График эмпирической функции распределения в excel

Эмпирической (опытной) функцией распределения или функцией распределения выборки называют такую функцию, которая определяет для каждого значения x частоту событий X

Дана таблица функции распределения выборки. Требуется построить эмпирическую функцию распределения

xi	1	2	3	4	5	6
ni	4	10	6	8	7	5

Из таблицы n=40, т.е.
n=4+10+6+8+7+5=40
Вычислим функцию распределения выборки

Эмпирическая функция распределения имеет вид

Построим график кусочно-постоянной эмпирической функции распределения

таким образом, по данным выборки можно приближенно построить функцию для неизвестной функции выборки.

2 комментария

У вас опечатка, где вы написали n=30, n=4+10+6+8+7+5=30 и F_30, так как n=40.

Даны определения Функции распределения случайной величины и Плотности вероятности непрерывной случайной величины. Эти понятия активно используются в статьях о статистике сайта ]]> www.excel2.ru ]]> . Рассмотрены примеры вычисления Функции распределения и Плотности вероятности с помощью функций MS EXCEL.

Введем базовые понятия статистики, без которых невозможно объяснить более сложные понятия.

Генеральная совокупность и случайная величина

Пусть у нас имеется генеральная совокупность (population) из N объектов, каждому из которых присуще определенное значение некоторой числовой характеристики Х.

Примером генеральной совокупности (ГС) может служить совокупность весов однотипных деталей, которые производятся станком.

Поскольку в математической статистике, любой вывод делается только на основании характеристики Х (абстрагируясь от самих объектов), то с этой точки зрения генеральная совокупность представляет собой N чисел, среди которых, в общем случае, могут быть и одинаковые.

В нашем примере, ГС – это просто числовой массив значений весов деталей. Х – вес одной из деталей.

Если из заданной ГС мы выбираем случайным образом один объект, имеющей характеристику Х, то величина Х является случайной величиной. По определению, любая случайная величина имеет функцию распределения, которая обычно обозначается F(x).

Функция распределения

Функцией распределения вероятностей случайной величины Х называют функцию F(x), значение которой в точке х равно вероятности события X файл примера ):

В справке MS EXCEL Функцию распределения называют Интегральной функцией распределения (Cumulative Distribution Function, CDF).

Приведем некоторые свойства Функции распределения:

• Функция распределения F(x) изменяется в интервале [0;1], т.к. ее значения равны вероятностям соответствующих событий (по определению вероятность может быть в пределах от 0 до 1);
• Функция распределения – неубывающая функция;
• Вероятность того, что случайная величина приняла значение из некоторого диапазона [x1;x2): P(x₁ Примечание: В MS EXCEL имеется несколько функций, позволяющих вычислить вероятности дискретных случайных величин. Перечень этих функций приведен в статье Распределения случайной величины в MS EXCEL.

Непрерывные распределения и плотность вероятности

В случае непрерывного распределения случайная величина может принимать любые значения из интервала, в котором она определена. Т.к. количество таких значений бесконечно велико, то мы не можем, как в случае дискретной величины, сопоставить каждому значению случайной величины ненулевую вероятность (т.е. вероятность попадания в любую точку (заданную до опыта) для непрерывной случайной величины равна нулю). Т.к. в противном случае сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины будет равна бесконечности, а не 1.
Выходом из этой ситуации является введение так называемой функции плотности распределения p(x). Чтобы найти вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале (а; b), необходимо найти приращение функции распределения на этом интервале:

Как видно из формулы выше плотность распределения р(х) представляет собой производную функции распределения F(x), т.е. р(х) = F’(x).

Типичный график функции плотности распределения для непрерывной случайно величины приведен на картинке ниже (зеленая кривая):

Примечание: В MS EXCEL имеется несколько функций, позволяющих вычислить вероятности непрерывных случайных величин. Перечень этих функций приведен в статье Распределения случайной величины в MS EXCEL.

В литературе Функция плотности распределения непрерывной случайной величины может называться: Плотность вероятности, Плотность распределения, англ. Probability Density Function (PDF).

Чтобы все усложнить, термин Распределение (в литературе на английском языке – Probability Distribution Function или просто Distribution) в зависимости от контекста может относиться как Интегральной функции распределения, так и кее Плотности распределения.

Из определения функции плотности распределения следует, что p(х)>=0. Следовательно, плотность вероятности для непрерывной величины может быть, в отличие от Функции распределения, больше 1. Например, для непрерывной равномерной величины, распределенной на интервале [0; 0,5] плотность вероятности равна 1/(0,5-0)=2. А для экспоненциального распределения с параметром лямбда=5, значение плотности вероятности в точке х=0,05 равно 3,894. Но, при этом можно убедиться, что вероятность на любом интервале будет, как обычно, от 0 до 1.

Напомним, что плотность распределения является производной от функции распределения, т.е. «скоростью» ее изменения: p(x)=(F(x2)-F(x1))/Dx при Dx стремящемся к 0, где Dx=x2-x1. Т.е. тот факт, что плотность распределения >1 означает лишь, что функция распределения растет достаточно быстро (это очевидно на примере экспоненциального распределения).

Примечание: Площадь, целиком заключенная под всей кривой, изображающей плотность распределения, равна 1.

Примечание: Напомним, что функцию распределения F(x) называют в функциях MS EXCEL интегральной функцией распределения. Этот термин присутствует в параметрах функций, например в НОРМ.РАСП (x; среднее; стандартное_откл; интегральная). Если функция MS EXCEL должна вернуть Функцию распределения, то параметр интегральная, д.б. установлен ИСТИНА. Если требуется вычислить плотность вероятности, то параметр интегральная, д.б. ЛОЖЬ.

Примечание: Для дискретного распределения вероятность случайной величине принять некое значение также часто называется плотностью вероятности (англ. probability mass function (pmf)). В справке MS EXCEL плотность вероятности может называть даже "функция вероятностной меры" (см. функцию БИНОМ.РАСП() ).

Вычисление плотности вероятности с использованием функций MS EXCEL

Понятно, что чтобы вычислить плотность вероятности для определенного значения случайной величины, нужно знать ее распределение.

Найдем плотность вероятности для стандартного нормального распределения N(0;1) при x=2. Для этого необходимо записать формулу =НОРМ.СТ.РАСП(2;ЛОЖЬ) =0,054 или =НОРМ.РАСП(2;0;1;ЛОЖЬ) .

Напомним, что вероятность того, что непрерывная случайная величина примет конкретное значение x равна 0. Для непрерывной случайной величины Х можно вычислить только вероятность события, что Х примет значение, заключенное в интервале (а; b).

Вычисление вероятностей с использованием функций MS EXCEL

1) Найдем вероятность, что случайная величина, распределенная по стандартному нормальному распределению (см. картинку выше), приняла положительное значение. Согласно свойству Функции распределения вероятность равна F(+∞)-F(0)=1-0,5=0,5.

В MS EXCEL для нахождения этой вероятности используйте формулу =НОРМ.СТ.РАСП(9,999E+307;ИСТИНА) -НОРМ.СТ.РАСП(0;ИСТИНА) =1-0,5.
Вместо +∞ в формулу введено значение 9,999E+307= 9,999*10^307, которое является максимальным числом, которое можно ввести в ячейку MS EXCEL (так сказать, наиболее близкое к +∞).

2) Найдем вероятность, что случайная величина, распределенная по стандартному нормальному распределению, приняла отрицательное значение. Согласно определения Функции распределения, вероятность равна F(0)=0,5.

В MS EXCEL для нахождения этой вероятности используйте формулу =НОРМ.СТ.РАСП(0;ИСТИНА) =0,5.

3) Найдем вероятность того, что случайная величина, распределенная по стандартному нормальному распределению, примет значение, заключенное в интервале (0; 1). Вероятность равна F(1)-F(0), т.е. из вероятности выбрать Х из интервала (-∞;1) нужно вычесть вероятность выбрать Х из интервала (-∞;0). В MS EXCEL используйте формулу =НОРМ.СТ.РАСП(1;ИСТИНА) – НОРМ.СТ.РАСП(0;ИСТИНА) .

Все расчеты, приведенные выше, относятся к случайной величине, распределенной по стандартному нормальному закону N(0;1). Понятно, что значения вероятностей зависят от конкретного распределения. В статье Распределения случайной величины в MS EXCEL приведены распределения, для которых в MS EXCEL имеются соответствующие функции, позволяющие вычислить вероятности.

Обратная функция распределения (Inverse Distribution Function)

Вспомним задачу из предыдущего раздела: Найдем вероятность, что случайная величина, распределенная по стандартному нормальному распределению, приняла отрицательное значение.

Вероятность этого события равна 0,5.

Теперь решим обратную задачу: определим х, для которого вероятность, того что случайная величина Х примет значение =НОРМ.СТ.ОБР(0,5) =0.

Однозначно вычислить значение случайной величины позволяет свойство монотонности функции распределения.

Обратите внимание, что для вычисления обратной функции мы использовали именно функцию распределения, а не плотность распределения. Поэтому, в аргументах функции НОРМ.СТ.ОБР() отсутствует параметр интегральная, который подразумевается. Подробнее про функцию НОРМ.СТ.ОБР() см. статью про нормальное распределение.

Обратная функция распределения вычисляет квантили распределения, которые используются, например, при построении доверительных интервалов. Т.е. в нашем случае число 0 является 0,5-квантилем нормального распределения. В файле примера можно вычислить и другой квантиль этого распределения. Например, 0,8-квантиль равен 0,84.

В англоязычной литературе обратная функция распределения часто называется как Percent Point Function (PPF).

Примечание: При вычислении квантилей в MS EXCEL используются функции: НОРМ.СТ.ОБР() , ЛОГНОРМ.ОБР() , ХИ2.ОБР(), ГАММА.ОБР() и т.д. Подробнее о распределениях, представленных в MS EXCEL, можно прочитать в статье Распределения случайной величины в MS EXCEL.

Построить эмпирическое распределение результатов тестирования в баллах для следующей выборки: 69, 85, 78, 85, 83, 81, 95, 88, 97, 92, 74, 83, 89, 77, 93.

В ячейку А1 введите слова Результаты, в диапазон А2:А16 – результаты тестирования.

Выберите ширину интервала 5 баллов. Тогда при крайних результатах 69 и 97 баллов, получится 7 интервалов. В ячейку С1 введите название интервалов Границы. В диапазон С2:С8 введите граничные значения интервалов: 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100.

Введите заголовки создаваемой таблицы: в ячейку D1 – Абсолютные частоты, в ячейку Е1 – Относительные частоты, в F1 – Накопленные частоты.

Заполните столбец абсолютных частот. Для этого выделите для них блок ячеек D2:D8, вызовите Мастер функций, категория – Статистические, функция – Частота, в поле Массив данных введите диапазон данных тестирования А2:А16, в поле Массив интервалов введите диапазон интервалов С2:С8, нажмите комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter. В столбце D2:D8 появится массив абсолютных частот.

В ячейке D9 найдите общее количество результатов тестирования, с помощью Автосумма.

Заполните столбец относительных частот. В ячейку Е2 введите формулу =$D2/$D$9 .

Протягиванием скопируйте полученное значение в диапазон Е3:Е8. Получим массив относительных частот.

Заполните столбец накопленных частот. В ячейку F2 скопируйте значение относительной частоты из ячейки Е2. В ячейку F3 введите формулу =F2+E3. Протягиванием скопируйте полученное значение в диапазон F4:F8. Получим массив накопленных частот.

В результате получим таблицу, представленную на рисунке 1.