Выведите дифференциальное уравнение колебаний математического маятника

Математи́ческий ма́ятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки на конце невесомой нерастяжимой нити или лёгкого стержня и находящуюся в однородном поле сил тяготения [1] . Другой конец нити (стержня) обычно неподвижен. Период малых собственных колебаний маятника длины L, подвешенного в поле тяжести, равен

T = 2 π L g <displaystyle T=2pi <sqrt >>

и не зависит, в первом приближении, от амплитуды колебаний и массы маятника. Здесь g — ускорение свободного падения.

Математический маятник служит простейшей моделью физического тела, совершающего колебания: она не учитывает распределение массы. Однако реальный физический маятник при малых амплитудах колеблется так же, как математический с приведённой длиной.

Содержание

Характер движения маятника [ править | править код ]

Математический маятник со стержнем способен колебаться только в какой-то одной плоскости (вдоль какого-то выделенного горизонтального направления) и, следовательно, является системой с одной степенью свободы. Если же стержень заменить на нерастяжимую нить, получится система с двумя степенями свободы (так как становятся возможными колебания по двум горизонтальным координатам).

При колебаниях в одной плоскости маятник движется по дуге окружности радиуса L <displaystyle L> , а при наличии двух степеней свободы может описывать кривые на сфере того же радиуса [1] . Нередко, в том числе в случае нити, ограничиваются анализом плоского движения; оно и рассматривается далее.

Уравнение колебаний маятника [ править | править код ]

Колебания математического маятника описываются обыкновенным дифференциальным уравнением (ДУ) вида

x ¨ + ω 2 sin ⁡ x = 0 , <displaystyle <ddot >+omega ^<2>sin x=0,>

где ω <displaystyle omega > ― положительная константа, определяемая исключительно из параметров маятника. Неизвестная функция x ( t ) <displaystyle x(t)> ― это угол отклонения маятника в момент t <displaystyle t> от нижнего положения равновесия, выраженный в радианах; ω = g / L <displaystyle omega =<sqrt >> , где L <displaystyle L> ― длина подвеса, g <displaystyle g> ― ускорение свободного падения. Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия (т. н. гармоническое уравнение) имеет вид:

x ¨ + ω 2 x = 0. <displaystyle <ddot >+omega ^<2>x=0.>

Приведённые уравнения предполагают, что потерь энергии в системе нет.

Решения уравнения движения [ править | править код ]

Гармонические колебания [ править | править код ]

Малые колебания маятника являются гармоническими. Это означает, что смещение маятника от положения равновесия изменяется во времени по синусоидальному закону [2] . Поскольку уравнение движения является обыкновенным ДУ второго порядка, для определения закона движения маятника необходимо задать два начальных условия — координату и скорость, из которых определяются две независимые константы:

x = A sin ⁡ ( θ 0 + ω t ) , <displaystyle x=Asin( heta _<0>+omega t),>

где A <displaystyle A> — амплитуда колебаний маятника, θ 0 <displaystyle heta _<0>> — начальная фаза колебаний, ω <displaystyle omega > — циклическая частота, которая определяется из уравнения движения. Движение, совершаемое маятником, называется гармоническими колебаниями.

Нелинейный маятник [ править | править код ]

Для маятника, совершающего колебания с большой амплитудой, закон движения более сложен:

sin ⁡ x 2 = ϰ ⋅ sn ⁡ ( ω t ; ϰ ) , <displaystyle sin <frac <2>>=varkappa cdot operatorname (omega t;varkappa ),>

где sn <displaystyle operatorname > — это синус Якоби. Для ϰ 1 <displaystyle varkappa он является периодической функцией, при малых ϰ <displaystyle varkappa > совпадает с обычным тригонометрическим синусом.

Параметр ϰ <displaystyle varkappa > определяется выражением

ϰ = ε + ω 2 2 ω 2 , <displaystyle varkappa =<frac <varepsilon +omega ^<2>><2omega ^<2>>>,>

где ε = E m L 2 <displaystyle varepsilon =<frac <2>>>> — энергия маятника в единицах t −2 .

Период колебаний нелинейного маятника составляет

T = 2 π Ω , Ω = π 2 ω K ( ϰ ) , <displaystyle T=<frac <2pi ><Omega >>,quad Omega =<frac <pi ><2>><frac <omega >>,>

где K — эллиптический интеграл первого рода.

Для вычислений практически удобно разлагать эллиптический интеграл в ряд:

T = T 0 < 1 + ( 1 2 ) 2 sin 2 ⁡ ( α 2 ) + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) 2 sin 4 ⁡ ( α 2 ) + ⋯ + [ ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! ] 2 sin 2 n ⁡ ( α 2 ) + … ><displaystyle T=T_<0>left<1+left(<frac <1><2>>
ight)^<2>sin ^<2>left(<frac <alpha ><2>>
ight)+left(<frac <1cdot 3><2cdot 4>>
ight)^<2>sin ^<4>left(<frac <alpha ><2>>
ight)+dots +left[<frac <left(2n-1
ight)!!><left(2n
ight)!!>>
ight]^<2>sin ^<2n>left(<frac <alpha ><2>>
ight)+dots
ight>> ,

где T 0 = 2 π L g <displaystyle T_<0>=2pi <sqrt <frac >>> — период малых колебаний, α <displaystyle alpha > — максимальный угол отклонения маятника от вертикали.

При углах до 1 радиана (≈60°) с приемлемой точностью (ошибка менее 1 %) можно ограничиться первым приближением:

T = T 0 ( 1 + 1 4 sin 2 ⁡ ( α 2 ) ) . <displaystyle T=T_<0>left(1+<frac <1><4>>sin ^<2>left(<frac <alpha ><2>>
ight)
ight).>

Точная формула периода, с квадратичной сходимостью для любого угла максимального отклонения, обсуждается на страницах сентябрьского выпуска журнала «Заметки американского математического общества» 2012 года [3] :

T = 2 π M ( cos ⁡ ( θ 0 / 2 ) ) L g , <displaystyle T=<frac <2pi >cos( heta _<0>/2)<ig )>>><sqrt <frac >>,>

где M ( x ) <displaystyle M(x)> — арифметико-геометрическое среднее чисел 1 и x <displaystyle x> .

Движение по сепаратрисе [ править | править код ]

Движение маятника по сепаратрисе является непериодическим. В бесконечно далёкий момент времени он начинает падать из крайнего верхнего положения в какую-то сторону с нулевой скоростью, постепенно набирает её, а затем останавливается, возвратившись в исходное положение.

Факты [ править | править код ]

Несмотря на свою простоту, математический маятник связан с рядом интересных явлений.

• Если амплитуда колебания маятника близка к π <displaystyle pi >, то есть движение маятника на фазовой плоскости близко к сепаратрисе, то под действием малой периодической вынуждающей силы система демонстрирует хаотическое поведение. Это одна из простейших механических систем, в которой хаос возникает под действием периодического возмущения [4] .
• Если точка подвеса не неподвижна, а совершает колебания, то у маятника может появиться новое положение равновесия. Если точка подвеса достаточно быстро колеблется вверх-вниз, то маятник приобретает устойчивое положение «вверх тормашками». Такая система называется маятником Капицы.
• В условиях вращения Земли при достаточно длинной нити подвеса плоскость, в которой маятник совершает колебания, будет медленно поворачиваться относительно земной поверхности в сторону, противоположную направлению вращения Земли (маятник Фуко).

Гармонические колебания (4.3) являются решением дифференциального уравнения гармонических колебаний

, (4.18)

в чём можно убедиться непосредственной подстановкой. В самом деле,

,

. (4.19)

Следует также отметить, что систему, совершающую гармонические колебания, называют гармоническим осциллятором.

В качестве примера гармонических колебаний рассмотрим колебания груза на пружине вдоль оси х. Эти колебания, как мы знаем, происходят под действием упругой силы F= – kx. Это уравнение можно переписать как

. (4.20)

Если в последнем уравнении обозначить , то придём к уравнению

, (4.21)

которое абсолютно подобно уравнению (4.18). На основании подобной аналогии силы, под действием которых совершаются гармонические колебания, называют квазиупругими.

Физическим маятником называют колебания твёрдого тела под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси, не проходящей через центр масс тела (точку С на рис. 4.6). Отведём маятник из положения равновесия на некоторый малый угол α. Запишем теперь 2-й закона Ньютона для вращательного движения

. (4.22)

Здесь момент возвращающей силы M для малых углов α

. (4.23)

В уравнении (4.23) знак “–” отражает тот факт, что направления возвращающей силы F_t и угла α всегда противоположны.

J – момент инерции маятника относительно точки подвеса О. Объединяя выражения (4.22) и (4.23), придём к уравнению

. (4.24)

Обозначим и окончательно получим

. (4.25)

Решение последнего уравнения мы знаем:

. (4.26)

Таким образом, при малых отклонениях из положения равновесия физический маятник совершает гармонические колебания с частотой и периодом

, (4.27)

где называется приведенной длиной физического маятника. Точка O’, которая находится на расстоянии приведенной длины от точки подвеса, называется центром качаний физического маятника. Точка подвеса маятника О и центр качаний обладают свойством взаимности – если маятник перевернуть и подвесить за точку O’, то период колебания маятника не изменится.

Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на длинной тонкой нерастяжимой нити и совершающая колебания под действием силы тяжести. Момент инерции материальной точки, подвешенной на нити длиной l, относительно точки подвеса

Подставим уравнение (4.199) в уравнение (4.198) и получим известную со школы формулу для периода колебаний математического маятника:

. (4.29)

Из сравнения формул (4.29) и (4.27) видно, что если приведенная длина физического маятника равна длине математического маятника, то их периоды совпадают. Т.о. приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, у которого период колебаний равен периоду физического маятника.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Только сон приблежает студента к концу лекции. А чужой храп его отдаляет. 8829 – | 7544 – или читать все.

78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Математический маятник

Содержание

Введение

Уравнение движения математического маятника

Период колебаний

Выводы

Литература

Введение

Сейчас уже невозможно проверить легенду о том, как Галилей, Стоя на молитве в соборе, внимательно наблюдал за качением бронзовых люстр. Наблюдал и определял время, затраченное люстрой на движение туда и обратно. Это время потом назвали периодом колебаний. Часов у Галилея не было, и, чтобы сравнить период колебаний люстр, подвешенных на цепях разной длины, он использовал частоту биения своего пульса.

Маятники используют для регулировки хода часов, поскольку любой маятник имеет вполне определённый период колебаний. Маятник находит также важное применение в геологической разведке. Известно, что в разных местах земного шара значения g различны. Различны они потому, что Земля — не вполне правильный шар. Кроме того, в тех местах, где залегают плотные породы, например некоторые металлические руды, значение g аномально высоко. Точные измерения g с помощью математического маятника иногда позволяют обнаружить такие месторождения.

Уравнение движения математического маятника

Математическим маятником называется тяжёлая материальная точка, которая двигается или по вертикальной окружности (плоский математический маятник), или по сфере (сферический маятник). В первом приближении математическим маятником можно считать груз малых размеров, подвешенный на нерастяжимой гибкой нити.

Рассмотрим движение плоского математического маятника по окружности радиуса l с центром в точке О (рис. 1). Будем определять положение точки М (маятника) углом отклонения j радиуса ОМ от вертикали. Направляя касательную Mt в сторону положительного отсчёта угла j, составим естественное уравнение движения. Это уравнение образуется из уравнения движения

mW=F+N, (1)
где F — действующая на точку активная сила, а N — реакция связи.

Рисунок 1

Уравнение (1) мы получили по второму закону Ньютона, который является основным законом динамики и гласит, что производная по времени от количества движения материальной точки равна действующей на неё силе, т. е.

. (2)

Считая массу постоянной, можно представить предыдущее уравнение в виде

или ,

где W есть ускорение точки.

Итак уравнение (1) в проекции на ось t даст нам одно из естественных уравнений движения точки по заданной неподвижной гладкой кривой:

или .

В нашем случае получим в проекции на ось t

,
где m есть масса маятника.

Так как или , отсюда находим

.
Сокращая на m и полагая

, (3)
будем окончательно иметь:

,

,

,

. (4)
Рассмотрим сначала случай малых колебаний. Пусть в начальный момент маятник отклонён от вертикали на угол j и опущен без начальной скорости. Тогда начальные условия будут:

при t = 0, . (5)
Из интеграла энергии:

, (6)
где V — потенциальная энергия, а h — постоянная интегрирования, следует, что при этих условиях в любой момент времени угол jЈj. Значение постоянной h определяется по начальным данным. Допустим, что угол j мал (jЈ1); тогда угол j будет также мал и можно приближённо положить sinj»j. При этом уравнение (4) примет вид

. (7)
Уравнение (7) есть дифференциальное уравнение простого гармонического колебания. Общее решение этого уравнения имеет вид

, (8)
где A и B или a и e суть постоянные интегрирования.

Отсюда сразу находим период (T) малых колебаний математического маятника (период — промежуток времени, в течении которого точка возвращается в прежнее положение с той же скоростью)

и

,
т.к. sin имеет период равный 2p, то wT=2p Ю

(9)

Для нахождения закона движения при начальных условиях (5) вычисляем:

. (10)
Подставляя значения (5) в уравнения (8) и (10), получим:

т.е. B=0. Следовательно, закон движения для малых колебаний при условиях (5) будет:

Найдём теперь точное решение задачи о плоском математическом маятнике. Определим сначала первый интеграл уравнения движения (4). Так как

,
то (4) можно представить в виде

.
Отсюда, умножая обе части уравнение на dj и интегрируя, получим:

. (12)
Обозначим здесь через j угол максимального отклонения маятника; тогда при j = j будем иметь , откуда C = w 2 cosj. В результате интеграл (12) даёт:

, (13)
где w определяется равенством (3).

Этот интеграл представляет собой интеграл энергии и может быть непосредственно получен из уравнения

, (14)
где — работа на перемещении MM активной силы F, если учесть, что в нашем случае v=0, и (см. рис.).

Из уравнения (13) видно, что при движении маятника угол j будет изменяться между значениями +j и -j (|j|Јj, так как ), т.е. маятник будет совершать колебательное движение. Условимся отсчитывать время t от момента прохождения маятника через вертикаль OA при его движении право (см. рис.). Тогда будем иметь начальное условие:

Кроме того, при движении из точки A будет ; извлекая из обеих частей равенства (13) квадратный корень, получим:

.
Разделяя здесь переменные, будем иметь:

. (16)

, ,
то

.
Подставляя этот результат в уравнение (16), получаем:

. (17)

Чтобы проинтегрировать уравнение (17), нужно найти квадратуру левой части. Для этого перейдём от j к новым переменному a, полагая:

, где . (18)

,
откуда

.
Кроме того,

.
Подставляя все эти величины в уравнение (17) и заменяя w его значением (3), получим:

. (19)

По принятым начальным условиям (15) при t=0 угол j=0, а следовательно, как видно из (18), и a=0. Тогда, беря от обеих частей уравнения (19) определённые интегралы справа от 0 до t, а слева от 0 до a, получим закон движения маятника в виде

. (20)

Интеграл, стоящий в левой части равенства (20), представляет собой эллиптический интеграл первого рода. Величина k называется модулем эллиптического интеграла. Этот интеграл есть функция верхнего предела и модуля, т.е.

. (21)
Если в равенстве (21) рассматривать верхний предел a как функцию от интеграла u, то такая функция носит название амплитуды u и обозначается так:

,
или

. (22)

Беря от обеих частей равенства (22) синус, мы получим:

. (23)

Функция snu (синус-амплитуда u) представляет собой так называемую эллиптическую функцию Якоби. Поскольку, согласно уравнению (20), , то, переходя в равенстве (23) от a к j с помощью формулы (18), найдём закон движения маятника, выраженный эллиптическую функцию sn, в виде

. (24)

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Сдача сессии и защита диплома – страшная бессонница, которая потом кажется страшным сном. 8796 – | 7156 – или читать все.

78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно