Содержание
Задачи на взвешивание — достаточно распространённый вид математических задач. В таких задачах от решающего требуется локализовать отличающийся от остальных предмет по весу за ограниченное число взвешиваний. Поиск решения в этом случае осуществляется путем операций сравнения, правда, не только одиночных элементов, но и групп элементов между собой.
Задача 1.
Буратино и Кот Базилио
У Буратино есть 27 золотых монет. Но известно, что Кот Базилио заменил одну монету на фальшивую, а она по весу тяжелее настоящих. Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь Буратино определить фальшивую монету?
Решение
Разделим монеты на 3 кучки по 9 монет. Положим на чаши весов первую и вторую кучки; по результату этого взвешивания мы точно узнаем, в какой из кучек находится фальшивка (если весы покажут равенство, то она — в третьей кучке). Теперь, аналогично, разделим выбранную кучку на три части по три монеты, положим на весы две из этих частей и определим, в какой из частей находится фальшивая монета. Наконец, остается из трех монет определить более тяжелую: кладем на чаши весов по 1 монете — фальшивкой является более тяжелая; если же на весах равенство, то фальшивой является третья монета из части. Задача решена.
Задача 2.
Золушка
Мачеха послала Золушку на рынок. Дала ей девять монет: из них 8 настоящих, а одна фальшивая – она легче чем настоящая. Как найти ее Золушке за два взвешивания?
Решение
Разделим 9 монет на 3 равных кучки. Положим на чаши весов первую и вторую кучки; по результату этого взвешивания мы точно узнаем, в какой из кучек находится фальшивка (если весы покажут равенство, то она — в третьей кучке). Остается из трех монет определить более легкую: кладем на чаши весов по 1 монете — фальшивкой является более легкая; если же на весах равенство, то фальшивой является третья монета.
Задача 3.
Фальшивая монета
Среди 101 одинаковых по виду монет одна фальшивая, отличающаяся по весу. Как с помощью чашечных весов без гирь за два взвешивания определить, легче или тяжелее фальшивая монета? Hаходить фальшивую монету не требуется.
Решение
Взвешиваем 50 и 50 монет: два случая.
1 случай. Равенство. Берем оставшуюся монету и ставим ее в левую кучку вместо одной из имеющихся там:
а) Левая кучка тяжелее => фальшивая монета тяжелее;
б) Левая кучка легче => фальшивая монета легче.
2 случай. Неравенство. Берем более тяжелую кучку и разбиваем ее на две кучки по 25 монет:
а) Вес кучек одинаковый => фальшивая монета легче;
б) Вес кучек неодинаковый => фальшивая монета тяжелее.
Задача 4.
Фальшивая монета 2
Имеется 8 монет. Одна из них фальшивая и легче настоящей монеты. Определите за 3 взвешивания какая из монет фальшивая.
Решение
Делим монеты на две равные кучки – по 4 монеты в каждой. Взвешиваем. Ту кучку, которая легче, опять делим на две одинаковых кучки – теперь по две монеты в каждой. Взвешиваем. Определяем, какая из них легче. Кладем на чаши весов по 1 монете из этой кучки. Фальшивая та, которая легче. Задача решена.
Задача 5.
Фальшивая монета 3
Имеется 10 монет. Одна из них фальшивая и легче настоящей монеты. Как, с помощью чашечных весов без гирь, определить какая из монет фальшивая?
Решение
Разделим 10 монет на 2 равных кучки – по 5 монет. Положим на чаши весов. Определим, в какой из этих кучек находится фальшивая монета. Теперь эту кучку делим на 3 кучки – в двух из них по две монеты, в третьей одна монета. Взвешиваем кучки, в которых по две монеты. Если весы покажут равенство, то фальшивка в третьей кучке. Если покажут неравенство, то фальшивая монета в кучке, которая легче. Теперь кладем на чаши весов по 1 монете из этой кучки – фальшивкой является более легкая. Задача решена.
Задача 6.
Дата добавления: 2017-10-25; просмотров: 370; Опубликованный материал нарушает авторские права? | Защита персональных данных |
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Задачи на взвешивание — достаточно распространённый вид математических задач. В таких задачах от решающего требуется локализовать отличающийся от остальных предмет по весу за ограниченное число взвешиваний. Поиск решения в этом случае осуществляется путем операций сравнения, правда, не только одиночных элементов, но и групп элементов между собой.
