0

Изобразить с помощью диаграммы эйлера венна

Читайте также:

  1. Вторая нормальная форма ER-диаграммы
  2. Диаграммы потоков данных
  3. Диаграммы Пурбе
  4. Диаграммы функциональных зависимостей
  5. Изменение диапазона ячеек, используемого для создания диаграммы
  6. Изменение местоположения диаграммы
  7. Изменение типа диаграммы
  8. Кривые и диаграммы титрования
  9. П.4 Диаграммы функциональных блоков FBD
  10. Первая нормальная форма ER-диаграммы
  11. Получение реляционной схемы из ER-диаграммы. Базовые приемы

Чтобы наглядно изображать множества, английский математик Джон Венн (1834-1923) предложил использовать замкнутые фигуры на плоскости. Намного раньше Эйлер (1707-1783) для изображения отношений между множествами использовал круги. Позднее такие изображения получили названия диаграмм Эйлера-Венна.

Диаграммы – очень удобный инструмент, позволяющий изображать множества и иллюстрировать операции над ними. Это геометрические представления множеств.

Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри него – кругов или каких-либо других замкнутых фигур, представляющих множества, входящие в универсальное. Фигуры находятся в определенном положении по отношению друг к другу. В наиболее общем случае они пересекаются. Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, обозначают элементы соответствующих множеств.

Все множества на диаграммах обозначаются, как обычно, заглавными буквами латинского алфавита. Построив диаграмму, обычно штрихуют определенные области для обозначения вновь образованных множеств, или выделяют это множество каким-либо другим способом.

В таблице 1 приведены иллюстрации операций объединения, пересечения, разности, дополнения и симметрической разности двух множеств А и В, входящих в универсальное множество U.

Примеры построения более сложных диаграмм приведены ниже.

Пример 3. Представить множество диаграммой Эйлера-Венна.

Решение: 1) Обозначим множества А, В, С и универсальное множество U (см. рис. 1а).

2) Заштрихуем множество В диагональными линиями в одном направлении, а – в другом. Площадь с двойной штриховкой представляет собой их пересечение, т.е. множество . Выделим это вновь полученное множество жирной линией (рис. 1б).

3) Сделаем копию диаграммы, на которой заштрихуем областьлиниями одного направления, а А – другого. Вся заштрихованная область представляет объединение множеств А и , т.е. то, что требовалось по заданию. Обведем искомую область жирной линией. (рис. 1в)

Название операции Обозначение Изображение Определение Символическая запись Лог. операции
Пересечение множеств Те и только те элементы, которые принадлежат одновременно А и В Λ
Объединение множеств Те и только те элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множествА или В V
Разность множеств Те и только те элементы, которые не принадлежат В
Дополнение к множеству А Те и только те элементы, которые не принадлежат А (т.е. дополняют его до универсального U)
Симметрическая разность Те и только те элементы, которые принадлежат одному из множеств: А либо В, но не являются общими элементами

Диаграммы Эйлера-Венна также могут использоваться для решения задач, связанных с пересеченными множествами.

При этом для двухпеременных пересеченных множеств используется формула:

Читайте также:  Бюджетные смартфоны до 7000 самые хорошие

где |А| – число элементов множества А;

|В| – число элементов множества В;

|АÇВ| – число элементов, входящих одновременно и в множество А, и в множество В.

Для трехпеременных пересеченных множеств используется формула:

|АÈВÈС|= |А|+ |В|+ |С| – |АÇВ| – |АÇС| – |ВÇС| + |АÇВÇС|.

Пример 4. Из 100 студентов английский язык изучают 28, немецкий – 30 , французский – 42, английский и немецкий – 8, английский и французский – 10, немецкий и французский – 5, немецкий, английский и французский – 3:

а) сколько студентов не изучают ни одного языка?

б) сколько студентов изучают один английский?

в) один французский?

г) один немецкий?

д) менее двух языков?

Решение. Обозначим: Е – множество всех студентов, А – множество студентов, изучающих английский язык, В – немецкий, С – французский.

|А| = 28, |В| = 30, |С| = 42, |АÇВ| = 8, |АÇС| = 10, |ВÇС| = 5, |АÇВÇС| = 3.

б) один английский изучают:

|А| – |АÇВ| – |АÇС| + |АÇВÇС| = 28 – 8 – 10 + 3 = 13.

в) один французский:

|С| – | ВÇС | – |АÇС| + |АÇВÇС| = 42 – 5 – 10 + 3= 30.

г) один немецкий: |В| – |ВÇС| – |АÇВ| + |АÇВÇС| = 30 – 5 – 8 + 3 = 20.

а) ни одного языка не изучают: , но

|АÈВÈС|= |А|+ |В|+ |С| – |АÇВ| – |ВÇС| – |АÇС| + |АÇВÇС|=

=100 – 8 – 10 – 5 + 3=80.

Тогда = 100 – 80 = 20.

д) |АÇВ| + |АÇС| + |ВÇС| – 2|АÇВÇС| = 8 + 10 + 5 – 2·3 = 23 – 6 = 17.

Решение данной задачи можно произвести с помощью диаграммы Эйлера-Венна.

| следующая лекция ==>
Операции над множествами. Пересечение множеств A и B, обозначаемое AB, – это множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат обоим множествам A и B | Законы теории множеств

Дата добавления: 2014-01-03 ; Просмотров: 50347 ; Нарушение авторских прав? ;

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Круги Эйлера, диаграммы Венна

Геометрическое моделирование множеств. Калькулятор.

Для наглядного представления множеств и отношений между ними используется диаграммы Венна (иногда их называют кругами Эйлера или диаграммами Эйлера – Венна).

Универсальное множество изображают в виде прямоугольника, а множества, входящие в универсальное множество, – в виде кругов внутри прямоугольника; элементу множества соответствует точка внутри круга.

С помощью диаграмм Венна удобно иллюстрировать операции над множествами.

Калькулятор для построения кругов Эйлера.

Правила вввода основных обозначений операций над множествами:

Операция Обозначение
математическое в калькуляторе
Дополнение $ar$ A’
Пересечение (A∩B) (A intersection B)
Объединение (А⋃B) (A union B)
Симметрическая разность (A∆B) (symmetric difference of A and B)
Относительное дополнение (AB) (AB)

ОШИБКИ при вводе формул

Правильно Не правильно (A union B) intersection (A union C) (AunionB)intersection(AunionC)

Пример. Изобразить множество D с помощью кругов Эйлера (нарисовать диаграмму Эйлера-Венна):

Множество D

Вводим в калькулятор

(A intersection B) union C

(A intersection B) union C’

(A union B’) intersection C

Читайте также:  Идеи для видео на канал

$(Аcap B) cup (Аcap C)$

(A intersection B) union (A intersection C)

В таблице показано: как правильно вводить в калькулятор выражения для операций над множествами.

История

Леонарду Эйлеру задали вопрос: можно ли, прогуливаясь по Кенигсбергу, обойти через все мосты города, дважды не проходя ни через один из них. План города с семью мостами прилагался.

В письме знакомому итальянскому математику Эйлер дал краткое и красивое решение проблемы кенигсбергских мостов: при таком расположении задача неразрешима. При этом он указал, что вопрос показался ему интересным, т.к. «для его решения недостаточны ни геометрия, ни алгебра. ».

При решении многих задач Л. Эйлер изображал множества с помощью кругов, поэтому они и получили название «круги Эйлера». Этим методом ещё ранее пользовался немецкий философ и математик Готфрид Лейбниц, который использовал их для геометрического объяснения логических связей между понятиями, но при этом чаще использовал линейные схемы. Эйлер же достаточно основательно развил метод. Особенно знаменитыми графические методы стали благодаря английскому логику и философу Джону Венну, который ввел диаграммы Венна и подобные схемы часто называют диаграммами Эйлера-Венна. Используются они во многих областях, например, в теории множеств, теории вероятности, логике, статистике и информатике.

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Принцип построения диаграмм

До сих пор диаграммы Эйлера-Венна широко используют для схематичного изображения всех возможных пересечений нескольких множеств. На диаграммах изображают все $2^n$ комбинаций n свойств. Например, при $n=3$ на диаграмме изображают три круга с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, который приближенно равен длине стороны треугольника.

Логические операции задают таблицы истинности. На диаграмме изображается круг с названием множества, которое он представляет, например, $A$. Область в середине круга $A$ будет отображать истинность выражения $A$, а область вне круга — ложь. Для отображения логической операции заштриховывают только те области, в которых значения логической операции при множествах $A$ и $B$ истинны.

Например, конъюнкция двух множеств $A$ и $B$ истинна только в том случае, когда оба множества истинны. В таком случае на диаграмме результатом конъюнкции $A$ и $B$ будет область в середине кругов, которая одновременно принадлежит множеству $A$ и множеству $B$ (пересечению множеств).

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Рисунок 1. Конъюнкция множеств $A$ и $B$

Использование диаграмм Эйлера-Венна для доказательства логических равенств

Рассмотрим, как применяется метод построения диаграмм Эйлера-Венна для доказательства логических равенств.

Докажем закон де Моргана, который описывается равенством:

Представим с помощью диаграмм сначала левую часть равенства:

применим дизъюнкцию — заштрихуем круги обоих множеств серым цветом (рис. 2);

отобразим инверсию — заштрихуем область за пределами кругов черным цветом (рис. 3).

Рисунок 2. Дизъюнкция $A$ и $B$

Рисунок 3. Отрицание дизъюнкции $A$ и $B$

Представим правую часть равенства:

применим инверсию $A$ — заштрихуем область за пределами круга множества $A$ серым цветом (рис. 4);

Читайте также:  Вставка без форматирования горячие клавиши

применим инверсию $B$ — аналогично к инверсии $A$ (рис. 5);

отобразим конъюнкцию — заштрихуем пересечение серых областей черным цветом (рис. 6).

Рисунок 4. Инверсия $A$

Рисунок 5. Инверсия $B$

Рисунок 6. Конъюнкция инверсий $A$ и $B$

После сравнения области для отображения левой и правой части видим, что они равны. Из этого следует справедливость логического равенства. Закон де Моргана доказан с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

Решение задачи поиска информации в Интернет с помощью диаграмм Эйлера-Венна

Для осуществления поиска информации в Интернет удобно использовать поисковые запросы с логическими связками, аналогичными по смыслу союзам "и", "или" русского языка. Смысл логических связок становится более понятным, если проиллюстрировать их с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

В таблице приведены примеры запросов к поисковому серверу. Каждый запрос имеет свой код — буква от $A$ до $B$. Нужно расположить коды запросов в порядке убывания количества найденных страниц по каждому запросу.

Решение:

Построим для каждого запроса диаграмму Эйлера-Венна:

Ответ: БВА.

Решение логической содержательной задачи с помощью диаграмм Эйлера-Венна

За зимние каникулы из $36$ учеников класса $2$ не были ни в кино, ни в театре, ни в цирке. В кино сходило $25$ человек, в театр — $11$, в цирк — $17$ человек; и в кино, и в театре — $6$; и в кино и в цирк — $10$; и в театр и в цирк — $4$.

Сколько человек побывало и в кино, и в театре, и в цирке?

Решение:

Обозначим количество ребят, побывавших и в кино, и в театре, и в цирке — $x$.

Построим диаграмму и узнаем количество ребят в каждой области:

Не были ни в театре, ни в кино, ни в цирке — $2$ чел.

Значит, $36 – 2 = 34$ чел. побывали на мероприятиях.

В кино и театр сходило $6$ чел., значит, только в кино и театр ($6 – x)$ чел.

В кино и цирк сходило $10$ чел., значит, только в кино и цирк ($10 – x$) чел.

В театр и цирк сходило $4$ чел., значит, только в театре и цирк ($4 – x$) чел.

В кино сходило $25$ чел., значит, из них только в кино сходило $25 – (10 – x) – (6 – x) – x = (9+x)$.

Аналогично, только в театр сходило ($1+x$) чел.

Только в цирк сходило ($3+x$) чел.

Итак, сходили в театр, кино и цирк:

Т.е. только один человек сходил и в театр, и в кино, и в цирк.

Ответ: $1$.

Так и не нашли ответ
на свой вопрос?

Просто напиши с чем тебе
нужна помощь

admin

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *