Задачи на построение графиков функций

На этой странице мы постарались собрать для вас наиболее полную информацию об исследовании функции. Больше не надо гуглить! Просто читайте, изучайте, скачивайте, переходите по отобранным ссылкам.

Что будет дальше?

Общая схема исследования

Для чего нужно это исследование, спросите вы, если есть множество сервисов, которые построят график онлайн для самых замудренных функций? Для того, чтобы узнать свойства и особенности данной функции: как ведет себя на бесконечности, насколько быстро меняет знак, как плавно или резко возрастает или убывает, куда направлены "горбы" выпуклости, где не определены значения и т.п.

А уже на основании этих "особенностей" и строится макет графика – картинка, которая на самом-то деле вторична (хотя в учебных целях важна и подтверждает правильность вашего решения).

Начнем, конечно же, с плана. Исследование функции – объемная задача (пожалуй, самая объемная из традиционного курса высшей математики, обычно от 2 до 4 страниц с учетом чертежа), поэтому, чтобы не забыть, что в каком порядке делать, следуем пунктам, описанным ниже.

Алгоритм

1. Найти область определения. Выделить особые точки (точки разрыва).
2. Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.
3. Найти точки пересечения с осями координат.
4. Установить, является ли функция чётной или нечётной.
5. Определить, является ли функция периодической или нет (только для тригонометрических функций).
6. Найти точки экстремума и интервалы монотонности.
7. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.
8. Найти наклонные асимптоты. Исследовать поведение на бесконечности.
9. Выбрать дополнительные точки и вычислить их координаты.
10. Построить график и асимптоты.

В разных источниках (учебниках, методичках, лекциях вашего преподавателя) список может иметь отличный от данного вид: некоторые пункты меняются местами, объединяются с другими, сокращаются или убираются. Учитывайте требования/предпочтения вашего учителя при оформлении решения.

Схема исследования в формате pdf: скачать.

Полный пример решения онлайн

Провести полное исследование и построить график функции $$ y(x)=frac<1-x>. $$

1) Область определения функции. Так как функция представляет собой дробь, нужно найти нули знаменателя. $$1-x=0, quad Rightarrow quad x=1.$$ Исключаем единственную точку $x=1$ из области определения функции и получаем: $$ D(y)=(-infty; 1) cup (1;+infty). $$

2) Исследуем поведение функции в окрестности точки разрыва. Найдем односторонние пределы:

Так как пределы равны бесконечности, точка $x=1$ является разрывом второго рода, прямая $x=1$ – вертикальная асимптота.

3) Определим точки пересечения графика функции с осями координат.

Найдем точки пересечения с осью ординат $Oy$, для чего приравниваем $x=0$:

Таким образом, точка пересечения с осью $Oy$ имеет координаты $(0;8)$.

Найдем точки пересечения с осью абсцисс $Ox$, для чего положим $y=0$:

Уравнение не имеет корней, поэтому точек пересечения с осью $Ox$ нет.

Заметим, что $x^2+8>0$ для любых $x$. Поэтому при $x in (-infty; 1)$ функция $y>0$ (принимает положительные значения, график находится выше оси абсцисс), при $x in (1; +infty)$ функция $ylt 0$ (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Функция не является ни четной, ни нечетной, так как:

5) Исследуем функцию на периодичность. Функция не является периодической, так как представляет собой дробно-рациональную функцию.

6) Исследуем функцию на экстремумы и монотонность. Для этого найдем первую производную функции:

Приравняем первую производную к нулю и найдем стационарные точки (в которых $y’=0$):

Получили три критические точки: $x=-2, x=1, x=4$. Разобьем всю область определения функции на интервалы данными точками и определим знаки производной в каждом промежутке:

При $x in (-infty; -2), (4;+infty)$ производная $y’ lt 0$, поэтому функция убывает на данных промежутках.

При $x in (-2; 1), (1;4)$ производная $y’ >0$, функция возрастает на данных промежутках.

При этом $x=-2$ – точка локального минимума (функция убывает, а потом возрастает), $x=4$ – точка локального максимума (функция возрастает, а потом убывает).

Найдем значения функции в этих точках:

Таким образом, точка минимума $(-2;4)$, точка максимума $(4;-8)$.

7) Исследуем функцию на перегибы и выпуклость. Найдем вторую производную функции:

Приравняем вторую производную к нулю:

Полученное уравнение не имеет корней, поэтому точек перегиба нет. При этом, когда $x in (-infty; 1)$ выполняется $y” gt 0$, то есть функция вогнутая, когда $x in (1;+infty)$ выполняется $y” lt 0$, то есть функция выпуклая.

8) Исследуем поведение функции на бесконечности, то есть при .

Так как пределы бесконечны, горизонтальных асимптот нет.

Попробуем определить наклонные асимптоты вида $y=kx+b$. Вычисляем значения $k, b$ по известным формулам:

Получили, у что функции есть одна наклонная асимптота $y=-x-1$.

9) Дополнительные точки. Вычислим значение функции в некоторых других точках, чтобы точнее построить график.

10) По полученным данным построим график, дополним его асимптотами $x=1$ (синий), $y=-x-1$ (зеленый) и отметим характерные точки (фиолетовым пересечение с осью ординат, оранжевым экстремумы, черным дополнительные точки):

Примеры решений по исследованию функции

Разные функции (многочлены, логарифмы, дроби) имеют свои особенности при исследовании (разрывы, асимптоты, количество экстремумов, ограниченная область определения), поэтому здесь мы пострались собрать примеры из контрольных на исследование функций наиболее часто встречающихся типов. Удачи в изучении!

Задача 1. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить график.

Задача 2. Исследовать функцию и построить ее график.

Задача 3. Исследовать функцию с помощью производной и построить график.

Задача 4. Провести полное исследование функции и построить график.

Задача 5. Исследовать функцию методом дифференциального исчисления и построить график.

Задача 6. Исследовать функцию на экстремумы, монотонность, выпуклость и построить график.

Задача 7. Проведите исследование функции с построением графика.

Задача 8. Построить график функции $y=y(x)$, заданной параметрически

Задача 9. Исследовать функцию и построить ее график $r=1+tg phi$.

Задача 10. Исследовать функцию и построить ее график $(x^2+y^2)^3=4x^2y^2$.

Задача 11. Провести полное исследование периодической функции $y = cos 3x – 2 sin 6x$ и построить её график.

Задача 12. Провести полное исследование и построить график функции $y=f(x)$ с помощью Excel. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-3; -1]$.

Задача 13. Провести полное исследование и построить график функции.

Как построить график онлайн?

Даже если преподаватель требует вас сдавать задание, написанное от руки, с чертежом на листке в клеточку, вам будет крайне полезно во время решения построить график в специальной программе (или сервисе), чтобы проверить ход решения, сравнить его вид с тем, что получается вручную, возможно, найти ошибки в своих расчетах (когда графики явно ведут себя непохоже).

Ниже вы найдете несколько ссылок на сайты, которые позволяют построить удобно, быстро, красиво и, конечно, бесплатно графики практически любых функций. На самом деле таких сервисов гораздо больше, но стоит ли искать, если выбраны лучшие?

Графический калькулятор Desmos

Desmos.com
Невероятно гибкий и функциональный графический калькулятор. Интутивно понятно вводятся формулы (прямо на ходу преобразуются), автоматически подбираются масштаб и цвета графика для максимальной наглядности. Например, для функции $y(x)=frac<4(x-2)^2>$ буквально за минуту построены основной график и асимптоты, вот что получилось:

При этом сайт сам пометил важные точки на графике (см. серым): локальный экстремум, пересечение с осями.

Вы можете менять масштаб, цвета, вид линий; добавлять на график точки, линии, кривые, табличные данные и даже анимацию!

