq+1),
arctg 1/n=arctg 1/(n+1)+arctg 1/(n^2+n+1)»

А эти выражения правильные? По моему,
arctg 1/p=arctg 1/(p+q)+arctg (p+q+1)/(p+q-1),
arctg 1/n=arctg 1/(n+1)+arctg (p+2)/p.

Это следует из выражения
arctg x+arctg y=arctg [(x+y)/(1-xy)].

Или у Эйлера другая математика была?

Новрузова Аида

Я хотела знать кто определил П=3,1415926534…

ProffEsor

краткая история применения. имели в виду. я искал происхождение ( как допёрли до такого имея десять пальцев и чутка мозгов в распоряжении)

Данный реферат включает в себя подробную информацию о числе Пи. Реферат даёт ответы на вопросы, что такое число ПИ? Как и когда появилось это число в математике вообще и когда им стали пользоваться в нашей стране. В данной работе широко развёрнута информация, как пользоваться данным числом. Реферат написан понятным языком и бедет доступен как учащимся, так и учителям.

Просмотр содержимого документа
«Реферат на тему "Число Пи" »

Автор Юрченко Татьяна

ученица 9 класса

Шаповалова Римма Ивановна

-Примеры возникновения числа p (пример №1, пример №2, пример №3)

-Забавные факты (2 части)

Математика пронизывает все науки без исключения, и каждый из нас должен быть в ней более или менее компетентен. В математике есть удивительное и загадочное число. Это число p

Исследование числа p и выявление его роли в окружающей среде

Повысить математическую культуру

Уметь обрабатывать информацию

Развить умение анализировать и делать выводы

Научиться кратко излагать свои мысли

В школьном курсе математики с числом p мы впервые встречаемся в 6 классе в теме: «Длина окружности и площадь круга». В учебнике мы сталкиваемся со следующим объяснением: «Длина окружности прямо пропорциональна длине её диаметра. Поэтому для всех окружностей отношение длины окружности к длине её диаметра является одним и тем же числом. Его обозначают греческой буквой p («читается «пи»»). Длина окружности: C=2pr; площадь круга S=pr2 ».

Потом, только в старших классах мы опять встречаемся с числом p, но уже в курсе геометрии пытаются доказать длину окружности следующим образом. «Периметр любого правильного вписанного в окружность многоугольника является приближённым значением длины окружности. Чем больше число сторон такого многоугольника, тем точнее это приближённое значение, так как многоугольник при увеличении числа сторон всё ближе и ближе «прилегает» к окружности

Более двух тысячелетий назад было подмечено, что все окружности длиннее своих диаметров в одно и то же число раз. Впоследствии это было доказано.

Отношение длины окружности к её диаметру лет 250 назад стали обозначать кратко одной буквой p. Эта греческая буква – первая буква греческого слова «периферия», что означает «окружность». В древнем Вавилоне считали, что окружность длиннее её диаметра в три раза (т.е. p приблизительно равно трём). Но древнегреческие геометры уже знали, что p не равно трём. Об этом мы знаем из школьного курса геометрии. Почему же тогда Бертран Рассел в своей книге «Кошмары выдающихся личностей» писал: «лицо p было скрыто маской. Все понимали, что сорвать её, оставшись при этом в живых, не сможет никто. Сквозь прорези маски пронзительно, безжалостно, холодно и загадочно смотрели глаза …».

Читайте также:  Диспетчер задач пишет диск 100

Английский математик Август де Морган назвал как-то p «…загадочным числом 3,14159…, которое лезет в дверь, в окно и через крышу».

Число p связывают с окружностью. Однако это число появляется в различных математических результатах, в которых ни о какой окружности речи не идёт.

Рассмотрим множество положительных чисел. Если у них случайным образом выбрать два числа, то какова вероятность того, что выбранные числа не будут иметь общего делителя? Ответ неожидан: искомая вероятность равна 6/ p в квадрате.

Когда-то немецкий математик Лейбниц (1646-1716) заинтересовался, сколько получится в пределе, если последовательно будем складывать такие числа:1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+. Оказалось, что в пределе мы получим p /4. (Для доказательства Лейбниц пользовался приёмами высшей математики).

Было найдено и много других формул, где неожиданно появляется число p. Вот формула английского математика Джона Валлиса:

2 знака после запятой:

510 знаков после запятой:

p =3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 192 169 399 375 105 280 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559 644 622 948 954 930 381 964 428 810 975 665 933 446 128 475 648 233….

Чтобы нам не ошибаться,

Надо правило прочесть:

Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девяносто два и шесть.

Надо только постараться

И запомнить все как есть:

Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девяносто два и шесть.

Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девять, два, шесть, пять, три, пять.

Чтоб наукой заниматься

Это каждый должен знать.

Если подсчитать количество букв в каждом слове в нижеприведенных фраза

х ( без учета знаков препинания) и записать эти цифры подряд, не забывая про десятичную запятую после первой цифры «3». Получится приближенное число p

14 марта человечество отмечает Международный день числа p. Почему 14 марта? Если быть точнее, то поздравлять окружающих с днем «пи» нужно в марте 14-го в 1:59:26, в соответствии с цифрами числа p – 3,1415926…

Интересно, что праздник числа p, отмечающийся 14 марта, совпадает с днем рождения одного из наиболее выдающихся физиков современности Альбертом Эйнштейном.

Еще одной датой, связанной с числом p, является 22 июля, которою называют «Днем приближенного числа p», так как в европейском формате дат этот день записывается как 22/7. а значение этой дроби является приближенным значением числа p

Мировой рекорд по запоминанию знаков числа пи принадлежит японцу Акира Харагути. Он запомнил число p до 100- тысячного знака после запятой. Ему понадобилось почти 16 часов, чтобы назвать всё число целиком.

В штате Индиана ( США) в 1897 был выпушен билль, законодательно устанавливающий значение числа p равным 3,2. Данный билль не стал законом благодаря своевременному вмешательству профессора Университета Пердью,присутствовавшем во время рассмотрения принятого данного закона.

1 Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. Перевод с немецкого и дополнения И.Б. Погребысского – М.: «Наука» Главная редакция физико-математической литературы 2012г

2. Глейзер. Г.И. история математики в средней школе / Г.И. Глейзер. – М.: Просвещение, 2011г.

3. Виленкин Н.Я. Математика: Учеб. Для 6 кл. общеобразоват. Учреждений / Н.Я Виленкин, В.И. Жохов, А.С Чесноков, С.И Шварцбурд.- 15-е изд. Перераб. – М.:

4. Атанасян Л.С. Геометрии: Учеб. Для 7-9 кл. общеобразоват. Учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 13-е изд. – М.: росвещение, 2014.

5. Математика в школе, журнал, 2010г год.

6. Мантуров О.В. Толковый словарь математических терминов: Пособие для учителей / О.В.Мантуров, Ю.К.Солнцев, Ю.И.Соркин, Н.Г.Федин. – М.: Просвещение, 2013г

Введение

Числа много тысячелетий назад вошли в жизнь и быт людей. Человек их использует не только при счёте и вычислениях, он придумал различные игры с числами и шарады. Некоторые числа наделил сверхъестественными свойствами, например, такие как 13, 666. Среди бесконечного множества действительных чисел существуют ещё особенные, и не только для математиков, числа p и е . Эти числа имеют свои собственные обозначения, так как их нельзя записать точно с помощью цифр. Числа 3,14 и 2,7 лишь одни из приближённых значений чисел π и е. Эти числа являются иррациональными и трансцендентными, для их точного определения не хватило бы и триллиона десятичных знаков.

"Математиками изучены последовательности цифр е и p, и выяснено, что все цифры в этом числе встречаются с одинаковой частотой". Эти числа могут заворожить своей непокорностью, в особенности p. "Этому числу удавалось в течении тысячелетий держать в плену мысли и чувства не только математиков и астрономов, но и философов и художников". Тратились годы для вычисления нескольких десятичных знаков числа p.

История числа p

"Письменная история числа p начинается с египетского папируса, датируемого примерно 2000 годом до нашей эры, но оно было известно еще древним людям. Число p обратило на себя внимание людей ещё в те времена, когда они не умели письменно излагать ни своих знаний, ни своих переживаний, ни своих воспоминаний. С тех пор как первые натуральные числа 1,2,3,4,… стали неразлучными спутниками человеческой мысли, помогая оценивать количества предметов либо их длины, площади или объёмы, люди познакомились с числом p. Тогда оно ещё не обозначалось одной из букв греческого алфавита и его роль играло число 3. Нетрудно понять, почему числу p уделяли так много внимания. Выражая величину отношения между длиной окружности и её диаметром, оно появилось во всех расчётах связанных с площадью круга или длиной окружности". Но уже в глубокой древности математики довольно быстро и не без удивления обнаружили, что число 3 не совсем точно выражает то, что теперь известно как число пи. Безусловно, к такому выводу могли прийти только после того, как к ряду натуральных чисел добавились дробные или рациональные числа. Так египтяне получили результат: В дальнейшем Архимед, используя метод верхних и нижних приближений, получает следующие границы числа пи. Индусы в V-VI веках пользовались числом , китайцы – числом

"Обозначение числа p происходит от греческого слова ("окружность"). Впервые это обозначение использовал в 1706 году английский математик У. Джонс, но общепринятым оно стало после того, как его (начиная с 1736 года) стал систематически употреблять Леонард Эйлер". В конце 18 века И. Ламберт и А. Лежандр установили, что p иррациональное число, а в 1882 году Ф. Лидерман доказал, что оно трансцендентное, т.е. не может удовлетворять никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами.

На протяжении всего существования числа p, вплоть до наших дней, велась своеобразная "погоня" за десятичными знаками числа p. Леонардо Фибоначи около 1220 года определил три первых точных десятичных знаков числа p. В 16 веке Андриан Антонис определил 6 таких знаков. Франсуа Виет (подобно Архимеду), вычисляя периметры вписанного и описанного 322216-угольников, получил 9 точных десятичных знаков. Андриан Ван Ромен таким же способом получил 15 десятичных знаков, вычисляя периметры 1073741824-угольников. Лудольф Ван Кёлен, вычисляя периметры 32512254720-угольников, получил 20 точных десятичных знаков. Авраам Шарп получил 72 точных десятичных знаков числа p. В 1844 году З. Дазе вычисляет 200 знаков после запятой числа p, в 1847 году Т. Клаузен получает 248 знаков, в1853 Рихтер вычисляет 330 знаков, в том же 1853 году 440 знаков получает З. Дазе и в этом же году У. Шенкс получает 513 знаков. "С появлением ЭВМ количество верных знаков десятичных знаков резко возрастает:

1949 год – 2037 десятичных знаков (Джон фон Нейман, ENIAC), 1958 год – 10000 десятичных знаков (Ф. Женюи, IBM-704), 1961 год – 100000 десятичных знаков (Д. Шенкс, IBM-7090), 1973 год – 10000000 десятичных знаков (Ж. Гийу, М. Буйе, CDC-7600), 1986 год – 29360000 десятичных знаков (Д. Бейли, Cray-2), 1987 год – 134217000 десятичных знаков (Я. Канада, NEC SX2), 1989 год – 1011196691 десятичных знаков (Д. Гудновски и Г. Гудновски, Cray-2+IBM-3040)"

При вычислении верных десятичных знаков числа p пользовались различными способами, некоторые, как и Архимед вычисляли периметры вписанных и описанных n-угольников, но позднее стали прибегать к помощи рядов.

Так Лейбниц вычислял с помощью ряда:

Шарп применил ряд:

Л. Эйлер с помощью ряда:

З. Дазе использовал ряд.

Джон Валлис (1616-1703) нашёл бесконечное произведение, с помощью которого можно вычислить число пи:

Определение числа p

Теорема: Отношение длины окружности к её диаметру одинаково для всех окружностей.

Обозначим через L – длину окружности, через d – её диаметр, то формулировка теоремы запишется следующим образом: Рассмотрим правильный n -угольник, вписанный в окружность радиуса r со стороной аn и периметром Рn , то Докажем, что отношение одинаково для всех окружностей. Рассмотрим две произвольные окружности с вписанными в них правильными n -угольниками. Из подобия треугольников АОВ и А1 О1 В1 следует, что т.к. окружности брали произвольные, то это равенство будет справедливо для всех окружностей. Итак, для всех окружностей, следовательно Это отношение длины окружности к её диаметру принято обозначать греческой буквой "p".

Определение: Числом p называется отношение длины окружности к её диаметру.

История числа е

Число появилось сравнительно недавно. Его иногда называют "неперовым числом" в честь изобретателя логарифмов шотландского математика Джона Непера (1550-1617), однако необоснованно, так как нет твёрдых оснований для утверждения, что Непер имел о числе е чёткое представление" [10]. Впервые обозначение "е " ввёл Леонард Эйлер (1707-1783). Он также вычислил точные 23 десятичные знака этого числа, использовав представление числа е в виде бесконечного числового ряда: полученное Даниилом Бернули (1700-1782). "В 1873 году Эрмит доказал трансцендентность числа е .Л. Эйлер получил замечательный результат, связывающий числа е , p, и: . Ему принадлежит и заслуга определения функции для комплексных значений z , что положило начало математическому анализу в комплексной области – теории функций комплексного переменного" [10]. Эйлером были получены следующие формулы: Рассматривают логарифмы по основанию е , называемые натуральными и обозначаются Lnx .

Число e может быть определено несколькими способами.

(второй замечательный предел) .

или .

Как единственное число a , для которого выполняется

Как единственное положительное число a , для которого верно

Данное свойство играет важную роль в решении дифференциальных уравнений. Так, например, единственным решением дифференциального уравнения является функция , где c – произвольная константа.

Число e иррационально и даже трансцендентно. Это первое число, которое не было выведено как трансцендентное специально, его трансцендентность была доказана только в 1873 году Шарлем Эрмитом. Предполагается, что e – нормальное число, то есть вероятность появления разных цифр в его записи одинакова.

, см. формула Эйлера, в частности

Ещё одна формула, связывающая числа е и π , т. н. "интеграл Пуассона" или "интеграл Гаусса"

Для любого комплексного числа z верны следующие равенства:

Число e разлагается в бесконечную цепную дробь следующим образом:

, то есть

История

Данное число иногда называют неперовым в честь шотландского учёного Непера, автора работы "Описание удивительной таблицы логарифмов" (1614 год). Однако это название не совсем корректно, так как у него логарифм числа x был равен

.

Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в 1618 году. Негласно, потому что там содержится только таблица натуральных логарифмов, определённых из кинематических соображений, сама же константа не присутствует (см.: Непер).

Предполагается, что автором таблицы был английский математик Отред.

Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик Бернулли при анализе следующего предела:

Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой b , встречается в письмах Лейбница Гюйгенсу, 1690-1691 годы.

Букву e начал использовать Эйлер в 1727 году, а первой публикацией с этой буквой была его работа "Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически" 1736 год. Соответственно, e обычно называют числом Эйлера . Хотя впоследствии некоторые учёные использовали букву c , буква e применялась чаще и в наши дни является стандартным обозначением.

Почему была выбрана именно буква e , точно неизвестно. Возможно, это связано с тем, что с неё начинается слово exponential ("показательный", "экспоненциальный"). Другое предположение заключается в том, что буквы a , b , c и d уже довольно широко использовались в иных целях, и e была первой "свободной" буквой. Неправдоподобно предположение, что Эйлер выбрал e как первую букву в своей фамилии (нем. Euler ) [источник не указан 334 дня ] .

Мнемоника

Приблизительное значение зашифровано в: "Мы порхали и блистали, но застряли в перевале; не признали наши крали авторалли" (нужно выписать подряд цифры, выражающие число букв в словах следующего стишка, и поставить запятую после первого знака)

Запомнить как 2,7 и повторяющиеся 18, 28, 18, 28.

Мнемоническое правило: два и семь, далее два раза год рождения Льва Толстого (1828), затем углы равнобедренного прямоугольного треугольника (45 , 90 и 45 градусов). Стихотворная мнемофраза, иллюстрирующая часть этого правила: "Экспоненту помнить способ есть простой: две и семь десятых, дважды Лев Толстой"

Цифры 45, 90 и 45 можно запоминать как "год победы над фашистской Германией, затем дважды этот год и снова он"

Правила e связывается с президентом США Эндрю Джексоном: 2 – столько раз избирался, 7 – он был седьмым президентом США, 1828 – год его избрания, повторяется дважды, поскольку Джексон дважды избирался. Затем – опять-таки равнобедренный прямоугольный треугольник.

