График функции lnx x

Определение

Натуральный логарифм широко используется в математике, поскольку его производная имеет наиболее простой вид: (ln x )′ = 1/ x .

Исходя из определения, основанием натурального логарифма является число е:
е ≅ 2,718281828459045. ;
.

График натурального логарифма ln x

График натурального логарифма (функции y = ln x ) получается из графика экспоненты зеркальным отражением относительно прямой y = x .

Натуральный логарифм определен при положительных значениях переменной x . Он монотонно возрастает на своей области определения.

При x → 0 пределом натурального логарифма является минус бесконечность ( – ∞ ).

При x → + ∞ пределом натурального логарифма является плюс бесконечность ( + ∞ ). При больших x логарифм возрастает довольно медленно. Любая степенная функция x a с положительным показателем степени a растет быстрее логарифма.

Свойства натурального логарифма

Область определения, множество значений, экстремумы, возрастание, убывание

Натуральный логарифм является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные свойства натурального логарифма представлены в таблице.

Область определения
Область значений	– ∞
Монотонность	монотонно возрастает
Нули, y = 0	x = 1
Точки пересечения с осью ординат, x = 0	нет
+ ∞
– ∞

Значения ln x

Основные формулы натуральных логарифмов

Формулы, вытекающие из определения обратной функции:

Основное свойство логарифмов и его следствия

Формула замены основания

Любой логарифм можно выразить через натуральные логарифмы с помощью формулы замены основания:

Доказательства этих формул представлены в разделе "Логарифм".

Обратная функция

Обратной для натурального логарифма является экспонента.

Если 0)" style="width:132px;height:20px;vertical-align:-11px;background-position: -296px -320px;"> , то

Производная ln x

Производная натурального логарифма:
.
Производная натурального логарифма от модуля x :
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Интеграл

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексной переменной z :
.
Выразим комплексную переменную z через модуль r и аргумент φ:
.
Используя свойства логарифма, имеем:
.
Или
.
Аргумент φ определен не однозначно. Если положить
, где n – целое,
то будет одним и тем же числом при различных n .

Поэтому натуральный логарифм, как функция от комплексного переменного, является не однозначной функцией.

Разложение в степенной ряд

При имеет место разложение:

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 05-04-2014 Изменено: 20-03-2017

интервал:	[ , ] в Пи
подпись:

интервал:	[ , ] авто
подпись:

Сервис онлайн построения графиков

Этот сервис создан в помощь школьникам и студентам в изучении математики (алгебры и геометрии) и физики и предназначен для онлайн построения графиков функций (обычных и параметрических) и графиков по точкам (графиков по значениям), а также графиков функций в полярной системе координат.

Просто введите формулу функции в поле "Графики:" и нажмите кнопку "Построить".

Почитайте в cправкe, как правильно вводить формулы функций.

Загляните в раздел примеров, наверняка, там есть графики функций, похожие на то, что нужно Вам, останется только слегка откорректировать готовые формулы функций.

Изучаем математику вместе!

• Обязательно писать все знаки умножения
• Десятичные дроби нужно разделять точкой
• Список функций и констант смотрите ниже

URL-адрес:

html-код ссылки:

Как пользоваться программой:

• Можно строить графики сразу нескольких функций. Для этого просто разделяйте функции точкой с запятой (;).
• Масштаб изменяется с помощью кнопок «+» и «−». Кнопка «100%» меняет масштаб на стандартный.
• Положение экрана можно менять, перетаскивая его мышью, а можно стрелками на панели слева.
• Кнопка «·» в центре джойстика переносит начало координат в центр экрана.
• Кнопка «↺» изменяет масштаб на стандартный и переносит начало координат в центр.
• В форме под графиком можно выбрать точку, которую нужно расположить в центре экрана.

Режимы

Обычный. В этом режиме можно строить графики функций, заданных уравнением

Параметрический. Этот режим предназначен для построения графиков кривых, заданных параметрически, то есть в виде

Полярные координаты. Здесь можно построить график кривой, заданной в полярной системе координат, то есть уравнением где — радиальная координата, а — полярная координата.

Список констант

Константа	Описание
pi	Число =3,14159.
e	Число Эйлера =2,71828.

Список функций

Функция	Описание
+ − * /	Сложение, вычитание, умножение, деление
( )	Группирующие скобки
abs() или | |	Модуль числа. Выражение abs(x) эквивалентно |x| . Если функция содержит модуль под модулем, то пользуйтесь abs() . Например, если вы хотите построить график функции |1-x+|x+5|| , то нужно вводить abs(1-x+abs(x+5)) .
pow() или ^	Степень числа. Например, выражения pow(x, 3) и x^3 дают x в третьей степени
sqrt()	Квадратный корень
sin()	Синус
cos()	Косинус
tg()	Тангенс
ctg()	Котангенс
arcsin()	Арксинус
arccos()	Арккосинус
arctg()	Арктангенс
arcctg()	Арккотангенс
ln()	Натуральный логарифм числа
lg()	Десятичный логарифм числа
log(a, b)	Логарифм числа b по основанию a
exp()	Степень числа e
sh()	Гиперболический синус
ch()	Гиперболический косинус
th()	Гиперболический тангенс
cth()	Гиперболический котангенс

График функции

Графиком функции называется множество точек плоскости таких, что абсциссы и ординаты этих точек удовлетворяют уравнению .

Программа создана для школьников и студентов и позволяет строить графики функций онлайн. Во многих браузерах (например, Google Chrome) картинку с графиком функции можно сохранить на компьютер.

Пожалуйста, все предложения и замечания по работе программы пишите в комментариях.

Кроме того мы планируем создать библиотеку функций с интересными и забавными графиками. Если вы открыли функцию с таким графиком, то обязательно напишите об этом в комментариях! Ваше открытие будет опубликовано и станет носить ваше имя ;).

Построение графика функции онлайн : 38 комментариев

Ничего так.
При перетаскивании графика мышью если отпустить кнопку далеко за пределами графика, отпускание кнопки не обрабатывается.

Не получается построить функцию y=K/x (гипербола)

1. Андрей Автор записи 26.04.2017 в 22:18

Валерий, а что вы вводите?

Отправил комментарий, он появился на странице, над ним заголовок: Построение графика функции онлайн: комментариев.

Привет! Дело в том, что пока комментарии появляются только после проверки. Пользователь, который написал комментарий, видит его на странице, а все остальные — нет.

Добавлена возможность строить графики в полярных координатах. Просто выберите режим «Полярные координаты» и задайте функцию (здесь — угол).

Не получается построить график функции y=x^-4.Ничего не выдаёт.

1. Андрей Автор записи 27.01.2016 в 15:15

Алина, здесь нужно поставить скобки: y = x^(-4) . Так всё должно работать 😉

Было бы прекрасно добавить возможность построения кусочно-заданной функции, т.е. например f(x)==0; -x, x

1. Андрей Автор записи 30.05.2016 в 20:14

Павел, спасибо за предложение! Я планирую доработать программу в ближайшее время, и обязательно учту Ваш комментарий 😉

Так и не появилось кусочно-заданных функций?

Очень полезно, спасибо!
Предложения по доработке:
1. Возможность построения графика неявно заданной функции.
2. Что бы при наведении на кривую графика фигуры курсор «прикреплялся» к точке, которая принадлежит кривой. Так же, как окна в Windows 7 при перетаскивании к границам экрана «прилипают» к этим границам. Так можно будет наверняка узнать, что я вижу вверху слева координаты именно нужной кривой, а не точки, что очень рядом.

r(t)=cos(1.52t) — очень красивая штука.

При построении y=x^(1/3) не уходит в отрицательную область(3 четверть), а должен уходить!

Неправильно строит функцию арккотангенса, т.е. arcctg(x). Вместо нее он строит arctg(1/x). У этих функций на положительных значениях аргумента графики совпадают, а на отрицательных различаются на «пи»

1. Андрей Автор записи 29.11.2016 в 00:12

Инна, огромное спасибо за комментарий! Действительно, график арккотангенса строился неправильно. Исправил 😉

Программа прекрасная. Очень хотелось бы наносить свои надписи. Например, вместо Y написать — деньги, вместо X — срок жизни. Как скопировать график в Word?
Где можно указать диапазон изменения X и Y?

1. Андрей Автор записи 20.12.2016 в 21:29

Спасибо! Наносить свои подписи сейчас нельзя. Чтобы вставить график в Word, сохраните график как картинку (клик по графику правой кнопкой мыши, далее «Сохранить картинку как») и вставьте её.
Указать диапазон для x тоже пока нельзя, но можно написать, например, вот так: y(x) = sin(x) * (x > 1) * (x . Здесь функция sin(x) строится для x от 1 до 4, все остальные значения равны 0.

🙂 Писал сам такую программу в 1999 году в школе на паскале, с такими же возможностями, кусочно-заданная также была включена.
Советую добавить отдельное масштабирование по осям X и Y, а также историю вводимых функций.

1. Андрей Автор записи 14.02.2017 в 01:35

Максим, спасибо за отзыв! Новая версия как раз в разработке 😉

дайте цвет, зависящий от параметра

1. Андрей Автор записи 02.03.2017 в 22:44

qqq, спасибо за комментарий, отличная идея! Как раз пишу новую версию 😉

В обычном режиме невозможно строить графики вида x=const (х=1, х=20, х=pi/3)
В режиме полярной оси координат не нужны и только лишь путают оси X и Y (откуда они там вообще?)
Соответственно и шкала значений по этим осям измеряет непонятно что. Координата точки в полярной системе координат это пара вида радиус, угол (r, t) — т.е. в текущей версии r конкретной точки равен sqrt (x^2 + y^2)
Полярная система координат должна выглядеть вот так: https://upload.cc/i/CnTf7G.jpg
_
Не дочерчивает график: https://upload.cc/i3/vbpI6m.png
Функция y=cos(x) четная, следовательно, y(-x)=y(x), поэтому значение функции r(t)=6cos(3t), при t=-pi/9 и t=pi/9 равно 3. На картинке видно что при t=pi/9 функция не r=3
Хотелось бы иметь возможность строить в одной плоскости графики функций как заданных в виде y=f(x), так и заданных параметрически, а так же выставлять свой масштаб.
В остальном все очень удобно, спасибо.

Неправильно строит графики уравнений вида r=cos(a*t), где а — чётное число(в полярной системе координат).

Добрый день.
Сделайте, пожалуйста, возможность менять масштаб отдельно по X и по Y.
Спасибо.

не строит функцию
y=|(|x|-2)^2-3|

1. Андрей Автор записи 10.11.2017 в 01:52

Используйте функцию abs(), это поможет программе правильно прочитать выражение:
y = |(abs(x)-2)^2-3|

Не могу построить график с ограниченным параметром, y = x^2, x

Подскажите, как правильно описать у вас такой график: |y-1|=4-|x-1| ?

График y=|lg(x)| рисует при отрицательных x.

Можно ли построить график кубического корня? А корня шестой степени? Если да, то как?

1. Андрей Автор записи 13.10.2018 в 15:38

Да, можно, вот так: x^(1/3); x^(1/6)

А можно выбирать цвет графиков?
Если нет, то когда 🙂

Попробуйте это: x!^x!

Укажите в инструкциях, что здесь МОЖНО построить (y=x!)
Кстати, сделайте так, чтобы можно было включать/выключать потребность залесть в комплексные числа, то есть, к примеру, при построении (y=sqrt(x)^2) можно как и рисовать график при x

классная программа , только лагает

sqrt(3x+3) — почему начало с -1?? объясните пж(