Посмотрите, какую красоту Desmos умеет рисовать (точнее, его пользователи):

Сайт для построения графиков y(x).ru

y(x).ru
Это уже наш продукт, возможно, не такой красивый и интерактивный, но вполне подходящий для учебных целей. Можно строить онлайн несколько графиков одновременно, при этом выбирать и обычный, и параметрический вид, и даже задание в полярных координатах. Цвет и масштаб можно менять вручную. Вот так вводятся графики:

И такой график получается в итоге:

Из минусов можно заметить, что вводить, например, горизонтальные асимптоты не так просто: если в Desmos мы просто написали $x=2$, то здесь пришлось вводить параметрическую функцию $x(t)=2, y(t)=t$. Цвета и масштаб тоже пришлось подбирать вручную (иначе все графики оказались бы красными и мелкими).

Другие сайты

Еще несколько сервисов, которые обладают меньшим удобством/функциональностью, но тоже достойны внимания:

• ru.numberempire.com Можно построить сразу несколько функций, цвета подбираются автоматически, график интерактивный (положение и масштаб меняются мышкой).
• mathsolution.ru Можно строить несколько графиков, выбирая толщину линий и цвет, скрывать/отображать сетку, менять масштаб, сохранять картинки в файл.
• easyto.me При построении нескольких графиков на одном поле предыдущие не редактируются. В остальном функции как у прежних: выбор цвета, толщины линии, масштаба чертежа.
• grafikus.ru Кроме обычных графиков можно также строить трехмерные (3d). Можно построить несколько графиков разного типа (обычный,параметрический, в полярных координатах). Цвет и толщину линии выбрать нельзя. Интерактивности нет

Больше знаний: теория и практика

Еще немного ссылок для тех, кто хочет углубиться в тему. Первая ссылка на теоретический материал, где вы найдете и подробные примеры, и отсылки к предыдущим разделам теории (а исследовать функцию не зная пределов, производных, понятия непрерывности и т.п. нельзя) с не менее подробным объяснением. Все это сдобрено порцией юмора, отчего очень "съедобно" даже для полного чайника в математике: Исследование функций от Александра Емелина.

Вторая ссылка практическая, для тех, кто хочет научиться строить красивые графики в Desmos.com (см. выше описание): Полная инструкция по работе с Desmos. Эта инструкция довольно старая, с тех пор интерфейс сайта поменялся в лучшую сторону, но основы остались неизменными и помогут быстро разобраться с важными функциями сервиса.

Официальные инструкции, примеры и видео-инструкции на английском можно найти тут: Learn Desmos.

Решебник

Срочно нужна готовая задача? Более сотни разных функций с полным исследованием уже ждут вас. Подробное решение, быстрая оплата по SMS и низкая цена – около 50 рублей. Может, и ваша задача уже готова? Проверьте!

Полезные видео-ролики

Вебинар по работе с Desmos.com. Это уже полноценный обзор функций сайта, на целых 36 минут. К сожалению, он на английском языке, но базовых знаний языка и внимательности достаточно, чтобы понять большую часть.

Классный старый научно-популярный фильм "Математика. Функции и графики". Объяснения на пальцах в прямом смысле слова самых основ.

Урок на тему: "Построение графиков функций. Алгоритм построения и примеры"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Ребята, мы с вами построили много графиков функций, например, параболы, гиперболы, графики тригонометрических функций и другие. Давайте вспомним, как мы это делали. Мы выбирали точки на оси абсцисс, высчитывали значения ординат нашей функций и плавно соединяли наши ординаты на координатной плоскости. То есть, мы строили график по точкам. При построении многих графиков, точки нужно выбирать обдуманно. Теперь давайте обобщим наши знания и напишем общие правила построения графиков функций.

Что же такое график функции?

График функции – это множество точек, абсциссы которых являются значениями из области определения, а ординаты – значениями функции y= f(x). График любой функций строят по точкам. Но если мы точно не знаем, какой будет вид у графика, то точки надо выбирать обдуманно. Ребята, какие важные точки есть у функций?

Давайте, вспомним их:

а) Стационарные и критические точки. Такие точки мы научились находить при вычислении экстремумов функций. Это точки, в которой производная либо равна нулю, либо не существует.
б) Точки экстремума. Точки максимума и минимума функций. Точки, возле которых определяется характер монотонности.
в) Точки пересечения графика с осью абсцисс и осью ординат. Значения, в которых функция y= f(x)= 0 – точки пересечения с осью абсцисс. А если вычислить f(0) – то эта точка пересечения с осью ординат.
г) Точки разрыва функций. Эти точки ищутся для не непрерывных функций.

Правило построения графиков функций

Ребята, давайте запишем основные правила построения графиков функций:

• Если функция y= f(x) непрерывна на всей числовой прямой, то надо найти стационарные и критические точки, точки экстремума, промежутки монотонности, точки пересечения графика с осями координат и при необходимости выбрать еще несколько контрольных точек, в которых следует подсчитать значение нашей функции.
• Если функция y= f(x) определена не на всей числовой прямой, то начинать следует с нахождения области определения функции, с указания точек ее разрыва.
• Полезно исследовать функцию на чётность, поскольку графики четной или нечетной функций обладают симметрией (соответственно относительно оси y или относительно начала координат), и, следовательно, можно сначала построить только ветвь графика при x ≥ 0, а затем дорисовать симметричную ветвь.
• Если то прямая y= b является горизонтальной асимптотой нашего графика функции. Асимптота – это некоторой ориентир для нашей функции. Это то, к чему стремится график функции в точке, но не достигает этого значения.
• Если f(x)=$frac$; и при x= a знаменатель обращается в нуль, а числитель отличен от нуля, то x= a – это вертикальная асимптота.

Несколько правил, упрощающих построение графиков функций:

а) График функции y= f(x) + a получается из графика функции y= f(x) (график y= f(x) заранее известен), путем параллельного переноса графика y= f(x) на а единиц вверх, если а > 0; и на а единиц вниз, если а 2 , б) y= x 2 + 2, в) y= x 2 – 3.

Графики наших функций получается из графика функции y=x 2 , путем его параллельного переноса: б) на две единицы вверх, в) на три единицы вниз.

Графики наших функций:

б) График функции y= f(x + a) получается из графика функции y= f(x) (график y= f(x) заранее известен). Используем параллельный перенос графика y= f(x) на а единиц влево, если а > 0, и на а единиц вправо, если а 2 , б) y= (x + 1) 2 .

Графики наших функций получается из графика функции y= x 2 , путем его параллельного переноса: б) на две единицы вправо, в) на одну единицу влево.

Графики наших функций:

в) Для построения графика функции y= f(-x), следует построить график функции y= f(x) и отразить его относительно оси ординат. Полученный график является графиком функции y= f(-x).

Для примера построим два графика: a) y= x 3 , б) y= (-x) 3 .

Графики нашей функций получается из графика функции y=x 3 , путем отражения относительно оси ординат.

3 " title="График функции относительно оси ординат" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;" />

г) Для построения графика функции y= -f(x) следует построить график функции y=f(x) и отразить его относительно оси абсцисс.

Для примера построим два графика: a) y= cos(x), б) y=-cos(x). Графики нашей функций получается из графика функции y= cos(x), путем отражения относительно оси абсцисс.

Ребята, теперь давайте построим графики функций, вид которых заранее не известен. Будем использовать правила, которые мы определили в начале.

Примеры на построение

I. Построить график функции: y= 2x 2 + 4x – 5.

Решение:
1) Область определения: D(y)= (-∞; +∞).
2) Найдем стационарные точки:
y’= 4x + 4,
4x + 4 = 0,
x= -1.
3) Определим вид стационарной точки и характер монотонности:

Точка x= -1 – точка минимума. Найдем значение функции в точке x= -1
y(-1)= 2(-1) 2 + 4(-1) – 5= -7.
Итак, наша функция убывает на промежутке =(-∞;-1), x= -1 – точка минимума, функция возрастает на промежутке (-1; +∞).

Вычислим значения функции в паре точек:

Построим график функции:

II. Построить график функции: y= 5x 3 – 3x 5 .

Решение:
1) Область определения: D(y)= (-∞;+∞).
2) Найдем стационарные точки:
y’= 15x 2 – 15x 4 ,
y’= 15x 2 (1 – x 2 )= 15x 2 (1 – x)(1 + x),
15x 2 (1 – x)(1 + x)= 0,
x= 0; ±1.
3) Определим вид стационарной точки и характер монотонности:

Точка x= -1 – точка минимума.
Точка x= 0 – точка перегиба, функция в этой точки так же возрастает, но вогнутость меняется в другую сторону.
Точка x= 1 – точка максимума.

Найдем значение функции в точке x= -1: y(-1)= 5(-1) 3 – 3(-1) 5 = -2.
Найдем значение функции в точке x= 0: y(0)= 5(0) 3 – 3(0) 5 = 0.
Найдем значение функции в точке x= 1: y(1)= 5(1) 3 – 3 (1) 5 = 2

5) Исследуем функцию на четность: y(-x)= 5(-x 3 ) – 3(-x 5 )= -5x 3 + 3 5 = -y(x)
По определению функция нечетная, и график симметричен относительно начало координат.

Итак, функция нечетная.
Наша функция убывает на промежутке равном (-∞;-1).
x= -1 – точка минимума. Функция возрастает на (-1;1).
x= 0 – точка перегиба.
x= 1 – точка максимума. Функция возрастает на (1;+∞).

Вычислим значения функции в паре точек:

Построим график функции:

III. Построить график функции: y=$frac$.

Решение:
1) Область определения: D(y)= (-∞;-2)U(-2;2)U(2;+∞).

По определению функция четная. Значит, график функции симметричен относительно оси ординат, можно сначала построить график функции для x ≥ 0. 3) Прямая x= 2 – вертикальная асимптота, т.к. знаменатель нашей функции в этой точке обращается в нуль.

Найдем горизонтальную асимптоту:

Прямая y= 1 – горизонтальная асимптота.

4) Найдем стационарные и критические точки: Критических точек у нашей функции нет, т.к. производная определена всюду на области определения нашей функции.
5) Определим вид стационарной точки и характер монотонности: Точка x= 0 – точка максимума.

Итак, наша функция четная. Она возрастает на промежутке равном (-∞;0), x= 0 – точка максимума. Функция убывает на (0;+∞).
Прямая x= 2 – вертикальная асимптота. Прямая y= 1 – горизонтальная асимптота.

Вычислим значения функции в паре точек:

Т.к. функция четная построим сначала график для x ≥ 0.

0 " style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;" />

Используя свойство четных функций, отразим график функции относительно оси ординат.

Задачи на построение графиков функций для самостоятельного решения

1) Построить график функции: $y= (-x)^2 + 4x – 7$.
2) Построить график функции: $y=x^3 – 3x + 2$.
3) Построить график функции: $y= frac<(2x+1)><(x^2+2)>$.

Тема урока: Построение графиков функций.

Продолжительность урока: 45 минут.

Тип урока: Усвоение новых знаний.

Цели урока:

• использование информационных технологий для решения математических и практических задач;
• актуализация знаний по теме «Графики функций», полученные в курсе алгебры;
• изучение алгоритма построения графиков функций с помощью MS Excel;
• повторение принципа относительной адресации;
• повторение операции копирования, перемещения формул;
• повторение правил записи формул в ячейках;

• развитие познавательного интереса;
• развитие логического мышления, речи и внимания;
• формирование информационной культуры, компьютерной грамотности и потребности в приобретении знаний;

• воспитание трудолюбия;
• привитие учащимся самостоятельности в работе.

Оборудование урока: компьютеры с операционной системой Windows 2000 и пакетом программ Microsoft Office.

План урока:

1. Сообщение темы и постановка целей урока – 1 мин.
2. Актуализация знаний учащихся – 5 мин.
3. Объяснение нового материала – 3 мин.
4. Работа на компьютере –28 мин.
5. Закрепление нового материала – 4 мин.
6. Подведение итогов урока – 2 мин.
7. Домашнее задание – 2 мин.

Ход урока

1. Сообщение темы и постановка целей урока.

2. Актуализация знаний учащихся.

Актуализация знаний учащихся осуществляется в ходе фронтального опроса.

1. Каковы правила записи формул в ячейках ЭТ?
2. Как выглядят знаки арифметических операций в ЭТ?
3. В чем заключается принцип относительной адресации?
4. Какие действия необходимо произвести в процессе построения диаграмм с помощью Мастера диаграмм?

3. Объяснение нового материала.

Объяснение нового материала проводится в виде объяснения учителя с параллельной работой учеников на компьютерах.

Тема «Построение графиков функций» является одной из стержневых, пронизывающих фактически все содержание школьного курса алгебры. Теперь предоставляется нам возможность реализовать эту тему через современные технические средства – компьютер. Построение графиков является частным случаем построения диаграмм, поэтому графики функций можно строить в MS Excel с помощью МАСТЕРА ДИАГРАММ (к этому времени учащиеся уже умеют строить диаграммы и работать с формулами). Из курса алгебры вы знаете способы построения графика, основанные на предварительном исследовании свойств функции. Здесь мы воспользуемся более грубым методом построения – по точкам. Для того, чтобы найти эти точки, надо составить таблицу значений заданной функции.

х

у

Значения х берутся произвольным образом или из заданного промежутка и изменяют их не произвольно, а увеличивают на одно и то же значение, которое называется шагом (чем меньше шаг, тем точнее функция!). Значения у вычисляются по формуле, подставляя х в заданную функцию.

Электронные таблицы освобождают человека от утомительных расчетов значений у по одной и той же формуле для большого числа значений х.

4. Работа на компьютере

Задание 1. Построить график функции у = 5х + 2,3

(алгоритм построения прямой учащимся известен из курса алгебры)

1. Графиком функции у = 5х + 2,3 является прямая. Для ее построения достаточно найти две точки.
2. Составить таблицу значений заданной функции.

1. Выделить диапазон ячеек, содержащих данные (только значения у).
2. Построить график функции:

1. Запустить Мастер диаграмм с помощью команды Вставка – Диаграмма…
2. На 1шаге необходимо выбрать тип данных ГРАФИК;
3. В окне Вид выбрать график;
4. На 2 шаге мы видим, как выглядит наш график;
5. На 3 шаге мы можем уточнить детали отображения диаграммы, изменить формат диаграммы и легенды (размеры, шрифт, цвета, подписи и так далее). На закладке Заголовки набрать название диаграммы.
6. На 4 шаге необходимо определить, где разместить диаграмму: на отдельном листе или на листе вместе с данными.

В результате мы получим готовую диаграмму (график).

Задание 2. В одной системе координат построить графики функций у = х 2 , у = 3х 2

Обратить внимание учащихся на то, что отображается не вся координатная плоскость, а лишь только I и IV четверть.

Задание Рисуем графиками функций. В школе, на уроках математики, широко используются задания, в которых ученики строят точки по их координатам и последовательно соединяют их, получая при этом рисунок животного, птицы и др. Рассматриваются аналогичные задания, но с использованием графиков квадратичной, линейной и других функций, заданных на отрезках. Я предлагаю использовать данное задание на уроках информатики.

Задание 3. С помощью графиков функций нарисовать рисунок.

У меня есть еще несколько таких рисунков. Приложение1.

5. Закрепление нового материала.

Алгоритм построения графиков функций

1. Составить таблицу значений функций;
2. Определить шаг (чем меньше шаг, тем точнее функция);
3. По формулам вычислить значения функции на заданном промежутке;
4. Выделить область данных (значения у);
5. Построить диаграмму тип График.

6. Подведение итогов урока.

Подводятся итоги урока, выставляются оценки.

7. Домашнее задание.

Прочитать материал урока и знать, как строить графики функций.

Учебник для 8 класса. Н.Д.Угринович. стр.131-133. Построение графиков.