Все виды дифференциальных уравнений

Существует целый ряд задач, в которых установить прямую связь между величинами, применяемыми для описания процесса, не получается. Единственное, что можно сделать, это получить равенство, запись которого включает производные исследуемых функций, и решить его. Решение дифференциального уравнения позволяет установить непосредственную связь между величинами.

В этом разделе мы займемся разбором решений дифференциальных уравнений, неизвестная функция в которых является функцией одной переменной. Мы построили теоретическую часть таким образом, чтобы даже человек с нулевым представлением о дифференциальных уравнениях мог без труда получить необходимые знания и справиться с приведенными задачами.

Если какие-то термины окажутся для вас новыми, обратитесь к разделу «Определения и понятия теории дифференциальных уравнений». А тем временем перейдем к рассмотрению вопроса о видах дифференциальных уравнений.

Для каждого из видов дифференциальных уравнений применяется свой метод решения. В этом разделе мы рассмотрим все эти методы, приведем примеры с подробными разборами решения. После ознакомления с темой вам необходимо будет определять вид дифференциального уравнения и выбирать наиболее подходящий из методов решения поставленной задачи.

Возможно, прежде чем приступить к решению дифференциальных уравнений, вам придется освежить в памяти такие темы как «Методы интегрирования» и «Неопределенные интегралы».

Начнем ознакомление с темой мы с видов обыкновенных дифференциальных уравнений 1 -го порядка. Эти уравнения могут быть разрешены относительно производной. Затем перейдем в ОДУ 2 -го и высших порядков. Также мы уделим внимание системам дифференциальных уравнений.

Напомним, что y ‘ = d x d y , если y является функцией аргумента x .

Дифференциальные уравнения первого порядка

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида y ‘ = f ( x )

Начнем с примеров таких уравнений.

y ‘ = 0 , y ‘ = x + e x – 1 , y ‘ = 2 x x 2 – 7 3

Оптимальным для решения дифференциальных уравнений f ( x ) · y ‘ = g ( x ) является метод деления обеих частей на f ( x ) . Решение относительно производной позволяет нам прийти к уравнению вида y ‘ = g ( x ) f ( x ) . Оно является эквивалентом исходного уравнения при f ( x ) ≠ 0 .

Приведем примеры подобных дифференциальных уравнений:

e x · y ‘ = 2 x + 1 , ( x + 2 ) · y ‘ = 1

Мы можем получить ряд дополнительных решений в тех случаях, когда существуют значения аргумента х , при которых функции f ( x ) и g ( x ) одновременно обращаются в 0 . В качестве дополнительного решения в уравнениях f ( x ) · y ‘ = g ( x ) при заданных значениях аргумента может выступать любая функция, определенная для заданного значения х .

Наличие дополнительных решений возможно для дифференциальных уравнений x · y ‘ = sin x , ( x 2 – x ) · y ‘ = ln ( 2 x 2 – 1 )

Ознакомиться с теоретической частью и примерами решения задач таких уравнений вы можете в разделе «Простейшие дифференциальные уравнения 1 -го порядка».

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными вида f 1 ( y ) · g 1 ( x ) d y = f 2 ( y ) · g 2 ( x ) d x или f 1 ( y ) · g 1 ( x ) · y ‘ = f 2 ( y ) · g 2 ( x )

Поговорим теперь об уравнениях с разделенными переменными, которые имеют вид f ( y ) d y = g ( x ) d x . Как следует из названия, к данному виду дифференциальных уравнений относятся выражения, которые содержат переменные х и у , разделенные знаком равенства. Переменные находятся в разных частях уравнения, по обе стороны от знака равенства.

Решить уравнения с разделенными переменными можно путем интегрирования обеих его частей: ∫ f ( y ) d y = ∫ f ( x ) d x

К числу дифференциальных уравнений с разделенными переменными можно отнести следующие из них:

y 2 3 d y = sin x d x , e y d y = ( x + sin 2 x ) d x

Для того, чтобы прийти от ДУ с разделяющимися переменными к ДУ с разделенными переменными, необходимо разделить обе части уравнения на произведение f 2 ( y ) ⋅ g 1 ( x ) . Так мы придем к уравнению f 1 ( y ) f 2 ( y ) d y = g 2 ( x ) g 1 ( x ) d x . Преобразование можно будет считать эквивалентным в том случае, если одновременно f 2 ( y ) ≠ 0 и g 1 ( x ) ≠ 0 . Если хоть одно из условий не будет соблюдаться, мы можем потерять часть решений.

В качестве примеров дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными можно привести следующие из них: d y d x = y · ( x 2 + e x ) , ( y 2 + a r c cos y ) · sin x · y ‘ = cos x y .

К уравнениям с разделяющимися переменными мы можем прийти от ряда дифференциальных уравнений других видов путем замены переменных. Например, мы можем подставить в исходное уравнение z = a x + b y . Это позволит нам перейти к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными от дифференциального уравнения вида y ‘ = f ( a x + b y ) , a , b ∈ R .

Подставив z = 2 x + 3 y в уравнение y ‘ = 1 e 2 x + 3 y получаем d z d x = 3 + 2 e z e z .

Заменив z = x y или z = y x в выражениях y ‘ = f x y или y ‘ = f y x , мы переходим к уравнениям с разделяющимися переменными.

Если произвести замену z = y x в исходном уравнении y ‘ = y x · ln y x + 1 , получаем x · d z d x = z · ln z .

В ряде случаев прежде, чем производить замену, необходимо произвести преобразования исходного уравнения.

Предположим, что в условии задачи нам дано уравнение y ‘ = y 2 – x 2 2 x y . Нам необходимо привести его к виду y ‘ = f x y или y ‘ = f y x . Для этого нам нужно разделить числитель и знаменатель правой части исходного выражения на x 2 или y 2 .

Нам дано уравнение y ‘ = f a 1 x + b 1 y + c 1 a 2 x + b 2 y + c 2 , a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 ∈ R .

Для того, чтобы привести исходное уравнение к виду y ‘ = f x y или y ‘ = f y x , нам необходимо ввести новые переменные u = x – x 1 v = y – y 1 , где ( x 1 ; y 1 ) является решением системы уравнений a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 = 0

Введение новых переменных u = x – 1 v = y – 2 в исходное уравнение y ‘ = 5 x – y – 3 3 x + 2 y – 7 позволяет нам получить уравнение вида d v d u = 5 u – v 3 u + 2 v .

Теперь выполним деление числителя и знаменателя правой части уравнения на u . Также примем, что z = u v . Получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными u · d z d u = 5 – 4 z – 2 z 2 3 + 2 z .

Подробный разбор теории и алгоритмов решения задач мы привели в разделе «Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными».

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка y ‘ + P ( x ) · y = Q ( x )

Приведем примеры таких уравнений.

К числу линейных неоднородных дифференциальных уравнений 1 -го порядка относятся:

y ‘ – 2 x y 1 + x 2 = 1 + x 2 ; y ‘ – x y = – ( 1 + x ) e – x

Для решения уравнений этого вида применяется метод вариации произвольной постоянной. Также мы можем представить искомую функцию у в виде произведения y ( x ) = u ( x ) v ( x ) . Алгоритмы применения обоих методов мы привели в разделе «Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка».

Дифференциальное уравнение Бернулли y ‘ + P ( x ) y = Q ( x ) y a

Приведем примеры подобных уравнений.

К числу дифференциальных уравнений Бернулли можно отнести:

y ‘ + x y = ( 1 + x ) e – x y 2 3 ; y ‘ + y x 2 + 1 = a r c t g x x 2 + 1 · y 2

Для решения уравнений этого вида можно применить метод подстановки z = y 1 – a , которая выполняется для того, чтобы свести исходное уравнение к линейному дифференциальному уравнению 1 -го порядка. Также применим метод представления функции у в качестве y ( x ) = u ( x ) v ( x ) .

Алгоритм применения обоих методов приведен в разделе «Дифференциальное уравнение Бернулли». Там же можно найти подробный разбор решения примеров по теме.

Уравнения в полных дифференциалах P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = 0

Если для любых значений x и y выполняется ∂ P ( x , y ) ∂ y = ∂ Q ( x , y ) ∂ x , то этого условия необходимо и достаточно, чтобы выражение P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y представляло собой полный дифференциал некоторой функции U ( x , y ) = 0 , то есть, d U ( x , y ) = P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y . Таким образом, задача сводится к восстановлению функции U ( x , y ) = 0 по ее полному дифференциалу.

Выражение, расположенное в левой части записи уравнения ( x 2 – y 2 ) d x – 2 x y d y = 0 представляет собой полный дифференциал функции x 3 3 – x y 2 + C = 0

Для более подробного ознакомления с теорией и алгоритмами решения примеров можно обратиться к разделу «Уравнения в полных дифференциалах».

Дифференциальные уравнения второго порядка

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y ‘ ‘ + p y ‘ + q y = 0 , p , q ∈ R

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами обычно решается достаточно просто. Нам необходимо найти корни характеристического уравнения k 2 + p k + q = 0 . Здесь возможны три варианта в зависимости от различных p и q :

• действительные и различающиеся корни характеристического уравнения k 1 ≠ k 2 , k 1 , k 2 ∈ R ;
• действительные и совпадающие k 1 = k 2 = k , k ∈ R ;
• комплексно сопряженные k 1 = α + i · β , k 2 = α – i · β .

Значения корней характеристического уравнения определяет, как будет записано общее решение дифференциального уравнения. Возможные варианты:

• y = C 1 e k 1 x + C 2 e k 2 x ;
• y = C 1 e k x + C 2 x e k x ;
• y = e a · x · ( C 1 cos β x + C 2 sin β x ) .

Пример 13

Предположим, что у нас есть линейное однородное дифференциальное уравнение 2 -го порядка с постоянными коэффициентами y ‘ ‘ + 3 y ‘ = 0 . Найдем корни характеристического уравнения k 2 + 3 k = 0 . Это действительные и различные k 1 = – 3 и k 2 = 0 . Это значит, что общее решение исходного уравнения будет иметь вид:

y = C 1 e k 1 x + C 2 e k 2 x ⇔ y = C 1 e – 3 x + C 2 e 0 x ⇔ y = C 1 e – 3 x + C 2

Восполнить пробелы в теоретической части и посмотреть подробный разбор примеров по теме можно в статье «Линейные однородные дифференциальные уравнения 2 -го порядка с постоянными коэффициентами».

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y ‘ ‘ + p y ‘ + q y = f ( x ) , p , q ∈ R

Основным способом решение уравнений данного вида является нахождение суммы общего решения y 0 , которое соответствует линейному однородному дифференциальному уравнению y ‘ ‘ + p y ‘ + q y = 0 , и частного решения y

исходного уравнения. Получаем: y = y 0 + y

Способ нахождения y 0 мы рассмотрели в предыдущем пункте. Найти частное решение y

мы можем методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции f ( x ) , которая расположена в правой части записи исходного выражения. Также применим метод вариации произвольных постоянных.

К числу линейных неоднородных дифференциальных уравнений 2 -го порядка с постоянными коэффициентами относятся:

y ‘ ‘ – 2 y ‘ = ( x 2 + 1 ) e x ; y ‘ ‘ + 36 y = 24 sin ( 6 x ) – 12 cos ( 6 x ) + 36 e 6 x

Теоретические выкладки и подробный разбор примеров по теме можно найти в разделе «ЛНДУ 2 -го порядка с постоянными коэффициентами».

Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = 0 и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x )

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения и постоянными коэффициентами являются частными случаями дифференциальных уравнений этого вида.

На некотором отрезке [ a ; b ] общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = 0 представлено линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y 1 и y 2 этого уравнения, то есть, y = C 1 y 1 + C 2 y 2 .

Частные решения мы можем выбрать из систем независимых функций:

1 ) 1 , x , x 2 , . . . , x n 2 ) e k 1 x , e k 2 x , . . . , e k n x 3 ) e k 1 x , x · e k 1 x , . . . , x n 1 · e k 1 x , e k 2 x , x · e k 2 x , . . . , x n 2 · e k 2 x , . . . e k p x , x · e k p x , . . . , x n p · e k p x 4 ) 1 , c h x , s h x

Однако существуют примеру уравнений, для которых частные решения не могут быть представлены в таком виде.

Возьмем для примера линейное однородное дифференциальное уравнение x y ‘ ‘ – x y ‘ + y = 0 .

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x ) мы можем найти в виде суммы y = y 0 + y

, где y 0 – общее решение соответствующего ЛОДУ, а y

частное решение исходного дифференциального уравнения. Найти y 0 можно описанным выше способом. Определить y

нам поможет метод вариации произвольных постоянных.

Возьмем для примера линейное неоднородное дифференциальное уравнение x y ‘ ‘ – x y ‘ + y = x 2 + 1 .

Более подробно этот раздел освещен на странице «Линейные дифференциальные уравнения второго порядка».

Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Мы можем провести замену y ( k ) = p ( x ) для того, чтобы понизить порядок исходного дифференциального уравнения F ( x , y ( k ) , y ( k + 1 ) , . . . , y ( n ) ) = 0 , которое не содержит искомой функции и ее производных до k – 1 порядка.

В этом случае y ( k + 1 ) = p ‘ ( x ) , y ( k + 2 ) = p ‘ ‘ ( x ) , . . . , y ( n ) = p ( n – k ) ( x ) , и исходное дифференциальное уравнение сведется к F 1 ( x , p , p ‘ , . . . , p ( n – k ) ) = 0 . После нахождения его решения p ( x ) останется вернуться к замене y ( k ) = p ( x ) и определить неизвестную функцию y .

Дифференциальное уравнение y ‘ ‘ ‘ x ln ( x ) = y ‘ ‘ после замены y ‘ ‘ = p ( x ) станет уравнением с разделяющимися переменными y ‘ ‘ = p ( x ) , и его порядок с третьего понизится до первого.

В уравнении, которое не содержит аргумента х и имеет вид F ( y , y ‘ , y ‘ ‘ , . . . , y ( n ) ) = 0 , порядок может быть заменен на единицу следующим образом: необходимо провести замену d y d x = p ( y ) , где p ( y ( x ) ) будет сложной функцией. Применив правило дифференцирования, получаем:

d 2 y d x 2 = d p d y d y d x = d p d y p ( y ) d 3 y d x 3 = d d p d y p ( y ) d x = d 2 p d y 2 d y d x p ( y ) + d p d y d p d y d y d x = = d 2 p d y 2 p 2 ( y ) + d p d y 2 p ( y )
Полученный результаты подставляем в исходное выражение. При этом мы получим дифференциальное уравнение, порядок которого на единицу меньше, чем у исходного.

Рассмотрим решение уравнения 4 y 3 y ‘ ‘ = y 4 – 1 . Путем замены d y d x = p ( y ) приведем исходное выражение к уравнению с разделяющимися переменными 4 y 3 p d p d y = y 4 – 1 .

Более подробно решения задач по теме рассмотрены в разделе «Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка».

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами y ( n ) + f n – 1 · y ( n – 1 ) + . . . + f 1 · y ‘ + f 0 · y = 0 и y ( n ) + f n – 1 · y ( n – 1 ) + . . . + f 1 · y ‘ + f 0 · y = f ( x )

Решение уравнений данного вида предполагает выполнение следующих простых шагов:

• находим корни характеристического уравнения k n + f n – 1 · k n – 1 + . . . + f 1 · k + f 0 = 0 ;
• записываем общее решение ЛОДУ y 0 в стандартной форме, а общее решение ЛНДУ представляем суммой y = y 0 + y

– частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

Нахождение корней характеристического уравнения подробно описано в разделе «Решение уравнений высших степеней». Для нахождения y

целесообразно использовать метод вариации произвольных постоянных.

Линейному неоднородному ДУ с постоянными коэффициентами y ( 4 ) + y ( 3 ) – 5 y ‘ ‘ + y ‘ – 6 y = x cos x + sin x соответствует линейное однородное ДУ y ( 4 ) + y ( 3 ) – 5 y ‘ ‘ + y ‘ – 6 y = 0 .

Более детальный разбор теории и примеров по теме вы можете найти на странице « Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами».

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков y ( n ) + f n – 1 ( x ) · y ( n – 1 ) + . . . + f 1 ( x ) · y ‘ + f 0 ( x ) · y = 0 и y ( n ) + f n – 1 ( x ) · y ( n – 1 ) + . . . + f 1 ( x ) · y ‘ + f 0 ( x ) · y = f ( x )

Найти решение ЛНДУ высших порядков можно благодаря сумме y = y 0 + y

, где y 0 – общее решение соответствующего ЛОДУ, а y

– частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

y 0 представляет собой линейную комбинацию линейно независимых функций y 1 , y 2 , . . . , y n , каждая из которых является частным решением ЛОДУ, то есть, обращает равенство y ( n ) + f n – 1 ( x ) · y ( n – 1 ) + . . . + f 1 ( x ) · y ‘ + f 0 ( x ) · y = 0 в тождество. Частные решения y 1 , y 2 , . . . , y n обычно подбираются из известных систем линейно независимых функций. Подобрать их далеко не всегда просто и возможно, в этом и заключается основная проблема.

После того, как мы найдем общее решение ЛОДУ, найти частное решение соответствующего ЛНДУ можно благодаря методу вариации произвольных постоянных. Итак, y = y 0 + y

Получить более подробную информацию по теме можно в разделе «Дифференциальные уравнения высших порядков».

Системы дифференциальных уравнений вида d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2

Данная тема подробно разобрана на странице «Системы дифференциальных уравнений». Там же приведены примеры задач с подробных разбором.

Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, в которое входят производные функции, и может входить сама функция, независимая переменная и параметры. Порядок входящих в уравнение производных может быть различен (формально он ничем не ограничен). Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или могут отсутствовать вовсе, кроме хотя бы одной производной. Не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Например, f ′ ( x ) = f ( f ( x ) ) <displaystyle f'(x)=f(f(x))> не является дифференциальным уравнением [1] .

В отличие от алгебраических уравнений, в результате решения которых ищется число (несколько чисел), при решении дифференциальных уравнений ищется функция (семейство функций).

Дифференциальное уравнение порядка выше первого можно преобразовать в систему уравнений первого порядка, в которой число уравнений равно порядку исходного дифференциального уравнения.

Современные быстродействующие ЭВМ эффективно дают численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений, не требуя получения его решения в аналитическом виде. Это позволило некоторым исследователям утверждать, что решение задачи получено, если её удалось свести к решению обыкновенного дифференциального уравнения.

Содержание

Терминология и классификация [ править | править код ]

Порядок дифференциального уравнения — наивысший порядок производных, входящих в него.

Если дифференциальное уравнение является многочленом относительно старшей производной, то степень этого многочлена называется степенью дифференциального уравнения. Так, например, уравнение ( y ″ ) 4 + y ′ + y 6 + x 7 = 0 <displaystyle (y”)^<4>+y’+y^<6>+x^<7>=0> является уравнением второго порядка, четвёртой степени [2] .

Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x) , имеющая на некотором интервале (a, b) производные y ′ ( x ) , y ″ ( x ) , . . . , y ( n ) ( x ) <displaystyle y'(x),y”(x). y^<(n)>(x)> до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Задача об интегрировании дифференциального уравнения считается решённой, если нахождение неизвестной функции y ( x ) <displaystyle y(x)> удается привести к квадратуре, (т.е. к виду y = ∫ f ( x ) d x <displaystyle y=int f(x) dx> , где f ( x ) <displaystyle f(x)> – элементарная функция) независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде через известные функции или нет.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы.

В зависимости от комбинаций производных, функций, независимых переменных дифференциальные уравнения подразделяются на линейные и нелинейные, с постоянными или переменными коэффициентами, однородные или неоднородные. В связи с важностью приложений в отдельный класс выделены квазилинейные (линейные относительно старших производных) дифференциальные уравнения в частных производных [3] .

Важнейшим вопросом для дифференциальных уравнений является существование и единственность их решения. Разрешение этого вопроса дают теоремы существования и единственности, указывающие необходимые и достаточные для этого условия. Для обыкновенных дифференциальных уравнений такие условия были сформулированы Липшицем (1864). Для уравнений в частных производных соответствующая теорема была доказана С. В. Ковалевской (1874).

Решения дифференциальных уравнений подразделяются на общие и частные решения. Общие решения включают в себя неопределенные постоянные, а для уравнений в частных производных — произвольные функции от независимых переменных, которые могут быть уточнены из дополнительных условий интегрирования (начальных условий для обыкновенных дифференциальных уравнений, начальных и граничных условий для уравнений в частных производных). После определения вида указанных постоянных и неопределенных функций решения становятся частными.

Поиск решений обыкновенных дифференциальных уравнений привёл к установлению класса специальных функций — часто встречающихся в приложениях функций, не выражающихся через известные элементарные функции. Их свойства были подробно изучены, составлены таблицы значений, определены взаимные связи и т. д.

Развитие теории дифференциальных уравнений позволило в ряде случаев отказаться от требования непрерывности исследуемых функций и ввести обобщённые решения дифференциальных уравнений.

Содержание

Уравнение с разделенными переменными [ править ]

Определение:

уравнение вида [math]M(x)dx + N(y)dy = 0 :: (1)[/math] называется уравнением с разделенными переменными

Решение: [math](1) :: Leftrightarrow :: M(x)dx = -N(y)dy[/math] далее интегрируем правую и левую части

Уравнение с разделяемыми переменными [ править ]

Определение:

уравнение вида [math]M_<1>(x)N_<1>(y)dx + M_<2>(x)N_<2>(y)dy = 0 :: (2)[/math] называется уравнением с разделяемыми переменными

Решение: (2) разделим на [math]N_<1>(y)M_<2>(x)
eq 0[/math] и оно сведется к (1). в случае = 0 могут существовать особые решения.

Однородные уравнения [ править ]

Определение:

уравнение вида [math]M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 :: (3)[/math] , где M и N – однородные функции одного измерения, называется однородным уравнением

Определение:

[math]f(x, y) – [/math] однородная функция измерения n [math]Leftrightarrow : f(lambda x, lambda y) = lambda^f(x, y)[/math]

Решение: произвести замену [math]t = dfrac[/math]

Определение:

[math]dfrac=fleft(dfrac ight) -[/math] один из видов однородного уравнения.

Уравнения приводящиеся к однородным [ править ]

Определение:

уравнение вида [math]dfrac= fleft(dfrac<1>x + b_<1>y + c_<1>><2>x + b_<2>y + c_<2>> ight) (4)[/math] называется уравнением приводящимся к однородному

Утверждение:

1) [math]egin a_ <1>& b_<1>\ a_ <2>& b_ <2>end eq 0 Rightarrow left <eginx = u + alpha \ y = v + eta end ight. [/math] [math] (alpha, eta) : left <egina_<1>x + b_<1>y + c_ <1>= 0\ a_<2>x + b_<2>y + c_ <2>= 0 end ight.[/math] Тогда получаем однородное уравнение. 2) [math]egin a_ <1>& b_<1>\ a_ <2>& b_ <2>end = 0 Rightarrow [/math] пусть [math]a_ <1>x + b_ <1>y + c_ <1>= t [/math] Тогда получаем уравнение с разделяющимися переменными.

[math] riangleright[/math]

Докажем 1), второй доказывается аналогично. Подставим замену: [math]a_<1>x + b_<1>y + c_ <1>= a_<1>(u + alpha) + b_<1>(v + eta) + c_ <1>= a_<1>alpha + b_<1>eta + c_ <1>+ a_<1>u + b_<1>v =[/math] [math]a_<1>u + b_<1>v = 0 [/math] Получили однородное уравнение.

[math] riangleleft[/math]

Линейное уравнение первого порядка [ править ]

Определение:

уравнение вида [math]frac = p(x) y + q(x)(5)[/math] называется линейным уравнением [math]I[/math] порядка

Определение:

Если [math]q(x) = 0[/math] , то уравнение [math](5) [/math] называется однородным линейным уравнением [math]I[/math] порядка

Способ решения методом Бернулли [ править ]

Пусть [math] y(x) = u(x) v(x)[/math] , тогда:

[math] u'(x) v(x) + u(x) v'(x) = p(x) u(x) v(x) + q(x) [/math]

[math] u'(x) v(x) + u(x) [ v'(x) – p(x) v(x)] = q(x) [/math] , назовем это уравнение [math](5a)[/math]

Пусть [math] v(x) [/math] таково, что:

[math] v'(x) – p(x) v(x) = 0 [/math]

[math]frac – p(x) v(x) = 0 [/math] . Домножим на [math] frac [/math] [math]frac – p(x) dx = 0 [/math] . Отсюда получаем:

[math]ln(v) = int p(x)dx + C[/math]

Пусть [math] C = 1[/math] . Тогда из [math](5a)[/math] получаем:

[math] u(x) = int q(x) e^ <int -p(x)dx>dx + C_ <1>[/math] . Тогда

Способ решения методом Лагранжа [ править ]

[math] frac = p(x) y [/math]

Рассмотрим общее однородное(O.O) и общее неоднородное решение(O.H): [math] y_ = C e^<int p(x)dx>[/math] (из док-ва Бернулли)

[math] C(x) = int q(x) C(x) e^ <int p(x)dx>dx + C_ <1>[/math]

Уравнение в полных дифференциалах [ править ]

Определение:

Уравнение вида: [math]M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 :: (6)[/math] называется уравнением в полных дифференциалах, если [math](6) = du(x, y)[/math]

т.к. [math]du(x, y) = 0 Leftrightarrow u(x, y) = C : -[/math] общий интеграл.

Теорема:

Доказательство: [math] riangleright[/math] Рассмотрим первоначальное уравнение:
[math] M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 [/math]
Перепишем его в виде: [math] M(x,y)dx + N(x,y)dy equiv du(x,y) = dfrac<partial u><partial x>dx + dfrac<partial u><partial y>dy. [/math]
Тогда видим, что [math] dfrac<partial u> <partial x>= M, dfrac<partial u> <partial y>= N [/math]
Т.к. [math] M,N [/math] – непрерывные на [math] C [/math] , то давайте рассмотрим [math] dfrac<partial^2 u> <partial x partial y>= dfrac<partial M> <partial y>[/math] и [math] dfrac<partial^2 u> <partial y partial x>= dfrac<partial N> <partial x>[/math]
Левые части в этих равенствах равны, а следовательно равны и правые. Необходимость доказана.
Докажем теперь достаточность.
Предположим, что равенство частных производных выполняется, тогда рассмотрим следующую функцию:
[math] a(x,y) = int_<0>>^M(q, y)dq + int_<0>>^N(x_<0>, z)dz [/math]
Найдем для нее частные производные по [math] x [/math] и [math] y [/math] :
[math] dfrac<partial a> <partial x>= M(x,y) [/math] , а дифференцируя по [math] y [/math] и учитывая условие [math] frac<partial M(x, y)> <partial y>equiv frac<partial N(x, y)> <partial x>[/math] , получаем :
[math] dfrac<partial a> <partial y>= int_<0>>^frac<partial M(q, y)><partial y>dq + N(x_0, y) = N(x,y) – N(x_0,y) + N(x_0,y) = N(x,y) [/math] , достаточность доказана, т.к. [math] a(x,y) = u(x,y) [/math] – общий интеграл . [math] riangleleft[/math]

Решение: [math]u(x, y) = int_<0>>^M(x, y)dx + int_<0>>^N(x_<0>, y)dy = C : – [/math] Общее решение.

Уравнение, приводящееся к уравнению в полных дифференциалах [ править ]

Утверждение:

[math] riangleright[/math]

[math]mu(x, y) = h(omega) = e^<intpsi(omega)domega>[/math]

[math] riangleleft[/math]

только как решать все равно не понятно.
Но.
Если [math]mu[/math] зависит только от x или только от y, можно выразить ее в явном виде:
[math] mu(x) = e^<int frac<frac<partial M> <partial y>- frac<partial N><partial x>> dx>[/math]
[math] mu(y) = e^<-int frac<frac<partial M> <partial y>- frac<partial N><partial x>> dy>[/math]

Уравнение Бернулли [ править ]

Определение:

уравнение вида [math]frac = p(x) y + q(x)y^m, : m in mathbb setminus left < 0, 1 ight >:[/math] , называется уравнением Бернулли.

Решение:
[math]y^<-m>y’ = p(x)y^<1-m>+q(x), y
eq 0[/math]
[math](frac><1-m>)’ – p(x)y^<1-m>= q(x)[/math] , пусть [math]z(x) = y^ <1-m>: Rightarrow[/math]
[math]z'(x) – p(x)(1 – m)z(x) = (1 – m)q(x) : – [/math] линейное относительно z уравнение.

Уравнение Риккати [ править ]

Определение:

Уравнение вида [math]frac = p(x)y + q(x) + r(x)y^<2>:: (9)[/math] , где [math]p, q, r in C(a,b):[/math] называется уравнением Риккати

Решение:
Пусть [math]y_<1>(x): – [/math] частное решение уравнения (9), тогда [math]y(x) = z(x) + y_<1>[/math]
[math]z’ + y’_ <1>= p(z + y_<1>) + q + r(z + y_<1>)^<2>[/math]
[math]z’ = pz + rz^ <2>+ 2rzy_<1>: – [/math] уравнение (8)

Уравнения 1-го порядка не разрешенные относительно 1-й производной [ править ]

x явно зависит от y’ [ править ]

Решение:
Пусть [math]x = phi(y’):: (10)[/math]
Перейдем к параметрической системе:
[math] left <eginx = phi(t) \y’ = t end
ight.[/math]
[math]dy = t dx = t phi'(t)[/math]
[math] left <eginy = int tphi'(t)dt \x = phi(t) end
ight.[/math]

y явно зависит от y’ [ править ]

Решение:
Пусть [math]y = phi(y’):: (11)[/math]
Переходим к системе: [math] left <eginy = phi(t) \y’ = t end
ight.[/math]
[math]dx = frac<phi'(t)dt>[/math]

уравнение Лагранжа [ править ]

Определение:

уравнение вида [math]y = phi(y’)x + psi(y’):: (12)[/math] , называется уравнением Лагранжа

Решение:
Переходим к системе:
[math] left <eginy = phi(t)x + psi(t) \y’ = t end
ight.[/math]
[math]dy = (phi'(t)x + psi'(t))dt + phi(t)dx = tdx[/math]
[math](phi'(t)x+ psi'(t))dt + (phi(t) – t)dx = 0[/math]
[math]Rightarrow : ]x = F(t, C), : phi(t) – t
eq 0[/math]
[math]left <eginx = F(t, C) \y = phi(t)F(t, C) + psi(t) end
ight.[/math]

Уравнение Клеро [ править ]

Определение:

уравнение вида [math]y = xy’ + psi(y’):: (13)[/math] , называется уравнением Клеро

Решение:
Пусть [math]y’ = t : Rightarrow : dy = tdx = (x + psi'(t))dt + tdx : Rightarrow : (x + psi'(t))dt = 0 [/math]
Тогда либо [math]dt = 0 : (1)[/math] , либо [math]x + psi'(t) = 0 : (2)[/math]
[math](1):: t = C Rightarrow y = xC + psi(C)[/math] — общее решение.
[math](2):: left <eginx = -psi'(t)\y = -psi'(t)t + psi(t) end
ight.[/math]