0

Из параметрического в общее уравнение прямой

В данной статье мы рассмотрим параметрическое уравнение прямой на плоскости. Приведем примеры построения параметрического уравнения прямой, если известны две точки этой прямой или если известна одна точка и направляющий вектор этой прямой. Представим методы преобразования уравнения в параметрическом виде в канонический и общий виды.

Параметрическое уравнение прямой L на плоскости представляется следующей формулой:

(1)

Отметим что при записи уравнения прямой в параметрическом виде, направляющий вектор прямой не должен быть нулевым вектором, т.е хотя бы один координат направляющего вектора q должен быть отличным от нуля.

Для построения прямой на плоскости в декартовой прямоугольной системе координат, заданной параметрическим уравнением (1), достаточно задать параметру t две разные значения, вычислить x и y и провести через эти точки прямую линию. При t=0 имеем точку M1(x1, y1) при t=1, получим точку M2(x1+m, y1+p).

Для составления параметрического уравнения прямой на плоскости L достаточно иметь точку на прямой L и направляющий вектор прямой или две точки, принадлежащие прямой L. В первом случае, для построения параметрического уравнения прямой нужно координаты точки и направляющего вектора вставить в уравнение (1). Во втором случае сначала нужно найти направляющий вектор прямой q=<m, p>, вычисляя разности соответствующих координатов точек M1 и M2: m=x2x1, p=y2y1(Рис.1). Далее, аналогично первому случаю, подставить координаты одной из точек (не имеет значение какой именно) и направляющего вектора q прямой в (1).

Можно также вывести формулу параметрического уравнения прямой, проходящей через две точки. Для этого подставим значения m=x2x1, p=y2y1 в (1), получим параметрическое уравнение прямой на плоскости, проходящей через точки M1(x1, y1) и M2(x2, y2):

(2)

Пример 1. Прямая проходит через точку M=(3,−1) и имеет направляющий вектор q=<−3, 5>. Построить параметрическое уравнение прямой.

Решение. Для построения параметрического уравнения прямой, подставим координаты точки и направляющего вектора в уравнение (1):

Пример 2. Прямая проходит через точки M1=(−5, 2) и M2=(−2, 3). Построить параметрическое уравнение прямой.

Решение. Воспользуемся формулой (2). Подставим координаты точек M1 и M2 в уравнение (2):

Упростим полученное уравнение:

Приведение параметрического уравнения на плоскости к каноническому виду

Выразим параметр t в (1) через переменные x и y:

(3)

Из выражений (3), можем записать каноническое уравнение прямой на плоскости:

. (4)

Обратное преобразование смотрите здесь.

Пример 3. Прямая на плоскости представлена следующим параметрческим уравнением:

Привести данное уравнение прямой к каноническому виду.

Решение: Выразим параметр t через переменные x и y:

(5)

Из выражений (5), можем записать:

Приведение параметрического уравнения на плоскости к общему виду

Для приведения параметрического уравнения прямой на плоскости к общему виду, в формулах (1) выразим из второго уравнения параметр t через переменную y и подставим в первое уравнение:

(6)

Умножим обе части уравнения (6) на p и группируем элементы уравнения:

. (7)

Сделаем обозначения: A=p, B=−m, C=−px1+my1. Тогда получим общее уравнение прямой:

Ax+By+C=0. (8)

Обратное преобразование смотрите здесь.

Пример 4. Прямая на плоскости представлена следующим параметрческим уравнением:

(9)

Привести данное уравнение прямой к общему виду.

Решение: В уравнении (9) имеем: x1=−5, y1=0, m=4, p=−2. Подставим эти значения в формулу (7):

(10)

Упростив выражение (10) получим общее уравнение прямой (9):

Как показано выше, уравнения одой и той же прямой можно записать по крайней мере в трех видах: общие уравнения прямой, параметрические уравнения прямой и канонические уравнения прямой. Рассмотрим вопрос о переходе от уравнений прямой одного вида к уравнениям прямой в другом виде.

Во-первых заметим, что если заданы уравнения прямой в параметрической форме, то тем самым заданы точка, через которую проходит прямая и направляющий вектор прямой. Поэтому не составляет труда записать уравнения прямой в канонической форме.

Даны уравнения прямой в параметрической форме

.

Записать канонические уравнения прямой.

Прямая проходит через точку и имеет направляющий вектор. Следовательно, канонические уравнения прямой имеют вид

.

Аналогично решается задача о переходе от канонических уравнений прямой к параметрическим уравнениям прямой.

Переход от канонических уравнений прямой к общим уравнениям прямой рассматривается ниже на примере.

Даны канонические уравнения прямой

.

Записать общие уравнения прямой.

Запишем канонические уравнения прямой в виде системы двух уравнений

.

Избавляясь от знаменателей путем умножения обеих частей первого уравнения на 6, а второго уравнения на 4, получим систему

.

.

Полученная система уравнений и есть общие уравнения прямой.

Рассмотрим переход от общих уравнений прямой к параметрическим и каноническим уравнениям прямой. Чтобы записать канонические или параметрические уравнения прямой, надо знать точку, через которую проходит прямая, и направляющий вектор прямой. Если определить координаты двух точек и, лежащих на прямой, то в качестве направляющего вектора м можно взять вектор. Координаты двух точек, лежащих на прямой, можно получить как решения системы уравнений, определяющих общие уравнения прямой. В качестве точки, через которую проходит прямая, можно взять любую из точеки. Проиллюстрируем сказанное выше на примере.

Читайте также:  Как восстановить повреждённые сектора жёсткого диска

Даны общие уравнения прямой

.

Записать параметрические и канонические уравнения прямой.

Найдем координаты двух точек, лежащих на прямой, как решения этой системы уравнений. Полагая , получим систему уравнений

.

Решая эту систему, находим . Следовательно, точкалежит на прямой. Полагая, получаем систему уравнений

,

решая которую находим . Следовательно, прямая проходит через точку. Тогда в качестве направляющего вектора можно взять вектор

.

Итак, прямая проходит через точку и имеет направляющий вектор. Следовательно, параметрические уравнения прямой имеют вид

.

Тогда канонические уравнения прямой запишутся в виде

.

Другой способ нахождения направляющего вектора прямой по общим уравнениям прямой основан на том, что в этом случае заданы уравнения плоскостей, а значит и нормали к этим плоскостям.

Пусть общие уравнения прямой имеют вид

и– нормали к первой и второй плоскости, соответственно. Тогда векторможно взять в качестве направляющего вектора прямой. В самом деле, прямая, будучи линией пересечения этих плоскостей, одновременно перпендикулярна векторами. Следовательно, она коллинеарна векторуи значит этот вектор можно взять в качестве направляющего вектора прямой. Рассмотрим пример.

Даны общие уравнения прямой

.

Записать параметрические и канонические уравнения прямой.

Прямая является линией пересечения плоскостей с нормалями и. Берем в качестве направляющего вектора прямой вектор

Найдем точку, лежащую на прямой. Найдем точку, лежащую на прямой. Пусть . Тогда получаем систему

.

Решая систему, находим .Следовательно, точкалежит на прямой. Тогда параметрические уравнения прямой можно записать в виде

.

Канонические уравнения прямой имеют вид

.

Наконец, к каноническим уравнениям можно перейти исключив в одном из уравнений одну из переменных, а затем другую переменную. Рассмотрим этот метод на примере.

Даны общие уравнения прямой

.

Записать канонические уравнения прямой.

Исключим из второго уравнения переменную у, прибавив к нему первое, умноженное на четыре. Получим

.

.

Теперь исключим из второго уравнения переменную , прибавив к нему первое уравнение, умноженное на два. Получим

.

.

Отсюда получаем каноническое уравнение прямой

.

.

.

Одним из подпунктов темы «Уравнение прямой на плоскости» является вопрос составления параметрических уравнений прямой на плоскости в прямоугольной системе координат. В статье ниже рассматривается принцип составления подобных уравнений при определенных известных данных. Покажем, как от параметрических уравнений переходить к уравнениям иного вида; разберем решение типовых задач.

Вывод параметрических уравнений прямой на плоскости

Конкретная прямая может быть определена, если задать точку, которая принадлежит этой прямой, и направляющий вектор прямой.

Допустим, нам задана прямоугольная система координат O x y . А также заданы прямая а с указанием лежащей на ней точки М 1 ( x 1 , y 1 ) и направляющий вектор заданной прямой a → = ( a x , a y ) . Дадим описание заданной прямой a , используя уравнения.

Используем произвольную точку М ( x , y ) и получим вектор М 1 М → ; вычислим его координаты по координатам точек начала и конца: M 1 M → = ( x – x 1 , y – y 1 ) . Опишем полученное: прямая задана множеством точек М ( x , y ) , проходит через точку М 1 ( x 1 , y 1 ) и имеет направляющий вектор a → = ( a x , a y ) . Указанное множество задает прямую только тогда, когда векторы M 1 M → = ( x – x 1 , y – y 1 ) и a → = ( a x , a y ) являются коллинеарными.

Существует необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов, которое в данном случае для векторов M 1 M → = ( x – x 1 , y – y 1 ) и a → = ( a x , a y ) возможно записать в виде уравнения:

M 1 M → = λ · a → , где λ – некоторое действительное число.

Уравнение M 1 M → = λ · a → называют векторно-параметрическим уравнением прямой.

В координатной форме оно имеет вид:

M 1 M → = λ · a → ⇔ x – x 1 = λ · a x y – y 1 = λ · a y ⇔ x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ

Уравнения полученной системы x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ носят название параметрических уравнений прямой на плоскости в прямоугольной системе координат. Суть названия в следующем: координаты всех точек прямой возможно определить по параметрическим уравнениям на плоскости вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ при переборе всех действительных значений параметра λ

Составление параметрических уравнений прямой на плоскости

Согласно вышесказанному, параметрические уравнения прямой на плоскости x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ определяют прямую линию, которая задана в прямоугольной системе координат, проходит через точку М 1 ( x 1 , y 1 ) и имеет направляющий вектор a → = ( a x , a y ) . Следовательно, если заданы координаты некоторой точки прямой и координаты ее направляющего вектора, то возможно сразу записать параметрические уравнения заданной прямой.

Необходимо составить параметрические уравнения прямой на плоскости в прямоугольной системе координат, если заданы принадлежащая ей точка М 1 ( 2 , 3 ) и ее направляющий вектор a → = ( 3 , 1 ) .

Читайте также:  Как в экселе увеличить масштаб при печати

Решение

На основе исходных данных получим: x 1 = 2 , y 1 = 3 , a x = 3 , a y = 1 . Параметрические уравнения будут иметь вид:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = 3 + 1 · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ

Ответ: x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ

Необходимо отметить: если вектор a → = ( a x , a y ) служит направляющим вектором прямой а, а точки М 1 ( x 1 , y 1 ) и М 2 ( x 2 , y 2 ) принадлежат этой прямой, то ее возможно определить, задав параметрическими уравнениями вида: x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , а также и таким вариантом: x = x 2 + a x · λ y = y 2 + a y · λ .

К примеру, нам заданы направляющий вектор прямой a → = ( 2 , – 1 ) , а также точки М 1 ( 1 , – 2 ) и М 2 ( 3 , – 3 ) , принадлежащие этой прямой. Тогда прямую определяют параметрические уравнения: x = 1 + 2 · λ y = – 2 – λ или x = 3 + 2 · λ y = – 3 – λ .

Следует обратить внимание и на такой факт: если a → = ( a x , a y ) – направляющий вектор прямой a , то ее направляющим вектором будет и любой из векторов μ · a → = ( μ · a x , μ · a y ) , где μ ϵ R , μ ≠ 0 .

Таким образом, прямая а на плоскости в прямоугольной системе координат может быть определена параметрическими уравнениями: x = x 1 + μ · a x · λ y = y 1 + μ · a y · λ при любом значении μ , отличном от нуля.

Допустим, прямая а задана параметрическими уравнениями x = 3 + 2 · λ y = – 2 – 5 · λ . Тогда a → = ( 2 , – 5 ) направляющий вектор этой прямой. А также любой из векторов μ · a → = ( μ · 2 , μ · – 5 ) = 2 μ , – 5 μ , μ ∈ R , μ ≠ 0 станет направляющим вектором для заданной прямой. Для наглядности рассмотрим конкретный вектор – 2 · a → = ( – 4 , 10 ) , ему соответствует значение μ = – 2 . В таком случае заданную прямую можно также определить параметрическими уравнениями x = 3 – 4 · λ y = – 2 + 10 · λ .

Переход от параметрических уравнений прямой на плоскости к прочим уравнениям заданной прямой и обратно

В решении некоторых задач применение параметрических уравнений является не самым оптимальным вариантом, тогда возникает необходимость перевода параметрических уравнений прямой в уравнения прямой другого вида. Рассмотрим, как же это сделать.

Параметрическим уравнениям прямой вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ будет соответствовать каноническое уравнение прямой на плоскости x – x 1 a x = y – y 1 a y .

Разрешим каждое из параметрических уравнений относительно параметра λ , приравняем правые части полученных равенств и получим каноническое уравнение заданной прямой:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ λ = x – x 1 a x λ = y – y 1 a y ⇔ x – x 1 a x = y – y 1 a y

При этом не должно смущать, если a x или a y будут равны нулю.

Необходимо осуществить переход от параметрических уравнений прямой x = 3 y = – 2 – 4 · λ к каноническому уравнению.

Решение

Запишем заданные параметрические уравнения в следующем виде: x = 3 + 0 · λ y = – 2 – 4 · λ

Выразим параметр λ в каждом из уравнений: x = 3 + 0 · λ y = – 2 – 4 · λ ⇔ λ = x – 3 0 λ = y + 2 – 4

Приравняем правые части системы уравнений и получим требуемое каноническое уравнение прямой на плоскости:

x – 3 0 = y + 2 – 4

Ответ: x – 3 0 = y + 2 – 4

В случае, когда необходимо записать уравнение прямой вида A x + B y + C = 0 , при этом заданы параметрические уравнения прямой на плоскости, необходимо сначала осуществить переход к каноническому уравнению, а затем к общему уравнению прямой. Запишем всю последовательность действий:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ λ = x – x 1 a x λ = y – y 1 a y ⇔ x – x 1 a x = y – y 1 a y ⇔ ⇔ a y · ( x – x 1 ) = a x · ( y – y 1 ) ⇔ A x + B y + C = 0

Необходимо записать общее уравнение прямой, если заданы определяющие ее параметрические уравнения: x = – 1 + 2 · λ y = – 3 · λ

Решение

Для начала осуществим переход к каноническому уравнению:

x = – 1 + 2 · λ y = – 3 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y – 3 ⇔ x + 1 2 = y – 3

Полученная пропорция идентична равенству – 3 · ( x + 1 ) = 2 · y . Раскроем скобки и получим общее уравнение прямой: – 3 · x + 1 = 2 · y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0 .

Ответ: 3 x + 2 y + 3 = 0

Следуя вышеуказанной логике действий, для получения уравнения прямой с угловым коэффициентом, уравнения прямой в отрезках или нормального уравнения прямой необходимо получить общее уравнение прямой, а от него осуществлять дальнейший переход.

Теперь рассмотрим обратное действие: запись параметрических уравнений прямой при другом заданном виде уравнений этой прямой.

Самый простой переход: от канонического уравнения к параметрическим. Пусть задано каноническое уравнение вида: x – x 1 a x = y – y 1 a y . Каждое из отношений этого равенства примем равным параметру λ :

x – x 1 a x = y – y 1 a y = λ ⇔ λ = x – x 1 a x λ = y – y 1 a y

Разрешим полученные уравнения относительно переменных x и y :

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ

Необходимо записать параметрические уравнения прямой, если известно каноническое уравнение прямой на плоскости: x – 2 5 = y – 2 2

Решение

Приравняем части известного уравнения к параметру λ : x – 2 5 = y – 2 2 = λ . Из полученного равенства получим параметрические уравнения прямой: x – 2 5 = y – 2 2 = λ ⇔ λ = x – 2 5 λ = y – 2 5 ⇔ x = 2 + 5 · λ y = 2 + 2 · λ

Ответ: x = 2 + 5 · λ y = 2 + 2 · λ

Когда необходимо осуществить переход к параметрическим уравнениям от заданного общего уравнения прямой, уравнения прямой с угловым коэффициентом или уравнения прямой в отрезках, необходимо исходное уравнение привести к каноническому, а после осуществлять переход к параметрическим уравнениям.

Читайте также:  Бесплатные объявления на авито стали платными

Необходимо записать параметрические уравнения прямой при известном общем уравнении этой прямой: 4 x – 3 y – 3 = 0 .

Решение

Заданное общее уравнение преобразуем в уравнение канонического вида:

4 x – 3 y – 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 y + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 y + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4

Приравняем обе части равенства к параметру λ и получим требуемые параметрические уравнения прямой:

x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 · λ y = – 1 3 + 4 · λ

Ответ: x = 3 · λ y = – 1 3 + 4 · λ

Примеры и задачи с параметрическими уравнениями прямой на плоскости

Рассмотрим чаще всего встречаемые типы задач с использованием параметрических уравнений прямой на плоскости в прямоугольной системе координат.

  1. В задачах первого типа заданы координаты точек, принадлежащих или нет прямой, описанной параметрическими уравнениями.

Решение таких задач опирается на следующий факт: числа ( x , y ) , определяемые из параметрических уравнений x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ при некотором действительном значении λ , являются координатами точки, принадлежащей прямой, которая описывается этими параметрическими уравнениями.

Необходимо определить координаты точки, которая лежит на прямой, заданной параметрическими уравнениями x = 2 – 1 6 · λ y = – 1 + 2 · λ при λ = 3 .

Решение

Подставим в заданные параметрические уравнения известное значение λ = 3 и осуществим вычисление искомых координат: x = 2 – 1 6 · 3 y = – 1 + 2 · 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5

Ответ: 1 1 2 , 5

Также возможна следующая задача: пусть задана некоторая точка M 0 ( x 0 , y 0 ) на плоскости в прямоугольной системе координат и нужно определить, принадлежит ли эта точка прямой, описываемой параметрическими уравнениями x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ .

Чтобы решить подобную задачу, необходимо подставить координаты заданной точки в известные параметрические уравнения прямой. Если будет определено, что возможно такое значение параметра λ = λ 0 , при котором будут верными оба параметрических уравнения, тогда заданная точка является принадлежащей заданной прямой.

Заданы точки М 0 ( 4 , – 2 ) и N 0 ( – 2 , 1 ) . Необходимо определить, являются ли они принадлежащими прямой, определенной параметрическими уравнениями x = 2 · λ y = – 1 – 1 2 · λ .

Решение

Подставим координаты точки М 0 ( 4 , – 2 ) в заданные параметрические уравнения:

4 = 2 · λ – 2 = – 1 – 1 2 · λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2

Делаем вывод, что точка М 0 принадлежит заданной прямой, т.к. соответствует значению λ = 2 .

Далее по аналогии проверим заданную точку N 0 ( – 2 , 1 ) , подставив ее координаты в заданные параметрические уравнения:

– 2 = 2 · λ 1 = – 1 – 1 2 · λ ⇔ λ = – 1 λ = – 4

Очевидно, что не существует такого параметра λ , которому будет соответствовать точка N 0 . Другими словами, заданная прямая не проходит через точку N 0 ( – 2 , 1 ) .

Ответ: точка М 0 принадлежит заданной прямой; точка N 0 не принадлежит заданной прямой.

  1. В задачах второго типа требуется составить параметрические уравнения прямой на плоскости в прямоугольной системе координат. Самый простой пример такой задачи (при известных координатах точки прямой и направляющего вектора) был рассмотрен выше. Теперь разберем примеры, в которых сначала нужно найти координаты направляющего вектора, а потом записать параметрические уравнения.

Пример 8

Задана точка M 1 1 2 , 2 3 . Необходимо составить параметрические уравнения прямой, проходящей через эту точку и параллельной прямой x 2 = y – 3 – 1 .

Решение

По условию задачи прямая, уравнение которой нам предстоит опередить, параллельна прямой x 2 = y – 3 – 1 . Тогда в качестве направляющего вектора прямой, проходящей через заданную точку, возможно использовать направляющий вектор прямой x 2 = y – 3 – 1 , который запишем в виде: a → = ( 2 , – 1 ) . Теперь известны все необходимые данные для того, чтобы составить искомые параметрические уравнения:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 1 2 + 2 · λ y = 2 3 + ( – 1 ) · λ ⇔ x = 1 2 + x · λ y = 2 3 – λ

Ответ: x = 1 2 + x · λ y = 2 3 – λ .

Задана точка М 1 ( 0 , – 7 ) . Необходимо записать параметрические уравнения прямой, проходящей через эту точку перпендикулярно прямой 3 x – 2 y – 5 = 0 .

Решение

В качестве направляющего вектора прямой, уравнение которой надо составить, возможно взять нормальный вектор прямой 3 x – 2 y – 5 = 0 . Его координаты ( 3 , – 2 ) . Запишем требуемые параметрические уравнения прямой:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 0 + 3 · λ y = – 7 + ( – 2 ) · λ ⇔ x = 3 · λ y = – 7 – 2 · λ

Ответ: x = 3 · λ y = – 7 – 2 · λ

  1. В задачах третьего типа требуется осуществить переход от параметрических уравнений заданной прямой к прочим видам уравнений, которые ее определяют. Решение подобных примеров мы рассматривали выше, приведем еще один.

Пример 10

Дана прямая на плоскости в прямоугольной системе координат, определяемая параметрическими уравнениями x = 1 – 3 4 · λ y = – 1 + λ . Необходимо найти координаты какого-либо нормального вектора этой прямой.

Решение

Чтобы определить искомые координаты нормального вектора, осуществим переход от параметрических уравнений к общему уравнению:

x = 1 – 3 4 · λ y = – 1 + λ ⇔ λ = x – 1 – 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x – 1 – 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 · x – 1 = – 3 4 · y + 1 ⇔ x + 3 4 y – 1 4 = 0

Коэффициенты переменных x и y дают нам требуемые координаты нормального вектора. Таким образом, нормальный вектор прямой x = 1 – 3 4 · λ y = – 1 + λ имеет координаты 1 , 3 4 .

admin

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *