Изменение знака перед дробью

Из основного свойства дроби вытекает, что величина дроби не изменится, если её числитель и знаменатель умножить на —1, например:

Но умножение любого числа на —1 только меняет его знак на противоположный. Итак:

Значение дроби не изменится, если изменить знаки числителя и знаменателя на противоположные:

К такому преобразованию дробей приходится иногда прибегать, например, при их сложении.

Посмотрим, что получится с дробью, если переменить знак только у одного из членов дроби:

Мы видим, что когда переменили знак только у числителя или только у знаменателя, то получили число, противоположное прежнему, то есть знак у дроби переменился на противоположный.

Пусть мы изменили знак у одного из членов дроби; согласно предыдущему получили число, противоположное прежнему. Значит, если у этой новой дроби переменим знак на противоположный, то получим прежнюю дробь.

Пример. Пусть дана дробь Изменив знак у числителя, получим Изменив знак перед этой дробью, получим , то есть прежнее значение дроби.

Значение дроби не изменится, если переменить знак у одного из членов дроби и перед самой дробью:

Это правило применяется и при действиях с дробями. Так, решение предыдущего примера можно было выполнить и таким образом:

Переменив знак у знаменателя второй дроби, мы переменили знак и перед самой дробью.

Приведём ещё пример:

В первом случае мы переменили знак у обоих членов второй дроби, оставив тот же знак перед дробью.

Во втором случае мы переменили знак только у знаменателя, но одновременно переменили знак и перед дробью.

В обоих случаях получили один и тот же результат, как и должно быть.

Данный обобщенный материал известен из школьного курса математики. Тут рассматриваем дроби общего вида с числами, степенями, корнями, логарифмами, тригонометрическими функция ми или другими объектами. Будут рассмотрены основные преобразования дробей вне зависимости от их вида.

Что такое дробь?

Дробь – это выражение, которое записывается в виде A B или А / В , где A и B являются некоторыми произвольными числами.

Существует еще несколько определений.

Горизонтальная наклонная черта, которая разделяет A и B , называют чертой дроби или дробной чертой.

Выражение, которое находится над чертой дроби, называют числителем, а под – знаменателем.

От обыкновенных дробей к дробям общего вида

Знакомство с дробью происходит еще в 5 классе, когда проходят обыкновенные дроби. Из определения видно, что числителем и знаменателем являются натуральные числа.

К примеру 1 5 , 2 6 , 12 7 , 3 1 , которые можно записать как 1 / 5 , 2 / 6 , 12 / 7 , 3 / 1 .

После изучения действий с обыкновенными дробями имеем дело с дробями, которые имеют в знаменателе не одно натуральное число, а выражения с натуральными числами.

Например, 1 + 3 5 , 9 – 5 16 , 2 · 7 9 · 12 .

Когда имеем дело с дробями, где есть буквы или буквенные выражения, то записывается таким образом:

a + b c , a – b c , a · c b · d .

Зафиксируем правила сложения, вычитания, умножения обыкновенных дробей a c + b c = a + b c , a c – b c = a – b c , a b · v d = a · c b · d

Для вычисления зачастую необходимо приходить к переводу смешанных чисел в обыкновенные дроби. Когда целую часть обозначим как a , тогда дробная имеет вид b / c , получаем дробь вида a · c + b c , откуда понятно появления таких дробей 2 · 11 + 3 11 , 5 · 2 + 1 2 и так далее.

Черта дроби расценивается как знак деления. Поэтому запись можно преобразовать по-другому:

1 : a – ( 2 · b + 1 ) = 1 a – 2 · b + 1 , 5 – 1 , 7 · 3 : 2 · 3 – 4 : 2 = 5 – 1 , 7 · 3 2 · 3 – 4 : 2 , где частное 4 : 2 можно заменить на дробь, тогда получим выражение вида

5 – 1 , 7 · 3 2 · 3 – 4 2

Вычисления с рациональными дробями занимают особое место в математике, так как в числителе и знаменателе могут быть не просто числовые значения, а многочлены.

Например, 1 x 2 + 1 , x · y – 2 · y 2 0 , 5 – 2 · x + y 3 .

Рациональные выражения рассматриваются как дроби общего вида.

Например, x · x + 1 4 x 2 · x 2 – 1 2 · x 3 + 3 , 1 + x 2 · y · ( x – 2 ) 1 x + 3 · x 1 + 2 – x 4 · x 5 + 6 · x .

Изучение корней, степеней с рациональными показателями, логарифмов, тригонометрических функций говорит о том, что их применение появляется в заданных дробях вида:

a n b n , 2 · x + x 2 3 x 1 3 – 12 · x , 2 x 2 + 3 3 x 2 + 3 , ln ( x – 3 ) ln e 5 , cos 2 α – sin 2 α 1 – 1 cos 2 α .

Дроби могут быть комбинированными, то есть иметь вид x + 1 x 3 log 3 sin 2 x + 3 , lg x + 2 lg x 2 – 2 · x + 1 .

Виды преобразований дробей

Для ряда тождественных преобразований рассматривают несколько видов:

• преобразование, характерное для работы с числителем и знаменателем;
• изменение знака перед дробным выражением;
• приведение к общему знаменателю и сокращение дроби;
• представление дроби в виде суммы многочленов.

Преобразование выражений в числителе и знаменателе

При тождественно равных выражениях имеем, что полученная дробь является тождественно равной исходной.

Если дана дробь вида A / B , то A и B являются некоторыми выражениями. Тогда при замене получим дробь вида A 1 / B 1 _. Необходимо доказать справедливость равенства A / A 1 = B / B 1 при любом значении переменных, удовлетворяющих ОДЗ.

Имеем, что A и A 1 и B и B 1 тождественно равны, тогда их значения тоже равны. Отсюда следует, что при любом их значении A / B и A 1 / B 1 данные дроби будут равны.

Такое преобразование упрощает работу с дробями, если необходимо преобразовывать отдельно числитель и отдельно знаменатель.

Для примера возьмем дробь вида 2 / 18 , которую преобразуем к 2 2 · 3 · 3 . Для этого знаменатель раскладываем на простые множители. Дробь x 2 + x · y x 2 + 2 · x · y + y 2 = x · x + y ( x + y ) 2 имеет числитель вида x 2 + x · y , означает, что необходимо произвести замену на x · ( x + y ) , которое будет получено при вынесении за скобки общего множителя x . Знаменатель заданной дроби x 2 + 2 · x · y + y 2 свернуть по формуле сокращенного умножения. Тогда получим, что его тождественно равным выражением является ( x + y ) 2 .

Если дана дробь вида sin 2 3 · φ – π + cos 2 3 · φ – π φ · φ 5 6 ,тогда для упрощения необходимо числитель заменить 1 по формуле, а знаменатель привести к виду φ 11 12 . Тогда получим, что 1 φ 11 12 равна заданной дроби.

Изменение знака перед дробью, в ее числителе, знаменателе

Преобразования дробей – это также и замена знаков перед дробью. Рассмотрим некоторые правила:

• при изменении знака числителя получаем дробь, которая равна заданной, причем буквенно это выглядит как _ – A – B = A B , где А и В являются некоторыми выражениями;
• при изменении знака перед дробью и перед числителем, получаем, что – – A B = A B ;
• при замене знака перед дробью и его знаменателя, получаем, что – A – B = A B .

Знак минуса в большинстве случаев рассматривается как коэффициент со знаком – 1 , а дробная черта является делением. Отсюда получаем, что – A – B = – 1 · A : – 1 · B . Сгруппировав множители, имеем, что

– 1 · A : – 1 · B = ( ( – 1 ) : ( – 1 ) · A : B = = 1 · A : B = A : B = A B

После доказательства первого утверждения, обосновываем оставшиеся. Получим:

– – A B = ( – 1 ) · ( ( ( – 1 ) · A ) : B ) = ( – 1 · – 1 ) · A : B = = 1 · ( A : B ) = A : B = A B – A – B = ( – 1 ) · ( A : – 1 · B ) = ( ( – 1 ) : ( – 1 ) ) · ( A : B ) = = 1 · ( A : B ) = A : B = A B

Когда необходимо выполнить преобразование дроби 3 / 7 к виду – 3 – 7 , – – 3 7 , – 3 – 7 , тогда аналогично выполняется с дробью вида – 1 + x – x 2 2 2 3 – ln ( x 2 + 3 ) x + sin 2 x · 3 x .

Преобразования выполняются следующим образом:

1 ) – 1 + x – x 2 2 2 3 – ln ( x 2 + 3 ) x + sin 2 x · 3 x = = – ( – 1 + x – x 2 ) – 2 2 3 – ln x 2 + 3 x + sin 2 x · 3 x = = 1 – x + x 2 – 2 2 3 + ln ( x 2 + 3 ) x – s i n 2 x · 3 x 2 ) – 1 + x – x 2 2 2 3 – ln ( x 2 + 3 ) x + sin 2 x · 3 x = = – – ( – 1 + x – x 2 ) 2 2 3 – ln ( x 2 + 3 ) x + sin 2 x · 3 x = = – 1 – x + x 2 2 2 3 – ln ( x 2 + 3 ) x + sin 2 x · 3 x 3 ) – 1 + x – x 2 2 2 3 – ln ( x 2 + 3 ) x + sin 2 x · 3 x = = – – 1 + x – x 2 – 2 2 3 – ln ( x 2 + 3 ) x + sin 2 x · 3 x = = – – 1 + x – x 2 – 2 2 3 + ln ( x 2 + 3 ) x – sin 2 x · 3 x

Приведение дроби к новому знаменателю

При изучении обыкновенных дробей, мы коснулись основного свойства дробей, которое позволяет умножать, делить числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число. Это видно из равенства a · m b · m = a b и a : m b : m = a b , где a , b , m являются натуральными числами.

Это равенство действительно для любых значений a , b , m и всех a , кроме b ≠ 0 и m ≠ 0 . То есть мы получаем, что если числитель дроби А / В с A и C , которые являются некоторыми выражениями, умножить или разделить на выражение M , не равное 0 , тогда получим дробь, тождественно равную начальной. Получаем, что A · M B · M = A B и A : M B : M = A B .

Отсюда видно, что преобразования основываются на 2 преобразованиях: приведении к общему знаменателю, сокращении.

При приведении к общему знаменателю производится умножение на одно и то же число или выражение числитель и знаменатель. То есть мы переходим к решению тождественной равной преобразованной дроби.

Если взять дробь x + 1 0 , 5 · x 3 и умножить на 2 , тогда получим, что новый знаменатель получится 2 · 0 , 5 · x 3 = x 3 , а выражение примет вид 2 · x + 1 x 3 .

Для приведения дроби 1 – x 2 · x 2 3 · 1 + ln x к другому знаменателю вида 6 · x · 1 + ln x 3 нужно, чтобы числитель и знаменатель быль умножен на 3 · x 1 3 · ( 1 + ln x ) 2 . В итоге получаем дробь 3 · x 1 3 · 1 + ln x 2 · 1 – x 6 · x · ( 1 + ln x ) 3

Такое преобразование как избавление от иррациональности в знаменателе также применимо. Оно избавляет от наличия корня в знаменателе, что упрощает процесс решения.

Сокращение дробей

Основное свойство – это преобразование, то есть ее непосредственное сокращение. При сокращении мы получаем упрощенную дробь. Рассмотрим на примере:

Или дробь вида x 3 · x 3 · x 2 · ( 2 x 2 + 1 + 3 ) x 3 · x 3 · 2 x 2 + 1 + 3 · 3 + 1 3 · x , где сокращение производится при помощи x 3 , x 3 , 2 x 2 + 1 + 3 или на выражение вида x 3 · x 3 · 2 x 2 + 1 + 3 . Тогда получим дробь x 2 3 + 1 3 · x

Сокращение дроби является простым, когда общие множители сразу явно видны. Практически это встречается не часто, поэтому предварительно необходимо проводить некоторые преобразования выражений такого вида. Бывают случаи, когда необходимо находить общий множитель.

Если имеется дробь вида x 2 2 3 · ( 1 – cos 2 x ) 2 · sin x 2 · cos x 2 2 · x 1 3 , тогда необходимо применять тригонометрические формулы и свойства степеней для того, чтобы можно было преобразовать дробь к виду x 1 3 · x 2 1 3 · sin 2 x sin 2 x · x 1 3 . Это даст возможность сократить ее на x 1 3 · sin 2 x .

Представление дроби в виде суммы

Когда числитель имеет алгебраическую сумму выражений типа A 1 , A 2 , … , A n , а знаменатель обозначается B , тогда эта дробь может быть представлена как A 1 / B , A 2 / B , … , A n / B .

Для этого зафиксируем это A 1 + A 2 + . . . + A n B = A 1 B + A 2 B + . . . + A n B .

Данное преобразование в корне отличается от сложения дробей с одинаковыми показателями. Рассмотрим пример.

Дана дробь вида sin x – 3 · x + 1 + 1 x 2 , которую мы представим как алгебраическая сумма дробей. Для этого представим как sin x x 2 – 3 · x + 1 x 2 + 1 x 2 или sin x – 3 · x + 1 x 2 + 1 x 2 или sin x x 2 + – 3 · x + 1 + 1 x 2 .

Любая дробь, имеющая вид А / В представляется в виде суммы дробей любым способом. Выражение A в числителе может быть уменьшено или увеличено на любое число или выражение А 0 , которое даст возможность прейти к A + A 0 B – A 0 B .

Разложение дроби на простейшие является частным случаем для преобразования дроби в сумму. Чаще всего его применяют при сложных вычислениях для интегрирования.

Значение дроби не изменится, если переменить знак у одного из членов дроби и перед самой дробью.

Рассмотрим применение данного правила на примере, который был разобран в теме об изменении знака или в числителе, или в знаменателе:

Избавимся от минуса в знаменателе второго слагаемого. Для этого переменим знак знаменателя и знак перед дробью:

Разберем еще один пример.

Изменить знак перед дробью:

Чтобы изменить знак перед дробью, изменим знак у числителя и перед дробью, тогда значение дроби не изменится:

Объясним правило, которое показывает как изменить знаки перед дробью.

можно переписать в следующем виде:

Воспользуемся правилом умножения дроби на число:

Таким образом, мы изменили знак перед дробью на противоположный и знак в числителе.

Теперь, чтобы изменить знак в числителе, как рассматривалось выше, нужно и числитель, и знаменатель умножить на «-1» (изменить знаки на противоположные):

Ее можно переписать в следующем виде:

Воспользуемся правилом умножения дроби на число:

Таким образом, мы изменили знак перед дробью на противоположный и знак в числителе.

Теперь, чтобы изменить знак в числителе, как рассматривалось выше, нужно изменить знаки и в числителе, и в знаменателе:

Обобщим полученные результаты:

Таким образом, мы доказали, что, чтобы поменять знак перед дробью, нужно изменить знак на противоположный перед дробью и у одного из членов дроби.