Ранее мы разобрали примеры решений задач для одномерной дискретной случайной величины. Но бывает, что результат испытания описывается не одной, а несколькими случайными величинами (случайным вектором).
В случае двух величин (скажем, $X$ и $Y$) мы имеем дело с так называемой двумерной дискретной случайной величиной $(X,Y)$ (или системой случайных одномерных величин). Кратко выпишем основы теории.
Система двух случайных величин: теория
Двумерная ДСВ задается законом распределения (обычно представленным в виде таблицы распределения):
$$ P(X=x_i, Y=y_k)=p_
По нему можно найти одномерные законы распределения (составляющих):
$$ p_i=P(X=x_i)=sum_
Интегральная функция распределения задается формулой $F(x,y)=P(Xlt x, Ylt y)$. Даже для самого простого закона распределения 2 на 2 функция занимает 5 строк, поэтому ее редко выписывают в явном виде.
Если для любой пары возможных значений $(X=x_i, Y=y_k)$ выполняется равенство
$$P(X=x_i, Y=y_k)=P(X=x_i)cdot P(Y=y_k),$$
то случайные величины $X, Y$ называются независимыми.
Если случайные величины зависимы, для них можно выписать условные законы распределения (для независимых они совпадают с безусловными законами):
Для случайных величин $X,Y$, входящих в состав случайного вектора, можно вычислить ковариацию и коэффициент корреляции по формулам:
Далее вы найдете разные примеры задач с полным решением, где используются дискретные двумерные случайные величины (системы случайных величин).
Примеры решений
Задача 1. В продукции завода брак вследствие дефекта А составляет 10%, а вследствие дефекта В – 20%. Годная продукция составляет 75%. Пусть X – индикатор дефекта А, a Y – индикатор дефекта В. Составить матрицу распределения двумерной случайной величины (X, Y). Найти одномерные ряды распределений составляющих X и У и исследовать их зависимость.
Задача 2. Два баскетболиста по два раза бросают мяч в корзину. При каждом броске вероятность попадания для первого баскетболиста 0,6, для второго – 0,7. Случайная величина X – число попаданий первым баскетболистом по кольцу. Случайная величина Y – суммарное число попаданий обоими баскетболистами. Построить таблицу распределения случайного вектора (X,Y). Найти характеристики вектора (X,Y). Зависимы или независимы случайные величины X и Y.
Задача 3. Слово РОССИЯ разрезано по буквам. Случайным образом вынимаем две буквы, тогда X – количество гласных среди них, затем вынимаем еще две буквы и Y – количество гласных во второй паре. Составить закон распределения системы случайных величин X, Y.
Задача 4. $X, Y$ – индикаторы событий $A, B$, означающий положительные ответы соответственно на вопросы $alpha, eta$ социологической анкеты. По данным социологического опроса двумерная случайная величина $(X,Y)$ имеет следующую таблицу распределения.
Положительному ответу присвоен ранг 1, отрицательному – 0.
Найти коэффициент корреляции $
ho_
Задача 5. Составить закон распределения X – сумм очков и Y – числа тузов при выборе двух карт из колоды, содержащей только тузов, королей и дам (туз=11, дама=3, король=4)
Найти законы распределения величин Х и Y. Зависимы ли эти величины? Написать функцию распределения для (Х, Y). Построить ковариационный граф. Посчитать ковариацию (X,Y). Написать ковариационную матрицу. Посчитать корреляцию (X,Y) и написать корреляционную матрицу.
Задача 6. Бросаются две одинаковые игральные кости. Случайная величина X равна 1, если сумма выпавших чисел четна, и равна 0 в противном случае. Случайная величина Y равна 1, если произведение выпавших чисел четно, и 0 в противном случае. Описать закон распределения случайного вектора (X,Y). Найти D[X], D[Y] и cov[X,Y].
Задача 7. В урне лежат 100 шаров, из них 25 белых. Из урны последовательно вынимают два шара. Пусть $X_i$ – число белых шаров, появившихся при $i$-м вынимании. Найти коэффициент корреляции между величинами $X_1$ и $X_2$.
Задача 8. Для заданного закона распределения вероятностей двухмерной случайной величины (Х, Y):
YX 2 5
8 0,15 0,10
10 0,22 0,23
12 0,10 0,20
Найти коэффициент корреляции между величинами Х и Y.
Задача 9. Задана дискретная двумерная случайная величина (X,Y).
А) найти безусловные законы распределения составляющих;
Б) построить регрессию случайной величины Y на X;
В) построить регрессию случайной величины X на Y;
Г) найти коэффициент ковариации;
Д) найти коэффициент корреляции.
20 30 40 50 70
3 0,01 0,01 0,02 0,02 0,01
4 0,04 0,3 0,06 0,03 0,01
5 0,02 0,03 0,06 0,07 0,05
9 0,05 0,03 0,04 0,02 0,03
10 0,03 0,02 0,01 0,01 0,02
Задача 10. Система (x, y) задана следующей двумерной таблицей распределения вероятностей. Определить:
А) безусловные законы распределения составляющих;
Б) условный закон распределения y при x=1;
В) условное математическое ожидание x при y=2.
Г) вероятность того, что случайная величина (x,y) будет принадлежать области $|x|+|y|le 3$.
-3 0 2
-1 0 0,1 0,15
1 0,05 0,3 0,05
2 0,15 0,05 0,15
Решебник по теории вероятности онлайн
Больше 11000 решенных и оформленных задач по теории вероятности:
Назначение сервиса . С помощью сервиса по заданному закону распределения можно найти:
- ряды распределения X и Y, математическое ожидание M[X], M[Y], дисперсию D[X], D[Y];
- ковариацию cov(x,y), коэффициент корреляции rx,y, условный ряд распределения X, условное математическое ожидание M[X/Y=yi];
Кроме этого, дается ответ на вопрос, "зависимы ли случайные величины X и Y ?".
- Решение онлайн
- Видеоинструкция
- Оформление Word
Пример №1 . Двумерная дискретная случайная величина имеет таблицу распределения:
| Y/X | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 10 | 0,11 | 0,12 | 0,03 | |
| 20 | 0,13 | 0,09 | 0,02 | |
| 30 | 0,02 | 0,11 | 0,08 | 0,01 |
| 40 | 0,03 | 0,11 | 0,05 | q |
Найти величину q и коэффициент корреляции этой случайной величины.
Решение. Величину q найдем из условия Σpij = 1
Σpij = 0,02 + 0,03 + 0,11 + … + 0,03 + 0,02 + 0,01 + q = 1
0.91+q = 1. Откуда q = 0.09
Находим ряды распределения X и Y.
Пользуясь формулой ∑P(xi,yj) = pi (j=1..n), находим ряд распределения X.
| X | 10 | 20 | 30 | 40 | |
| P | 0.26 | 0.24 | 0.22 | 0.28 | ∑Pi = 1 |
Математическое ожидание M[X] = 10*0.26 + 20*0.24 + 30*0.22 + 40*0.28 = 25.2
Дисперсия D[X] = 10 2 *0.26 + 20 2 *0.24 + 30 2 *0.22 + 40 2 *0.28 – 25.2 2 = 132.96
Среднее квадратическое отклонение σ(x) = sqrt(D[X]) = sqrt(132.96) = 11.531
Пользуясь формулой ∑P(xi,yj) = qj (i=1..m), находим ряд распределения Y.
| Y | 1 | 2 | 3 | 4 | |
| P | 0.05 | 0.46 | 0.34 | 0.15 | ∑Pi = 1 |
Математическое ожидание M[Y].
M[y] = 1*0.05 + 2*0.46 + 3*0.34 + 4*0.15 = 2.59
Дисперсия D[Y] = 1 2 *0.05 + 2 2 *0.46 + 3 2 *0.34 + 4 2 *0.15 – 2.59 2 = 0.64
Среднее квадратическое отклонение σ(y) = sqrt(D[Y]) = sqrt(0.64) = 0.801
Ковариация cov(X,Y) = M[X·Y] – M[X]·M[Y] = 2·10·0.11 + 3·10·0.12 + 4·10·0.03 + 2·20·0.13 + 3·20·0.09 + 4·20·0.02 + 1·30·0.02 + 2·30·0.11 + 3·30·0.08 + 4·30·0.01 + 1·40·0.03 + 2·40·0.11 + 3·40·0.05 + 4·40·0.09 – 25.2 · 2.59 = -0.068
Коэффициент корреляции rxy = cov(x,y)/σ(x)&sigma(y) = -0.068/(11.531*0.801) = -0.00736
Пример 2 . Данные статистической обработки сведений относительно двух показателей X и Y отражены в корреляционной таблице. Требуется:
- написать ряды распределения для X и Y и вычислить для них выборочные средние и выборочные средние квадратические отклонения;
- написать условные ряды распределения Y/x и вычислить условные средние Y/x;
- изобразить графически зависимость условных средних Y/x от значений X;
- рассчитать выборочный коэффициент корреляции Y на X;
- написать выборочное уравнение прямой регрессии;
- изобразить геометрически данные корреляционной таблицы и построить прямую регрессии.
Решение. Упорядоченная пара (X,Y) случайных величин X и Y называется двумерной случайной величиной, или случайным вектором двумерного пространства. Двумерная случайная величина (X,Y) называется также системой случайных величина X и Y.
Множество всех возможных значений дискретной случайной величины с их вероятностями называется законом распределения этой случайной величины.
Дискретная двумерная случайная величина (X,Y) считается заданной, если известен ее закон распределения:
P(X=xi, Y=yj) = pij, i=1,2. n, j=1,2. m
| X / Y | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
| 11 | 2 | ||||
| 16 | 4 | 6 | |||
| 21 | 3 | 6 | 2 | ||
| 26 | 45 | 8 | 4 | ||
| 31 | 4 | 6 | 7 | ||
| 36 | 3 |
События (X=xi, Y=yj) образуют полную группу событий, поэтому сумма всех вероятностей pij(i=1,2. n, j=1,2. m), указанных в таблице, равна 1.
1. Зависимость случайных величин X и Y.
Находим ряды распределения X и Y.
Пользуясь формулой ∑P(xi,yj) = pi (j=1..n), находим ряд распределения X.
| X | 11 | 16 | 21 | 26 | 31 | 36 | |
| P | 2 | 10 | 11 | 57 | 17 | 3 | ∑Pi = 100 |
Математическое ожидание M[X].
M[x] = (11*2 + 16*10 + 21*11 + 26*57 + 31*17 + 36*3 )/100 = 25.3
Дисперсия D[X].
D[X] = (11 2 *2 + 16 2 *10 + 21 2 *11 + 26 2 *57 + 31 2 *17 + 36 2 *3 )/100 – 25.3 2 = 24.01
Среднее квадратическое отклонение σ(x). 
Пользуясь формулой ∑P(xi,yj) = qj (i=1..m), находим ряд распределения Y.
| Y | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | |
| P | 6 | 9 | 55 | 16 | 14 | ∑Pi = 100 |
Математическое ожидание M[Y].
M[y] = (20*6 + 30*9 + 40*55 + 50*16 + 60*14 )/100 = 42.3
Дисперсия D[Y].
D[Y] = (20 2 *6 + 30 2 *9 + 40 2 *55 + 50 2 *16 + 60 2 *14 )/100 – 42.3 2 = 99.71
Среднее квадратическое отклонение σ(y).
Поскольку, P(X=11,Y=20) = 2≠2·6, то случайные величины X и Y зависимы.
2. Условный закон распределения X.
Условный закон распределения X(Y=20).
P(X=11/Y=20) = 2/6 = 0.33
P(X=16/Y=20) = 4/6 = 0.67
P(X=21/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=26/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=31/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=36/Y=20) = 0/6 = 0
Условное математическое ожидание M[X/Y=20).
M[X/Y=y] = 11*0.33 + 16*0.67 + 21*0 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 14.33
Условная дисперсия D[X/Y=20).
D[X/Y=y] = 11 2 *0.33 + 16 2 *0.67 + 21 2 *0 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 – 14.33 2 = 5.56
Условный закон распределения X(Y=30).
P(X=11/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=16/Y=30) = 6/9 = 0.67
P(X=21/Y=30) = 3/9 = 0.33
P(X=26/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=31/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=36/Y=30) = 0/9 = 0
Условное математическое ожидание M[X/Y=30).
M[X/Y=y] = 11*0 + 16*0.67 + 21*0.33 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 17.67
Условная дисперсия D[X/Y=30).
D[X/Y=y] = 11 2 *0 + 16 2 *0.67 + 21 2 *0.33 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 – 17.67 2 = 5.56
Условный закон распределения X(Y=40).
P(X=11/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=16/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=21/Y=40) = 6/55 = 0.11
P(X=26/Y=40) = 45/55 = 0.82
P(X=31/Y=40) = 4/55 = 0.0727
P(X=36/Y=40) = 0/55 = 0
Условное математическое ожидание M[X/Y=40).
M[X/Y=y] = 11*0 + 16*0 + 21*0.11 + 26*0.82 + 31*0.0727 + 36*0 = 25.82
Условная дисперсия D[X/Y=40).
D[X/Y=y] = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0.11 + 26 2 *0.82 + 31 2 *0.0727 + 36 2 *0 – 25.82 2 = 4.51
Условный закон распределения X(Y=50).
P(X=11/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=16/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=21/Y=50) = 2/16 = 0.13
P(X=26/Y=50) = 8/16 = 0.5
P(X=31/Y=50) = 6/16 = 0.38
P(X=36/Y=50) = 0/16 = 0
Условное математическое ожидание M[X/Y=50).
M[X/Y=y] = 11*0 + 16*0 + 21*0.13 + 26*0.5 + 31*0.38 + 36*0 = 27.25
Условная дисперсия D[X/Y=50).
D[X/Y=y] = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0.13 + 26 2 *0.5 + 31 2 *0.38 + 36 2 *0 – 27.25 2 = 10.94
Условный закон распределения X(Y=60).
P(X=11/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=16/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=21/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=26/Y=60) = 4/14 = 0.29
P(X=31/Y=60) = 7/14 = 0.5
P(X=36/Y=60) = 3/14 = 0.21
Условное математическое ожидание M[X/Y=60).
M[X/Y=y] = 11*0 + 16*0 + 21*0 + 26*0.29 + 31*0.5 + 36*0.21 = 30.64
Условная дисперсия D[X/Y=60).
D[X/Y=y] = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0 + 26 2 *0.29 + 31 2 *0.5 + 36 2 *0.21 – 30.64 2 = 12.37
3. Условный закон распределения Y.
Условный закон распределения Y(X=11).
P(Y=20/X=11) = 2/2 = 1
P(Y=30/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=40/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=50/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=60/X=11) = 0/2 = 0
Условное математическое ожидание M[Y/X=11).
M[Y/X=x] = 20*1 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 20
Условная дисперсия D[Y/X=11).
D[Y/X=x] = 20 2 *1 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 – 20 2 = 0
Условный закон распределения Y(X=16).
P(Y=20/X=16) = 4/10 = 0.4
P(Y=30/X=16) = 6/10 = 0.6
P(Y=40/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=50/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=60/X=16) = 0/10 = 0
Условное математическое ожидание M[Y/X=16).
M[Y/X=x] = 20*0.4 + 30*0.6 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 26
Условная дисперсия D[Y/X=16).
D[Y/X=x] = 20 2 *0.4 + 30 2 *0.6 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 – 26 2 = 24
Условный закон распределения Y(X=21).
P(Y=20/X=21) = 0/11 = 0
P(Y=30/X=21) = 3/11 = 0.27
P(Y=40/X=21) = 6/11 = 0.55
P(Y=50/X=21) = 2/11 = 0.18
P(Y=60/X=21) = 0/11 = 0
Условное математическое ожидание M[Y/X=21).
M[Y/X=x] = 20*0 + 30*0.27 + 40*0.55 + 50*0.18 + 60*0 = 39.09
Условная дисперсия D[Y/X=21).
D[Y/X=x] = 20 2 *0 + 30 2 *0.27 + 40 2 *0.55 + 50 2 *0.18 + 60 2 *0 – 39.09 2 = 44.63
Условный закон распределения Y(X=26).
P(Y=20/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=30/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=40/X=26) = 45/57 = 0.79
P(Y=50/X=26) = 8/57 = 0.14
P(Y=60/X=26) = 4/57 = 0.0702
Условное математическое ожидание M[Y/X=26).
M[Y/X=x] = 20*0 + 30*0 + 40*0.79 + 50*0.14 + 60*0.0702 = 42.81
Условная дисперсия D[Y/X=26).
D[Y/X=x] = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0.79 + 50 2 *0.14 + 60 2 *0.0702 – 42.81 2 = 34.23
Условный закон распределения Y(X=31).
P(Y=20/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=30/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=40/X=31) = 4/17 = 0.24
P(Y=50/X=31) = 6/17 = 0.35
P(Y=60/X=31) = 7/17 = 0.41
Условное математическое ожидание M[Y/X=31).
M[Y/X=x] = 20*0 + 30*0 + 40*0.24 + 50*0.35 + 60*0.41 = 51.76
Условная дисперсия D[Y/X=31).
D[Y/X=x] = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0.24 + 50 2 *0.35 + 60 2 *0.41 – 51.76 2 = 61.59
Условный закон распределения Y(X=36).
P(Y=20/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=30/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=40/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=50/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=60/X=36) = 3/3 = 1
Условное математическое ожидание M[Y/X=36).
M[Y/X=x] = 20*0 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*1 = 60
Условная дисперсия D[Y/X=36).
D[Y/X=x] = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *1 – 60 2 = 0
Ковариация.
cov(X,Y) = M[X·Y] – M[X]·M[Y]
cov(X,Y) = (20·11·2 + 20·16·4 + 30·16·6 + 30·21·3 + 40·21·6 + 50·21·2 + 40·26·45 + 50·26·8 + 60·26·4 + 40·31·4 + 50·31·6 + 60·31·7 + 60·36·3)/100 – 25.3 · 42.3 = 38.11
Если случайные величины независимы, то их ковариации равна нулю. В нашем случае cov(X,Y) ≠ 0.
Коэффициент корреляции.
Уравнение линейной регрессии с y на x имеет вид:
Уравнение линейной регрессии с x на y имеет вид:
Найдем необходимые числовые характеристики.
Выборочные средние:
x = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 42.3
y = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 25.3
Дисперсии:
σ 2 x = (20 2 (2 + 4) + 30 2 (6 + 3) + 40 2 (6 + 45 + 4) + 50 2 (2 + 8 + 6) + 60 2 (4 + 7 + 3))/100 – 42.3 2 = 99.71
σ 2 y = (11 2 (2) + 16 2 (4 + 6) + 21 2 (3 + 6 + 2) + 26 2 (45 + 8 + 4) + 31 2 (4 + 6 + 7) + 36 2 (3))/100 – 25.3 2 = 24.01
Откуда получаем среднеквадратические отклонения:
σx = 9.99 и σy = 4.9
и ковариация:
Cov(x,y) = (20·11·2 + 20·16·4 + 30·16·6 + 30·21·3 + 40·21·6 + 50·21·2 + 40·26·45 + 50·26·8 + 60·26·4 + 40·31·4 + 50·31·6 + 60·31·7 + 60·36·3)/100 – 42.3 · 25.3 = 38.11
Определим коэффициент корреляции:
Запишем уравнения линий регрессии y(x):
и вычисляя, получаем:
yx = 0.38 x + 9.14
Запишем уравнения линий регрессии x(y):
и вычисляя, получаем:
xy = 1.59 y + 2.15
Если построить точки, определяемые таблицей и линии регрессии, увидим, что обе линии проходят через точку с координатами (42.3; 25.3) и точки расположены близко к линиям регрессии.
Значимость коэффициента корреляции.
По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=100-m-1 = 98 находим tкрит:
tкрит (n-m-1;α/2) = (98;0.025) = 1.984
где m = 1 – количество объясняющих переменных.
Если tнабл > tкритич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).
Поскольку tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически – значим.
Задание. Количество попаданий пар значений случайных величин X и Y в соответствующие интервалы приведены в таблице. По этим данным найти выборочный коэффициент корреляции и выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y .
Решение
Пример. Распределение вероятностей двумерной случайной величины (X, Y) задано таблицей. Найти законы распределения составляющих величин X, Y и коэффициент корреляции p(X, Y).
Скачать решение
Задание. Двумерная дискретная величина (X, Y) задана законом распределения. Найти законы распределения составляющих X и Y, ковариацию и коэффициент корреляции.
Двумерной называют случайную величину (X, Y), возможные значения которой есть пары чисел (x, у). Составляющие X и Y, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин.
Двумерную величину геометрически можно истолковать как случайную точку M(Х; Y) на плоскости xOy либо как случайный вектор OM.
Дискретной называют двумерную величину, составляющие которой дискретны.
Непрерывной называют двумерную величину, составляющие которой непрерывны.
Законом распределения вероятностей двумерной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.
Закон распределения дискретной двумерной случайной величины может быть задан: а) в виде таблицы с двойным входом, содержащей возможные значения и их вероятности; б) аналитически, например в виде функции распределения.
Функцией распределения вероятностей двумерной случайной величины называют функцию F(x, у), определяющую для каждой пары чисел (x, у) вероятность того, что X примет значение, меньшее x, и при этом Y примет значение, меньшее y:
F(x, у) = Р(Х x1,
Свойство 3. Имеют место предельные соотношения:
1) F(–∞, y) = 0,
3) F(–∞, –∞) = 0,
2) F(x, –∞) = 0,
4) F(∞, ∞) = 1.
Свойство 4. а) При у=∞ функция распределения системы становится функцией распределения составляющей X:
б) При x = ∞ функция распределения системы становится функцией распределения составляющей Y:
Используя функцию распределения, можно найти вероятность попадания случайной точки в прямоугольник x1 2 + y 2 ≤ R 2 двумерная плотность вероятности 
; вне круга f(x, y)=0. Найти: а) постоянную C; б) вероятность попадания случайной точки (X, Y) в круг радиуса r = 1 с центром в начале координат, если R = 2.
232. В первом квадранте задана функция распределения системы двух случайных величин F(x, y) = 1 + 2 – x – 2 – y + 2 – x- y . Найти: а) двумерную плотность вероятности системы; б) вероятность попадания случайной точки (X, Y) в треугольник с вершинами A(1; 3), B(3; 3), C(2; 8).
8.2. Условные законы распределения вероятностей составляющих
дискретной двумерной случайной величины
Пусть составляющие X и Y дискретны и имеют соответственно следующие возможные значения: x1, x2, …, xn; y1, y2, …, ym.
Условным распределением составляющей X при Y=yj (j сохраняет одно и то же значение при всех возможных значениях X) называют совокупность условных вероятностей
Аналогично определяется условное распределение Y.
Условные вероятности составляющих X и Y вычисляют соответственно по формулам
Для контроля вычислений целесообразно убедиться, что сумма вероятностей условного распределения равна единице.
233. Задана дискретная двумерная случайная величина (X, Y):
| Y | X | ||
| x1=2 | x2=5 | x3=8 | |
| y1=0,4 | 0,15 | 0,30 | 0,35 |
| y2=0,8 | 0,05 | 0,12 | 0,03 |
Найти: а) безусловные законы распределения составляющих; б) условный закон распределения составляющей X при условии, что составляющая Y приняла значение y1=0,4; в) условный закон распределения Y при условии, что X=x2=5.
234. Задана дискретная двумерная случайная величина (X, Y):
| Y | X |
| 0,25 | 0,10 |
| 0,32 | |
| 0,32 | 0,13 |
Найти: а) условный закон распределения X при условии, что Y=10; б) условный закон распределения Y при условии, что X=6.
8.3. Отыскание плотностей и условных законов распределения
составляющих непрерывной двумерной случайной величины
Плотность распределения одной из составляющих равна несобственному интегралу с бесконечными пределами от плотности совместного распределения системы, причем переменная интегрирования соответствует другой составляющей:
Здесь предполагается, что возможные значения каждой из составляющих принадлежат всей числовой оси; если же возможные значения принадлежат конечному интервалу, то в качестве пределов интегрирования принимают соответствующие конечные числа.
Условной плотностью распределения составляющей X при заданном значении Y = y называют отношение плотности совместного распределения системы к плотности распределения составляющей Y:
Аналогично определяется условная плотность распределения составляющей Y:
Если условные плотности распределения случайных величин X и Y равны их безусловным плотностям, то такие величины независимы.
Равномерным называют распределение двумерной непрерывной случайной величины (X, Y), если в области, которой принадлежат все возможные значения (x, у), плотность совместного распределения вероятностей сохраняет постоянное значение.
235. Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X, Y)
Найти: а) плотности распределения составляющих; б) условные плотности распределения, составляющих.
236. Плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X, Y)
Найти: а) постоянный множитель C; б) плотности распределения составляющих; в) условные плотности распределения составляющих.
237. Непрерывная двумерная случайная величина (X, У) распределена равномерно внутри прямоугольника с центром симметрии в начале координат и сторонами 2а и 2b, параллельными координатным осям. Найти: а) двумерную плотность вероятности системы; б) плотности распределения составляющих.
238. Непрерывная двумерная случайная величина (X, У) равномерно распределена внутри прямоугольного треугольника с вершинами O(0; 0), А(0; 8), В(8;0). Найти: а) двумерную плотность вероятности системы; б) плотности и условные плотности распределения составляющих.
8.4. Числовые характеристики непрерывной системы
двух случайных величин
Зная плотности распределения составляющих X и Y непрерывной двумерной случайной величины (X, У), можно найти их математические ожидания и дисперсии:
Иногда удобнее использовать формулы, содержащие двумерную плотность вероятности (двойные интегралы берутся по области возможных значений системы):
Начальным, моментом nk,s порядка k+s системы (X, Y) называют математическое ожидание произведения X k Y s :
Центральным моментом mk,s порядка k+s системы (X, Y) называют математическое ожидание произведения отклонений соответственно k-й и s-й степеней:
m1,0 =M[X – M(X)] = 0, m0,1 = M[Y – M(Y)] = 0;
m2,0 =M[X – M(X)] 2 = D(X), m0,2 = M[Y – M(Y)] 2 = D(Y);
Корреляционным моментом mxу системы (X, Y) называют центральный момент m1,1 порядка 1 + 1:
Коэффициентом корреляции величин X и Y называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин:
Коэффициент корреляции – безразмерная величина, причем |rxy| ≤ 1. Коэффициент корреляции служит для оценки тесноты линейной связи между X и Y: чем ближе абсолютная величина коэффициента корреляции к единице, тем связь сильнее; чем ближе абсолютная величина коэффициента корреляции к нулю, тем связь слабее.
Коррелированными называют две случайные величины, если их корреляционный момент отличен от нуля.
Некоррелированными называют две случайные величины, если их корреляционный момент равен нулю.
Две коррелированные величины также и зависимы; если две величины зависимы, то они могут быть как коррелированными, так и некоррелированными. Из независимости двух величин следует их некоррелированность, но из некоррелированности еще нельзя сделать вывод о независимости этих величин (для нормально распределенных величин из некоррелированности этих величин вытекает их независимость).
Для непрерывных величин X и Y корреляционный момент может быть найден по формулам:
239. Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X, Y):
Найти: а) математические ожидания; б) дисперсии составляющих X и Y.
240. Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X, Y):
Найти математические ожидания и дисперсии составляющих.
241. Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X, Y): f(x, y) = 2 cosx cosy в квадрате 0 ≤ x ≤p/4, 0 ≤ y ≤p/4; вне квадрата f(x, y) = 0. Найти математические ожидания составляющих.
242. Доказать, что если двумерную плотность вероятности системы случайных величин (X, Y) можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая – только от y, то величины X и Y независимы.
243. Доказать, что если X и Y связаны линейной зависимостью Y = aX + b, то абсолютная величина коэффициента корреляции равна единице.
Решение. По определению коэффициента корреляции,
Найдем математическое ожидание Y:
Подставив (**) в (*), после элементарных преобразований получим
Y – M(Y) = (aX + b) – (aM(X) + b) = a[X – M(X)],
найдем дисперсию Y:
D(Y) = M[Y – M(Y)] 2 = a 2 M[X – M(X)] 2 = a 2 s 2 x.
Отсюда sy = |a|sx. Следовательно, коэффициент корреляции
