Все типы дифференциальных уравнений

Существует целый ряд задач, в которых установить прямую связь между величинами, применяемыми для описания процесса, не получается. Единственное, что можно сделать, это получить равенство, запись которого включает производные исследуемых функций, и решить его. Решение дифференциального уравнения позволяет установить непосредственную связь между величинами.

В этом разделе мы займемся разбором решений дифференциальных уравнений, неизвестная функция в которых является функцией одной переменной. Мы построили теоретическую часть таким образом, чтобы даже человек с нулевым представлением о дифференциальных уравнениях мог без труда получить необходимые знания и справиться с приведенными задачами.

Если какие-то термины окажутся для вас новыми, обратитесь к разделу «Определения и понятия теории дифференциальных уравнений». А тем временем перейдем к рассмотрению вопроса о видах дифференциальных уравнений.

Для каждого из видов дифференциальных уравнений применяется свой метод решения. В этом разделе мы рассмотрим все эти методы, приведем примеры с подробными разборами решения. После ознакомления с темой вам необходимо будет определять вид дифференциального уравнения и выбирать наиболее подходящий из методов решения поставленной задачи.

Возможно, прежде чем приступить к решению дифференциальных уравнений, вам придется освежить в памяти такие темы как «Методы интегрирования» и «Неопределенные интегралы».

Начнем ознакомление с темой мы с видов обыкновенных дифференциальных уравнений 1 -го порядка. Эти уравнения могут быть разрешены относительно производной. Затем перейдем в ОДУ 2 -го и высших порядков. Также мы уделим внимание системам дифференциальных уравнений.

Напомним, что y ‘ = d x d y , если y является функцией аргумента x .

Дифференциальные уравнения первого порядка

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида y ‘ = f ( x )

Начнем с примеров таких уравнений.

y ‘ = 0 , y ‘ = x + e x – 1 , y ‘ = 2 x x 2 – 7 3

Оптимальным для решения дифференциальных уравнений f ( x ) · y ‘ = g ( x ) является метод деления обеих частей на f ( x ) . Решение относительно производной позволяет нам прийти к уравнению вида y ‘ = g ( x ) f ( x ) . Оно является эквивалентом исходного уравнения при f ( x ) ≠ 0 .

Приведем примеры подобных дифференциальных уравнений:

e x · y ‘ = 2 x + 1 , ( x + 2 ) · y ‘ = 1

Мы можем получить ряд дополнительных решений в тех случаях, когда существуют значения аргумента х , при которых функции f ( x ) и g ( x ) одновременно обращаются в 0 . В качестве дополнительного решения в уравнениях f ( x ) · y ‘ = g ( x ) при заданных значениях аргумента может выступать любая функция, определенная для заданного значения х .

Наличие дополнительных решений возможно для дифференциальных уравнений x · y ‘ = sin x , ( x 2 – x ) · y ‘ = ln ( 2 x 2 – 1 )

Ознакомиться с теоретической частью и примерами решения задач таких уравнений вы можете в разделе «Простейшие дифференциальные уравнения 1 -го порядка».

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными вида f 1 ( y ) · g 1 ( x ) d y = f 2 ( y ) · g 2 ( x ) d x или f 1 ( y ) · g 1 ( x ) · y ‘ = f 2 ( y ) · g 2 ( x )

Поговорим теперь об уравнениях с разделенными переменными, которые имеют вид f ( y ) d y = g ( x ) d x . Как следует из названия, к данному виду дифференциальных уравнений относятся выражения, которые содержат переменные х и у , разделенные знаком равенства. Переменные находятся в разных частях уравнения, по обе стороны от знака равенства.

Решить уравнения с разделенными переменными можно путем интегрирования обеих его частей: ∫ f ( y ) d y = ∫ f ( x ) d x

К числу дифференциальных уравнений с разделенными переменными можно отнести следующие из них:

y 2 3 d y = sin x d x , e y d y = ( x + sin 2 x ) d x

Для того, чтобы прийти от ДУ с разделяющимися переменными к ДУ с разделенными переменными, необходимо разделить обе части уравнения на произведение f 2 ( y ) ⋅ g 1 ( x ) . Так мы придем к уравнению f 1 ( y ) f 2 ( y ) d y = g 2 ( x ) g 1 ( x ) d x . Преобразование можно будет считать эквивалентным в том случае, если одновременно f 2 ( y ) ≠ 0 и g 1 ( x ) ≠ 0 . Если хоть одно из условий не будет соблюдаться, мы можем потерять часть решений.

В качестве примеров дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными можно привести следующие из них: d y d x = y · ( x 2 + e x ) , ( y 2 + a r c cos y ) · sin x · y ‘ = cos x y .

К уравнениям с разделяющимися переменными мы можем прийти от ряда дифференциальных уравнений других видов путем замены переменных. Например, мы можем подставить в исходное уравнение z = a x + b y . Это позволит нам перейти к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными от дифференциального уравнения вида y ‘ = f ( a x + b y ) , a , b ∈ R .

Подставив z = 2 x + 3 y в уравнение y ‘ = 1 e 2 x + 3 y получаем d z d x = 3 + 2 e z e z .

Заменив z = x y или z = y x в выражениях y ‘ = f x y или y ‘ = f y x , мы переходим к уравнениям с разделяющимися переменными.

Если произвести замену z = y x в исходном уравнении y ‘ = y x · ln y x + 1 , получаем x · d z d x = z · ln z .

В ряде случаев прежде, чем производить замену, необходимо произвести преобразования исходного уравнения.

Предположим, что в условии задачи нам дано уравнение y ‘ = y 2 – x 2 2 x y . Нам необходимо привести его к виду y ‘ = f x y или y ‘ = f y x . Для этого нам нужно разделить числитель и знаменатель правой части исходного выражения на x 2 или y 2 .

Нам дано уравнение y ‘ = f a 1 x + b 1 y + c 1 a 2 x + b 2 y + c 2 , a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 ∈ R .

Для того, чтобы привести исходное уравнение к виду y ‘ = f x y или y ‘ = f y x , нам необходимо ввести новые переменные u = x – x 1 v = y – y 1 , где ( x 1 ; y 1 ) является решением системы уравнений a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 = 0

Введение новых переменных u = x – 1 v = y – 2 в исходное уравнение y ‘ = 5 x – y – 3 3 x + 2 y – 7 позволяет нам получить уравнение вида d v d u = 5 u – v 3 u + 2 v .

Теперь выполним деление числителя и знаменателя правой части уравнения на u . Также примем, что z = u v . Получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными u · d z d u = 5 – 4 z – 2 z 2 3 + 2 z .

Подробный разбор теории и алгоритмов решения задач мы привели в разделе «Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными».

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка y ‘ + P ( x ) · y = Q ( x )

Приведем примеры таких уравнений.

К числу линейных неоднородных дифференциальных уравнений 1 -го порядка относятся:

y ‘ – 2 x y 1 + x 2 = 1 + x 2 ; y ‘ – x y = – ( 1 + x ) e – x

Для решения уравнений этого вида применяется метод вариации произвольной постоянной. Также мы можем представить искомую функцию у в виде произведения y ( x ) = u ( x ) v ( x ) . Алгоритмы применения обоих методов мы привели в разделе «Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка».

Дифференциальное уравнение Бернулли y ‘ + P ( x ) y = Q ( x ) y a

Приведем примеры подобных уравнений.

К числу дифференциальных уравнений Бернулли можно отнести:

y ‘ + x y = ( 1 + x ) e – x y 2 3 ; y ‘ + y x 2 + 1 = a r c t g x x 2 + 1 · y 2

Для решения уравнений этого вида можно применить метод подстановки z = y 1 – a , которая выполняется для того, чтобы свести исходное уравнение к линейному дифференциальному уравнению 1 -го порядка. Также применим метод представления функции у в качестве y ( x ) = u ( x ) v ( x ) .

Алгоритм применения обоих методов приведен в разделе «Дифференциальное уравнение Бернулли». Там же можно найти подробный разбор решения примеров по теме.

Уравнения в полных дифференциалах P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = 0

Если для любых значений x и y выполняется ∂ P ( x , y ) ∂ y = ∂ Q ( x , y ) ∂ x , то этого условия необходимо и достаточно, чтобы выражение P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y представляло собой полный дифференциал некоторой функции U ( x , y ) = 0 , то есть, d U ( x , y ) = P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y . Таким образом, задача сводится к восстановлению функции U ( x , y ) = 0 по ее полному дифференциалу.

Выражение, расположенное в левой части записи уравнения ( x 2 – y 2 ) d x – 2 x y d y = 0 представляет собой полный дифференциал функции x 3 3 – x y 2 + C = 0

Для более подробного ознакомления с теорией и алгоритмами решения примеров можно обратиться к разделу «Уравнения в полных дифференциалах».

Дифференциальные уравнения второго порядка

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y ‘ ‘ + p y ‘ + q y = 0 , p , q ∈ R

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами обычно решается достаточно просто. Нам необходимо найти корни характеристического уравнения k 2 + p k + q = 0 . Здесь возможны три варианта в зависимости от различных p и q :

• действительные и различающиеся корни характеристического уравнения k 1 ≠ k 2 , k 1 , k 2 ∈ R ;
• действительные и совпадающие k 1 = k 2 = k , k ∈ R ;
• комплексно сопряженные k 1 = α + i · β , k 2 = α – i · β .

Значения корней характеристического уравнения определяет, как будет записано общее решение дифференциального уравнения. Возможные варианты:

• y = C 1 e k 1 x + C 2 e k 2 x ;
• y = C 1 e k x + C 2 x e k x ;
• y = e a · x · ( C 1 cos β x + C 2 sin β x ) .

Пример 13

Предположим, что у нас есть линейное однородное дифференциальное уравнение 2 -го порядка с постоянными коэффициентами y ‘ ‘ + 3 y ‘ = 0 . Найдем корни характеристического уравнения k 2 + 3 k = 0 . Это действительные и различные k 1 = – 3 и k 2 = 0 . Это значит, что общее решение исходного уравнения будет иметь вид:

y = C 1 e k 1 x + C 2 e k 2 x ⇔ y = C 1 e – 3 x + C 2 e 0 x ⇔ y = C 1 e – 3 x + C 2

Восполнить пробелы в теоретической части и посмотреть подробный разбор примеров по теме можно в статье «Линейные однородные дифференциальные уравнения 2 -го порядка с постоянными коэффициентами».

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y ‘ ‘ + p y ‘ + q y = f ( x ) , p , q ∈ R

Основным способом решение уравнений данного вида является нахождение суммы общего решения y 0 , которое соответствует линейному однородному дифференциальному уравнению y ‘ ‘ + p y ‘ + q y = 0 , и частного решения y

исходного уравнения. Получаем: y = y 0 + y

Способ нахождения y 0 мы рассмотрели в предыдущем пункте. Найти частное решение y

мы можем методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции f ( x ) , которая расположена в правой части записи исходного выражения. Также применим метод вариации произвольных постоянных.

К числу линейных неоднородных дифференциальных уравнений 2 -го порядка с постоянными коэффициентами относятся:

y ‘ ‘ – 2 y ‘ = ( x 2 + 1 ) e x ; y ‘ ‘ + 36 y = 24 sin ( 6 x ) – 12 cos ( 6 x ) + 36 e 6 x

Теоретические выкладки и подробный разбор примеров по теме можно найти в разделе «ЛНДУ 2 -го порядка с постоянными коэффициентами».

Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = 0 и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x )

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения и постоянными коэффициентами являются частными случаями дифференциальных уравнений этого вида.

На некотором отрезке [ a ; b ] общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = 0 представлено линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y 1 и y 2 этого уравнения, то есть, y = C 1 y 1 + C 2 y 2 .

Частные решения мы можем выбрать из систем независимых функций:

1 ) 1 , x , x 2 , . . . , x n 2 ) e k 1 x , e k 2 x , . . . , e k n x 3 ) e k 1 x , x · e k 1 x , . . . , x n 1 · e k 1 x , e k 2 x , x · e k 2 x , . . . , x n 2 · e k 2 x , . . . e k p x , x · e k p x , . . . , x n p · e k p x 4 ) 1 , c h x , s h x

Однако существуют примеру уравнений, для которых частные решения не могут быть представлены в таком виде.

Возьмем для примера линейное однородное дифференциальное уравнение x y ‘ ‘ – x y ‘ + y = 0 .

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x ) мы можем найти в виде суммы y = y 0 + y

, где y 0 – общее решение соответствующего ЛОДУ, а y

частное решение исходного дифференциального уравнения. Найти y 0 можно описанным выше способом. Определить y

нам поможет метод вариации произвольных постоянных.

Возьмем для примера линейное неоднородное дифференциальное уравнение x y ‘ ‘ – x y ‘ + y = x 2 + 1 .

Более подробно этот раздел освещен на странице «Линейные дифференциальные уравнения второго порядка».

Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Мы можем провести замену y ( k ) = p ( x ) для того, чтобы понизить порядок исходного дифференциального уравнения F ( x , y ( k ) , y ( k + 1 ) , . . . , y ( n ) ) = 0 , которое не содержит искомой функции и ее производных до k – 1 порядка.

В этом случае y ( k + 1 ) = p ‘ ( x ) , y ( k + 2 ) = p ‘ ‘ ( x ) , . . . , y ( n ) = p ( n – k ) ( x ) , и исходное дифференциальное уравнение сведется к F 1 ( x , p , p ‘ , . . . , p ( n – k ) ) = 0 . После нахождения его решения p ( x ) останется вернуться к замене y ( k ) = p ( x ) и определить неизвестную функцию y .

Дифференциальное уравнение y ‘ ‘ ‘ x ln ( x ) = y ‘ ‘ после замены y ‘ ‘ = p ( x ) станет уравнением с разделяющимися переменными y ‘ ‘ = p ( x ) , и его порядок с третьего понизится до первого.

В уравнении, которое не содержит аргумента х и имеет вид F ( y , y ‘ , y ‘ ‘ , . . . , y ( n ) ) = 0 , порядок может быть заменен на единицу следующим образом: необходимо провести замену d y d x = p ( y ) , где p ( y ( x ) ) будет сложной функцией. Применив правило дифференцирования, получаем:

d 2 y d x 2 = d p d y d y d x = d p d y p ( y ) d 3 y d x 3 = d d p d y p ( y ) d x = d 2 p d y 2 d y d x p ( y ) + d p d y d p d y d y d x = = d 2 p d y 2 p 2 ( y ) + d p d y 2 p ( y )
Полученный результаты подставляем в исходное выражение. При этом мы получим дифференциальное уравнение, порядок которого на единицу меньше, чем у исходного.

Рассмотрим решение уравнения 4 y 3 y ‘ ‘ = y 4 – 1 . Путем замены d y d x = p ( y ) приведем исходное выражение к уравнению с разделяющимися переменными 4 y 3 p d p d y = y 4 – 1 .

Более подробно решения задач по теме рассмотрены в разделе «Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка».

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами y ( n ) + f n – 1 · y ( n – 1 ) + . . . + f 1 · y ‘ + f 0 · y = 0 и y ( n ) + f n – 1 · y ( n – 1 ) + . . . + f 1 · y ‘ + f 0 · y = f ( x )

Решение уравнений данного вида предполагает выполнение следующих простых шагов:

• находим корни характеристического уравнения k n + f n – 1 · k n – 1 + . . . + f 1 · k + f 0 = 0 ;
• записываем общее решение ЛОДУ y 0 в стандартной форме, а общее решение ЛНДУ представляем суммой y = y 0 + y

– частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

Нахождение корней характеристического уравнения подробно описано в разделе «Решение уравнений высших степеней». Для нахождения y

целесообразно использовать метод вариации произвольных постоянных.

Линейному неоднородному ДУ с постоянными коэффициентами y ( 4 ) + y ( 3 ) – 5 y ‘ ‘ + y ‘ – 6 y = x cos x + sin x соответствует линейное однородное ДУ y ( 4 ) + y ( 3 ) – 5 y ‘ ‘ + y ‘ – 6 y = 0 .

Более детальный разбор теории и примеров по теме вы можете найти на странице « Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами».

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков y ( n ) + f n – 1 ( x ) · y ( n – 1 ) + . . . + f 1 ( x ) · y ‘ + f 0 ( x ) · y = 0 и y ( n ) + f n – 1 ( x ) · y ( n – 1 ) + . . . + f 1 ( x ) · y ‘ + f 0 ( x ) · y = f ( x )

Найти решение ЛНДУ высших порядков можно благодаря сумме y = y 0 + y

, где y 0 – общее решение соответствующего ЛОДУ, а y

– частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

y 0 представляет собой линейную комбинацию линейно независимых функций y 1 , y 2 , . . . , y n , каждая из которых является частным решением ЛОДУ, то есть, обращает равенство y ( n ) + f n – 1 ( x ) · y ( n – 1 ) + . . . + f 1 ( x ) · y ‘ + f 0 ( x ) · y = 0 в тождество. Частные решения y 1 , y 2 , . . . , y n обычно подбираются из известных систем линейно независимых функций. Подобрать их далеко не всегда просто и возможно, в этом и заключается основная проблема.

После того, как мы найдем общее решение ЛОДУ, найти частное решение соответствующего ЛНДУ можно благодаря методу вариации произвольных постоянных. Итак, y = y 0 + y

Получить более подробную информацию по теме можно в разделе «Дифференциальные уравнения высших порядков».

Системы дифференциальных уравнений вида d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2

Данная тема подробно разобрана на странице «Системы дифференциальных уравнений». Там же приведены примеры задач с подробных разбором.

Содержание

Уравнение с разделенными переменными [ править ]

Определение:

уравнение вида [math]M(x)dx + N(y)dy = 0 :: (1)[/math] называется уравнением с разделенными переменными

Решение: [math](1) :: Leftrightarrow :: M(x)dx = -N(y)dy[/math] далее интегрируем правую и левую части

Уравнение с разделяемыми переменными [ править ]

Определение:

уравнение вида [math]M_<1>(x)N_<1>(y)dx + M_<2>(x)N_<2>(y)dy = 0 :: (2)[/math] называется уравнением с разделяемыми переменными

Решение: (2) разделим на [math]N_<1>(y)M_<2>(x)
eq 0[/math] и оно сведется к (1). в случае = 0 могут существовать особые решения.

Однородные уравнения [ править ]

Определение:

уравнение вида [math]M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 :: (3)[/math] , где M и N – однородные функции одного измерения, называется однородным уравнением

Определение:

[math]f(x, y) – [/math] однородная функция измерения n [math]Leftrightarrow : f(lambda x, lambda y) = lambda^f(x, y)[/math]

Решение: произвести замену [math]t = dfrac[/math]

Определение:

[math]dfrac=fleft(dfrac ight) -[/math] один из видов однородного уравнения.

Уравнения приводящиеся к однородным [ править ]

Определение:

уравнение вида [math]dfrac= fleft(dfrac<1>x + b_<1>y + c_<1>><2>x + b_<2>y + c_<2>> ight) (4)[/math] называется уравнением приводящимся к однородному

Утверждение:

1) [math]egin a_ <1>& b_<1>\ a_ <2>& b_ <2>end eq 0 Rightarrow left <eginx = u + alpha \ y = v + eta end ight. [/math] [math] (alpha, eta) : left <egina_<1>x + b_<1>y + c_ <1>= 0\ a_<2>x + b_<2>y + c_ <2>= 0 end ight.[/math] Тогда получаем однородное уравнение. 2) [math]egin a_ <1>& b_<1>\ a_ <2>& b_ <2>end = 0 Rightarrow [/math] пусть [math]a_ <1>x + b_ <1>y + c_ <1>= t [/math] Тогда получаем уравнение с разделяющимися переменными.

[math] riangleright[/math]

Докажем 1), второй доказывается аналогично. Подставим замену: [math]a_<1>x + b_<1>y + c_ <1>= a_<1>(u + alpha) + b_<1>(v + eta) + c_ <1>= a_<1>alpha + b_<1>eta + c_ <1>+ a_<1>u + b_<1>v =[/math] [math]a_<1>u + b_<1>v = 0 [/math] Получили однородное уравнение.

[math] riangleleft[/math]

Линейное уравнение первого порядка [ править ]

Определение:

уравнение вида [math]frac = p(x) y + q(x)(5)[/math] называется линейным уравнением [math]I[/math] порядка

Определение:

Если [math]q(x) = 0[/math] , то уравнение [math](5) [/math] называется однородным линейным уравнением [math]I[/math] порядка

Способ решения методом Бернулли [ править ]

Пусть [math] y(x) = u(x) v(x)[/math] , тогда:

[math] u'(x) v(x) + u(x) v'(x) = p(x) u(x) v(x) + q(x) [/math]

[math] u'(x) v(x) + u(x) [ v'(x) – p(x) v(x)] = q(x) [/math] , назовем это уравнение [math](5a)[/math]

Пусть [math] v(x) [/math] таково, что:

[math] v'(x) – p(x) v(x) = 0 [/math]

[math]frac – p(x) v(x) = 0 [/math] . Домножим на [math] frac [/math] [math]frac – p(x) dx = 0 [/math] . Отсюда получаем:

[math]ln(v) = int p(x)dx + C[/math]

Пусть [math] C = 1[/math] . Тогда из [math](5a)[/math] получаем:

[math] u(x) = int q(x) e^ <int -p(x)dx>dx + C_ <1>[/math] . Тогда

Способ решения методом Лагранжа [ править ]

[math] frac = p(x) y [/math]

Рассмотрим общее однородное(O.O) и общее неоднородное решение(O.H): [math] y_ = C e^<int p(x)dx>[/math] (из док-ва Бернулли)

[math] C(x) = int q(x) C(x) e^ <int p(x)dx>dx + C_ <1>[/math]

Уравнение в полных дифференциалах [ править ]

Определение:

Уравнение вида: [math]M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 :: (6)[/math] называется уравнением в полных дифференциалах, если [math](6) = du(x, y)[/math]

т.к. [math]du(x, y) = 0 Leftrightarrow u(x, y) = C : -[/math] общий интеграл.

Теорема:

Доказательство: [math] riangleright[/math] Рассмотрим первоначальное уравнение:
[math] M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 [/math]
Перепишем его в виде: [math] M(x,y)dx + N(x,y)dy equiv du(x,y) = dfrac<partial u><partial x>dx + dfrac<partial u><partial y>dy. [/math]
Тогда видим, что [math] dfrac<partial u> <partial x>= M, dfrac<partial u> <partial y>= N [/math]
Т.к. [math] M,N [/math] – непрерывные на [math] C [/math] , то давайте рассмотрим [math] dfrac<partial^2 u> <partial x partial y>= dfrac<partial M> <partial y>[/math] и [math] dfrac<partial^2 u> <partial y partial x>= dfrac<partial N> <partial x>[/math]
Левые части в этих равенствах равны, а следовательно равны и правые. Необходимость доказана.
Докажем теперь достаточность.
Предположим, что равенство частных производных выполняется, тогда рассмотрим следующую функцию:
[math] a(x,y) = int_<0>>^M(q, y)dq + int_<0>>^N(x_<0>, z)dz [/math]
Найдем для нее частные производные по [math] x [/math] и [math] y [/math] :
[math] dfrac<partial a> <partial x>= M(x,y) [/math] , а дифференцируя по [math] y [/math] и учитывая условие [math] frac<partial M(x, y)> <partial y>equiv frac<partial N(x, y)> <partial x>[/math] , получаем :
[math] dfrac<partial a> <partial y>= int_<0>>^frac<partial M(q, y)><partial y>dq + N(x_0, y) = N(x,y) – N(x_0,y) + N(x_0,y) = N(x,y) [/math] , достаточность доказана, т.к. [math] a(x,y) = u(x,y) [/math] – общий интеграл . [math] riangleleft[/math]

Решение: [math]u(x, y) = int_<0>>^M(x, y)dx + int_<0>>^N(x_<0>, y)dy = C : – [/math] Общее решение.

Уравнение, приводящееся к уравнению в полных дифференциалах [ править ]

Утверждение:

[math] riangleright[/math]

[math]mu(x, y) = h(omega) = e^<intpsi(omega)domega>[/math]

[math] riangleleft[/math]

только как решать все равно не понятно.
Но.
Если [math]mu[/math] зависит только от x или только от y, можно выразить ее в явном виде:
[math] mu(x) = e^<int frac<frac<partial M> <partial y>- frac<partial N><partial x>> dx>[/math]
[math] mu(y) = e^<-int frac<frac<partial M> <partial y>- frac<partial N><partial x>> dy>[/math]

Уравнение Бернулли [ править ]

Определение:

уравнение вида [math]frac = p(x) y + q(x)y^m, : m in mathbb setminus left < 0, 1 ight >:[/math] , называется уравнением Бернулли.

Решение:
[math]y^<-m>y’ = p(x)y^<1-m>+q(x), y
eq 0[/math]
[math](frac><1-m>)’ – p(x)y^<1-m>= q(x)[/math] , пусть [math]z(x) = y^ <1-m>: Rightarrow[/math]
[math]z'(x) – p(x)(1 – m)z(x) = (1 – m)q(x) : – [/math] линейное относительно z уравнение.

Уравнение Риккати [ править ]

Определение:

Уравнение вида [math]frac = p(x)y + q(x) + r(x)y^<2>:: (9)[/math] , где [math]p, q, r in C(a,b):[/math] называется уравнением Риккати

Решение:
Пусть [math]y_<1>(x): – [/math] частное решение уравнения (9), тогда [math]y(x) = z(x) + y_<1>[/math]
[math]z’ + y’_ <1>= p(z + y_<1>) + q + r(z + y_<1>)^<2>[/math]
[math]z’ = pz + rz^ <2>+ 2rzy_<1>: – [/math] уравнение (8)

Уравнения 1-го порядка не разрешенные относительно 1-й производной [ править ]

x явно зависит от y’ [ править ]

Решение:
Пусть [math]x = phi(y’):: (10)[/math]
Перейдем к параметрической системе:
[math] left <eginx = phi(t) \y’ = t end
ight.[/math]
[math]dy = t dx = t phi'(t)[/math]
[math] left <eginy = int tphi'(t)dt \x = phi(t) end
ight.[/math]

y явно зависит от y’ [ править ]

Решение:
Пусть [math]y = phi(y’):: (11)[/math]
Переходим к системе: [math] left <eginy = phi(t) \y’ = t end
ight.[/math]
[math]dx = frac<phi'(t)dt>[/math]

уравнение Лагранжа [ править ]

Определение:

уравнение вида [math]y = phi(y’)x + psi(y’):: (12)[/math] , называется уравнением Лагранжа

Решение:
Переходим к системе:
[math] left <eginy = phi(t)x + psi(t) \y’ = t end
ight.[/math]
[math]dy = (phi'(t)x + psi'(t))dt + phi(t)dx = tdx[/math]
[math](phi'(t)x+ psi'(t))dt + (phi(t) – t)dx = 0[/math]
[math]Rightarrow : ]x = F(t, C), : phi(t) – t
eq 0[/math]
[math]left <eginx = F(t, C) \y = phi(t)F(t, C) + psi(t) end
ight.[/math]

Уравнение Клеро [ править ]

Определение:

уравнение вида [math]y = xy’ + psi(y’):: (13)[/math] , называется уравнением Клеро

Решение:
Пусть [math]y’ = t : Rightarrow : dy = tdx = (x + psi'(t))dt + tdx : Rightarrow : (x + psi'(t))dt = 0 [/math]
Тогда либо [math]dt = 0 : (1)[/math] , либо [math]x + psi'(t) = 0 : (2)[/math]
[math](1):: t = C Rightarrow y = xC + psi(C)[/math] — общее решение.
[math](2):: left <eginx = -psi'(t)\y = -psi'(t)t + psi(t) end
ight.[/math]

Найти функцию f по некоторой заданной зависимости, в которую входят сама функция с аргументами и ее производные. Подобный тип задач актуален в физики, химии, экономики, технике и других областях науки. Подобные зависимости носят название дифференциальных уравнений. К примеру, y’ – 2xy = 2 – это дифференциальное уравнение 1-го порядка. Посмотрим, как подобные типы уравнений решаются.

Что это?

Уравнение, выглядящее следующим образом:

• f(y, y’, . y (10) , y (11) , . y (k) , x) = 0,

носит название обыкновенного дифура и характеризуется как уравнение порядка k, и зависит оно от x и производных y’, y”, . – вплоть до k-й.

Разновидности

В случае, когда функция, которую нужно найти, в дифференциальном уравнении зависима только от одного аргумента, тип дифференциального уравнения именуется обыкновенным. Иными словами, в уравнении функция f и все ее производные зависят только от аргумента x.

При зависимости же искомой функции от нескольких разных аргументов уравнения носят название дифференциальных в частных производных. В общем случае они выглядят:

где под выражением f_x‘ понимается производная функции по аргументу x, а f_z” – двойная производная функции по аргументу z, и т. д.

Решение

Несложно догадаться, что именно считается решением диф. уравнения. Это функция, подстановка которой в уравнение дает тождественный результат по обе стороны знака равно, называется решением. Например, уравнение t”+a 2 t = 0 имеет решение в виде t = 3Cos(ax) – Sin(ax):

1	t’=	-3aSin(ax) – aCos(ax)
2	t”=	-3a 2 Cos(ax) + a 2 Sin(ax)
3	t”+a 2 t=	(-3a 2 Cos(ax) + a 2 Sin(ax)) + a 2 (3Cos(ax) – Sin(ax))

Проведя упрощение уравнения 3 мы выясним, что t”+a 2 t = 0 при всех значения аргумента x. Однако стоит сразу оговориться. Уравнение t = 3Cos(ax) – Sin(ax) является не единственным решением, а лишь одним из бесконечного множества, которое описывается формулой mCos(ax) + nSin(ax), где m и n – это произвольные числа.

Причина такого соотношения заключается в определение первообразной функции в интегральном исчислении: если Q – первообразная (точнее одна из многих) для функции q , то ∫q(x) dx = Q(x) + C, где С – произвольная константа, которая обнуляется при обратной операции – взятии производной функции Q'(x).

Опустим определение того, что такое решение уравнения k-го порядка. Не трудно представить, чем больше порядок производной, тем больше констант возникает в процессе интегрирования. Также следует уточнить, что описанное выше определение для решения не является полным. Но для математиков XVII века оно было достаточным.

Ниже будут рассмотрены лишь основные типы дифференциальных уравнений первого порядка. Самые базовые и простые. Помимо них существуют и другие диф. уравнения: однородные, в полных дифференциалах и Бернулли. Но решение всех часто связано с методом разделяющихся переменных, который будет рассмотрен ниже.

Разделение переменных как способ решения

F = 0 – представляет собой диф. уравнение порядка 1. При решении данного типа дифференциальных уравнений они легко приводятся к виду y’ = f. Так, например, уравнение e y’ – 1 – xy = 0 приводится к виду y’ = ln(1 + xy). Операция приведения дифференциального уравнения к подобному виду называется его разрешением относительно производной y’.

После разрешения уравнения нужно привести его к дифференциальному виду. Это делается путем умножения на dx всех частей равенства. Из y’ = f получается y’dx = fdx. С учетом того, что y’dx = dy, получим уравнение в виде:

• dy = f dx – которое называется дифференциальной формой.

Очевидно, y’ = f(x) – наиболее простое дифференциальное уравнение первого порядка. Его решение достигается простым интегрированием. Более сложным видом является q(y)*y’ = p(x), в котором q(y) – это функция, зависящая от y, а p(x) – функция зависящая от x. Приведя его к дифференциальному виду, получим:

Легко понять, почему уравнение называется разделенным: его левая часть содержит только переменную y, а правая – только x. Решается такое уравнение с применением следующей теоремы: если у функции p существует первообразная P, а у q – Q, то интеграл дифура будет Q(y) = P(x) + C.

Решим уравнение z'(x)ctg(z) = 1/x. Приведя это уравнение к дифференциальному виду: ctg(z)dz = dx/x; и взяв интеграл от обеих частей ∫ctg(z)dz = ∫dx/x; получим решение в общем виде: C + ln|sin(z)| = ln|x|. Красоты ради данное уравнение по правилам логарифмов может быть записано в иной форме, если положить C = ln W – получим W|sin(z)| = |x| или, еще проще, WSin(z) = x.

Уравнения вида dy/dx = q(y)p(x)

Разделение переменных можно применить на уравнениях вида y’ = q(y)p(x). Нужно только учесть случай, когда q(y) при некотором числе а обращается в нуль. То есть q(a) = 0. В таком случае функция y = a будет решением, т. к. для нее y’ = 0, следственно, q(a)p(x) также равно нулю. Для всех остальных значений, где q(y) не равно 0, можно записать дифференциальную форму:

интегрируя которую, получают общее решение.

Решим уравнение S’ = t 2 (S-a)(S-b). Очевидно, корнями уравнения являются числа a и b. Поэтому S=a и S=b – решения данного уравнения. Для других значений S имеем дифференциальную форму: dS/[(S-a)(S-b)] = t 2 dt. Откуда легко получить общий интеграл.

Уравнения вида H(y)W(x)y’ + M(y)J(x) = 0

Разрешив данный вид уравнение относительно y’ получим: y’ = – C(x)D(y) / A(x)B(y). Дифференциальная форма данного уравнения будет такова:

W(x)H(y)dy + J(x)M(y)dx = 0

Для решения данного уравнения нужно рассмотреть нулевые случаи. Если а – корень W(x), то x = a – интеграл, т. к. из этого следует, что dx = 0. Аналогично, со случаем, если b – корень M(y). Тогда для области значений x, при которых W и M не обращаются в ноль, можно провести разделение переменных путем деления на выражение W(x)M(y). После чего выражение можно интегрировать.

Множество видов уравнений, к которым на первый взгляд невозможно применить разделение переменных, оказываются таковыми. Например, в тригонометрии это достигается за счет тождественных преобразований. Также часто может быть уместной какая-либо остроумная замена, после которой можно будет использовать метод разделенных переменных. Типы дифференциальных уравнений 1 порядка могут выглядеть самым разным образом.

Линейные уравнения

Не менее важный тип дифференциальных уравнений, решение которых происходит путем подстановки и сведения их к методу разделенных переменных.

• Q(x)y + P(x)y’ = R(x) – представляет собой уравнение, линейное при рассмотрении относительно функции и ее производной. P, Q, R – представляют собой непрерывные функции.

Для случаев, когда P(x) не равном 0, можно привести уравнение к разрешенному относительно y’ виду, поделив все части на P(x).

• y’ + h(x)y = j(x), в котором h(x) и j(x) представляют собой соотношения функций Q/P и R/P, соответственно.

Решение для линейных уравнений

Линейное уравнение можно назвать однородным в случае, когда j(x) = 0, то есть h(x)y+ y’ = 0. Такое уравнение называется однородным и легко разделяется: y’/y = -h(x). Интегрируя его, получаем: ln|y| = -H(x) + ln(C). Откуда y выражается в виде y = Ce -H(x) .

Например, z’ = zCos(x). Разделяя переменные и приводя уравнение к дифференциальному виду, после чего интегрируя, получим, что общее решение будет иметь выражение y = Ce Sin(x) .

Неоднородным называется линейное уравнение в его общем виде, то есть j(x) не равно 0. Его решение состоит из нескольких этапов. Сначала следует решить однородное уравнение. То есть приравнять j(x) к нулю. Пусть u – одно из решений соответствующего однородного линейного уравнения. Тогда имеет место быть тождество u’ + h(x)u = 0.

Проведем в y’ + h(x)y = j(x) замену вида y = uv и получим (uv)’ + h(x)uv = j(x) или u’v + uv’ + h(x)uv = j(x). Приведя уравнение к виду u(u’ + h(x)u) + uv’ = j(x) можно заметить, что в первой части u’ + h(x)u = 0. Откуда получаем v'(x) = j(x) / u(x). Отсюда вычисляем первообразную ∫v = V+С. Проведя обратную замену, находим y = u(V+C), где u – решение однородного уравнения, а V – первообразная соотношения j / u.

Найдем решение для уравнения y’-2xy = 2, которое относится к типу дифференциальных уравнений первого порядка. Для этого сначала решим однородное уравнение u’ – 2xu = 0. Получим u = e 2x + C. Для простоты решения положим C = 0, т. к. для решения поставленной задачи нам нужно лишь одно из решений, а не всевозможные варианты.

После чего проведем подстановку y = vu и получим v'(x)u + v(u'(x) – 2u(x)x) = 2. Затем: v'(x)e 2x = 2, откуда v'(x) = 2e -2x . Тогда первообразная V(x) = -∫e -2x d(-2x) = – e -2x + С. В итоге общее решение для y’ – 2xy = 2 будет y = uv = (-1)(e 2x + С) e -2x = – 1 – Ce -2x .

Как определить тип дифференциального уравнения? Для этого следует разрешить его относительно производной и посмотреть, можно воспользоваться методом разделения переменных напрямую или подстановкой.