Содержание
Цель:
1. Рассмотреть примеры решения задач на максимум и минимум, сводящиеся к отысканию наибольшего (наименьшего) значения функции, заданной на отрезке или интервале.
2. Показывая новый способ решения задач с помощью производной, показать, что не надо упускать возможность применить более простые способы решения, основанные на отыскание экстремума квадратичной функции, на использование неравенства 
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| plan_uroka_zadachi_na_maksimum_i_minimum_11_klass.doc | 66 КБ |
| reshenie_zadach_na_otyskanie_naibolshego_i_naimenshego_znacheniy2.pptx | 735.59 КБ |
Предварительный просмотр:
Учитель: Ноговицына Ольга Святославна учитель математики МБОУ СОШ ДС №15 муниципального образования городской округ Симферополь
Предмет: алгебра и начала математического анализа
Тема урока: «Задачи на максимум и минимум»
Учебник: Алгебра и начала математического анализа: учеб. для 11 кл. общеобразоват. Учреждений: базовый и профильный уровни / [С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин]
Триединая дидактическая цель:
1. Обучающая . Овладение системой знаний и умений:
- Знания. Ученик должен знать определение максимума и минимума функции на отрезке, точек максимума и минимума, второй производной, алгоритм решения задач на максимум и минимум.
- Понимания. Ученик должен понимать достаточный признак возрастания и убывания функции, признак максимума и минимума функции; значение идей, методов и результатов математического анализа для построения моделей реальных ситуаций.
- Применение Ученик должен уметь решать задачи на нахождение наибольшего значения функции на промежутке.
- Использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для решения прикладных задач на наибольшее и наименьшее значение с применением аппарата математического анализа.
2. Интеллектуальное развитие. Создать условия для развития логического мышления, алгоритмической культуры, развития математического мышления и интуиции.
3. Воспитание. Способствовать воспитанию средствами математики культуры личности: знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей.
Формирование общеучебных умений и навыков. Создать условия для совершенствования опыта: поисковой деятельности, работы с текстом, планирования и осуществления алгоритмической деятельности; построения и исследования математических моделей для описания и решения прикладных задач; проверки и оценки своей работы, соотнесения их с поставленной задачей.
Тип урока Комбинированный.
Основные методы: методы организации учебно-познавательной деятельности (репродуктивный, частично-поисковый), методы стимулирования и мотивации (создание ситуации успеха, опора на жизненный опыт, выполнение творческих заданий).
Основные формы организации познавательной деятельности : фронтальная, парная, индивидуализированная, групповая.
Оборудование: мультимедийная установка и презентация к уроку, листы на печатной основе для каждого ученика.
Планирование структуры и содержания учебного занятия:
Задача этапа учебного занятия
1. Раскрыть цели и план работы
-Открыли тетради, записали число. Какую тему мы изучаем на порятжении уже нескольких уроков?
– Тема сегодняшнего урока «Задачи на максимум и минимум», запишите.
– Как вы думаете какие цели мы можем поставить для сегодняшнего урока?
Производная. Применение производной.
-1.Научиться решать задачи на максимум и минимум.
2. Разработать алгоритм их решения.
3.Развивать логическое мышление.
4. Развивать грамотную математическую речь.
5. Развивать исследовательские умения.
Учащиеся принимают цели урока
2. Этап всесторонней проверки теоретических знаний
1. Выявить уровень знаний, умений учащихся, пробелы в знаниях.
2. Устранить обнаруженные пробелы.
3. Организовать самостоятельную работу учащихся.
4. Историческая справка.
Сейчас каждый из вас самостоятельно вспомнит теоретический материал и при необходимости устранит обнаруженные пробелы.
На листе найдите первое задание: Установи соответствие с помощью стрелок между началом и концом утверждения. Ниже в таблице под номером вопроса поставь только выделенную букву.
1. Если точка х 0 является точкой экстремума функции и в этой точке существует производная, то
точка, в которо й производная равна нулю или её не существует.
2. Путь точка движется по закону s=s(t), тогда
функция f(x) у б ывает на I.
3. Критической точкой функции f(х)на отрезке называется
она равна ну л ю.
4. Если производная функции меньше нуля в каждой точке интервала I. то
Х 0 точка макс и мума
5. Если в точке х 0 производная меняет знак с минуса на плюс, то
функ ц ия f(x) возрастает на I
6. Если в точке х 0 производная меняет знак с плюса на минус , то
первая производная опр е деляет скорость точки, а вторая производная определяет ускорение точки в момент времени t
7. Если производная функции больше нуля
и каждой точке интервала I. то
Х 0 точка ми н имума
Осуществляется взаимопроверка. Ставится оценка за работу на этом этапе.
Мы получили фамилию великого учёного математика Лейбница не случайно. В 17 веке свершилась математическая революция. Произошёл переход от элементарной математики к математическому анализу, предметом изучения которого является функция. Эту революцию свершили два величайших ума независимо друг от друга, один из них Готфрид Лейбниц.
Зарождение математического анализа
Официальным годом рождения дифференциального исчисления считают 1684 год, тогда была опубликована первая печатная работа, в которой излагаются основные понятия и методы дифференциального исчисления. Это была знаменитая статья Лейбница «Новый метод максимумов и минимумов. ». В ней Лейбниц изложил условия для экстремумов, сформулировал признаки возрастания и убывания, применил свой метод для большого числа задач.
Научные интересы Лейбница были разнообразны. Он внёс вклад не только в математику, но и физику, философию, лингвистику, психологию, биологию, был известным политиком и дипломатом. По его инициативе был создан научный журнал, он организовал Академию наук в Берлине, Встречался с Петром I, по его плану была создана Петербургская Академия наук.
Во время поездки в Лондон он познакомился с Ньютоном. В последствие вел с ним переписку. Независимо друг от друга оба этих ученых пришли к дифференциальному исчислению. Но символика Лейбница оказалась более удобной, чем знаки, предложенные Ньютоном, ею пользуются по сей день.
Ньютон на 11 лет раньше создал дифференциальные исчисления. В шестидесятые годы семнадцатого столетья, чтобы исследовать и выражать законы физики, Ньютону приходилось заниматься математикой. Свои результаты он изложил в трактате «Метод флюксий и бесконечных рядов»
Выполняют задание, осуществляют взаимопроверку.
Проверены знания, установлены пробелы в их усвоении. Приняты меры по ликвидации пробелов за счёт оптимального сочетания контроля учителя, и взаимоконтроля
3. Отработка практических навыков.
1. Решить задачи с использованием презентации на нахождение промежутков возрастания и убывания, критических точек, локальных экстремумов. Применение производной в физике.
– Ребята, а теперь внимание на презентацию. Решаем задачи.
Выполняя задания, устно комментируют решение и ответы.
Правильность и осознанность выполнения работы по овладению знаниями
4. Усвоение новых знаний.
Обеспечить восприятие, осмысление и запоминание изучаемого материала.
– Л. Н. Толстой « Много ли человеку земли надо». Решаем задачу литературного содержания. Презентация.
Разрабатываем схему исследования на наибольшее и наименьшее значение функции.
-Решаем задачу в общем виде: В круг радиуса а вписать прямоугольник наибольшей площади.
В группах добывают знания, активно участвуют в исследовательской работе и подведении итогов.
1. Задачу «переводим» на язык функций. Для этого выбираем удобный параметр х, через который интересующую величину выражаем как функцию от х.
2. Находим наибольшее или наименьшее значение этой функции на некотором промежутке.
3. Интерпретируем найденный результат («переводим» с языка математики на язык первоначальной задачи)
-Наибольшую ли площадь при данном периметрии(40 км) получил Пахом? Решаем задачу. Делаем выводы.
Учащиеся воспроизводят алгоритм и пользуются им в стандартных и изменённых ситуациях
5. Подведение итогов занятия. Информация о домашнем задании
Пришло время подвести итоги.
Ответим на вопрос:
1. Какова схема исследования на наибольшее и наименьшее значение функции?
2. Имеет ли изученная тема практическую значимость?
Дома вы должны будете найти и решить задачи Найти и решить задачи на максимум и минимум :
1 группа в химии
2 группа в физике,
3 группа в медицине и биологии
Если не найдёте не расстраивайтесь, а просто выполните №5.94, 5.95
Мы сказали, что производная – это скорость изменения функции. Ответьте на языке производных на вопрос: являются ли успехи в учёбе производной от багажа знаний?
Осуществляют рефлексию по осознанию результатов своей деятельности и деятельности других учащихся.
Получают домашнее задание в соответствии с результатами деятельности на учебном занятии
Чем быстрее изменяется (увеличивается) багаж знаний, тем быстрее изменяются (увеличиваются) успехи в учёбе.
Усвоение способов решения возникших в ходе учебного занятия проблем
Готовность учащихся к выполнению домашнего задания
Организовать индивидуальную и коллективную работу.
- Сегодня на уроке я узнал…
- Сегодня на уроке я научился…
- Сегодня на уроке я познакомился…
- Сегодня на уроке я повторил…
- Сегодня на уроке я закрепил…
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Урок – исследовательский проект по алгебре и началам математического анализа в 11 классе по теме: «Задачи на максимум и минимум» Учитель: Ноговицына Ольга Святославна
16.11.2016 2 1. Изменение силы тока I в зависимости от времени t задано уравнением ( I – в амперах, t – в секундах). Найдите скорость изменения силы тока в момент времени t = 10 сек. 2. Известно, что тело массой m=5 кг движется прямолинейно по закону (S – путь в метрах, t – время в секундах). Найдите кинетическую энергию тела через 2 сек после начала движения. Ответ: v(t) = 4t – 5 (A / c), v(10) = 35 (A / c) 2
16.11.2016 3 x 0 y 1 1 -1 2 По характеру изменения графика функции укажите, на каких промежутках производная положительна, на каких отрицательна. Каждая из функций определена на R Ответ: на на
16.11.2016 4 x 0 y 1 -1 2 По характеру изменения графика функции укажите, на каких промежутках производная положительна, на каких отрицательна. Каждая из функций определена на R Ответ: на 1
16.11.2016 5 x 0 y 1 -1 2 По характеру изменения графика функции укажите, на каких промежутках производная положительна, на каких отрицательна. Каждая из функций определена на R Ответ: на 1
16.11.2016 6 x 0 y 1 -1 2 На рисунке изображен график дифференцируемой функции y = h(x). Определите знак производной функции на промежутках -2 3 -5 5 1
Дан график производной одной из перечисленных функций. Определите какой? 16.11.2016 7 x 0 y 1 -1 2 1 2 3 4 5 Верно Подумай Подумай Подумай Подумай 1
Дан график производной одной из перечисленных функций. Определите какой? 16.11.2016 8 x 0 y 1 -1 2 1 2 3 4 5 Верно Подумай Подумай Подумай Подумай 1
Дан график производной одной из перечисленных функций. Определите какой? 16.11.2016 9 x 0 y 1 -1 2 1 2 3 4 5 Подумай Подумай Подумай Верно Подумай 1
Дан график производной одной из перечисленных функций. Определите какой? 16.11.2016 10 x 0 y 1 -1 2 1 2 3 4 5 Подумай Подумай Подумай Подумай Верно 1
Дан график производной одной из перечисленных функций. Определите какой? 16.11.2016 11 x 0 y 1 -1 2 1 2 3 4 5 Подумай Подумай Подумай Подумай Верно 1
16.11.2016 12 Функция f(x) задана на [a; b] . Определите max и min функции , и точки локального экстремума на [a; b] . х у 0 а b х 1 х 2 х 3 х 4
16.11.2016 13 Л.Н.Толстой «Много ли человеку земли надо?» …Крестьянин Пахом очень мечтал о собственной земле и собрал он наконец, желанную сумму, предстал перед требованием старшины: «Сколько за день земли обойдешь, вся твоя будет за 1000 р. Но если к заходу солнца не возвратишься на место, с которого вышел, пропали твои деньги». Выбежал утром Пахом, прибежал на место и упал без чувств, обежав четырехугольник периметром 40 км.
16.11.2016 14 А В С D 2 13 10 15 P = AB + BC + CD + DA P = 2 + 13 + 10 + 15 = 40 ( км) Наибольшую ли площадь при данном периметре получил Пахом?
16.11.2016 15 Начертите четырехугольник с периметром 40 км и наибольшей площадью 1 ряд 2 ряд 3 ряд
16.11.2016 16 Составить таблицу для вычисления площадей прямоугольников с различными длинами Периметр P 40 40 40 40 40 40 Стороны а b Площадь S 1 19 19 100 2 18 36 5 15 75 6 14 84 8 12 96 10 10 Вывод. Из всех прямоугольников данного периметра наибольшую площадь имеет квадрат. Пахом, например, мог бы пройти всего 36 км ( P = 9*4=36 км) и иметь участок площадью S = 9*9 =81( кв.км)
09.04.2018 17 Схема исследования на наибольшее и наименьшее значения функции 1. Ввести переменную х , от значения которой зависит та величина, которая согласно условию задачи принимает наибольшее (наименьшее) значение; 2. Определить границы изменения переменной х – промежуток Х ; 3. Выразить через х величину, которая согласно условию задачи принимает наибольшее (наименьшее) значение (получить функцию f(x) ) ; 4. Рассмотреть функцию f(x) , заданную на Х , найти ее критические точки, точки локального максимума (минимума); 5. Объяснить, почему в точке локального максимума (минимума) функция принимает наибольшее (наименьшее) значение; 6. Интерпретировать результаты исследования функции f(x ) с точки зрения решаемой задачи.
16.11.2016 18 В круг радиуса а вписать прямоугольник наибольшей площади. А В С D x O a a РЕШЕНИЕ 1. , 2. 3. 4.
16.11.2016 19 продолжение 5. где 6. х 0 + – Ответ:
16.11.2016 20 А В С D х 20 – х Наибольшую ли площадь при данном периметре (40 км) получил Пахом? на интервале (0; 20) функция имеет единственную критическую точку х=10
16.11.2016 21 Если бы Пахом при Р=40 км, пробежал бы по периметру квадрата, то площадь была бы больше и равна 100 кв.км продолжение х 0 10 20 + –
16.11.2016 22 Задача 5.100 В некотором царстве, в некотором государстве подорожала жесть, идущая на изготовление консервных банок. Экономный хозяин фабрики рыбных консервов хочет выпускать свою продукцию в банках цилиндрической формы объемом V с наименьшими возможными затратами жести. Вычислите диаметр основания и высоту такой банки. Решение х 1 . x > 0, 2. 3.
16.11.2016 23 продолжение на интервале (0; +∞) на интервале (0; +∞) функция имеет единственную критическую точку х 1 х 1 0 – + min
16.11.2016 24 продолжение Ответ:
09.04.2018 25 Д/З : п.5.9 – выучить; выучить алгоритм решить №№5.94*, 5.95 + творческое задание (необязательное) Придумать прикладную задачу по пройденной теме. 1 группа в химии 2 группа в физике, 3 группа в медицине и биологии Какова схема исследования на наибольшее и наименьшее значение функции? Имеет ли изученная тема практическую значимость?
Продолжите фразы: Сегодня на уроке я узнал… Сегодня на уроке я научился… Сегодня на уроке я познакомился… Сегодня на уроке я повторил… Сегодня на уроке я закрепил… 09.04.2018 http://aida.ucoz.ru 26
09.04.2018 27 http://images.yandex.ru/search?p=3&ed=1&text=%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BA%D0%BE%20%D0%B7%D0%B5%D0%BC%D0%BB%D0%B8%20%D0%BD%D0%B0%D0%B4%D0%BE%20%D1%87%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%83%20%D0%A2%D0%BE%D0%BB%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B9%20%D0%9B.%D0%9D.&spsite=hiero.ru&img_url=en.hiero.ru%2Fpict%2F766%2F2137861.jpg&rpt=simage (сколько земли 1) http :// images . yandex . ru / search ? p =8& ed =1& text =% D 1%81% D 0% BA % D 0% BE % D 0% BB % D 1%8 C % D 0% BA % D 0% BE %20% D 0% B 7% D 0% B 5% D 0% BC % D 0% BB % D 0% B 8%20% D 0% BD % D 0% B 0% D 0% B 4% D 0% BE %20% D 1%87% D 0% B 5% D 0% BB % D 0% BE % D 0% B 2% D 0% B 5% D 0% BA % D 1%83%20% D 0% A 2% D 0% BE % D 0% BB % D 1%81% D 1%82% D 0% BE % D 0% B 9%20% D 0%9 B .% D 0%9 D .& spsite = feb – web . ru & img _ url = feb – web . ru %2 Ffeb %2 Ftolstoy %2 Fpictures %2 FLEB -338. jpg & rpt = simage (сколько земли 2) Список использованных ресурсов и литературы Лукин Р.Д., Лукина Т.К., Янунина М.С. Устные упражнения по алгебре и началам анализа. – М.Просвещение, 1989 г. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра и начала анализа: учеб. для 11 кл . общеобразоват . учреждений: базовый и профил . уровни. – М.:Просвещение , 2008. Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра и начала анализа. Дидактический материал. 11 кл .. – М.:Просвещение , 2009. Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра и начала анализа. 11 кл.Книга для учителя. – М.:Просвещение , 2009. Толстой Л.Н. Много ли человеку земли надо. Презентация – шаблон Microsoft Office PowerPoint 97-2003 , автор Александрова З.В. ( Aida_Alex ) http:aida.ucoz.ru
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
В системе упражнений, предлагаемой по данной теме, основное внимание уделяется закреплению умения определять точки максимума (минимума) и знания достаточных условий точек экстремума, что способствует .
Предлагается сценарий занятия по теме "Задачи на максимум-минимум, решаемые методами элементарной алгебры", реализуемый в 9 классе по курсу предпрофильной подготовки "Уравнения и неравенства с парамет.
Урок посвящён теме использования производной для нахождения оптимального (наилучшего) решения в прикладных задачах (текстовых, геометрических, химических, решении уравнений), данный матери.
Конеспект урока изучения новой темы. Презентация.
Конспект урока можно использовать при подготовке к урокам.
В работе представлена подборка заданий №12 профильного уровня ЕГЭ по теме "Точки максимума, точки минимума". Задания взяты из "Открытого банка заданий по математике". Материал будет полезен как .
Цель семинара: Рассмотреть решение задач на максимум и минимум практического содержания, углубить знания учащихся по этой теме. Развивать познавательный интерес к предмету математики. Воспитывать чувс.
Класс: 11
Предмет: алгебра и начала математического анализа
Тема урока: «Задачи на максимум и минимум»
Тип урока Комбинированный.
Основные методы: методы организации учебно-познавательной деятельности (репродуктивный, частично-поисковый), методы стимулирования и мотивации (создание ситуации успеха, опора на жизненный опыт, выполнение творческих заданий).
Основные формы организации познавательной деятельности: фронтальная, парная, индивидуализированная, групповая.
Оборудование: мультимедийная установка и презентация к уроку, листы на печатной основе для каждого ученика.
Просмотр содержимого документа
«карточки для учащихся»
Лист на котором работали дети.
Задачи на максимум или минимум.
Если знать алгоритм решения задач на максимум и минимум, то, по словам русского математика Пафнутия Львовича Чебышева, мы можем «располагать средствами своими для достижения по возможности большей выгоды».
На каждом этапе оценивай свою работу и по команде учителя, оценку заноси В таблицу:
1. Теоретический опрос.
Задание. Установи соответствие с помощью стрелок между началом и концом утверждения. Ниже в таблице под номером вопроса поставь только выделенную букву.
1. Если точка х является точкой экстремума функции и в этой точке существует производная, то
точка, в которой производная равна нулю или её не существует.
2. Путь точка движется по закону s = s ( t ), тогда
функция f ( x ) убывает на I .
3. Критической точкой функции f (х)на отрезке называется
4. Если производная функции меньше нуля в каждой точке интервала I , то
5. Если в точке х производная меняет знак с минуса на плюс, то
функция f ( x ) возрастает на I
6. Если в точке х производная меняет знак с плюса на минус , то
первая производная определяет скорость точки, а вторая производная определяет ускорение точки в момент времени t
7. Если производная функции больше нуля и каждой точке интервала I . то
Таблица получившихся ответов
Взаимооценка Поставь «5», если ответил на все вопросы правильно; «4», если ответил на 6 вопросов, «3», если ответил на 5 вопросов.
Каково настроение? Отметь в таблице оценок и не забывай это делать на каждом этапе
3 этап. Задача Дидоны.
Согласно легенде, Дидона – первая царица и основательница Карфагена вместе со своими спутниками прибыла на северный берег Африки и хотела приобрести у местных жителей землю для нового поселения. Ей согласились уступить участок земли, однако не больше, чем объемлет воловья шкура. Хитроумная Дидона разрезала воловью шкуру на узкие ремешки и, разложив их, сумела ограничить гораздо большую площадь прямоугольной формы, примыкающую к берегу моря. Какие размеры должен иметь прямоугольник, если длина линии из ремешков получилась 16 километров?
Подсказка. Алгоритм решения задач на максимум и минимум.
1. Задачу «переводим» на язык функций. Для этого выбираем удобный параметр х, через который интересующую величину выражаем как функцию от х.
2. Находим наибольшее или наименьшее значение этой функции на некотором промежутке.
3. Интерпретируем найденный результат («переводим» с языка математики на язык первоначальной задачи)
Составь математическую модель задачи и реши совместно в группе.
Какую оценку ты ставишь себе за решённую задачу?
4 этап Физическая задача
Материальная точка движется по прямой согласно закону s ( t )= 12 t 2 -2⁄3 t 3 , где s ( t )- путь в метрах и t – время в секундах. В какой момент времени из промежутка [4;10] скорость движения точки будет наибольшей?
Путь точки, движущейся прямолинейно, изменяется по закону s ( t )= t 4 ⁄24-2 t 3. , где s ( t )- путь в метрах и t – время в секундах. В какой момент времени из промежутка [10;50] ускорение движения точки будет наименьшей?
Какую оценку ты ставишь себе за решённую задачу?
«Я» – как чувствовал себя, с каким настроением работал, доволен ли собой.
«МЫ» – комфортно ли было работать, какие затруднения были в работе.
«ДЕЛО» – достиг ли цели учения, какие затруднения возникли, как преодолевали трудности.
6. Домашнее задание.
Найти и решить задачи на максимум и минимум :
1 группа в химии
2 группа в физике,
3 группа в медицине,
4 группа в биологии.
Если не найдёте не расстраивайтесь, а просто выполните №5.99
Просмотр содержимого документа
«конспект урока»
Конспект урока выполнила учитель МБОУ Первомайской СШ Таирова Э.Н.
Предмет: алгебра и начала математического анализа
Тема урока: «Задачи на максимум и минимум»
Учебник: Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. Учебник. Колмогоров А.Н. и др.
Триединая дидактическая цель:
1. Обучающая. Овладение системой знаний и умений:
Знания. Ученик должен знать определение максимума и минимума функции на отрезке, точек максимума и минимума, второй производной, алгоритм решения задач на максимум и минимум.
Понимания. Ученик должен понимать достаточный признак возрастания и убывания функции, признак максимума и минимума функции; значение идей, методов и результатов математического анализа для построения моделей реальных ситуаций.
Применение Ученик должен уметь решать задачи на нахождение наибольшего значения функции на промежутке.
Использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для решения прикладных задач на наибольшее и наименьшее значение с применением аппарата математического анализа.
2. Интеллектуальное развитие. Создать условия для развития логического мышления, алгоритмической культуры, развития математического мышления и интуиции.
3. Воспитание. Способствовать воспитанию средствами математики культуры личности: знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей.
Формирование общеучебных умений и навыков. Создать условия для совершенствования опыта: поисковой деятельности, работы с текстом, планирования и осуществления алгоритмической деятельности; построения и исследования математических моделей для описания и решения прикладных задач; проверки и оценки своей работы, соотнесения их с поставленной задачей.
Тип урока Комбинированный.
Основные методы: методы организации учебно-познавательной деятельности (репродуктивный, частично-поисковый), методы стимулирования и мотивации (создание ситуации успеха, опора на жизненный опыт, выполнение творческих заданий).
Основные формы организации познавательной деятельности: фронтальная, парная, индивидуализированная, групповая.
Оборудование: мультимедийная установка и презентация к уроку, листы на печатной основе для каждого ученика.
Планирование структуры и содержания учебного занятия:
Задача этапа учебного занятия
1. Раскрыть цели и план работы
2. Обеспечить психологический настрой
-На прошлом уроке мы узнали, что такое задачи на максимум и минимум, усвоили алгоритм решения таких задач, а сегодня на уроке мы дадим ответ на вопрос: Прав ли был Лобачевский, когда сказал, что «Нет ни одной области математики, которая когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира»?
-Как из круглого бревна выпилить прямоугольную балку с наименьшим количеством отходов? Каких размеров должен быть ящик, чтобы при заданном расходе материала его объём был наибольший? В каком месте следует построить мост через реку, чтобы дорога, проходящая через него и соединяющая два города, была кратчайшей?
Какое название получили эти задачи в математике?
– Если знать алгоритм решения этих задач, то, по словам русского математика Пафнутия Львовича Чебышева, мы можем «Располагать средствами своими для достижения по возможности большей выгоды», но до 17 века этот алгоритм был неизвестен.
Задачи, где требуется определить условия, при которых некоторая величина принимает наибольшее или наименьшее значение, называют задачами на экстремум или задачами на максимум или минимум
Задачи на максимум и минимум.
Учащиеся принимают цели урока
2. Этап всесторонней проверки знаний
1. Выявить уровень знаний, умений учащихся, пробелы в знаниях.
2. Устранить обнаруженные пробелы.
3. Организовать самостоятельную работу учащихся
Сейчас каждый из вас самостоятельно вспомнит теоретический материал и при необходимости устранит обнаруженные пробелы.
На листе найдите первое задание: Установи соответствие с помощью стрелок между началом и концом утверждения. Ниже в таблице под номером вопроса поставь только выделенную букву.
1. Если точка х является точкой экстремума функции и в этой точке существует производная, то
точка, в которой производная равна нулю или её не существует.
2. Путь точка движется по закону s = s ( t ), тогда
функция f ( x ) убывает на I .
3. Критической точкой функции f (х)на отрезке называется
4. Если производная функции меньше нуля в каждой точке интервала I . то
5. Если в точке х производная меняет знак с минуса на плюс, то
функция f ( x ) возрастает на I
6. Если в точке х производная меняет знак с плюса на минус , то
первая производная определяет скорость точки, а вторая производная определяет ускорение точки в момент времени t
7. Если производная функции больше нуля
и каждой точке интервала I . то
Х точка минимума
Осуществляется взаимопроверка. Ставится оценка за работу на этом этапе.
Выполняют задание, осуществляют взаимопроверку.
Проверены знания, установлены пробелы в их усвоении. Приняты меры по ликвидации пробелов за счёт оптимального сочетания контроля учителя, и взаимоконтроля
3. Усвоение новых знаний.
1. Обеспечить восприятие, осмысление и запоминание изучаемого материала.
Мы получили фамилию великого учёного математика Лейбница не случайно. В 17 веке произошла математическая революция. Произошёл переход от элементарной математики к математическому анализу, предметом изучения которого является функция. Эту революцию свершили два величайших ума независимо друг от друга, один из них Готфрид Лейбниц, а о другом мы узнаем позже. В чём заслуга этих учёных? Ответ мы найдём после работы в группах. Задание: Прочитайте текст и ответьте на вопрос.
Зарождение математического анализа
Официальным годом рождения дифференциального исчисления считают 1684 год, тогда была опубликована первая печатная работа, в которой излагаются основные понятия и методы дифференциального исчисления. Это была знаменитая статья Лейбница «Новый метод максимумов и минимумов. ». В ней Лейбниц изложил условия для экстремумов, сформулировал признаки возрастания и убывания, применил свой метод для большого числа задач.
Научные интересы Лейбница были разнообразны. Он внёс вклад не только в математику, но и физику, философию, лингвистику, психологию, биологию, был известным политиком и дипломатом. По его инициативе был создан научный журнал, он организовал Академию наук в Берлине, Встречался с Петром I , по его плану была создана Петербургская Академия наук.
Во время поездки в Лондон он познакомился с Ньютоном. В последствие вел с ним переписку. Независимо друг от друга оба этих ученых пришли к дифференциальному исчислению. Но символика Лейбница оказалась более удобной, чем знаки, предложенные Ньютоном, ею пользуются по сей день.
Ньютон на 11 лет раньше создал дифференциальные исчисления. В шестидесятые годы семнадцатого столетья, чтобы исследовать и выражать законы физики, Ньютону приходилось заниматься математикой. Свои результаты он изложил в трактате «Метод флюксий и бесконечных рядов»
ВОПРОС 1 группе: Какое отношение Лейбниц имеет к выражению «Новый метод максимумов и минимумов»?
ВОПРОС 2 группе: Как связаны с именем Лейбница Эпоха просвещения, Петр I . страна Россия?
ВОПРОС 3 группе: Что связывало Ньютона и Лейбница?
ВОПРОС 4 группе: Чему был посвящён трактат Ньютона и как он назывался?
Оцени себя по критерию участия в работе.
В группе добывают знания, Активно участвуют в подведении итогов работы.
Правильность и осознанность выполнения работы по овладению знаниями
4. Этап применения знаний
Закрепить способы действий
Применение в геометрии
В вышеназванной работе Лейбниц рассмотрел решение единым методом задач на максимум и минимум, в том числе и геометрических. Самая древняя задача на экстремум изложена в «Началах» Евклида: какой из всех прямоугольников заданного периметра имеет наибольшую площадь? Такие задачи называли изопериметрическими или задачами Дидоны.
Согласно легенде, Дидона – царица и основательница Карфагена, со своими спутниками прибыла на северный берег Африки и хотела приобрести у местных жителей землю для нового поселения. Ей согласились уступить участок земли, однако не больше, чем объемлет воловья шкура.
Хитроумная Дидона разрезала воловью шкуру на узкие ремешки и, разложив их, сумела ограничить гораздо большую площадь прямоугольной формы, примыкающую к берегу моря. Какие размеры должен иметь прямоугольный участок, если длина линии из ремешков получилась 16 километров?
-Вспомним алгоритм решения задач на максимум и минимум.
Составьте модель задачи и решите её в группе.
Проверка на слайде.
Применение в физике
Пришло время сказать и о заслуге второго учёного Ньютона. В отличие от Лейбница он не любил делиться своими открытиями и многие его научные труды стали известны только после смерти. В своей работе «Метод флюксий и бесконечных рядов» Ньютон описал все физические процессы с помощью производных. Ньютон открыл, что производная – это скорость изменения функции. В частности это выражено в физическом смысле первой и второй производной.
Давайте вспомним физический смысл производной.
А теперь решим самостоятельно задачи.
Уровень А: Материальная точка движется по прямой согласно закону s ( t )= 12 t 2 -2⁄3 t 3 , где s ( t )- путь в метрах и t – время в секундах. В какой момент времени из промежутка [4;10] скорость движения точки будет наибольшей?
Уровень Б: Путь точки, движущейся прямолинейно, изменяется по закону s ( t )= t 4 ⁄24-2 t 3. , где s ( t )- путь в метрах и t – время в секундах. В какой момент времени из промежутка [10;50ускорение движения точки будет наименьшей?
Проверить решение на доске.
Выполняют самостоятельное задание на применение знаний в группах
1. Задачу «переводим» на язык функций. Для этого выбираем удобный параметр х, через который интересующую величину выражаем как функцию от х.
2. Находим наибольшее или наименьшее значение этой функции на некотором промежутке.
3. Интерпретируем найденный результат («переводим» с языка математики на язык первоначальной задачи)
Если при прямолинейном движении путь есть функция от времени, то скорость точки есть производная от пути по времени, а вторая производная определяет ускорение этой точки.
Учащиеся воспроизводят алгоритм и пользуются им в стандартных и изменённых ситуациях
5. Подведение итогов занятия. Информация о домашнем задании
Пришло время подвести итоги.
Ответим на вопросы:
1. На примере темы «Применение производной» прав ли был Лобачевский, когда сказал, что «Нет ни одной области математики, которая когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира»? А почему?
2. Имеет ли изученная тема практическую значимость?
3.Чем занимается математический анализ? В чём его научная значимость?
Да в том, что он формулирует процессы химии, физики, биологии языком математики.
4. И дома вы должны будете найти и решить задачи Найти и решить задачи на максимум и минимум :
1 группа в химии
2 группа в физике,
3 группа в медицине,
4 группа в биологии.
Если не найдёте не расстраивайтесь, а просто выполните №5.99
Мы сказали, что производная – это скорость изменения функции. Ответьте на языке производных на вопрос: являются ли успехи в учёбе производной от багажа знаний?
Осуществляют рефлексию по осознанию результатов своей деятельности и деятельности других учащихся.
Получают домашнее задание в соответствии с результатами деятельности на учебном занятии
Чем быстрее изменяется (увеличивается) багаж знаний, тем быстрее изменяются (увеличиваются) успехи в учёбе.
Усвоение способов решения возникших в ходе учебного занятия проблем
Готовность учащихся к выполнению домашнего задания
Организовать индивидуальную и коллективную работу.
Реализация рефлексивного алгоритма:
«Я» – как чувствовал себя, с каким настроением работал, доволен ли собой.
«МЫ» – комфортно ли было работать, какие затруднения были в работе.
«ДЕЛО» – достиг ли цели учения, какие затруднения возникли, как преодолевали трудности.
Просмотр содержимого презентации
«Решение задач на максимум м минимум»
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА МАКСИМУМ И МИНИМУМ
МБОУ Первомайской СШ
ЗАЧЕМ надо уметь решать задачи на максимум и минимум?
- Как из круглого бревна выпилить прямоугольную балку с наименьшим количеством отходов?
- Каких размеров должен быть ящик, чтобы при заданном расходе материала его объём был наибольший?
- В каком месте следует построить мост через реку, чтобы дорога, проходящая через него и соединяющая два города, была кратчайшей?
"САМАЯ ТОНКАЯ ОБЛАСТЬ МАТЕМАТИКИ"
«Новый метод максимумов и минимумов»
"Без настоящих единиц не может быть и множества."
Эпоха Просвещения Петр I Россия
(1646-1716), немецкий философ и математик.
французский математик и механик
Согласно легенде, Дидона, первая царица и основательница Карфагена, со своими спутниками прибыла на северный берег Африки и хотела приобрести у местных жителей землю для нового поселения. Ей согласились уступить участок земли, однако не больше, чем объемлет воловья шкура.
Хитроумная Дидона разрезала воловью шкуру на узкие ремешки и, разложив их, сумела ограничить гораздо большую площадь прямоугольной формы, примыкающую к берегу моря. Какие размеры должен иметь прямоугольный участок, если длина линии из ремешков получилась 16 километров?
Применение производной к физике
- Прав ли был Лобачевский, когда сказал, что «Нет ни одной области математики, которая когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира», если говорить о теме «Применение производной»? А почему?
- Имеет ли тема урока практическую значимость?
- Чем занимается математический анализ? В чём его научная значимость?
Найти и решить задачи на максимум и минимум :
Особое значение в исследовании функций имеет применение нахождения максимумов и минимумов заданной функции при решении различных задач оптимизации. Данные задачи могут быть взяты из области алгебры, геометрии, физики.
При решении таких задач в общем случае используются знания теоремы Ферма.
Если заданная дифференцируемая функция $y=f(x)$ в точке $x=x_ <0>$ имеет локальный минимум или максимум, то производная $f'(x)$ данной функции равна нулю в точке $x=x_ <0>$.
С геометрической точки зрения теорему можно перефразировать следующим образом: касательная, проведенная к графику заданной функции $y=f(x)$ в точке $x=x_ <0>$, параллельна оси абсцисс.
Алгоритм решения задачи на максимум/минимум:
- составление функции, описывающей зависимость из условия задачи;
- нахождение производной заданной функции;
- нахождение критических и стационарных точек;
- исследование знака $f'(x)$ с помощью числовой прямой;
- определение характера поведения функции;
- нахождение искомого максимума/минимума.
Попробуй обратиться за помощью к преподавателям
Алгебра
Разность двух положительных чисел равна 15, причем одно из чисел не больше 10. Найти такие числа, для которых произведение будет максимальным.
Обозначения: $x$ – первое число, $y$ – второе число.
По условию задачи, $x-y=15$. Тогда $x=15+y$.
Запишем произведение чисел: $p(y)=ycdot (15+y)=15y+y^ <2>$.
Получаем исходную функцию: $p(y)=15y+y^ <2>$.
Производная заданной функции: $p'(y)=(15y+y^ <2>)’=15+2y$.
[p(y)=0Rightarrow 15+2y=0Rightarrow y=-frac<15> <2>=-7,5]
Исследуем знак $p'(x)$ с помощью числовой прямой (положительная полуось):
Определим характер поведения функции
Функция достигает максимума в точке $y=10$ (удовлетворяет условию задачи).
Вычислим второе число: $x=15+10=25$.
Следовательно, 10 и 25 — искомые числа.
Геометрия
Какого размера должен быть цилиндр заданного объема $v=25$ (куб.ед.), чтобы его площадь полной поверхности была минимальной?
Сделаем рисунок к задаче:
Обозначения: $r$ – радиус основания цилиндра ($0
$S=2pi cdot r^ <2>+2pi cdot rcdot h$ – формула площади полной поверхности
$v=pi cdot r^ <2>cdot h$ – формула объема цилиндра
Выразим из формулы объема высоту:
По условию задачи, $v=25$; следовательно, $h=frac<25> <pi cdot r^<2>> $.
Подставим выражение для высоты в формулу площади полной поверхности:
[S=2pi cdot r^ <2>+2pi cdot rcdot frac<25> <pi cdot r^<2>> =2cdot left(pi cdot r^ <2>+frac<25>
ight).]
Получаем исходную функцию: $S(r)=2cdot left(pi cdot r^ <2>+frac<25>
ight)$.
Производная заданной функции:
[S'(r)=2cdot left(2pi cdot r-frac<25> <2>>
ight).] [S'(r)=0Rightarrow 2cdot left(2pi cdot r-frac<25> <2>>
ight)=0Rightarrow 2pi cdot r-frac<25> <2>> =0Rightarrow r_ <1>=sqrt[<3>]<frac<25> <2pi >> .]
Исследуем знак $S'(x)$ с помощью числовой прямой (положительная полуось):
Определим характер поведения функции
Функция достигает минимума в точке $r_ <1>=sqrt[<3>]<frac<25> <2pi >> $.
Следовательно, площадь полной поверхности будет минимальной при радиусе $r=sqrt[<3>]<frac<25> <2pi >> $ и высоте $h=2cdot sqrt[<3>]<frac<25> <2pi >> =2r=d$ ($d$ – диаметр цилиндра).
Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!
Физика
Ядро выпущено из пушки, наклоненной к горизонту под углом $varphi $ ($0le varphi le 2pi $), с начальной скоростью $v_ <0>=10$ м/с. Рассматриваем вакуум. Дальность полета ядра определяется формулой $R=frac<0>^ <2>sin 2varphi >
Исходная функция: $R=frac<100cdot sin 2varphi > <10>=10cdot sin 2varphi $.
Производная заданной функции: $R'(varphi )=(10sin 2varphi )’=20cdot cos 2varphi $.
[R'(varphi )=0Rightarrow 20cdot cos 2varphi =0Rightarrow cos 2varphi =0Rightarrow varphi _ <1>=frac<pi > <4>;varphi _ <2>=frac<3pi > <4>]
Исследуем знак $R'(varphi )$ с помощью числовой прямой:
Определим характер поведения функции
Вычислим значения заданной функции в точках $varphi _ <1>=frac<pi > <4>$ и $varphi _ <2>=2pi $.
[Rleft(frac<pi > <4>
ight)=10cdot sin left(2cdot frac<pi > <4>
ight)=10cdot sin frac<pi > <2>=10] [Rleft(2pi
ight)=10cdot sin left(2cdot 2pi
ight)=10cdot sin 4pi =0]
Функция достигает максимума в точке $varphi =frac<pi > <4>$.
Следовательно, дальность полета ядра будет максимальной при угле наклона пушки $varphi =frac<pi > <4>$.
Так и не нашли ответ
на свой вопрос?
Просто напиши с чем тебе
нужна помощь