Задача 1.
Буратино и Кот Базилио
У Буратино есть 27 золотых монет.
Задачи на взвешивание
Но известно, что Кот Базилио заменил одну монету на фальшивую, а она по весу тяжелее настоящих. Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь Буратино определить фальшивую монету?
Решение
Разделим монеты на 3 кучки по 9 монет. Положим на чаши весов первую и вторую кучки; по результату этого взвешивания мы точно узнаем, в какой из кучек находится фальшивка (если весы покажут равенство, то она — в третьей кучке).
Теперь, аналогично, разделим выбранную кучку на три части по три монеты, положим на весы две из этих частей и определим, в какой из частей находится фальшивая монета. Наконец, остается из трех монет определить более тяжелую: кладем на чаши весов по 1 монете — фальшивкой является более тяжелая; если же на весах равенство, то фальшивой является третья монета из части. Задача решена.
Задача 2.
Золушка
Мачеха послала Золушку на рынок. Дала ей девять монет: из них 8 настоящих, а одна фальшивая – она легче чем настоящая. Как найти ее Золушке за два взвешивания?
Решение
Разделим 9 монет на 3 равных кучки. Положим на чаши весов первую и вторую кучки; по результату этого взвешивания мы точно узнаем, в какой из кучек находится фальшивка (если весы покажут равенство, то она — в третьей кучке). Остается из трех монет определить более легкую: кладем на чаши весов по 1 монете — фальшивкой является более легкая; если же на весах равенство, то фальшивой является третья монета.
Задача 3.
Фальшивая монета
Среди 101 одинаковых по виду монет одна фальшивая, отличающаяся по весу. Как с помощью чашечных весов без гирь за два взвешивания определить, легче или тяжелее фальшивая монета? Hаходить фальшивую монету не требуется.
Решение
Взвешиваем 50 и 50 монет: два случая.
1 случай. Равенство. Берем оставшуюся монету и ставим ее в левую кучку вместо одной из имеющихся там:
а) Левая кучка тяжелее => фальшивая монета тяжелее;
б) Левая кучка легче => фальшивая монета легче.
2 случай. Неравенство. Берем более тяжелую кучку и разбиваем ее на две кучки по 25 монет:
а) Вес кучек одинаковый => фальшивая монета легче;
б) Вес кучек неодинаковый => фальшивая монета тяжелее.
Задача 4.
Фальшивая монета 2
Имеется 8 монет. Одна из них фальшивая и легче настоящей монеты. Определите за 3 взвешивания какая из монет фальшивая.
Решение
Делим монеты на две равные кучки – по 4 монеты в каждой. Взвешиваем. Ту кучку, которая легче, опять делим на две одинаковых кучки – теперь по две монеты в каждой. Взвешиваем. Определяем, какая из них легче. Кладем на чаши весов по 1 монете из этой кучки. Фальшивая та, которая легче. Задача решена.
Задача 5.
Фальшивая монета 3
Имеется 10 монет. Одна из них фальшивая и легче настоящей монеты. Как, с помощью чашечных весов без гирь, определить какая из монет фальшивая?
Решение
Разделим 10 монет на 2 равных кучки – по 5 монет. Положим на чаши весов. Определим, в какой из этих кучек находится фальшивая монета. Теперь эту кучку делим на 3 кучки – в двух из них по две монеты, в третьей одна монета. Взвешиваем кучки, в которых по две монеты. Если весы покажут равенство, то фальшивка в третьей кучке. Если покажут неравенство, то фальшивая монета в кучке, которая легче. Теперь кладем на чаши весов по 1 монете из этой кучки – фальшивкой является более легкая. Задача решена.
Задача 6.
Дата добавления: 2017-10-25; просмотров: 371; Опубликованный материал нарушает авторские права? | Защита персональных данных |
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Взвешивания
Просмотры: 38252 | Комментарии: 48 | Рейтинг: +302
Просмотры: 20725 | Комментарии: 27 | Рейтинг: +142
Просмотры: 19576 | Комментарии: 14 | Рейтинг: +140
Просмотры: 26399 | Комментарии: 45 | Рейтинг: -85
Просмотры: 25104 | Комментарии: 21 | Рейтинг: +112
Выделить 5 литров
Просмотры: 46451 | Комментарии: 39 | Рейтинг: +288
Просмотры: 23083 | Комментарии: 21 | Рейтинг: +153
Задачи на взвешивание — СПИШИ У АНТОШКИ
Как винодел отмерил ему 10 литров пользуясь совими кувшинами?
Просмотры: 22215 | Комментарии: 33 | Рейтинг: +206
Мешки с золотом
Необходимо за одно взвешивание точно определить, в каком мешке фальшивые монеты
Просмотры: 189720 | Комментарии: 164 | Рейтинг: +3210
Просмотры: 33077 | Комментарии: 40 | Рейтинг: +275
В егэ по математике, начиная с 2015-го года, ввели еще один уровень – базовый. Задачи тестов базового уровня значительно проще, чем в профильном уровне. Однако и к базовому уровню необходимо готовиться, т.к. в нем присутствуют некоторые на первый взгляд непонятные задачи. Некоторую трудность у моих слушателей вызвали задачи про обмен золотых монет на серебряные и медные.
Задачи на взвешивание и переливание
Данные задачи являются задачами №20 базового варианта егэ. Разберем две такие задачи.
Пример задач базового уровня егэ по математике
1-я задача. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:
- за 3 золотых монеты можно получить 4 серебряных и одну медную монету;
- за 7 серебряных монет можно получить 4 золотых и одну медную.
У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 42 медных. на сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?
Решение. Пусть у Николая стало на 21k серебряных монет меньше. Здесь 21 получено как произведение 7 и 3. Используя такое обозначение в дальнейшем будет легче считать.
Первоначально меняем 21k=3k*7 серебряных монет на 3k(4з+1м)=12k з+3k м, т.е. на 12k золотых монет и 3k медных.
Теперь меняем золотые: 12k з+3k м=4k*3 з+3k м=4k*(4 с+1 м)+3k м=16k c +7k м
По условию задачи медных стало 42 монеты, поэтому получаем уравнение:
Откуда находим, что k=6
Таким образом было серебряных монет 6*21. Стало 6*16. Т.е. изменилось на 6*21-6*16=6*5=30.
Ответ. Количество серебряных монет изменилось на 30.
2-я задача. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:
- за 3 золотых монеты можно получить 4 серебряных и одну медную монету;
- за 6 серебряных монет можно получить 4 золотых и одну медную.
У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 35 медных. на сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?
Попробуйте решить эту задачу самостоятельно.
P.S. На мой взгляд это самые сложные задачи из базового егэ по математике. Остальные на порядок проще, готовясь к профильному экзамену, к базовому подготовитесь автоматически.
В Интернет имеются полезные сайты, посвященные ЕГЭ по математике, примером такого сайта является ЕГЭ по математике 2016 онлайн. На сайте приведены видео-лекции и специально подготовленные тесты.
Ответ оставил Гость
Б)
Для удобства пронумеруем монеты от 1до 12.
Первым взвешиванием сравним две группы по четыре монеты:1, 2, 3, 4 и 5, 6, 7,8.
Случай I: первое взвешивание показало равенство
Есливесы покажут равенство, то фальшивая монета находится среди оставшихся четырёхмонет. Тогда вторым взвешиванием мы сравним три монеты 9, 10,11 с заведомо настоящими 1, 2, 3.
Если и вэтот раз весы покажут равенство, то фальшивка — монета номер 12, итретьим взвешиванием мы сравним её с настоящей и узнаем, легче она или тяжелее.
Если же три монеты 9, 10, 11 оказались легче(тяжелее), то третьим взвешиванием сравним друг с другом монеты 9 и10.
Решение задач на ВЗВЕШИВАНИЯ. 1. Задачи на сравнения с помощью весов. — презентация
Если они равны, то монета 11 — фальшивая, и она легче(тяжелее) настоящей. Иначе заключаем, что из монет 9 и 10фальшивая та, которая легче (тяжелее) другой.
Случай II: первоевзвешивание показало неравенство
Теперь предположим, что первоевзвешивание показало, что монеты 1, 2, 3, 4 тяжелее,чем 5, 6, 7, 8. Случай, когда первые монетыоказались легче, симметричен.
Во втором взвешивании на одну чашу поместиммонеты 1, 2, 5, а на другую — монеты 3, 4,9 (монета 9 — заведомо настоящая).
Если второе взвешиваниепоказало равенство, то у нас остаются три монеты 6, 7, 8,одна и которых легче остальных. Третьим взвешиванием сравниваем монеты 6и 7. Если они равны, то монета 8 легче остальных. Иначе фальшивойявляется та, которая легче другой.
Теперь предположим, что во второмвзвешивании монеты 1, 2, 5 оказались тяжелее, чем 3,4, 9. Это означает, что фальшивка находится среди монет 1 и2, причём она тяжелее остальных. Сравнив в третьем взвешивании эти двемонеты друг с другом, мы определим фальшивую.
Предположим, что во второмвзвешивании монеты 1, 2, 5 оказались легче, чем 3,4, 9. Это означает, что либо монета 5 легче остальных, либоодна из монет 3 и 4 тяжелее остальных. Третьим взвешиванием мысравним друг с другом монеты 3 и 4 и найдём ответ.а) Если за 3 можно, то можно и за 4
Головоломки и задачи на сообразительность
воскресенье, 6 ноября 2011 г.
12 монет, 3 взвешивания
Есть 12 монет, одна из которых фальшивая. При этом неизвестно, в какую сторону она отличается от настоящих, т.е. она может быть как легче, так и тяжелее. В вашем распоряжении чашечные весы без гирь, как в аптеке. Нужно за три взвешивания найти фальшивую монету, а также выяснить, тяжелее она или легче.
Решение
Для удобства пронумеруем монеты от 1 до 12.
Первым взвешиванием сравним две группы по четыре монеты: 1, 2, 3, 4 и 5, 6, 7, 8.
Случай I: первое взвешивание показало равенство
Если весы покажут равенство, то фальшивая монета находится среди оставшихся четырёх монет. Тогда вторым взвешиванием мы сравним три монеты 9, 10, 11 с заведомо настоящими 1, 2, 3.
Если и в этот раз весы покажут равенство, то фальшивка – монета номер 12, и третьим взвешиванием мы сравним её с настоящей и узнаем, легче она или тяжелее.
Если же три монеты 9, 10, 11 оказались легче (тяжелее), то третьим взвешиванием сравним друг с другом монеты 9 и 10. Если они равны, то монета 11 – фальшивая, и она легче (тяжелее) настоящей. Иначе заключаем, что из монет 9 и 10 фальшивая та, которая легче (тяжелее) другой.
Случай II: первое взвешивание показало неравенство
Теперь предположим, что первое взвешивание показало, что монеты 1, 2, 3, 4 тяжелее, чем 5, 6, 7, 8. Случай, когда первые монеты оказались легче, симметричен.
Во втором взвешивании на одну чашу поместим монеты 1, 2, 5, а на другую – монеты 3, 4, 9 (монета 9 – заведомо настоящая).
Если второе взвешивание показало равенство, то у нас остаются три монеты 6, 7, 8, одна и которых легче остальных. Третьим взвешиванием сравниваем монеты 6 и 7. Если они равны, то монета 8 легче остальных. Иначе фальшивой является та, которая легче другой.
Теперь предположим, что во втором взвешивании монеты 1, 2, 5 оказались тяжелее, чем 3, 4, 9. Это означает, что фальшивка находится среди монет 1 и 2, причём она тяжелее остальных. Сравнив в третьем взвешивании эти две монеты друг с другом, мы определим фальшивую.
Предположим, что во втором взвешивании монеты 1, 2, 5 оказались легче, чем 3, 4, 9. Это означает, что либо монета 5 легче остальных, либо одна из монет 3 и 4 тяжелее остальных. Третьим взвешиванием мы сравним друг с другом монеты 3 и 4 и найдём ответ.
Обсуждение
Условие задачи поставлено неправильно.
С данными задачи, игнорируя Кноповское решение и полагаясь только на логику, невозможно на все 100% решить задачу.
Если бы автор изначально сообщил нам свойство фальшивой монеты – легче или тяжелее настоящей монеты, тогда задача имела бы твердое решение:
———————————————
Допустим монета легкая(тяжелая), делим монеты на четыре группы по 3 монеты.
1 взвешивание: между собой две группы (3-3)
2 взвешивание: между собой две группы (3-3) определив и 4-х групп одну с фальшивкой, та которая легче(тяжелее),
3 взвешивание: взвешиваем между собой две монеты из группы (1-1), та которая легче(тяжелее) и есть фальшивая, если они равны,
то монета из этой группы не учавствовавшая в взвешивании и есть фальшивая (метод исключения).
———————————————-
Задача усложняется если мы не знаем: фальшивая монета – легкая или тяжелая?
делим монеты, также, на 4 группы по три монеты
1.1 1-е взвешивание: между собой две группы (3-3), если равны -> 1.2.1 не равны -> 1.2.2
1.2.1 2-е взвешивание: если предыдущие группы были равны, то значит они эталонные. берем любую другую группу монет и взвешиваем с одной из эталонных (3-3),
если они равны -> 1.3.1.1, если неравны -> 1.3.1.2
1.2.2 2-е взвешивание: если предыдущие группы были неравны, то значит в одной из них фальшивка (другие две группы эталонные(метод исключения)), сравниваем с эталонной (3-3), если они равны -> 1.3.1.1, если неравны -> 1.3.2.3
(Важное уточнение: когда взвешиваем неравные группы монет, необходимо заметить с какой группой мы взвешиваем эталон (легкой или тяжелой),
если при взвешивании с легкой группой весы равны, значит тяжелая группа с фальшивкой, либо наоборот. здесь мы определили свойство фальшивки – она тяжелее(легче) настоящей монеты)
1.3.1.1 3-е взвешивание: если они равны, то значит в последней оставшейся группе из 3-х монет есть фальшивка, проводим последнее взвешивание двух монет (1-1).
итог1
1.3.1.2 3-е взвешивание: взвешивание двух монет (1-1). если весы показали, что они не равны, тогда невозможно сказать, которая из двух монета фальшивая.
итог2
1.3.2.3 3-е взвешивание: определив таким образом свойство монеты – тяжесть(легкость), взвешиваем две монеты группы (1-1).
если равны -> итог 1, неравны -> итог 3.
итог1.если они равны, тогда с точностью можно сказать, что другая монета, не учавствовавшая в взвешивании – фальшивая(метод исключения).
итог2. требуется 4-ое взвешивание (с эталоном). что противоречит условию задачи-3 взвешивания.
итог3. зная свойство фальшивой монеты, можно точно сказть, какая из монет на весах фальшивая – тяжелая или легкая .
решение есть абсолютно точно (кноповские таблицы не смотрел)
Можно и 14 монет разрулить //SergeyASh : (48 дн. назад)
Но извращённым способом. Или имея в запасе ещё одну, точно настоящую монетку..
В свое время, когда я размышлял над этой задачей, я вышел на более общую:
С каким максимальным количеством монеток можно решить эту задачу за n взвешиваний
Разбиваем монеты на 3 группы по 4.
1. Взвешиваем группы 1 и 2. Их вес отличается.
2. Снимаем 3 монеты с чаши №1. Кладём в неё 3 монеты из оставшейся группы, и оставшуюся с первого взвешивания монету из чаши 1 меняем местами с любой монетой из чаши 2. Если монета находится в тройке монет оставшихся с первого взвешивания в чаше 2, то на весах ничего не изменится. Если на весах снова будет не равно, но чаши примут положение противоположное первому взвешиванию, значит она — одна из двух монет, которые мы поменяли местами. Если же весы уравнялись, то монета — в группе тех трёх, что были сняты с весов.
3. Если монета находилась в одной из двух троек(снятой с первой чаши или находящейся на второй), тогда по положению чаши весов на которой она находится/находилась можно понять в какую сторону она отличается по весу. Потому при взвешивании двух любых монет из тройки мы легко определяем нужную(если на весах равно, то нужная монета- третья. Если не равно, то нужная нам — более лёгкая/тяжёлая в зависимости от предыдущих показаний чаши весов, на которой она находилась). Если же монета — одна из двух, которые мы поменяли местами, то взвешиваем любую из них с любой другой монетой, если на весах равно, то нужная монета — третья. Если не равно, то нужная монета — та, что на весах.
1. Взвесили две группы монет по 4 штуки и они равны. Монета — в третьей.
2. Взвешиваем 2 любые монеты.
Общего решения для n взвешиваний пока не нашёл, но вот для 13, причём 13 максимальное число для трёх взвешиваний. Доказательтво ниже
Для начала пронумеруем шарики от 1 до 13 и введём сокращеия:
– нормальный шрик (НШ)
– фальшивый шарик (ФШ)
– левая половина весов (ЛП)
– правая половина весов (ПП)
При (1.) взвешивании помещаем на ЛП шарики [1, 2, 3, 4], а на ПП шарики [5, 6, 7, 8]. Теперь есть три возможных исхода:
1) ЛП оказалась тяжелее ПП. Из этого следует:
а) шарики [9, 10, 11, 12, 13] настоящие
б) один из шариков 1-8 фальшивый, причём если фальшивым является один из шариков 1-4, то он легче настоящих, а если один из шариков 5-8, то тяжелее.
При (2.) взвешивании помещаем на ЛП [1, 2, 3, 5], на ПП [4, 9, 10, 11]. Здесь опять есть три возможных исхода:
1.1) ЛП оказалась тяжелее ПП. Из этого следует:
а) шарик 4 был при (1) взвешивании на "тяжёлой" половине, а теперь на "лёгкой". Из этого следует, что он настоящий, потому что фальшивый должен каждый раз быть легче или каждый раз быть тяжелее остальных.
б) так как остальные шарики на ПП тоже настоящие, а весы не находятся в равновесии, то очевидно, что ФШ лежит на ЛП и он тяжелее НШ.
в) из шариков [1, 2, 3, 5] при первом взвешивании на "тяжёлой" ЛП находились шарики [1, 2, 3], то есть один из них ФШ и он тяжелее НШ.
При (3.) взвешивании помещаем на ЛП шарик [1], а на ПП шарик [2]. Тот, который тяжелее и есть ФШ. Если весы в равновесии, то шарики [1, 2] настоящие, а фальшивый шарик номер 3.
1.2.) ЛП оказалась легче ПП. Из этого следует:
а) шарики [1, 2, 3] при (1) взвешивании на "тяжёлой" половине, а теперь на "лёгкой". Из этого следует, что они настоящие, потому что фальшивый должен каждый раз быть легче или каждый раз быть тяжелее остальных.
б) один из шариков 4 или 5 ФШ, так как 4 оба раза был на "тяжёлой", а 5 оба раза на "лёгкой" стороне весов, а все остальные шарики при этом взвешивании НШ и весы не в равновесии.
При (3.) взвешивании помещаем на ЛП шарик [4], а на ПП шарик [1] (он точно настоящий!). Если 4 тяжелее, то он ФШ, если вес одинаков, то ФШ номер 5. Легче нормально он быть не может, поэтому такой исход исключён!
1.3) ЛП и ПП находятся в равновесии. Из этого следует:
а) шарики [1, 2, 3, 4, 5] настоящие
б) один из шариков [6, 7, 8] фальшивый. Так как при первом взвешивании они все лежали на ПП, которая была легче ЛП, то ФШ легче НШ.
При (3.) взвешивании помещаем на ЛП шарик [6], а на ПП шарик [7]. Тот, который легче и есть ФШ. Если весы в равновесии, то шарики [6, 7] настоящие, а фальшивый шарик номер 8.
2) ЛП оказалась легче ПП. Здесь можно было опять подробно описать, как в предыдущем примере,но я поступлю как математик: приведу этот пример к предыдущему, доказав его тем самым.
Мы просто перенумеруем шарики таким образом: 1 → 5; 2 → 6; 3 → 7; 4 → 8; 5 → 1; 6 → 2; 7 → 3; 8 → 4. Также преименовываем ЛП в ПП, а ПП в ЛП. Теперь исход в точности выпоняет условие пункта 1., который решается в три взвешивания.
3) ЛП и ПП в равновесии. Из этого следует:
а) шарики 1-8 НШ
б) один из шариков 9-13 ФШ
При (2.) взвешивании помещаем на ЛП [1, 2, 3] (они точно все настоящие), на ПП [9, 10, 11]. Здесь опять есть три возможных исхода:
3.1.) ЛП оказалась тяжелее ПП. Из этого следует, что один из шариков [9, 10, 11] ФШ, и он легче НШ.
При (3.) взвешивании помещаем на ЛП шарик [9], а на ПП шарик [10]. Тот, который легче и есть ФШ. Если весы в равновесии, то шарики [9, 10] настоящие, а фальшивый шарик номер 11.
3.2.) ЛП оказалась легче ПП. Из этого следует, что один из шариков [9, 10, 11] ФШ, и он тяжелее НШ.
При (3.) взвешивании помещаем на ЛП шарик [9], а на ПП шарик [10]. Тот, который тяжелее и есть ФШ. Если весы в равновесии, то шарики [9, 10] настоящие, а фальшивый шарик номер 11.
3.3.) весы в равновесии. Из этого следует:
а) шарики [9, 10, 11] тоже НШ
б) один из шариков [12, 13] ФШ
При (3.) взвешивании помещаем на ЛП шарик [1] (он настоящий), а на ПП шарик [12]. Если весы в равновесии, то ФШ с номером 13, если не в равовесии, то ФШ имеет номер 12.
Доказательство, что 13 шариков максимальное число для трёх взвешиваний:
Начнём с конца. Из каких комбинаций можно с помощью одного взвешивания узнать ФШ. Заметим, что при взвешивании мы можем положить максимально один шарик на каждую половину весов. Если шариков будет больше, то мыы не будем знать, который из них фальшивый даже после взвешивания, что протиоречит заданию, которое мы поставили: установить ФШ с помощью ОДНОГО взвешивания.
То есть два шарика, мы положим на весы и можем максимально один оставить, так как если оставленных будет больше и после взвешивания выяснится, что ФШ среди них, то мы опять не будем знать, который.
Получается, что перед последним взвешиванием может быть максимально 3 шарика, среди которых один фальшивый. Это теоретическая верхняя граница. Посмотрим, можно ли достичь её практически. Для начала пронумеруем шары 1, 2, 3. Формулировка "если известно" подразумевает, что эту информацию мы имеем на данный момент, например из предыдущих взвешиваний:
– Если известно, что ФШ тяжелее (легче) ФШ чем НШ, то задача с тремя шарами решается так: на ЛП помещается [1], на ПП [2]. Тот который тяжелее (легче) другого и является ФШ. Если весы в равновесси, то шарик 3 фальшивый.
– Если известно, что если ФШ один из [1, 2], то он тяжелее (легче) НШ-а, а если ФШ с номером 3, то легче (тяжелее). Тогда это решается так: на ЛП помещается [1], на ПП [2]. Тот который тяжелее (легче) другого и является ФШ. Если весы в равновесси, то шарик 3 фальшивый. То есть решение идентично предыдущему пункту. Разница в том, что в предыдущем пункте было всё равно какие шарики помещать на весы, а какой оставлять, то здесь нет!
Если перед последним взвешиванием всё ещё не известно, тяжелее ФШ или легче НШ, то эту проблему можно решить только для 2 шариков [1, 2] и одного шарика [3], про который мы точно знаем, чо он НШ. Это решается так: на ЛП помещается [1], на ПП [3]. Если весы в равновесии, то шарик [2] является ФШ, если не в равновесии, то шарик [1] является ФШ.
Задача с тремя шариками, один из которых ФШ, но неизвестно тяжелее он или легче НС, и произвольного количества НШ не решаема в одно взвешивание! В самом деле, как доказано выше при последнем взвешивании мы должны положить по одному шарику на каждую половину весов. Тогда если мы возьмём шарики [1] и [2], то в случае неравновесия мы всё ещё не знаем, который из них ФШ. Если же мы возьмём только шарик [1] и взвесим его с НШ, то в случае равновесия мы опять не будем знать, который из шариков [2] и [3] является ФШ.
Теперь решим следующую задачу: имеется n шариков (назовём это множеством М), один из которых фальшивый, и неизвестно тяжелее он или легче настоящего, и произвольное количество НШ. Каково максимальное значение n для решения задачи в два взвешивания. Для одного взвешивания n = 2 и поэтому при первом взвешивании мы можем оставить не взвешенными максимально 2 шарика, на тот случай, если весы будут в равновесии. Если при первом взвешивании мы поместим на весы k (k>=4) шариков из М, то возможно два варианта:
— все k шариков из М лежат на одной половине; на другой половине только НШ. Тогда если весы не в равновесии, то мы узнаём, что ФШ легче или тяжелее НШ. Но так как мы взвесили больше трёх шариков, то за одно взвешивание невозможно определить, который из k шариков фальшивый.
– m (1 ↓↓ 0 ↑↑ Дима (0 / 3) 24 авг 2017 15:17 «« #40 »» Ответить
