Пример 2. Исследовать совместность, найти общее и одно частное решение системы
Решение. Переставим первое и второе уравнения, чтобы иметь единицу в первом уравнении и запишем матрицу B.
Получим нули в четвертом столбце, оперируя первой строкой:
Теперь получим нули в третьем столбце с помощью второй строки:
Третья и четвертая строки пропорциональны, поэтому одну из них можно вычеркнуть, не меняя ранга:
Третью строку умножим на (–2) и прибавим к четвертой:
Видим, что ранги основной и расширенной матриц равны 4, причем ранг совпадает с числом неизвестных, следовательно, система имеет единственное решение:
-x1=-3 → x1=3; x2=3-x1 → x2=0; x3=1-2x1 → x3=5.
x4 = 10- 3x1 – 3x2 – 2x3 = 11.
Пример 3. Исследовать систему на совместность и найти решение, если оно существует.
Решение. Составляем расширенную матрицу системы.
Переставляем первые два уравнения, чтобы в левом верхнем углу была 1:
Умножая первую строку на (-1), складываем ее с третьей:
Умножим вторую строку на (-2) и прибавим к третьей:
Система несовместна, так как в основной матрице получили строку, состоящую из нулей, которая вычеркивается при нахождении ранга, а в расширенной матрице последняя строка останется, то есть rB > rA.
Задание. Исследовать данную систему уравнений на совместность и решить ее средствами матричного исчисления.
Решение
Пример. Доказать совместимость системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) методом Крамера. (ответ ввести в виде: x1,x2,x3)
Решение:doc:doc:xls
Ответ: 2,-1,3.
Пример. Дана система линейных уравнений. Доказать ее совместность. Найти общее решение системы и одно частное решение.
Решение
Ответ:x3 = – 1 + x4 + x5; x2 = 1 – x4; x1 = 2 + x4 – 3x5
Задание. Найти общее и частное решения каждой системы.
Решение. Исследуем эту систему по теореме Кронекера-Капелли.
Выпишем расширенную и основную матрицы:
| 1 | 1 | 14 | 2 | ||
| 3 | 4 | 2 | 3 | 1 | |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 |
Здесь матрица А выделена жирным шрифтом.
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.
Умножим 1-ую строку на (3). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
| -1 | 40 | -3 | 6 | -1 | |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 1 | |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Умножим 2-ую строку на (2). Умножим 3-ую строку на (-3). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
| -1 | 40 | -3 | 6 | -1 | |
| -1 | 13 | -3 | 6 | -1 | |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
| 27 | |||||
| -1 | 13 | -3 | 6 | -1 | |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), причем этот минор принадлежит как основной матрице, так и расширенной, следовательно rang(A) = rang(B) = 3. Поскольку ранг основной матрицы равен рангу расширенной, то система является совместной.
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x1,x2,x3, значит, неизвестные x1,x2,x3 – зависимые (базисные), а x4,x5 – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.
| 27 | |||||
| -1 | 13 | -1 | 3 | -6 | |
| 2 | 3 | -3 | 1 | -3 | 2 |
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 |
Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
27x3 =
– x2 + 13x3 = – 1 + 3x4 – 6x5
2x1 + 3x2 – 3x3 = 1 – 3x4 + 2x5
Методом исключения неизвестных находим:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x1,x2,x3 через свободные x4,x5, то есть нашли общее решение:
x3 = 0
x2 = 1 – 3x4 + 6x5
x1 = – 1 + 3x4 – 8x5
Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Система является неопределенной, т.к. имеет более одного решения.
Задание. Решить систему уравнений.
Ответ😡2 = 2 – 1.67x3 + 0.67x4
x1 = 5 – 3.67x3 + 0.67x4
Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Система является неопределенной
Пример. Проверить совместность линейной системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса.
Решение: Проверяем совместность системы с помощью теоремы Кронекера – Капелли. Согласно теореме Кронекера – Капелли, из того, что следует несовместность исходной системы.
Ответ: система не совместна.
Решение
Используя этот онлайн калькулятор для решения систем линейных уравнений (СЛУ) матричным методом (методом обратной матрицы), вы сможете очень просто и быстро найти решение системы.
Воспользовавшись онлайн калькулятором для решения систем линейных уравнений матричным методом (методом обратной матрицы), вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на решения систем линейных уравнений, а также закрепить пройденный материал.
Решить систему линейных уравнений матричным методом
Изменить названия переменных в системе
Заполните систему линейных уравнений:
Ввод данных в калькулятор для решения систем линейных уравнений матричным методом
- В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
- Для изменения в уравнении знаков с "+" на "-" вводите отрицательные числа.
- Если в уравнение отсутствует какая-то переменная, то в соответствующем поле ввода калькулятора введите ноль.
- Если в уравнение перед переменной отсутствуют числа, то в соответствующем поле ввода калькулятора введите единицу.
Например, линейное уравнение x 1 – 7 x 2 – x 4 = 2
будет вводится в калькулятор следующим образом:
Дополнительные возможности калькулятора для решения систем линейных уравнений матричным методом
- Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши "влево", "вправо", "вверх" и "вниз" на клавиатуре.
- Вместо x 1, x 2, . вы можете ввести свои названия переменных.
Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
По формулам Крамера;
Методом Гаусса;
Решение: Теорема Кронекера-Капелли. Система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы этой системы равен рангу ее расширенной матрицы, т. е. r(A)=r(A1), где
, 
.
Расширенная матрица системы имеет вид:
.
Умножим первую строку на (–3),а вторую на (2); прибавим после этого элементы первой строки к соответствующим элементам второй строки; вычтем из второй строки третью. В полученной матрице первую строку оставляем без изменений.
Разделим элементы третьей строки на (6) и поменяем местами вторую и третью строки:
Умножим вторую строку на (–11) и прибавим к соответствующим элементам третьей строки.
Разделим элементы третьей строки на (10).
; 
.
Найдем определитель матрицы А.
.
Следовательно, r(A)=3. Ранг расширенной матрицы r(A1) так же равен 3, т.е.
1) Исследуя систему на совместность, расширенную матрицу преобразовали по методу Гаусса.
Метод Гаусса состоит в следующем:
1. Приведение матрицы к треугольному виду, т. е. ниже главной диагонали должны находиться нули (прямой ход).
2. Из последнего уравнения находим х3 и подставляем его во второе, находим х2, и зная х3, х2 подставляем их в первое уравнение, находим х1 (обратный ход).
Запишем, преобразованную по методу Гаусса, расширенную матрицу
в виде системы трех уравнений:
Þ х3=1
2) Решим систему по формулам Крамера: если определитель системы уравнений Δ отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам
; 
; 
.
Вычислим определитель системы Δ:
Т.к. определитель системы отличен от нуля, то согласно правилу Крамера, система имеет единственное решение. Вычислим определители Δ1, Δ2, Δ3. Они получаются из определителя системы Δ заменой соответствующего столбца на столбец свободных коэффициентов.
Находим по формулам неизвестные:
; 
; 
3) Решим систему средствами матричного исчисления, т. е. при помощи обратной матрицы.
А×Х=В Þ Х=А -1 × В, где А -1 – обратная матрица к А,
– столбец свободных членов,
– матрица-столбец неизвестных.
Обратная матрица считается по формуле:
(*)
где D – определитель матрицы А, Аij – алгебраические дополнения элемента аij матрицы А. D = 60 (из предыдущего пункта). Определитель отличен от нуля, следовательно, матрица А обратима, и обратную к ней матрицу можно найти по формуле (*). Найдем алгебраические дополнения для всех элементов матрицы А по формуле:
Запишем обратную матрицу.
.
Сделаем проверку по формуле: А -1 × А=Е.
Вывод: так как произведение А -1 × А дает единичную матрицу, то обратная матрица А -1 найдена верно и решение системы определяется по формуле Х=А -1 ×В.
.
Проверка. Подставим полученные значения в систему. Получим:
Т. к. неизвестные х1 , х2, х3 обратили каждое уравнение в тождество, то они найдены верно.
Пример 6. Решить систему методом Гаусса и найти какие-нибудь два базисных решения системы.
Дата добавления: 2014-11-07 ; Просмотров: 3629 ; Нарушение авторских прав? ;
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
