Пусть [math]A[/math] — числовая квадратная матрица n-го порядка. Матрица [math]A-lambda E[/math] называется характеристической для [math]A[/math] , а ее определитель [math]Delta_(lambda)=det(A-lambda E)[/math] характеристическим многочленом матрицы [math]A:[/math]
Характеристическая матрица — это λ-матрица. Ее можно представить в виде регулярного многочлена первой степени с матричными коэффициентами. Нетрудно заметить, что степень характеристического многочлена равна порядку [math]n[/math] характеристической матрицы.
Пусть [math]A[/math] — числовая квадратная матрица n-го порядка. Ненулевой столбец [math]x=egin
называется собственным вектором матрицы [math]A[/math] . Число [math]lambda[/math] в равенстве (7.13) называется собственным значением матрицы [math]A[/math] . Говорят, что собственный вектор [math]x[/math] соответствует <принадлежит) собственному значению [math]lambda[/math] .
Поставим задачу нахождения собственных значений и собственных векторов матрицы. Определение (7.13) можно записать в виде [math](A-lambda E)x=o[/math] , где [math]E[/math] — единичная матрица n-го порядка. Таким образом, условие (7.13) представляет собой однородную систему [math]n[/math] линейных алгебраических уравнений с [math]n[/math] неизвестными [math]x_1,x_2,ldots,x_n:[/math]
Поскольку нас интересуют только нетривиальные решения [math](x
e o)[/math] однородной системы, то определитель матрицы системы должен быть равен нулю:
где [math]lambda_1,lambda_2,ldots,lambda_k[/math] — корни многочлена кратности [math]n_1,n_2,ldots,n_k[/math] соответственно, причем [math]n_1+n_2+ldots+n_k=n[/math] . Другими словами, характеристический многочлен имеет п корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.
Теорема 7.4 о собственных значениях матрицы. Все корни характеристического многочлена (характеристического уравнения (7-15)) и только они являются собственными значениями матрицы.
Действительно, если число [math]lambda[/math] — собственное значение матрицы [math]A[/math] , которому соответствует собственный вектор [math]x
e o[/math] , то однородная система (7.14) имеет нетривиальное решение, следовательно, матрица системы вырожденная, т.е. число [math]lambda[/math] удовлетворяет характеристическому уравнению (7.15). Наоборот, если [math]lambda[/math] — корень характеристического многочлена, то определитель (7.15) матрицы однородной системы (7.14) равен нулю, т.е. [math]operatorname
e o[/math] , удовлетворяющий условию (7.14). Значит, [math]lambda[/math] — собственное значение матрицы [math]A[/math] .
Свойства собственных векторов
Пусть [math]A[/math] — квадратная матрица n-го порядка.
1. Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, линейно независимы.
В самом деле, пусть [math]s_1[/math] и [math]s_2[/math] — собственные векторы, соответствующие собственным значениям [math]lambda_1[/math] и [math]lambda_2[/math] , причем [math]lambda_1
e lambda_2[/math] . Составим произвольную линейную комбинацию этих векторов и приравняем ее нулевому столбцу:
Надо показать, что это равенство возможно только в тривиальном случае, когда [math]alpha_1=alpha_2=0[/math] . Действительно, умножая обе части на матрицу [math]A[/math] и подставляя [math]As_1=lambda_1s_1[/math] и [math]As_2=lambda_2s_2[/math] имеем
Прибавляя к последнему равенству равенство (7.16), умноженное на [math](-lambda_2)[/math] , получаем
Так как [math]s_1
e o[/math] и [math]lambda_1
e lambda_2[/math] , делаем вывод, что [math]alpha_1=0[/math] . Тогда из (7.16) следует, что и [math]alpha_2=0[/math] (поскольку [math]s_2
e o[/math] ). Таким образом, собственные векторы [math]s_1[/math] и [math]s_2[/math] линейно независимы. Доказательство для любого конечного числа собственных векторов проводится по индукции.
2. Ненулевая линейная комбинация собственных векторов, соответствующих одному собственному значению, является собственным вектором, соответствующим тому же собственному значению.
Действительно, если собственному значению [math]lambda[/math] соответствуют собственные векторы [math]s_1,ldots,s_k[/math] , то из равенств [math]S_i=lambda s_i,[/math] [math]i=1,ldots,k[/math] , следует, что вектор [math]s=alpha_1s_1+ldots+alpha_ks_k[/math] также собственный, поскольку:
3. Пусть [math](A-lambda E)^<+>[/math] — присоединенная матрица для характеристической матрицы [math](A-lambda E)[/math] . Если [math]lambda_0[/math] — собственное значение матрицы [math]A[/math] , то любой ненулевой столбец матрицы [math](A-lambda E)^<+>[/math] является собственным вектором, соответствующим собственному значению [math]lambda_0[/math] .
В самом деле, применяя формулу (7.7) имеем [math](A-lambda E)(A-lambda E)^<+>=Delta_k(lambda)cdot E[/math] . Подставляя корень [math]lambda_0[/math] , получаем [math](A-lambda_0E)(A-lambda_0E)^<+>=O[/math] . Если [math]s[/math] — ненулевой столбец матрицы [math](A-lambda_0E)^<+>[/math] , то [math](A-lambda_0E)s=oLeftrightarrow As=lambda_0s[/math] . Значит, [math]s[/math] — собственный вектор матрицы [math]A[/math] .
1. По основной теореме алгебры характеристическое уравнение имеет п в общем случае комплексных корней (с учетом их кратностей). Поэтому собственные значения и собственные векторы имеются у любой квадратной матрицы. Причем собственные значения матрицы определяются однозначно (с учетом их кратности), а собственные векторы — неоднозначно.
2. Чтобы из множества собственных векторов выделить максимальную линейно независимую систему собственных векторов, нужно для всех раз личных собственных значений [math]lambda_1,lambda_2, ldots,lambda_k[/math] записать одну за другой системы линейно независимых собственных векторов, в частности, одну за другой фундаментальные системы решений однородных систем
Полученная система собственных векторов будет линейно независимой в силу свойства 1 собственных векторов.
3. Совокупность всех собственных значений матрицы (с учетом их кратностей) называют ее спектром .
4. Спектр матрицы называется простым, если собственные значения матрицы попарно различные (все корни характеристического уравнения простые).
5. Для простого корня [math]lambda=lambda_0[/math] характеристического уравнения соответствующий собственный вектор можно найти, раскладывая определитель матрицы [math](A-lambda_0E)[/math] по одной из строк. Тогда ненулевой вектор, компоненты которого равны алгебраическим дополнениям элементов одной из строк матрицы [math](A-lambda_0E)[/math] , является собственным вектором.
Нахождение собственных векторов и собственных значений матрицы
Для нахождения собственных векторов и собственных значений квадратной матрицы [math]A[/math] n-го порядка надо выполнить следующие действия.
1. Составить характеристический многочлен матрицы [math]Delta_A(lambda)=det(A-lambda E)[/math] .
2. Найти все различные корни [math]lambda_1,lambda_2,ldots,lambda_k[/math] характеристического уравнения [math]Delta_A(lambda)=0[/math] (кратности [math]n_1,n_2,ldots,n_k[/math] [math](n_1+n_2+ldots+n_k=n)[/math] корней определять не нужно).
3. Для корня [math]lambda-lambda_1[/math] найти фундаментальную систему [math]varphi_1,varphi_2,ldots,varphi_[/math] решений однородной системы уравнений
Для этого можно использовать либо алгоритм решения однородной системы, либо один из способов нахождения фундаментальной матрицы (см. пункт 3 замечаний 5.3, пункт 1 замечаний 5.5).
4. Записать линейно независимые собственные векторы матрицы [math]A[/math] , отвечающие собственному значению [math]lambda_1:[/math]
где [math]C_1,C_2,ldots,C_[/math] — отличные от нуля произвольные постоянные. Совокупность всех собственных векторов, отвечающих собственному значению [math]lambda_1[/math] , образуют ненулевые столбцы вида [math]s=C_1varphi_1+C_2varphi_2+ldots+C_varphi_[/math] . Здесь и далее собственные векторы матрицы будем обозначать буквой [math]s[/math] .
Повторить пункты 3,4 для остальных собственных значений [math]lambda_1,lambda_2,ldots,lambda_k[/math] .
Пример 7.8. Найти собственные значения и собственные векторы матриц:
Решение. Матрица [math]A[/math] . 1. Составляем характеристический многочлен матрицы
2. Решаем характеристическое уравнение: [math]lambda^2-9 lambda+14=0
3(1). Для корня [math]lambda_1=2[/math] составляем однородную систему уравнений [math](A-lambda_1E)x=o:[/math]
Решаем эту систему методом Гаусса, приводя расширенную матрицу системы к упрощенному виду
Ранг матрицы системы равен 1 [math](r=1)[/math] , число неизвестных [math]n=2[/math] , следовательно, фундаментальная система решений состоит из [math]n-r=1[/math] решения. Выражаем базисную переменную [math]x_1[/math] через свободную: [math]x_1=-2x_2[/math] . Полагая [math]x_2=1[/math] , получаем решение [math]varphi_1= egin
4(1). Записываем собственные векторы, соответствующие собственному значению [math]lambda_1=2colon
s_1=C_1cdotvarphi_1[/math] , где [math]C_1[/math] — отличная от нуля произвольная постоянная.
Заметим, что, согласно пункту 5 замечаний 7.5, в качестве собственного вектора можно выбрать вектор, составленный из алгебраических дополнений элементов второй строки матрицы [math]egin
3(2). Для корня [math]lambda_2=7[/math] составляем однородную систему уравнений [math](A-lambda_2E)x=o:[/math]
Решаем эту систему методом Гаусса, приводя расширенную матрицу системы к упрощенному виду
Ранг матрицы системы равен 1 [math](r=1)[/math] , число неизвестных [math]n=2[/math] , следовательно, фундаментальная система решений состоит из [math]n-r=1[/math] решения. Выражаем базисную переменную [math]x_1[/math] через свободную: [math]x_1=-frac<1><3>x_2[/math] . Полагая [math]x_2=1[/math] , получаем решение [math]varphi_2=egin
4(2). Записываем собственные векторы, соответствующие собственному значению [math]lambda_2=7colon
s_2=C_2cdotvarphi_2[/math] , где [math]C_2[/math] — отличная от нуля произвольная постоянная.
Заметим, что, согласно пункту 5 замечаний 7.5, в качестве собственного вектора можно выбрать вектор, составленный из алгебраических дополнений элементов первой строки матрицы [math]egin
Матрица [math]B[/math] . 1. Составляем характеристический многочлен матрицы
2. Решаем характеристическое уравнение: [math]lambda^2-2 lambda+5=0
3(1). Для корня [math]lambda_1=1+2i[/math] составляем однородную систему уравнений [math](B-lambda_1E)x=o[/math]
Решаем эту систему методом Гаусса, приводя расширенную матрицу системы к упрощенному виду
Ранг матрицы системы равен 1 [math](r=1)[/math] , число неизвестных [math]n=2[/math] , следовательно, фундаментальная система решений состоит из [math]n-r=1[/math] решения. Выражаем базисную переменную [math]x_1[/math] через свободную: [math]x_1=2i,x_2[/math] . Полагая [math]x_2=1[/math] , получаем решение [math]varphi_1= egin
4(1). Записываем собственные векторы, соответствующие собственному значению [math]lambda_1= 1+2icolon
s_1=C_1cdotvarphi_1[/math] , где [math]C_1[/math] — отличная от нуля произвольная постоянная.
Заметим, что, согласно пункту 5 замечаний 7.5, в качестве собственного вектора можно выбрать вектор, составленный из алгебраических дополнений элементов первой строки матрицы [math]egin
3(2). Для корня [math]lambda_2=1-2i[/math] составляем однородную систему уравнений [math](B-lambda_2E)x=o:[/math]
Решаем эту систему методом Гаусса, приводя расширенную матрицу системы к упрощенному виду
Ранг матрицы системы равен 1 [math](r=1)[/math] , число неизвестных [math]n=2[/math] , следовательно, фундаментальная система решений состоит из [math]n-r=1[/math] решения. Выражаем базисную переменную [math]x_1[/math] через свободную: [math]x_1=-2i,x_2[/math] . Полагая [math]x_2=1[/math] , получаем решение [math]varphi_2= egin
4(2). Записываем собственные векторы, соответствующие собственному значению [math]lambda_2=1-2icolon
s_2=C_2cdotvarphi_2[/math] , где [math]C_2[/math] — отличная от нуля произвольная постоянная.
Заметим, что, согласно пункту 5 замечаний 7.5, в качестве собственного вектора можно выбрать вектор, составленный из алгебраических дополнений элементов первой строки матрицы [math]egin
Матрица [math]C[/math] 1. Составляем характеристический многочлен матрицы
2. Решаем характеристическое уравнение: [math]-lambda^3+3 lambda^2=0
3(1). Для корня [math]lambda_1=3[/math] составляем однородную систему уравнений [math](C-lambda_1E)x=o:[/math]
Решаем эту систему методом Гаусса, приводя расширенную матрицу системы к упрощенному виду (ведущие элементы выделены полужирным курсивом):
Ранг матрицы системы равен 2 [math](r=2)[/math] , число неизвестных [math]n=3[/math] , следовательно, фундаментальная система решений состоит из [math]n-r=1[/math] решения. Выражаем базисные переменные [math]x_1,x_2[/math] через свободную [math]x_3colon egin
4(1). Все собственные векторы, соответствующие собственному значению [math]lambda_1=3[/math] , вычисляются по формуле [math]s=C_1cdotvarphi[/math] , где [math]C_1[/math] — отличная от нуля произвольная постоянная.
Заметим, что, согласно пункту 5 замечаний 7.5, в качестве собственного вектора можно выбрать вектор, составленный из алгебраических дополнений элементов первой строки матрицы [math]egin
Разделив его на 3, получим [math]varphi[/math] .
3(2). Для собственного значения [math]lambda_2=0[/math] имеем однородную систему [math]Cx=o[/math] . Решаем ее методом Гаусса:
Ранг матрицы системы равен единице [math](r=1)[/math] , следовательно, фундаментальная система решений состоит из двух решений [math](n-r=2)[/math] . Базисную переменную [math]x_1[/math] , выражаем через свободные: [math]x_1=-x_2-x_3[/math] . Задавая стандартные наборы свободных переменных [math]x_2=1,
x_3=0[/math] и [math]x_2=0,
x_3=1[/math] , получаем два решения
4(2). Записываем множество собственных векторов, соответствующих собственному значению [math]lambda_2=0colon
s=C_1varphi_1+C_2varphi_2[/math] , где [math]C_1,C_2[/math] — произвольные постоянные, не равные нулю одновременно. В частности, при [math]C_1=0,[/math] [math]C_2=-1[/math] получаем [math]s_1=egin
C_2=-1colon[/math] [math]s_2=egin
Заметим, что для корня [math]lambda_2=0[/math] собственный вектор нельзя найти, применяя пункт 5 замечаний 7.5, так как алгебраическое дополнение каждого элемента матрицы [math]A[/math] равно нулю.
собственные вектора матрицы
Шаг 1. Введите матрицу A
Важно Матрица A должна быть квадратной
Найдем такие вектора (называются собственными векторами) v
и такие числа – значения (называются собственными значениями) l
матрицы A, для v, l и A выполняется:
A*v = l*v.
Также вычисляется кратность собственных значений.
© Контрольная работа РУ – калькуляторы онлайн
Онлайн калькулятор нахождение собственных чисел и собственных векторов – Собственный вектор — понятие в линейной алгебре, определяемое для квадратной матрицы или произвольного линейного преобразования как вектор, умножение матрицы на который или применение к которому преобразования даёт коллинеарный вектор — тот же вектор, умноженный на некоторое скалярное значение, называемое собственным числом матрицы или линейного преобразования.
Данный калькулятор поможет найти собственные числа и векторы, используя характеристическое уравнение.
