Изобразите декартово произведение множеств на координатной плоскости

Запишем с пом. цифр 3 и 5 че­тыре двузначных числа: 35, 53, 33 и 55. Несмотря на то что числа 35 и 53 записаны с помощью одних и тех же цифр, эти числа различные. В том случае, когда важен порядок следова­ния элементов, в математике говорят об упорядоченных на­борах элементов. В рассмотренном примере мы имели дело с упорядоченными парами.

Упорядоченную пару, образованную из элементов а и Ь, принято записывать, используя круглые скобки: <а; Ь). Эле­мент а называют первой координатой (компонентой) пары, а элемент b второй координатой (компонентой) пары.

Определение. Декартовым произведением множеств А и В называется множество всех пар, первая компонента ко­торых принадлежит множеству А, а вторая компонента принадлежит множеству В.

Декартово произведение множеств А и В обозначают А х В. Используя это обозначение, определение декартова произведе­ния можно записать так:

АхВ= <(х; у) | х А и у В>.

Операцию нахождения декартова произведения множеств называют декартовым умножением.

Рассмотрим два одинаковых мн-ва А=<3,5>, тогда АхА=

Можно изобразить декартово произведение множеств :

1) при помощи графа или таблицы. Например, декартово произведение множеств А = <1, 2, 3>и В = <3,5>можно представить так, как показано на рисунке :

2) Декартово произведение двух числовых множеств (конеч­ных и бесконечных) :

А) А = <1, 2, 3>и В= <3, 5>на координатной плоскости будет выглядеть так, как показано на рисунке:

Заметим, что элементы множест­ва А мы изобразили на оси Ох, а элементы множества В – на оси Оу.

Декартово произведение представлено точками.

Решение, а) Так как множество А состоит из трех элемен­тов, а множество В содержит все действительные числа от 3 до 5, включая и сами эти числа, то декар­тово произведение А х В будет со­стоять из бесконечного множества пар, первая компонента которых либо 1, либо 2, либо 3, а вторая -любое действительное число из про­межутка [3, 5]. Такое множество пар действительных чисел на коорди­натной плоскости изобразится тремя отрезками

В) бесконечны оба множества А=[1, 3] и В=[3, 5] тогда АхВ это все, что внутри квадрата, т.е. этот квадрат (его нужно заштриховать):

Г) А=RиВ=R,т.е. на мн-ве действительных чисел. То АхВ это вся координатная плоскость.

Д) А=R и В=[3, 5], то АхВ– полоса. (рис.)

Упражнения

1. Перечислите элементы декартова произведения А хВ, если:

2.Изобразите в прямоугольной системе координат мно­жество Ах В, если:

2. Изобразите в прямоугольной системе координат декартово произведение множеств и , если

1)

2)

Упорядоченной парой (а,в) называется набор элементов а и в, в котором а считается первым, а в – вторым. (а;в) а-первая компонента; в-вторая компонента.

(а;в)=(с;d)óa=c и в=d Декартовым произведением множеств А и В называются множества всех упорядоченных пар, в которых первая компонента принадлежит множеству А, а вторая множеству В.

АхВ≠ВхА, таким образом, декартово произведение коммуникативно, не ассоциативно.

Свойства:1. Не обладает комуникативностью и ассоциативностью.

2. Дистрибутивность относительно объединения и вычитания множеств.

Для любых трёх множеств А,В,С выполняются равенства:

(АUВ)хС=(АхС)U(ВхС) относительно объединения

(А/В)хС=(АхС)(ВхС) относительно разности

Упорядоченные наборы из более чем двух элементов называются кортежами. Длина кортежа – это число элементов. АхВхСхD=

Число элементов декартова произведения конечных множеств

В классе 40 человек, 34 человека ходят в секцию баскетбола, а 23 – в волейбольную секцию, при этом 18 человек посещают обе эти секции. Сколько человек в классе не посещают ни волейбольную, ни баскетбольную секции?

А-мн-во учащихся посещающих баскетбольную секцию.

В-мн-во учащихся, посещающих волейбольную секцию.

С-мн-во учащихся класса.

n (A)=34 n (B)=23 n (A∩B)=18 n (C)=40

Число элементов декартова произведения конечных множеств равно произведению числа элементов составляющих множеств. N(AxB)=n(A)∙n(B)

Изображение декартова произведения числовых множеств на координатной плоскости.

Если множества А и В – числовые то их декартово произведение можно изобразить точками на координатной плоскости.

2. Обучающимся начальных классов предложено задание:

“Не вычисляя значения выражений вставить вместо * знаки >,

• Приведите возможные рассуждения ученика при выполнении этого задания.

• Какое свойство закрепляется при выполнении данного задания? Как оно называется в математике?

• Опишите методику ознакомления учащихся начальной школы с этим свойством умножения

Это задание можно предложить детям при изучении переместительного свойства умножения2) Приведите возможные рассуждения ученика при выполнении этого задания.Слева стоит сумма 7-ми одинаковых слагаемых, каждый из которых равно 2. Её можно записать в виде умножения: 2*7Справа стоит сумма 2-х одинаковых слагаемых, каждый из которых равно 7. Её тоже можно записать в виде умножения: 7*2 2*7=7*2

3) Какое свойство закрепляется при выполнении данного задания? Как оно называется в математике? В данном задании закрепляется переместительное свойство умножения. В математике оно называется коммутативным

4) Опишите методику ознакомления учащихся начальной школы с этим свойством умножения. После изучения таблицы умножения на число 3, детей знакомят с переместительным свойством умножения. В качестве подготовительной работы повторяют формулировку переместительного свойства сложения

(от перестановки мест слагаемых сумма не меняется) 25+43=43+25

Повторяют название компонентов и результата действия умножения

1 пример: произведение 3*7=21

2 пример: предлагают разными способами посчитать количество кругов

В каждом ряду по 4 круга: 4*3=12. В каждом столбце по 3 круга: 3*4=12. Учитель вместе с детьми анализирует правую и левую части примеров

– Что можно сказать о правых частях примера? (они равны)

– А что можно сказать о левых частях примера? (множители одинаковые, но стоят на разных местах примера 4*3=3*4

5) Какое свойство напоминает эта запись?

Переместительное свойство умножения

Вывод: от перестановки множителей произведение не меняется

Закрепление материала строится на решение примера без иллюстрации

3*2=6 3*5=15 3*8=24 2*3= 5*3= 8*3=

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Студент – человек, постоянно откладывающий неизбежность. 10585 – | 7334 – или читать все.

78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Определение 9. Декартовым произведением множеств А и В назы­вают множество АВ, элементами которого являются все пары(х,у), такие, что х  А, уВ, т.е. АВ = <(х,у)/х А, у В>.

Найдем, например, декартово произведение множеств А = <1,3> и В =<2,4,6>.

Операцию, при помощи которой находят декартово произведе­ние, называют декартовым умножением множеств.

Декартово умножение множеств не обладает ни свойством комму­тативности, ни свойством ассоциативности, но связано с операциями объединения и вычитания множеств дистрибутивными свойствами:

для любых множеств А, В, С имеют место равенства:

Для наглядного представления декартова произведения числовых множеств часто используют прямоугольную систему координат.

Пусть А и В – числовые множества. Тогда элементами декартова произведения этих множеств будут упорядоченные пары чисел. Изобразив каждую пару чисел точкой на координатной плоскости, получим фигуру, которая и будет наглядно представлять декартово произведение множеств А и В.

Изобразим на координатной плоскости декартово произведение множеств А и В, если:

В случае а) данные множества конечны и можно перечислить элементы декартова произведения.

АВ = <(2, 1); (2, 4); (6, 1); (6, 4)>. Построим оси координат и на оси ОХ отметим элементы множества А, а на оси ОУ – элементы множества В. Затем изобразим каждую пару чисел множества АВ точкам на координатной плоскости (рис.7). Полученная фигура из четыре точек и будет наглядно представлять декартово произведение данных множеств А и В.

В случае б) перечислить все элементы декартова произведения множеств невозможно, т.к. множество В – бесконечное, но можно представить процесс образования этого декартова произведения: в каждой паре первая компонента либо 2, либо 6, а вторая компонента – действительное число из промежутка [1,4].

Все пары, первая компонента которых есть число 2, а вторая пробегает значение от 1 до 4 включительно, изображаются точками отрезка СД, а пары, первая компонента которых есть число 6, а вторая – любое действительное число из промежутка [1,4], – точками отрезка РS (рис.8). Таким образом, в случае б) декартово произведение множеств А и В на координатной плоскости изображается в виде отрезка СД и РS.

Рис. 7 Рис. 8 Рис. 9

Случай в) отличается от случая б) тем, что здесь бесконечно не только множество В, но и множество А, поэтому, первой компонентой пар, принадлежащих множеству А В, является любое число из промежутка [2, 6]. Точки, изображающие элементы декартова произведения множеств А и В, образуют квадрат СДЕL (рис. 9). Чтобы подчеркнуть, что элементы декартова произведения изображаются точками квадрата, его можно заштриховать.

Покажите, что решение следующих задач приводит к образованию декартова произведения множеств:

а) Запишите все дроби, числителем которых является число из множества А = , а знаменателем – число из множества В = <5, 6, 7>.

б) Запишите различные двузначные числа, используя числа 1, 2, 3, 4.

Докажите, что для любых множеств А, В, С справедливо раве­нство (А  В)С = (АС)  (ВС). Проиллюстрируйте его выпол­нимость для множеств А = <2, 4, 6>, В= <1,3, 5>, С = <0, 1>.

Какую фигуру образуют точки на координатной плоскости, если их координаты являются элементами декартова произведения множеств А = <– 3, 3>и В = R

Определите, декартово произведение каких множеств А и В изо­бражено на рисунке 10.

112. Запишите все двузначные числа, цифры десятков которых принадлежат множеству А = , а цифры единиц – множеству В = <2,4,6>.

113. Напишите все дроби, числители которых выбираются из множества А= <3, 5, 7>, а знаменатель – из множества В= <4, 6, 8>.

114. Напишите все правильные дроби, числители которых выбираются из множества А = <3, 5,7>, а знаменатель – из множества В= <4, 6,8>.

116. Известно, что АВ = <(1, 2); (3, 2); (1, 4);(3, 4); (1, 6); (3, 6)>. Установите, из каких элементов состоят множества А и В.

119. Известно, что АВ = <(2,3), (2,5), (2,6), (3,3), (3,5), (3,6)>. Установите, из каких элементов состоят множества А и В.

120. Найдите декартово произведение множеств А = и В = и выделите из него подмножество пар, в которых:

а) первая компонента больше второй; б) первая компонента равна 5; в) вторая компонента равна 7.

121. Перечислите элементы, принадлежащие декартову произ­ведению множеств А, В и С, если:

122. Изобразите на координатной плоскости элементы декартова про­ изведения множеств А и В, если:

По теме данной главы студент должен уметь:

– задавать множества разными способами;

– устанавливать отношения между множествами и изображать их с помощью диаграмм Эйлера-Венна;

– доказывать равенство двух множеств;

– выполнять операции над множествами и геометрически их иллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера-Венна;

– производить разбиение множества на классы с помощью одного или нескольких свойств; оценивать правильность выполненной классификации.