История развития числа кратко

Развитие представлений о числе составляет важную часть нашей истории. Оно является одним из основных математических понятий, которое позволяет выразить результаты измерения или счета. Исходным для множества математических теорий служит понятие числа. Оно применяется также в механике, физике, химии, астрономии и множестве других наук. Кроме того, в повседневной жизни мы постоянно пользуемся числами.

Появление цифр

Последователи учения Пифагора считали, что числа содержат в себе мистическую сущность вещей. Эти математические абстракции руководят миром, устанавливая порядок в нем. Пифагорейцы предполагали, что все существующие в мире закономерности можно выразить с помощью чисел. Именно с Пифагора теория развития чисел стала интересовать множество ученых. Символы эти считались основой материального мира, а не просто выражениями некоторого закономерного порядка.

История развития числа и счета началась с того, что был создан практический счет предметов, а также измерения объемов, поверхностей и линий.

Постепенно формировалось понятие о натуральных числах. Этот процесс осложнялся тем, что первобытный человек не умел отделять от конкретного представления абстрактное. Счет в результате этого оставался долгое время лишь вещественным. Использовались пометки, камешки, пальцы и т. п. Применяли для запоминания его результатов узелки, зарубки и пр. После изобретения письменности история развития числа была отмечена тем, что начали использовать буквы, а также особые значки, применявшиеся для сокращенного изображения на письме больших чисел. Обычно воспроизводился при таком кодировании принцип нумерации, аналогичный использовавшемуся в языке.

Позднее появилась идея считать десятками, а не только единицами. В 100 различных индоевропейских языках названия чисел от двух до десяти сходны, как и названия десятков. Следовательно, очень давно появилось понятие абстрактного числа, еще до того, как языки эти были разделены.

Счет по пальцам первоначально был широко распространен, и это объясняет то, что у большинства народов при образовании числительных особое положение занимает символ, обозначающий 10. Десятичная система счисления происходит именно отсюда. Хотя существуют и исключения. Например, 80 в переводе с французского языка – "четыре двадцатки", а 90 – "четыре двадцатки плюс десять". Употребление это восходит к счету по пальцам ног и рук. Устроены аналогично числительные абхазского, осетинского и датского языков.

В грузинском языке счет двадцатками еще яснее. Ацтеки и шумеры считали первоначально пятерками. Существуют также и более экзотические варианты, которыми отмечена история развития числа. Например, в научных расчетах вавилоняне применяли шестидесятеричную систему. В так называемых "унарных" системах число образуется с помощью повторения знака, символизирующего единицу. Древними людьми такой способ применялся примерно 10-11 тыс. лет до н. э.

Существуют также непозиционные системы, в которых количественные значения используемых для записи символов не зависят от их места в коде числа. Используется сложение цифр.

Древнеегипетские числа

Знание математики Древнего Египта основано сегодня на двух папирусах, которые датируются приблизительно 1700 годом до н. э. Математические сведения, излагаемые в них, восходят к более древнему периоду, около 3500 года до н. э. Египтяне эту науку использовали для того, чтобы вычислять вес различных тел, объемы зернохранилищ и площади посевов, размеры податей, а также необходимое для возведения сооружений количество камней. Однако основной областью применения математики была астрономия, связанные с календарем расчеты. Календарь необходим был для определения дат различных религиозных праздников, а также предсказания разливов Нила.

Письменность в Древнем Египте была основана на иероглифах. В тот период система счисления уступала вавилонянской. Пользовались египтяне непозиционной десятичной системой, в которой количеством вертикальных черт обозначались числа от 1 до 9. Индивидуальные символы вводились для степеней десяти. История развития числа в Древнем Египте продолжилась следующим образом. С возникновением папируса было введено иератическое письмо (то есть скоропись). Специальный символ использовался в нем для обозначения чисел от 1 до 9, а также кратных 10, 100 и т. д. Развитие рациональных чисел в то время происходило медленно. Они записывались, как сумма дробей с равным единице числителем.

Числа в Древней Греции

На использовании различных букв алфавита была основана греческая система счисления. История натуральных чисел в этой стране отмечена тем, что употреблявшаяся с 6-3 веков до н. э. аттическая система для обозначения единицы применяла вертикальную черту, а 5, 10, 100 и т. д. писались с помощью начальных букв их названий на греческом языке. В ионической системе, более поздней, использовались для обозначения чисел 24 действующие буквы алфавита, а также 3 архаические. Как первые 9 чисел (от 1 до 9) обозначались кратные 1000 до 9000, однако перед буквой ставилась при этом вертикальная черта. "М" обозначались десятки тысяч (от греческого слова "мириои"). После нее следовало число, на которое следовало умножить 10000.

В Греции в 3 веке до н. э. возникла числовая система, в которой собственный знак алфавита соответствовал каждой цифре. Греки, начиная с 6 века, в качестве цифр стали использовать первые десять знаков своего алфавита. Именно в этой стране не только активно развивалась история натуральных чисел, но и зародилась математика в современном ее понимании. В других государствах того времени она применялась либо для обыденных нужд, либо для различных магических ритуалов, с помощью которых выясняли волю богов (нумерология, астрология и т. п.).

Римская нумерация

В Древнем Риме использовалась нумерация, которая под именем римской сохранилась и до сегодняшних дней. Мы ее применяем для обозначения юбилейных дат, веков, наименования конференций и съездов, нумерации строф стихотворения или глав книги. С помощью повторения цифр 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, обозначавшихся у них, соответственно, как I, V, X, L, C, D, M записываются все целые числа. Если большая цифра находится перед меньшей, они суммируются, если же перед большей стоит меньшая, то последняя вычитается из нее. Одну и ту же цифру нельзя ставить более трех раз. Долгое время страны Западной Европы пользовались в качестве основной римской нумерацией.

Позиционные системы

Это такие системы, в которых количественные значения символов зависят от их места в коде числа. Основные их достоинства – простота выполнения различных арифметических операций, а также небольшое число символов, необходимых для записи чисел.

Достаточно много существует таких систем. Например, двоичная, восьмеричная, пятеричная, десятичная, двадцатеричная и др. Каждая имеет собственную историю.

Система, существовавшая у инков

Кипу – это древняя счетная и мнемоническая система, которая существовала у инков, а также их предшественников в Андах. Она довольно своеобразна. Это сложные узелки и веревочные сплетения, изготовленные из шерсти лам и альпак, либо из хлопка. Может быть в кипу от нескольких свисающих нитей до двух тысяч. Использовалась она посыльными для передачи сообщений по имперским дорогам, а также в различных аспектах жизни общества (как топографическая система, календарь, для фиксации законов и налогов и др.). Читали и писали кипу толкователи, специально обученные. Они ощупывали узелки пальцами, беря в руки кипу. Большая часть информации в ней – числа, представленные в десятичной системе.

Вавилонские цифры

На глиняных табличках клинописными значками писали вавилоняне. Они дошли до наших дней в немалом количестве (более 500 тыс., около 400 из которых связаны с математикой). Следует отметить, что корни культуры вавилонян были унаследованы в значительной степени от шумеров – счетная методика, клинописное письмо и т. п.

Намного совершеннее египетской была вавилонская система счета. Вавилоняне и шумеры применяли 60-ричную позиционную, которая сегодня увековечена в делении круга на 360 градусов, а также часа и минуты на 60 минут и секунд соответственно.

Счет в Древнем Китае

Развитие понятия о числе осуществлялось и в Древнем Китае. В этой стране цифры обозначались с помощью специальных иероглифов, появившихся примерно 2 тыс. лет до н. э. Однако окончательно начертание их установилось лишь к 3 веку до н. э. И сегодня применяются эти иероглифы. Сначала мультипликативным был способ записи. Число 1946, например, можно представить, используя римские цифры вместо иероглифов, как 1М9С4Х6. Но расчеты на практике производились на счетной доске, где была иной запись чисел – позиционной, как в Индии, а не десятичной, как у вавилонян. Пустым местом обозначался нуль. Лишь около 12 века н. э. появился для него специальный иероглиф.

История счисления в Индии

Многообразны и широки достижения математики в Индии. Эта страна внесла большой вклад в развитие понятия о числе. Именно здесь была изобретена десятичная позиционная система, привычная нам. Индийцы предложили символы для записи 10 цифр, с некоторыми изменениями использующиеся в наши дни повсеместно. Именно в этой стране были заложены также основы десятичной арифметики.

Современные цифры произошли от индийских значков, начертание которых использовалось еще в 1 веке н. э. Изначально индийская нумерация была изысканной. Средства для записи чисел до десяти в пятидесятой степени применялись в санскрите. Сначала для цифр использовалась так называемая "сиро-финикийская" система, а с 6 века до н. э. – "брахми", с отдельными знаками для них. Эти значки, несколько видоизменившись, стали современными цифрами, называемыми сегодня арабскими.

Неизвестный индийский математик примерно в 500 году н. э. изобрел новую систему записи – десятичную позиционную. Выполнение различных арифметических действий в ней было неизмеримо проще, чем в других. Индийцы в дальнейшем применяли счетные доски, которые были приспособлены к позиционной записи. Ими были разработаны алгоритмы арифметических операций, в том числе получения кубических и квадратных корней. Индийский математик Брахмагупта, живший в 7-м веке, ввел в употребление отрицательные числа. Далеко продвинулись индийцы в алгебре. Символика их более богата, чем у Диофанта, хотя несколько засорена словами.

Историческое развитие чисел на Руси

Нумерация служит главной предпосылкой математических знаний. Она имела разный вид у различных народов древности. Возникновение и развитие числа на раннем этапе совпадало в различных частях света. Сначала все народы обозначали их зарубками на палочках, называвшихся бирками. Этот способ записи налогов или долговых обязательств использовался малограмотным населением всего мира. Делали нарезы на палочке, которые соответствовали сумме налога или долга. Затем ее раскалывали пополам, оставив одну половину у плательщика или должника. Другая хранилась в казначействе или у заимодавца. Обе половинки при расплате проверяли складыванием.

Цифры появились с возникновением письменности. Они напоминали сначала зарубки на палках. Потом появились специальные значки для некоторых из них, таких как 5 и 10. Все нумерации в то время были не позиционными, а напоминающими римскую. В Древней Руси, в то время как в государствах Западной Европы применяли римскую нумерацию, пользовались алфавитной, сходной с греческой, так как наша страна, подобно другим славянским, как известно, находилась в культурном общении с Византией.

Числа от 1 до 9, а потом десятки и сотни в древнерусской нумерации изображались буквами славянского алфавита (кириллицы, введенной в девятом веке).

Некоторые исключения были из этого правила. Так, 2 обозначалось не "буки", второй по счету в алфавите, а "веди" (третьей), поскольку буква З по-старорусски передавалась звуком "в". Находившаяся в конце алфавита "фита" обозначала 9, "червь" – 90. Отдельные буквы не использовались. Для обозначения того, что знак этот является цифрой, а не буквой, над ним сверху писали знак, называемый "титло", «

». "Тьмы" назывались десятки тысяч. Обозначали их, обводя кружками знаки единиц. Сотни тысяч именовались "легионами". Их изображали, кружками из точек обводя знаки единиц. Миллионы – "леодры". Эти знаки изображались как обведенные в кружки из запятых или лучей.

Дальнейшее развитие натурального числа произошло в начале семнадцатого века, когда индийские цифры стали известны на Руси. Вплоть до восемнадцатого века использовалась в России славянская нумерация. После этого она была заменена современной.

История комплексных чисел

Эти числа были введены впервые в связи с тем, что была выделена формула вычисления корней кубического уравнения. Тартальей, итальянский математик, получил в первой половине шестнадцатого века выражение расчета для корня уравнения через некоторые параметры, для нахождения которых нужно было составить систему. Однако было выяснено, что подобная система имела решение не для всех кубических уравнений в действительных числах. Это явление объяснил Рафаэль Бомбелли в 1572 году, что было по сути введением комплексных чисел. Однако полученные результаты долгое время считались сомнительными многими учеными, и лишь в девятнадцатом веке история комплексных чисел ознаменовалась важным событием – их существование было признано после появления трудов К. Ф. Гаусса.

Введение

На уроке математики мы проходили тему «Натуральные числа», и мне стало интересно:

Как люди научились считать?

Как выглядели первые цифры?

Что знают ученики моего класса о возникновении чисел?

На эти вопросы я попытаюсь ответить в своей работе.

Актуальность темы моего исследования состоит в том, что числа очень важны в нашем мире. Числа сопровождают нашу жизнь повсюду, а задумывались ли мы, что пытаясь подсчитать количество яблок в килограмме, сколько остановок нам ехать до дома, или сколько ступенек до нашего этажа, используем как раз натуральные числа.История возникновения натуральных чисел берет свое начало еще с первобытного общества. Тогда, конечно, оно возникло в самом простейшем виде, но вместе с человечеством развивались и числа. Изначально они использовались только для того, чтобы что-то подсчитать, измерить, т.е. помогали именно в том, что было нужно в практической деятельности людей. Потом число становится частью математики, и история возникновения и развития натуральных чисел обуславливается уже наукой. В самые древние времена люди считали на пальцах, то есть понятия число, в котором мы привыкли его понимать, у них не было. С развитием письменности, развивалось и расширялось понятие числа. Сначала это были черточки, затем были введены другие обозначения, для обозначения больших чисел. До нас дошли вавилонские клинописные таблички с первыми обозначениями натуральных чисел. Сохранившиеся до наших дней «римские цифры» тоже берут свое начало в древности. Огромным прорывом стала индийская позиционная система исчисления, которая позволила записывать числа, используя десять знаков цифр. Греческие философы Пифагор и Архимед тоже внесли свой вклад в историю возникновения чисел. Впервые, в 3 веке до нашей эры, они обосновали понятие бесконечности натурального числа.

Интересно, что ноль появился в системах исчисления гораздо позже, изначально самым маленьким натуральным числом был 1.

Я решил узнать, а что ребята в классе знают о возникновении чисел. Для этого, с разрешения учителя математики, я провёл небольшое анкетирование, которое показало, что 80% одноклассников ничего не знают об истории возникновения натуральных чисел. Я решил сам изучить этот вопрос и с разрешения учителя математики донести изученный материал до одноклассников.

Цель моего исследования – изучение происхождения натуральных чисел и написания цифр.

Задача – узнать историю происхождения натуральных чисел и донести данный материал до одноклассников.

Методы исследования:

Использование информации из Интернет-ресурсов.

Обобщение найденного материала.

Практическая значимость: данный материал можно использовать на уроках математики, как дополнительный материал и во внеклассной работе по предмету.

Интересный факт

Австралийские аборигены племени гумулгал, образ жизни которых примерно такой же, как в неолите, пользовались двоичной системой счисления, то есть у них было всего два слова для чисел: урапон — один, и укасар — два. Все прочие числа образуются из этих двух: урапон- укасар — 3, укасар-укасар — 4, укасар-укасар- урапон — 5 и т. д. Нетрудно заметить, что эта система не очень удобна для обращения с большими числами.

Происхождение чисел

Ученые считают, что история возникновения чисел зародилась еще в доисторические времена, когда человек научился считать предметы. Но знаки для обозначения чисел появились значительно позже: их изобрели шумеры — народ, живший в 3000—2000 гг. до н. з. в Месопотамии (ныне в Ираке). История гласит, что на табличках из глины они выдавливали клинообразные черточки, а потом изобрели знаки. Некоторые клинописные знаки обозначали числа 1, 10, 100, то есть были цифрами, остальные числа записывались посредством соединения этих знаков. Пользование цифрами облегчало счет: считали дни недели, головы скота, размеры земельных участков, объемы урожая.

История цифр началась 5 тысячелетий назад в Египте и Месопотамии. И хотя эти два культурных пласта мало пересекались друг с другом, их системы исчисления очень похожи. Первоначально для записей использовали камень или выполняли засечки на дереве. Впоследствии в Месопотамии стали пользоваться глиняными табличками, а в Египте писали на папирусе. Внешний вид цифр в этих культурах отличается, однако одно можно сказать точно: найденные археологами артефакты подтверждают, что это были не просто записи чисел, а именно математические действия.

Искусство счета развивалось с развитием человечества. В те времена, когда человек лишь собирал в лесу плоды и охотился, ему для счета хватало четырех слов: один, два, три и много. Именно так считают сейчас некоторые племена, живущие в джунглях Южной Америки.

Однако, когда люди начали заниматься животноводством и земледелием, то им уже стало необходимо пересчитывать коз в стаде или количество корзин с выращенными плодами (которых было больше трех), заготовленными на зиму.

Способов счета было придумано не мало: делали зарубки на палке по числу предметов, завязывались узлы на веревке, складывались в кучу камешки. Но палку с зарубками с собой не возьмешь, да и камни таскать не очень приятно, а пастуху нужно знать – не отбилась ли какая коза от стада. И тут на помощь приходят пальцы рук – отличный счетный материал, им до сих пор пользуются не только первоклассники. А если предметов больше десяти? Конечно, можно использовать и пальцы на ногах, а дальше? Тут уже ничего не оставалось делать, как придумать десятичную систему, которой мы пользуемся сейчас: считаем десятки; когда наберется десять десятков, называем их сотней; потом десять сотен-тысячей. В Древней Руси десять тысяч называли “тьма”. Отсюда выражение “тьма народу”.

Мы привыкли пользоваться благами цивилизации – автомобилем, телефоном, телевизором и прочей техникой, делающей нашу жизнь легче и интереснее. Тысяча изобретений потребовались для этого, но самым важным из них были первые – колесо и число. Без них не было бы всего нашего технического великолепия. У этих двух изобретений есть общая черта – ни колеса, ни числа нет в природе, и то и другое – плод деятельности человеческого разума.

Казалось бы, что понятие числа должно возникнуть одновременно с умением считать, но это далеко не так. Замечено, что считать до пяти умеют и кошки и свиньи, но чтобы перейти от пяти предметов к числу “пять”, требовалось великое открытие, и вот почему. Пять собак или пять свиней – это совсем не то, что пять орехов. Ведь пять орехов – очень мало, съел – и не заметил, а пять свиней – очень много, их хватит, чтобы долго кормиться большой семье. Пять собак – это стая, которая может хорошо защитить от диких зверей, а пять блох на собаке и разглядеть то трудно. Разве можно их сравнивать?

Знаменитый русский путешественник Н.Н. Миклуха-Маклай, проведши много лет среди туземцев на островах Тихого океана, обнаружил, что у некоторых племен имеется три способа счета: для людей, для животных и для утвари, оружие и прочих неодушевленных предметов. Т.е. там в то время еще не появлялось понятие числа, не было осознано, что три ореха, три козы и три ребенка обладают общим свойством – их количество равно трем.

Итак, появились числа 1, 2, 3…, которыми можно выразить количество коров в стаде, деревья в саду, волос на голове. Эти числа впоследствии получили название натуральных. Гораздо позднее появился ноль, которым обозначали отсутствие рассматриваемых предметов.

Вавилон нумерация

Знакомясь с числами, мы не можем не заняться знаками, с помощью которых числа обозначаются на бумаге. Знаки эти мы называем цифрами.

Самыми древними цифровыми знаками являются вавилонские знаки. Если мы взглянем на карту, то увидим на ней реки Тигр и Ефрат.

Древние греки назвали эту страну Месопотамией, что по-русски обозначает междуречье, так как расположена она была в долине между двумя реками-близнецами. Часть Месопотамии занимало могучее государство, столицей которого был город Вавилон. Уже четыре тысячелетия назад в Вавилоне расцветала наука и существовали библиотеки. Правда, в те времена еще не было печатных книг, но зато существовали глиняные таблички, на которых вавилонские мудрецы писали свои труды. Современные ученые нашли 44 таблички, на которых записана вся математическая наука, известная вавилонцам. Ученые Вавилона пользовались, так называемой, клинописью. Вавилонские числа являются, собственно говоря, комбинации трех клинописных знаков: единица, десятка и сотни.

С помощью этих знаков можно было написать число тысяча, а также любое другое число, при этом использовались, как принцип сложения, так и умножение, а более крупные числа всегда предшествовали меньшим.

Египетская нумерация

Почти столь же древними являются египетские цифры. Для выражения своих мыслей и слов на бумаге египтяне использовали знаки, которые мы в настоящее время называем иероглифами.

Затем иероглифное письмо было заменено более простым и иератическим письмом. В обоих видах письма египтяне имели специальные знаки для цифр. Египтяне вначале писали числа высшего порядка, а затем низшего. При этом использовался принцип сложения или умножения. Египтяне также умели пользоваться дробями. Все египетские дроби имели в числителе единицу, других дробей они не умели даже выговорить (исключение составляло 2/3). Дроби писали так же, как и натуральные числа, только над ними ставилась точка, причем для 1/2 и для 2/3 имели специальные знаки.

Греческая и римская нумерации

Римские цифры общеизвестны и используются еще сейчас, между прочим, на циферблатах часов, надписях на мемориальных досках, при нумерации страниц книг и т.д. Известно, например, что L-это 50, С-это 100, D-это 500, M-это 1000. Знаки C и M это первые буквы слов “centum” -100 и “mille” – 1000. Знаки L и D очевидно также были первыми буквами каких-то слов, однако слова эти до нас не дошли. Можно только предполагать, что это были этрусские слова или же выражения какого-то латинского наречия. С помощью этих цифр римляне писали числа, используя правила сложения и вычитания, например, LX=60(50+10); XL=40(50-10); CM=900(1000-100); MC=1100(1000+100) и т.д. Римские цифры:

I=1 X=10 C=10^2 M=10^3

Римляне пользовались дробями со знаменателями 60 (вавилонские) и со знаменателями 12, 24, 48:

1/24 – это половина, а 1/48 – это одна четвертая 1/12.

Римские ученые осваивали дроби в связи со счетом денег и использованием мер и весов. Римская монета Aс, чеканенная первоначально из меди, весила 1 фунт и делилась на 12 унций. Существовало даже специальное название “deunx” для выражения 11/12 (deunx= de uncia), т.е. Ас без одной унции.

Индийская нумерация

Цифры, которыми мы пользуемся в настоящее время, пришли к нам из Индии.

Европейские народы познакомились с ними благодаря арабам. Известный математик Леонардо Пизанский первым упоминает о них в своем основном труде “Книга Араба” изданном в 1202 году. Польша была одной из первых стран, которая ввела у себя индийскую нумерацию – произошло это в 14 веке. Арифметика, основанная на индийской нумерации, преподавалась в Польше в Краковской академии.

Цифры русского народа

Наши предки пользовались алфавитной нумерацией, то есть числа изображались буквами, над которыми ставится значок – называемый «титло». Чтобы отделить такие буквы – числа от текста, спереди и сзади ставились точки.

Этот способ обозначения цифр называется цифирью. Он был заимствован славянами от средневековых греков – византийцев. Поэтому цифры обозначались только теми буквами, для которых есть соответствия в греческом алфавите.

Для обозначения больших чисел славяне придумали свой оригинальный способ:

десять тысяч – тьма,

десять тем – легион,

десять легионов – леорд,

десять леордов – ворон,

десять воронов – колода.

Такой способ обозначения чисел по сравнению с принятой в Европе десятичной системой был очень неудобен. Поэтому Петр 1 ввел в России привычные для нас десять цифр, отметив буквенную цифирь.

1. Владимир Лёвшин “Магистр рассеянных наук”. Издательский Дом Мещерякова, Москва 2007.

2. Льюис Кэррол “История с узелками”. Издательство “Мир”, Москва 1973.

3. Станислав Коваль “От развлечения к знаниям. Математическая смесь”. WYDAWNICTWA. NAUKOWO-TECHNICZNE WARSZAWA 1972.

4. А.П. Савин, В. В. Станцо, А. Ю. Котова “Я познаю мир. Математика”. “Издательство АСТ-ЛТД”, Москва 1997.

История чисел.

Цифры – одно из древнейших изобретений. Из цифр складываются числа: маленькие, большие и очень большие.

Но всегда ли было так?

Во все ли времена и у всех ли народов?

Просмотр содержимого документа
«Доклад на тему "История возникновения чисел"»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РД

МКОУ «НОВОМАКИНСКАЯ СОШ»

НА ТЕМУ:

Подготовил: учитель математики

Цифры – одно из древнейших изобретений. Из цифр складываются числа: маленькие, большие и очень большие.

Но всегда ли было так?

Во все ли времена и у всех ли народов?

Сначала считали на пальцах

Не так уж и много приходилось считать первобытному человеку. Был у него свой первобытный «компьютер» – десять пальцев на руках. Разгибал пальцы, складывал числа. Загибал – вычитал. На пальцах считать удобно, только результат счета хранить нельзя. Не станешь же целый день ходить с загнутыми пальцами. Этот древний «прибор» и сейчас используют маленькие дети, когда начинают учиться считать в пределах десяти. Сначала считали на пальцах. Когда пальцы на одной руке кончались, переходили на другую, а если на двух руках не хватало, переходили на ноги. Поэтому, если в те времена кто-то хвалился, что у него «две руки и одна нога кур», это означало, что у него пятнадцать кур, а если это называлось «весь человек», то есть две руки и две ноги.

Ещё недавно существовали племена, в языке которых были названия только двух чисел: «один» и «два». Пять — рука, шесть — один на другой руке, семь — два на другой руке, десять — две руки, полчеловека. Пятнадцать — нога, шестнадцать — один на другой ноге, двадцать — один человек, двадцать два — два на руке другого человека, сорок — два человека, пятьдесят три — три на первой ноге у третьего человека. Раньше люди чтобы пересчитать стадо из 128 оленей должны были взять семь человек.

Использование камней, узелков.

Древний человек догадался: для счета можно использовать не только пальцы, но и все, что попадается под руки – камешки, палочки, косточки. В древние времена, когда человек хотел показать, сколькими животными он владел, он клал в большой мешок столько камешков, сколько у него было животных. Чем больше животных, тем больше камешков. Отсюда и произошло слово «калькулятор», «калькулюс» по латински означает «камень».

Перуанские инки вели счет животных и урожая, завязывая узелки на ремешках или шнурках разной длины и цвета .Эти узелки назывались кипу. У некоторых богатеев скапливалось по несколько метров этой веревочной «счетной книги», попробуй, вспомни через год, что означают 4 узелочка на шнурочке! Поэтому того, кто завязывал узелки, называли вспоминателем.

Первыми придумали запись чисел древние шумеры. Они пользовались всего двумя цифрами. Вертикальная чёрточка обозначала одну единицу, а угол из двух лежачих чёрточек – десять. Эти чёрточки у них получались в виде клиньев, потому что они писали острой палочкой на сырых глиняных дощечках, которые потом сушили и обжигали. Вот так выглядели эти дощечки .

После счета по зарубкам люди изобрели особые символы, названные цифрами. Они стали применяться для обозначения различных количеств каких-либо предметов. Разные цивилизации создавали свои собственные цифры

Так, например, в древней египетской нумерации, зародившейся более 5000 лет назад, существовали особые знаки (иероглифы) для записи чисел 1, 10, 100, 1000, …:

Для того чтобы изобразить, например, целое число 23145, достаточно записать в ряд два иероглифа, изображающие десять тысяч, затем три иероглифа для тысячи, один – для ста, четыре – для десяти и пять иероглифов для единицы:

Этого одного примера достаточно, чтобы научиться записывать числа так, как их изображали древние египтяне. Это система очень проста и примитивна.

Народы (вавилоняне, ассирийцы, шумеры), жившие в Междуречье Тигра и Евфрата в период от II тысячелетия до н.э. до начала нашей эры,

сначала обозначали числа с помощью кругов и полукругов различной величины, но затем стали использовать только два клинописных знака – прямой клин  и лежащий клин . Эти народы использовали шестидесятеричную систему счисления, например число 23 изображали так:    . Число 60 снова обозначалось знаком , например число 92 записывали так:  .

Индейцы племени майя

В начале нашей эры индейцы племени майя, которые жили на полуострове Юкатан в Центральной Америке, пользовались другой системой счисления – двадцатеричной. Они обозначали 1 точкой, а 5 – горизонтальной чертой, например, запись ‗‗‗‗‗‗ означала 14. В системе счисления майя был и знак для нуля. По своей форме он напоминал полузакрытый глаз.

Сначала числа 5, 10, 100, 1000, 10000 обозначали буквами Г, Н, Х, М, а число 1 – черточкой /. Из этих знаков составляли обозначения    Г (35) и т.д. Позднее числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …стали обозначать буквами греческого алфавита, к которому пришлось добавить еще три устаревшие буквы. Чтобы отличить цифры от букв, над буквами ставили черточку.

изобрели для каждой цифры свой знак. Вот как они выглядели

Однако Индия была оторвана от других стран, – на пути лежали тысячи километров расстояния и высокие горы.

Арабы были первыми «чужими», которые заимствовали цифры у индийцев и привезли их в Европу. Чуть позже арабы упростили эти значки, они стали выглядеть вот так

Они похожи на многие наши цифры. Слово «цифра» тоже досталось нам от арабов по наследству. Арабы нуль, или «пусто», называли «сифра». С тех пор и появилось слово «цифра».

В основе римской нумерации использованы принципы сложения (например, VI = V + I) и вычитания (например, IX = X -1). Римская система нумерации десятичная, но непозиционная. Римские цифры произошли не от букв. Первоначально они обозначались, как и у многих народов, «палочками» (I – один, X – 10 – перечеркнутая палочка, V – 5 – половина от десяти, сто – кружочек с черточкой внутри, пять­десят — половина этого знака и т. д.).

Со временем некоторые знаки изменились: С – сто, L – пятьде­сят, М – тысяча, D – пятьсот. Например:

XL – 40, LXXX – 80, ХС – 90,

CDLIX – 459, CCCLXXXII – 382,

CMXCI – 991, MCMXCVIII – 1998, MMI – 2001

Произошло постепенное превращение первоначальных цифр в наши современные цифры.

Арабские числа в России стали применять, в основном, с XVIII века. До того наши предки использовали славянскую нумерацию. Над бук­вами ставились титлы (черточки), и тогда буквы обозначали числа. В одной из русских рукописей XVIII века написано: «. Знай же то, что есть сто и что есть тысяща, и что есть тма, и что есть легион, и что есть леодр. ; . сто есть десятью десять, а тысяща есть десять сот, а тма десять тысящ, а легион есть десять тем, а леодр есть де­сять легионов. ». Сотни миллионов назывались «колодами». Первые девять чисел записывались так:

В первой части своей работы я рассказала этапы развития чисел – от первобытного строя до современности.

Исторически первыми возникли натуральные числа N, как результат пересчета пердметов. Множество этих чисел бесконечно и образует натуральный ряд N=<1,2,3. n. >. В этом множестве выполнимы операции сложения и умножения. Для выполнения операции вычитания потребовались новые числа, что привело к появлению множества целых чисел: Z. Z=N₊∪N−∪<0>. Таким образом в множестве целых чисел всегда выполняются операции сложения, умножения, вычитания.

Необходимость выполнения деления привела к множеству рациональных чисел Q. Q=<,m∈Z,n∈N>.

Определение. Два рациональных числа равны: = – если m1⋅n2=n1⋅m2. Это означает, что всякое рациональное число можно представить единственным образом в виде несократмой дроби . НОД(m,n)=1.

Свойства множества рациональных чисел

1. В результате арифметических операций над рациональными числами (сложение, умножение, вычитание, деление, кроме деления на ноль) получается рациональное число.

2. Множество рациональных чисел упорядочено, то есть для любой пары рациональных чисел a и b либо ab, либо ab.

3. Множество рациональных чисел плотно, то есть для любой пары рациональных чисел a и b существует такое рациональное число c, что abc. Очевидно, что таких чисел бесконечное множество.

Всякое положительное рациональное число всегда можно представить в виде десятичной дроби: либо конечной, либо бесконечной периодической. Например: =0,6, =0,333. =0,(3).

=a,a₁a₁. a_kb₁b₂b₃. b_nb₁b₂b₃. b_n.

b₁b₂b₃. b_n. – называется периодом десятичной дроби, где не все b_i=0.

Заметим, что конечная дробь может быть записана в виде бесконечной периодической с нулем в периоде. =a,a₁a₁. a_k000000. a_k≠0.

Однако, чаще встречается другое представление рациональных чисел в виде десятичной дроби: =a,a₁a₁. (a_k−1)999.

Отрицательные рациональные числа − записываютсяв виде десятичного разложения рационального числа вида, взятого с противоположным знаком.

Число 0 представляется в виде 0,000.

Таким образом, всякое рациональное число всегда представимо в виде бесконечной десятичной периодической дроби не содержащей 0 в периоде, кроме самого числа 0. Такое представление единственное.

Множество рациональных чисел замкнуто относительно четырёх арифметических операций. Однако в множестве рациональных чисел не всегда имеет место решение простейшего уравнения вида x 2 −n=0. Поэтому возникает необходимость введения новых чисел.

Покажем, что среди рациональных чисел нет числа, квадрат которого равен трём. Доказательство проведём методом от противного.

Предположим, что существует рациональное число такое, что его квадрат равен трём: () 2 =3(1).

Будем считать дробь несократимой.

Правая часть равенства (2) делится на 3. Значит и m 2 делится на 3, следовательно m делится на 3, а это значит, что m=3k. Подставим в равенство (2), получим:

Левая часть равенства (3) делится на 3, значит и правая часть делится на 3. Следовательно n2 делится на 3, значит и n делится на 3, откуда n=3p. В результате получаем: = , то есть дробь оказалась сократимой, что противоречит предположению. Значит, среди рациональных чисел нет такого числа, квадрат которого равен трём.

Но число, квадрат которого равен трём, существует. Оно представимо в виде бесконечной непериодической дроби. И мы получили новый вид чисел. Назовём их иррациональными.

Определение. Иррациональным числом называется любая бесконечная непериодическая дробь.

Множество всех бесконечных непериодических дробей называется множеством иррациональных чисел и обозначается I.

Объединение множества рациональных чисел Q и иррациональных чисел I даёт множество действительных чисел R: Q∪I=R.

Множество действительных чисел

Таким образом всякое действительное число представимо в виде бесконечной десятичной дроби: периодической в случае рационального числа и непериодической в случае иррационального числа.

Сравнение действительных чисел

1) Пусть a и b оба положительны: a0, b0, тогда:

2) Пусть a0, bba, следовательно ba.

3) Пусть a и b оба отрицательны: ab

Проследив основные этапы зарождения чисел, их различных систем записей у разных народов, необходимо сделать такой вывод: не зря многие ученые умы интересовались понятием числа, раскрывали его тайны. Да и в наш технократичный век, когда с числами сталкиваешься повсеместно (на денежных знаках, ценниках, компьютерах, панелях стиральных машин и т.д.) это понятие не утратило своей актуальности. Трудно себе представить как современный человек смог бы прожить, если бы когда-то, много тысячелетий назад, не была бы приоткрыта тайна великих и загадочных чисел.

Акимова С. Занимательная математика. – СПб.; Тригон, 1997.

Дектярёва З. А. Математика после уроков. – Краснодар, 1996.

Депман И. Я. За страницами учебника математики. – М.; Просвещение,1989.

Математика: Школьная энциклопедия. – М.; «Большая Российская энциклопедия», 1996.

Мясникова Т. История развития понятия отрицательного числа. – М., Первое сентября. – 2004. – № 41.

Позднякова А. Г. Математический вечер в школе. / Математика в школе. – 1989. – № 5.

Трифонов Д. Математические силуэты «звериного» числа. / Математика – 1999. – № 1.

Шеина О. С., Соловьёва Г. М. Математика. Занятие школьного кружка. 5 – 6 класс. – М., НЦ ЭНАС, 2001.

Щербакова Ю. В. Занимательная математика на уроках и внеклассных мероприятиях. 5 – 8 классы. – М.; ООО «Глобус», 2008.

10. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика./ Под ред. О. Г. Хини. – М.; АСТ – ЛТД, 1997.