Знак числа в двоичной системе

Системы счисления в культуре
Индо-арабская
Арабская Тамильская Бирманская	Кхмерская Лаосская Монгольская Тайская
Восточноазиатские
Китайская Японская Сучжоу Корейская	Вьетнамская Счётные палочки
Алфавитные
Абджадия Армянская Ариабхата Кириллическая Греческая	Грузинская Эфиопская Еврейская Акшара-санкхья
Другие
Вавилонская Египетская Этрусская Римская Дунайская	Аттическая Кипу Майяская Эгейская Символы КППУ
Позиционные
2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 16, 20, 60
Нега-позиционная
Симметричная
Смешанные системы
Фибоначчиева
Непозиционные
Единичная (унарная)

Двоичная система счисления — позиционная система счисления с основанием 2. Благодаря непосредственной реализации в цифровых электронных схемах на логических вентилях, двоичная система используется практически во всех современных компьютерах и прочих вычислительных электронных устройствах.

Содержание

Двоичная запись чисел [ править | править код ]

В двоичной системе счисления числа записываются с помощью двух символов ( и 1). Чтобы не путать, в какой системе счисления записано число, его снабжают указателем справа внизу. Например, число в десятичной системе 5₁₀, в двоичной 101₂. Иногда двоичное число обозначают префиксом 0b или символом & (амперсанд) [1] , например 0b101 или соответственно &101.

В двоичной системе счисления (как и в других системах счисления, кроме десятичной) знаки читаются по одному. Например, число 101₂ произносится «один ноль один».

Натуральные числа [ править | править код ]

Натуральное число, записываемое в двоичной системе счисления как ( a n − 1 a n − 2 … a 1 a 0 ) 2 <displaystyle (a_a_dots a_<1>a_<0>)_<2>> , имеет значение:

( a n − 1 a n − 2 … a 1 a 0 ) 2 = ∑ k = 0 n − 1 a k 2 k , <displaystyle (a_a_dots a_<1>a_<0>)_<2>=sum _^a_2^,>

• n <displaystyle n>— количество цифр (знаков) в числе,
• a k <displaystyle a_>— цифры из множества <0,1>,
• k <displaystyle k>— порядковый номер цифры.

Отрицательные числа [ править | править код ]

Отрицательные двоичные числа обозначаются так же как и десятичные: знаком «−» перед числом. А именно, отрицательное целое число, записываемое в двоичной системе счисления ( − a n − 1 a n − 2 … a 1 a 0 ) 2 <displaystyle (-a_a_dots a_<1>a_<0>)_<2>> , имеет величину:

( − a n − 1 a n − 2 … a 1 a 0 ) 2 = − ∑ k = 0 n − 1 a k 2 k . <displaystyle (-a_a_dots a_<1>a_<0>)_<2>=-sum _^a_2^.>

В вычислительной технике широко используется запись отрицательных двоичных чисел в дополнительном коде.

Дробные числа [ править | править код ]

Дробное число, записываемое в двоичной системе счисления как ( a n − 1 a n − 2 … a 1 a 0 , a − 1 a − 2 … a − ( m − 1 ) a − m ) 2 <displaystyle (a_a_dots a_<1>a_<0>,a_<-1>a_<-2>dots a_<-(m-1)>a_<-m>)_<2>> , имеет величину:

Сложение, вычитание и умножение двоичных чисел [ править | править код ]

+		1
		1
1	1	0 (перенос 1 в старший разряд)

–		1
		1
1	1(заём из старшего разряда)

Пример сложения «столбиком» (десятичное выражение 14₁₀ + 5₁₀ = 19₁₀ в двоичном виде выглядит как 1110₂ + 101₂ = 10011₂):

+	1	1	1
	1		1
1			1	1

×		1
1		1

Пример умножения «столбиком» (десятичное выражение 14₁₀ * 5₁₀ = 70₁₀ в двоичном виде выглядит как 1110₂ * 101₂ = 1000110₂):

×	1	1	1
	1		1
+	1	1	1
	1	1	1
1				1	1

Преобразование чисел [ править | править код ]

Для преобразования из двоичной системы в десятичную используют следующую таблицу степеней основания 2:

1024

512

256

128

64

32

16

8

4

2

1

Начиная с цифры 1 все цифры умножаются на два. Точка, которая стоит после 1, называется двоичной точкой.

Преобразование двоичных чисел в десятичные [ править | править код ]

Допустим, дано двоичное число 110001₂. Для перевода в десятичное запишите его как сумму по разрядам следующим образом:

То же самое чуть иначе:

Можно записать это в виде таблицы следующим образом:

512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
1	1				1
+32	+16	+0	+0	+0	+1

Двигайтесь справа налево. Под каждой двоичной единицей напишите её эквивалент в строчке ниже. Сложите получившиеся десятичные числа. Таким образом, двоичное число 110001₂ равнозначно десятичному 49₁₀.

Преобразование дробных двоичных чисел в десятичные [ править | править код ]

Нужно перевести число 1011010,101₂ в десятичную систему. Запишем это число следующим образом:

1 * 2 6 + * 2 5 + 1 * 2 4 + 1 * 2 3 + * 2 2 + 1 * 2 1 + * 2 0 + 1 * 2 −1 + * 2 −2 + 1 * 2 −3 = 90,625

То же самое чуть иначе:

64	32	16	8	4	2	1	0.5	0.25	0.125
1		1	1		1		,	1		1
+64	+0	+16	+8	+0	+2	+0	+0.5	+0	+0.125

Преобразование методом Горнера [ править | править код ]

Для того, чтобы преобразовывать числа из двоичной в десятичную систему данным методом, надо суммировать цифры слева направо, умножая ранее полученный результат на основу системы (в данном случае 2). Методом Горнера обычно переводят из двоичной в десятичную систему. Обратная операция затруднительна, так как требует навыков сложения и умножения в двоичной системе счисления.

Например, двоичное число 1011011₂ переводится в десятичную систему так:

То есть в десятичной системе это число будет записано как 91.

Перевод дробной части чисел методом Горнера [ править | править код ]

Цифры берутся из числа справа налево и делятся на основу системы счисления (2).

Преобразование десятичных чисел в двоичные [ править | править код ]

Допустим, нам нужно перевести число 19 в двоичное. Вы можете воспользоваться следующей процедурой :

19/2 = 9 с остатком 1
9/2 = 4 c остатком 1
4/2 = 2 без остатка
2/2 = 1 без остатка
1/2 = 0 с остатком 1

Итак, мы делим каждое частное на 2 и записываем остаток в конец двоичной записи. Продолжаем деление до тех пор, пока в частном не будет 0. Результат записываем справа налево. То есть нижняя цифра (1) будет самой левой и т. д. В результате получаем число 19 в двоичной записи: 10011.

Преобразование дробных десятичных чисел в двоичные [ править | править код ]

Если в исходном числе есть целая часть, то она преобразуется отдельно от дробной. Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную осуществляется по следующему алгоритму:

• Дробь умножается на основание двоичной системы счисления (2);
• В полученном произведении выделяется целая часть, которая принимается в качестве старшего разряда числа в двоичной системе счисления;
• Алгоритм завершается, если дробная часть полученного произведения равна нулю или если достигнута требуемая точность вычислений. В противном случае вычисления продолжаются над дробной частью произведения.

Пример: Требуется перевести дробное десятичное число 206,116 в дробное двоичное число.

Перевод целой части дает 206₁₀=11001110₂ по ранее описанным алгоритмам. Дробную часть 0,116 умножаем на основание 2, занося целые части произведения в разряды после запятой искомого дробного двоичного числа:

0,116 • 2 = ,232
0,232 • 2 = ,464
0,464 • 2 = ,928
0,928 • 2 = 1,856
0,856 • 2 = 1,712
0,712 • 2 = 1,424
0,424 • 2 = ,848
0,848 • 2 = 1,696
0,696 • 2 = 1,392
0,392 • 2 = ,784
и т. д.