С точностью до трёх знаков после запятой через "число дьявола": нужно разделить 666 на число, составленное из цифр 6 − 4, 6 − 2, 6 − 1 (три шестёрки, из которых в обратном порядке удаляются три первые степени двойки):

.

Запоминание e как .

Грубое (с точностью до 0,001), но красивое приближение полагает e равным . Совсем грубое (с точностью 0,01) приближение даётся выражением .

"Правило Боинга": даёт неплохую точность 0,0005.

Два и семь, восемнадцать,

Двадцать восемь, восемнадцать,

Двадцать восемь, сорок пять,

Девяносто, сорок пять.

Предположим, что рационально. Тогда , где – целое, а – натуральное и больше 1, т.к. – не целое. Следовательно

Умножая обе части уравнения на , получаем

Переносим в левую часть:

Все слагаемые правой части целые, следовательно:

– целое

Но с другой стороны

Интересные факты

В IPO компании Google в 2004 году было объявлено о намерении компании увеличить свою прибыль на 2 718 281 828 долларов. Заявленное число представляет собой первые 10 цифр известной математической константы.

В языках программирования символу e в экспоненциальной записи чисел соответствует число 10, а не Эйлерово число. Это связано с историей создания.

История числа e (англ.)

e for 2.71828… (англ.) (история и правило Джексона)

Горобец, Борис Соломонович. Мировые константы в основных законах физики и физиологии // Наука и жизнь . – 2004. – № 2. – статья с примерами физического смысла констант π и e.

Числа с собственными именами

Если мы вспомним, что число е = 2,718281828., то увидим, что основание логарифмов Бюрги отличается от числа е только начиная с четвертого десятичного знака. Иоганн Кеплер, понимавший огромное значение таблиц Бюрги для вычислений, настойчиво рекомендовал ему опубликовать свой метод ко всеобщему сведению, но Бюрги медлил, и получилось так, что в печати раньше появились таблицы логарифмов другого автора. Таблицы Бюрги были изданы в 1620 г., а на 6 лет раньше (в 1614 г.) Джон Непер опубликовал составленные им таблицы под названием "Описание удивительной таблицы логарифмов". Шотландский барон Джон Непер (1550-1617) тоже не был специалистом-математиком. Он делил свои интересы между многими отраслями знания, причем главным образом занимался вопросами, имевшими непосредственное приложение к жизни. Так, он изобрел несколько сельскохозяйственных машин, а также некоторые военные приборы. В области математики Непер интересовался главным образом вопросами вычислительного характера, отыскивая способы для облегчения счета. Так, в сочинении "Рабдология", изданном в год его смерти, он описывает свой прибор, который в наше время носит название "неперовы палочки" и служит хорошим методическим пособием в школе. Этот прибор состоит из десяти основных палочек, на которых помещена таблица умножения. Левая палочка неподвижна, а все остальные могут менять свои места. В каждом квадратике таблицы проведены диагонали, причем в нижней части квадратика помещаются единицы частных произведений таблицы умножения, а в верхней – десятки. При помощи прибора Непера можно производить умножение и деление чисел, причем умножение заменяется сложением, а деление вычитанием. Если, например, нужно умножить число 684 на 4, то для этого ставим рядом палочки, имеющие сверху числа 6, 8 и 4, и обращаем внимание на клетки этих палочек, стоящие в одной строке с 4.

Список литературы

1. Бохан К.А. и др. Курс математического анализа т. II. – М.: Просвещение 1972.

2. Кымпан Ф. История числа p. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.

3. Райк А.Е. Очерки по истории математики в древности. – Саранск, 1987.

4. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа т. I, II. – М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.

5. Болтянский В. Экспонента. // Квант, 1984 №3.

6. Звонкин А. Что такое p // Квант, 1978 №11.

7. Кузьмин Е., Ширшов А. О числе е. // Квант, 1979 №8.

Название: История математических констант – числа "пи" и "е"
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Добавлен 13:01:17 02 декабря 2010 Похожие работы
Просмотров: 16601 Комментариев: 21 Оценило: 20 человек Средний балл: 4 Оценка: 4 Скачать

admin

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *