Если производная отрицательна то функция убывает

1. Если производная функции y = f(x) положительна (отрицательна) во всех точках промежутка, то функция y = f(x) монотонно возрастает (убывает) на этом промежутке.

2. Точка x называется точкой максимума (минимума) функции y = f(x), если существует интервал, содержащий точку x, такой, что для всех x из этого интервала имеет место неравенство f(x) ≥ f(x), (f(x) ≤ f(x)). Точки максимума и точки минимума называются точками экстремума.

3. Необходимое условие экстремума: в точке экстремума функции ее производная либо равна нулю (f ′(x)=0), либо не существует.

4. Первое достаточное условие экстремума: если в точке x функция y = f(x) непрерывна, а производная f ′(x) при переходе через точку x меняет знак, то точка x – точка экстремума: максимума, если знак меняется с «+» на «-», и минимума, если с «–» на «+».

Если при переходе через точку x производная не меняет знак, то в точке x экстремума нет.

5. Второе достаточное условие экстремума: если в точке x , а , то x является точкой максимума функции. Если , а , то x является точкой минимума функции.

6. Схема исследования функции на экстремум:

1) найти производную ;

2) найти критические точки функции, в которых производная равна нулю или не существует;

3) исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции;

4) найти экстремальные значения функции.

При исследовании функции на экстремум с помощью 2-го достаточного условия п. 1), 2), 4) сохраняются, а в п. 3) необходимо найти вторую производную и определить ее знак в каждой критической точке.

7. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение (глобальный максимум и минимум) функции на отрезке [a,b] следует выбрать наибольшее (наименьшее) из значений функции в критических точках, находящихся в интервале (a,b) и на концах отрезка (в точках a и b).

8. Если дифференцируемая на интервале (a,b) функция имеет единственную точку экстремума, то в этой точке достигается наибольшее или наименьшее значение (глобальный максимум или минимум) функции на интервале (a,b).

8.35. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции .

Решение.В соответствии со схемой исследования (п. 6) найдем . Очевидно, производная существует при всех значениях x. Приравнивая y′ к нулю, получаем уравнение откуда и – критические точки. Знаки производной имеют вид (рис. 8.1):

Рис. 8.1

На интервалах и производная и функция возрастает, на интервале и функция убывает;

Рис. 8.2

– точка максимума и – точка минимума и , так как при переходе через эти точки производная меняет свой знак соответственно с «+» на «-» и с «-» на «+».

Замечание. Установить существование экстремума в критических точках и , в которых можно было и с помощью второй производной (см. п. 5). Так как , а , то – точка максимума, а – точка минимума.

График данной функции схематично показан на рисунке 8.2.

8.36.Найти экстремумы и интервалы монотонности функции .

Решение. .

Производная существует во всех точках, в которых существует и сама функция, т.е. при x > 0. Точки, в которых производная обращается в нуль, задаются равенствами ln x =0, ln x-1 = 0, откуда x₁ =1, x₂ = е – критические точки. Знаки производной указаны на рис. 8.3.

Рис.8.3

Таким образом, функция монотонно возрастает на промежутках (0;1) и (е;+ ) и монотонно убывает на промежутке (1;е). Точка x = 1 – точка максимума и , точка х = е – точка минимума и .

8.37. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции

Решение. . Производная не существует при cos x =1 т.е. при и равна нулю при . Знак производной совпадает со знаком sin(x); таким образом у’ >0 при и y’

8.40. Забором длиной 24 метра требуется огородить с трех сторон прямоугольный палисадник наибольшей площади. Найти размеры палисадника.

Решение. Пусть длины сторон палисадника x,y. Тогда 2x + y = 24, т.е. y = 24-2x. Площадь палисадника S = xy = x(24-2x) = 24x-2x 2 , где 0 0). Таким образом, задача свелась к отысканию значения x, при котором S(x) принимает наибольшее значение на интервале (0;12). Найдем S'(x) = 24-4x = 0 при x = 6. Легко видеть, что x = 6 – единственная точка экстремума – максимума функции S(x). Это означает, что на интервале (0;12) S(x) принимает наибольшее значение при x = 6, т.е. искомые размеры палисадника 6 м и 24- 2 – 6 = 12 м.

Найти интервалы монотонности и экстремумы функции:

8.41. . 8.42. . 8.43. .

8.44. . 8.45. 8.46. .

8.47. . 8.48. . 8.49. .

8.50. . 8.51. . 8.52. .

8.53. . 8.54. . 8.55. .

8.56. . 8.57. . 8.58. .

8.59. . 8.60. .

Найти наибольшее и наименьшее значение (глобальный максимум и минимум) функции на отрезке [a,b]:

8.61. 8.62. 8.63.

8.64. 8.65. 8.66.

8.67. 8.68.

Найти наибольшее или наименьшее значение (глобальный максимум или минимум) функции на интервале (a,b):

8.69. 8.70. 8.71.

8.72. 8.73. 8.74.

8.75. Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды, основания которых являются квадратами, а каждая из боковых сторон имеет периметр, равный 6 см. найти среди них параллелепипед с наибольшим объемом и найти этот объем.

8.76. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном, при которых на облицовку стен и дна пойдет наименьшее количество материала. Объем бассейна V фиксирован.

8.77. Требуется огородить два участка: один в форме правильного треугольника, другой в форме полукруга. Длина изгороди фиксирована и равна Р. Определить размеры участков (сторону треугольника и радиус полукруга) так, чтобы сумма площадей этих участков была бы наименьшей.

8.78. В треугольнике с основанием a и высотой h вписан прямоугольник, основание которого лежит на основании треугольника, а две вершины – на боковых сторонах. Найти наибольшую площадь вписанного прямоугольника.

8.4. Интервалы выпуклости функции.
Точки перегиба

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Производная функции — одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.

В этой статье просто и понятно рассказано о том, что такое производная и для чего она нужна. Мы не будем сейчас стремиться к математической строгости изложения. Самое главное — понять смысл.

Производная — это скорость изменения функции.

На рисунке — графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?

Ответ очевиден — третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.

Вот другой пример.

Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:

На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная, — разная. Что касается Матвея — у его дохода производная вообще отрицательна.

Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?

На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами — насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.

Производная функции обозначается .

Покажем, как найти с помощью графика.

Нарисован график некоторой функции . Возьмем на нем точку с абсциссой . Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной.

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

Обратите внимание — в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси .

Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.

Найдем . Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника :

Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике под номером .

Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением

Величина в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой. Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси .

Мы получаем, что

Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.

Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.

Нарисуем график некоторой функции . Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других — убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.

В точке функция возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке , образует острый угол с положительным направлением оси . Значит, в точке производная положительна.

В точке наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол с положительным направлением оси . Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке производная отрицательна.

Вот что получается:

Если функция возрастает, ее производная положительна.

Если убывает, ее производная отрицательна.

А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках (точка максимума) и (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.

Точка — точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке с «плюса» на «минус».

В точке — точке минимума — производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».

Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.

Если производная положительна, то функция возрастает.

Если производная отрицательная, то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Запишем эти выводы в виде таблицы:

возрастает	точка максимума	убывает	точка минимума	возрастает
+		–		+

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Сделаем два небольших уточнения. Одно из них понадобится вам при решении задач ЕГЭ. Другое — на первом курсе, при более серьезном изучении функций и производных.

Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая точка перегиба:

В точке касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки функция возрастала — и после точки продолжает возрастать. Знак производной не меняется — она как была положительной, так и осталась.

Бывает и так, что в точке максимума или минимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.

А как найти производную, если функция задана не графиком, а формулой? В этом случае применяется таблица производных.

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России) +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Обучающее видео
БЕСПЛАТНО

Техническая поддержка:
help@ege-study.ru (круглосуточно)

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Все поля обязательны для заполнения

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса – от 3,5 до 4,5 часов.

1. Уравнения (задача 13)
2. Стереометрия (задача 14)
3. Неравенства (задача 15)
4. Геометрия (задача 16)
5. Финансовая математика (задача 17)
6. Параметры (задача 18)
7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения. Автор видеокурса Премиум – репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля – до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги – 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» – всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.

(lacktriangleright) Если производная положительна на промежутке ((a;b)) , то функция на нем строго возрастает. (f'(x)>0 Longrightarrow f(x) uparrow)

Если производная отрицательна на промежутке ((a;b)) , то функция на нем строго убывает. (f'(x)

Заметим, что обратные утверждения неверны. То есть если функция строго возрастает на каком-то промежутке, то из этого не следует, что на всем этом промежутке ее производная будет положительной. Например:

функция (f(x)=x^3) на отрезке ([-1;1]) строго возрастает, но ее производная не положительна всюду: в точке (x=0) ее производная (f'(0)=0) (т.к. (f'(x)=3x^2) ).

(lacktriangleright) Если функция не убывает (возрастает и/или константа) на промежутке ((a;b)) , то на этом промежутке ее производная неотрицательна ( (geq 0) ). Верно и обратное утверждение.

(lacktriangleright) Если функция не возрастает (убывает и/или константа) на промежутке ((a;b)) , то на этом промежутке ее производная неположительна ( (leq 0) ). Верно и обратное утверждение.

(lacktriangleright) В точках излома (на рисунке это точки (A) и (B) ) производной не существует.

Заметим, что на промежутке ((4;+infty)) производная (f'(x)=0) , т.к. на этом промежутке функция является константой ( (f(x)=10) ).

Пример: найдите количество точек, в которых производная равна нулю, если на рисунке дан график функции:

Производная равна нулю в точках (A,B,D) , а в точке (C) она не существует, т.к. это точка излома.

На рисунке изображен график функции (y = f(x)) , определенной на интервале ((-0,5; 4,3)) . Определите количество целых точек (у которых координата – целое число), в которых производная функции положительна.

Для функции (f(x)) , у которой производная в точке (x_0) существует, (f'(x_0) > 0) равносильно тому, что (f(x)) возрастает в (x_0) .

На интервале ((-0,5; 4,3)) целыми являются точки (0) , (1) , (2) , (3) , (4) . Среди этих точек (f(x)) возрастает только в (1) , (2) и (4) . Таким образом, производная функции (y = f(x)) положительна в (3) целых точках.

На рисунке изображен график функции (y = f(x)) , определенной на интервале ((-0,5; 4,3)) . Определите количество целых точек (у которых координата – целое число), в которых производная функции отрицательна.

Для функции (f(x)) , у которой производная в точке (x_0) имеет смысл, (f'(x_0) равносильно тому, что (f(x)) убывает в (x_0) .

На интервале ((-0,5; 4,3)) целыми являются точки (0) , (1) , (2) , (3) , (4) . Среди этих точек (f(x)) убывает только в (0) , (2) и (3) . Таким образом, производная функции (y = f(x)) отрицательна в (3) целых точках.

На рисунке изображен график функции (y = f(x)) , определенной на интервале ((-0,5; 4,1)) . Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Для функции (f(x)) , у которой производная в точке (x_0) имеет смысл, (f'(x_0) равносильно тому, что (f(x)) убывает в (x_0) .

На интервале ((-0,5; 4,1)) целыми являются точки (0) , (1) , (2) , (3) , (4) . Среди этих точек (f(x)) убывает только в (2) и (4) . Таким образом, производная функции (y = f(x)) отрицательна в (2) целых точках.

На рисунке изображен график (y = f'(x)) – производной функции (y = f(x)) , определенной на интервале ((-0,6; 4,8)) . Найдите промежутки возрастания функции (y = f(x)) . В ответе укажите произведение целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково – ВКонтакте

Решение будет опубликовано 22.11.2019 в 09:00

На рисунке изображен график (y = f'(x)) – производной функции (y = f(x)) , определенной на интервале ((-1,5; 4,5)) . Найдите промежутки возрастания функци (y = f(x)) . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Для функции (f(x)) , у которой производная в точке (x_0) имеет смысл, утверждение о том, что (f(x)) возрастает в (x_0) равносильно тому, что (f'(x_0) > 0) .

На интервале ((-1,5; 4,5)) целыми являются точки (-1) , (0) , (1) , (2) , (3) , (4) . Среди этих точек (f'(x)) положительна только в (-1) , (0) и (1) . Таким образом, сумма целых точек, в которых функция возрастает, равна (-1 + 0 + 1 = 0) .

На рисунке изображен график (y = f'(x)) – производной функции (y = f(x)) , определенной на интервале ((-1,5; 4,5)) . Найдите промежутки убывания функции (y = f(x)) . В ответе укажите количество целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково – ВКонтакте

Решение будет опубликовано 22.11.2019 в 09:00

На рисунке изображен график (y = f'(x)) – производной функции (y = f(x)) , определенной на интервале ((-1,5; 4,6)) . Найдите промежутки убывания функции (y = f(x)) . В ответе укажите длину наибольшего из них.

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково – ВКонтакте

Решение будет опубликовано 22.11.2019 в 09:00

Выпускная работа в форме ЕГЭ для 11-классников обязательно содержит задания на вычисление пределов, промежутков убывания и возрастания производной функции, поиск точек экстремума и построение графиков. Хорошее знание этой темы позволяет правильно ответить на несколько вопросов экзамена и не испытывать затруднений в дальнейшем профессиональном обучении.

Основы дифференциального исчисления – одна из главных тем математики современной школы. Она изучает применение производной для исследования зависимостей переменных – именно через производную можно проанализировать возрастание и убывание функции без обращения к чертежу.

Комплексная подготовка выпускников к сдаче ЕГЭ на образовательном портале «Школково» поможет глубоко понять принципы дифференцирования – подробно разобраться в теории, изучить примеры решения типовых задач и попробовать свои силы в самостоятельной работе. Мы поможем вам ликвидировать пробелы в знаниях – уточнить представление о лексических понятиях темы и зависимостях величин. Ученики смогут повторить, как находить промежутки монотонности, что значит подъем или убывание производной функции на определенном отрезке, когда граничные точки включаются и не включаются в найденные интервалы.

Прежде чем начинать непосредственное решение тематических задач, мы рекомендуем сначала перейти к разделу «Теоретическая справка» и повторить определения понятий, правила и табличные формулы. Здесь же можно прочитать, как находить и записывать каждый промежуток возрастания и убывания функции на графике производной.

Все предлагаемые сведения излагаются в максимально доступной форме для понимания практически «с нуля». На сайте доступны материалы для восприятия и усвоения в нескольких различных формах – чтения, видеопросмотра и непосредственного тренинга под руководством опытных учителей. Профессиональные педагоги подробно расскажут, как найти промежутки возрастания и убывания производной функции аналитическими и графическими способами. В ходе вебинаров можно будет задать любой интересующий вопрос как по теории, так и по решению конкретных задач.

Вспомнив основные моменты темы, просмотрите примеры на возрастание производной функции, аналогичные заданиям экзаменационных вариантов. Для закрепления усвоенного загляните в «Каталог» – здесь вы найдете практические упражнения для самостоятельной работы. Задания в разделе подобраны разного уровня сложности с учетом наработки навыков. К каждому из них, например, на нахождение производной функции, прилагаются алгоритмы решений и правильные ответы.

Выбирая раздел «Конструктор», учащиеся смогут попрактиковаться в исследовании возрастания и убывания производной функции на реальных вариантах ЕГЭ, постоянно обновляемых с учетом последних изменений и нововведений.