Получим: 206,116₁₀ ≈ 11001110,0001110110₂

Применения [ править | править код ]

В цифровых устройствах [ править | править код ]

Двоичная система используется в цифровых устройствах, поскольку является наиболее простой и соответствует требованиям:

• Чем меньше значений существует в системе, тем проще изготовить отдельные элементы, оперирующие этими значениями. В частности, две цифры двоичной системы счисления могут быть легко представлены многими физическими явлениями: есть ток (ток больше пороговой величины) — нет тока (ток меньше пороговой величины), индукция магнитного поля больше пороговой величины или нет (индукция магнитного поля меньше пороговой величины) и т. д.
• Чем меньше количество состояний у элемента, тем выше помехоустойчивость и тем быстрее он может работать. Например, чтобы закодировать три состояния через величину напряжения, тока или индукции магнитного поля, потребуется ввести два пороговых значения и два компаратора,

В вычислительной технике широко используется запись отрицательных двоичных чисел в дополнительном коде. Например, число −5₁₀ может быть записано как −101₂ но в 32-битном компьютере будет храниться как 11111111111111111111111111111011₂.

В английской системе мер [ править | править код ]

При указании линейных размеров в дюймах по традиции используют двоичные дроби, а не десятичные, например: 5¾″, 7 15 / 16″, 3 11 / 32″ и т. д.

Обобщения [ править | править код ]

Двоичная система счисления является комбинацией двоичной системы кодирования и показательной весовой функции с основанием равным 2. Следует отметить, что число может быть записано в двоичном коде, а система счисления при этом может быть не двоичной, а с другим основанием. Пример: двоично-десятичное кодирование, в котором десятичные цифры записываются в двоичном виде, а система счисления — десятичная.

Популярное

• Устройство и программирование микроконтроллеров AVR для начинающих – 143
• Трехканальный термостат, терморегулятор, таймер на ATmega8 – 70
• Двухканальный термостат, терморегулятор на ATmega8 – 67

Прямой код двоичного числа
Обратный код двоичного числа
Дополнительный код двоичного числа

Прямой, обратный и дополнительный коды двоичного числа — способы представления двоичных чисел с фиксированной запятой в компьютерной (микроконтроллерной) арифметике, предназначенные для записи отрицательных и неотрицательных чисел

Мы знаем, что десятичное число можно представить в двоичном виде. К примеру, десятичное число 100 в двоичном виде будет равно 1100100, или в восьмибитном представлении 0110 0100. А как представить отрицательное десятичное число в двоичном виде и произвести с ним арифметические операции? Для этого и предназначены разные способы представления чисел в двоичном коде.
Сразу отмечу, что положительные числа в двоичном коде вне зависимости от способа представления (прямой, обратный или дополнительный коды) имеют одинаковый вид.

Прямой код

Прямой код — способ представления двоичных чисел с фиксированной запятой. Главным образом используется для записи неотрицательных чисел

Прямой код используется в двух вариантах.
В первом (основной) — для записи только неотрицательных чисел:

В этом варианте (для восьмибитного двоичного числа) мы можем записать максимальное число 255 (всего чисел 256 — от 0 до 255)

Второй вариант — для записи как положительных, так и отрицательных чисел.
В этом случае старший бит (в нашем случае — восьмой) объявляется знаковым разрядом (знаковым битом).
При этом, если:
— знаковый разряд равен 0, то число положительное
— знаковый разряд равен 1, то число отрицательное

В этом случае диапазон десятичных чисел, которые можно записать в прямом коде составляет от — 127 до +127:

Подводя итоги вопроса, не влезая в его дебри, скажу одно:
Прямой код используется главным образом для представления неотрицательных чисел.
Использование прямого кода для представления отрицательных чисел является неэффективным — очень сложно реализовать арифметические операции и, кроме того, в прямом коде два представления нуля — положительный ноль и отрицательный ноль (чего не бывает):

Обратный код

Обратный код — метод вычислительной математики, позволяющий вычесть одно число из другого, используя только операцию сложения.
Обратный двоичный код положительного числа состоит из одноразрядного кода знака (битового знака) — двоичной цифры 0, за которым следует значение числа.
Обратный двоичный код отрицательного числа состоит из одноразрядного кода знака (битового знака) — двоичной цифры 1, за которым следует инвертированное значение положительного числа.

Для неотрицательных чисел обратный код двоичного числа имеет тот же вид, что и запись неотрицательного числа в прямом коде.
Для отрицательных чисел обратный код получается из неотрицательного числа в прямом коде, путем инвертирования всех битов (1 меняем на 0, а 0 меняем на 1).
Для преобразования отрицательного числа записанное в обратном коде в положительное достаточного его проинвертировать.

При 8-битном двоичном числе — знаковый бит (как и в прямом коде) старший (8-й)

Диапазон десятичных чисел, который можно записать в обратном коде от -127 до + 127

Арифметические операции с отрицательными числами в обратном коде:

1-й пример (для положительного результата)
Дано два числа:
100 = 0110 0100
-25 = — 0001 1001
Необходимо их сложить:
100 + (-25) = 100 — 25 = 75

1-й этап
Переводим число -25 в двоичное число в обратном коде:
25 = 0 001 1001
-25= 1 110 0110
и складываем два числа:
0 110 0100 (100) + 1 110 0110 (-25) = 1 0 100 1010, отбрасываем старшую 1 (у нас получился лишний 9-й разряд — переполнение), = 0 100 1010
2-й этап
Отброшенную в результате старшую единицу прибавляем к результату:
0 100 1010 + 1 = 0 100 1011 (знаковый бит = 0 , значит число положительное), что равно 75 в десятичной системе

2-й пример (для отрицательного результата)
Дано два числа:
5 = 0000 0101
-10 = — 0000 1010
Необходимо их сложить:
5 + (-10) = 5 — 10 = -5

1-й этап
Переводим число -10 в двоичное число в обратном коде:
10 = 0 000 1010
-10= 1 111 0101
и складываем два числа:
0 000 0101 (5) + 1 111 0101 (-10) = 1 111 1010 (знаковый бит = 1 , значит число отрицательное)

2-й этап
Раз результат получился отрицательный, значит число представлено в обратном коде.
Переводим результат в прямой код (путем инвертирования значения, знаковый бит не трогаем):
1 111 1010 —-> 1 000 0101
Проверяем:
1 000 0101 = — 0000 0101 = -5

Обратный код решает проблему сложения и вычитания чисел с различными знаками, но и имеет свои недостатки:
— арифметические операции проводятся в два этапа
— как и в прямом коде два представления нуля — положительный и отрицательный

Дополнительный код

Дополнительный код — наиболее распространенный способ представления отрицательных чисел. Он позволяет заменить операцию вычитания на операцию сложения и сделать операции сложения и вычитания одинаковыми для знаковых и беззнаковых чисел.

В дополнительном коде (как и в прямом и обратном) старший разряд отводится для представления знака числа (знаковый бит).

Диапазон десятичных чисел которые можно записать в дополнительном коде от -128 до +127. Запись положительных двоичных чисел в дополнительном коде та-же, что и в прямом и обратном кодах.

Дополнительный код отрицательного числа можно получить двумя способами
1-й способ:
— инвертируем значение отрицательного числа, записанного в прямом коде (знаковый бит не трогаем)
— к полученной инверсии прибавляем 1
Пример:
Дано десятичное число -10
Переводим в прямой код:
10 = 0 000 1010 —-> -10 = 1 000 1010
Инвертируем значение (получаем обратный код):
1 000 1010 —-> 1 111 0101
К полученной инверсии прибавляем 1:
1 111 0101 + 1 = 1 111 0110 — десятичное число -10 в дополнительном коде

2-й способ:
Вычитание числа из нуля
Дано десятичное число 10, необходимо получить отрицательное число (-10) в дополнительном двоичном коде
Переводим 10 в двоичное число:
10 = 0 000 1010
Вычитаем из нуля:
0 — 0000 1010 = 1 111 0110 — десятичное число -10 в дополнительном коде

Арифметические операции с отрицательными числами в дополнительном коде

Дано: необходимо сложить два числа -10 и 5
-10 + 5 = -5
Решение:
5 = 0000 0101
-10 = 1111 0110 (в дополнительном коде)
Складываем:
1111 0110 + 0000 0101 = 1111 1011, что соответствует числу -5 в дополнительном коде

Как мы видим на этом примере — дополнительный код отрицательного двоичного числа наиболее подходит для выполнения арифметических операций сложения и вычитания отрицательных чисел.

Вывод:
1. Для арифметических операций сложения и вычитания положительных двоичных чисел наиболее подходит применение прямого кода
2. Для арифметических операций сложения и вычитания отрицательных двоичных чисел наиболее подходит применение дополнительного кода

(27 голосов, оценка: 4,89 из 5)

Ваша задача будет решена с вашими исходными данными OnLine и бесплатно

Задача:

Выполнить сложение чисел A = 1011₂ и B = -11001₂ в двоичной системе счисления.

Решение:

1) Впишем число "A" в 8-ми разрядный регистр, начиная с младших разрядов (нумерация разрядов начинается с нуля). В недостающие разряды записываем нули.

Разр.	7	6	5	4	3	2	1
A					1		1	1

2) Впишем число "В" в 8-ми разрядный регистр, начиная с младших разрядов. В недостающие разряды записываем нули.

Разр.	7	6	5	4	3	2	1
B				1	1			1

Но, так как число "B" отрицательное, то нам необходимо учесть этот факт при сложении. Для этого представим наше число в дополнительном коде. Перевод в дополнительный код осуществим в два этапа:

2.1) Вначале получим обратный код. Для этого просто проинвертируем каждый разряд регистра (заменим "0" на "1", а "1" на "0").

Разр.	7	6	5	4	3	2	1
Bобр	1	1	1			1	1

2.2) Прибавим к числу в обратном коде единицу и получим дополнительный код.

Разр.	c	7	6	5	4	3	2	1
Bобр	1	1	1			1	1
+								1
Bдоп	1	1	1			1	1	1

Обратите внимание! Поскольку мы используем знаковую модель чисел, у нас 7-й разряд является знаковым разрядом и хранит знак числа. при этом "0" соответствует знаку "+" (число положительное), а "1" соответствует знаку "-" (число отрицательное). При этом старшим разрядом для чисел является 6-й разряд.

3) Сложим поразрядно числа "A" и "B_доп" записывая результат в "C" начиная с младших разрядов. Правила поразрядного сложения, для двоичной системы счисления несложно вывести, рассуждая следующим образом.

Если соответствующие разряды обоих слагаемых содержат нули, то и сумма ноль. В тот же разряд числа "C" ставим ноль.

Если в соответствующих разрядах только одно из слагаемых содержит единицу, то и сумма единица. В тот же разряд числа "C" ставим единицу.

Если соответствующие разряды обоих слагаемых содержат единицы, то сумма двух единиц дает число два, которое в двоичной системе отображается как 10₂, т.е. это уже двухразрядное число с нулем в младшем разряде. Поэтому в тот же разряд числа "C" ставим ноль, а единицу переносим в следующий разряд.

В общем случае при вычислении значений каждого разряда (кроме нулевого), следует учитывать возможную единицу переноса из предыдущего разряда. Полный набор правил двоичного поразрядного сложения представлен в таблице.

Перенос из предыдущего разряда Oi-1	Ai	Bi	Ci	Перенос в следующий разряд Oi-1
	1	1
1		1
1	1		1
1			1
1		1		1
1	1			1
1	1	1	1	1

Весь процесс сложения наших чисел выглядит следующим образом:
(красным шрифтом показаны переносы в соответствующий разряд)

Разр.	c	7	6	5	4	3	2	1
1	1	1	1
A					1		1	1
Bдоп	1	1	1			1	1	1
C	1	1	1	1			1

Обратите внимание! Знаковые разряды участвуют в операции сложения наравне со всеми остальными разрядами.

4) Анализируем переполнение разрядной сетки. Для этого смотрим переносы в знаковый разряд и из знакового (в разряд "с"). Если они имеют одинаковый статус (оба есть или обоих нет), то все нормально переполнения нет. В нашем случае статус переносов одинаковый, результат операции корректен. В регистре "C" содержится сумма исходных чисел

5) Анализируем знак результата (7-й разряд). В нашем случае это "1", значит результат есть число отрицательное и следовательно представлено в дополнительном коде. Переведем его в прямой код в два этапа:

5.1) Проинвертируем (заменим "0" на "1", а "1" на "0") каждый разряд результата C = 11110010 и получим C_i = 00001101

5.2) Прибавим к числу "С_i" единицу и получим прямой код.

Разр.	c	7	6	5	4	3	2	1
1
Сi					1	1		1
+								1
Спр					1	1	1

Помним о том, что результирующее число отрицательное, т.е. С_пр = -1110

Ответ: 1011₂ + -11001₂ = -1110₂