Задачи на пружинный маятник

Среди задач, рассматриваемый в теме гармонические колебания отдельным типом задач являются задачи, связанные с конкретными системами — пружинным и математическим маятником.

Для таких задач основными исследуемыми параметрами являются период и циклическая частота колебаний.

Ряд задач связаны также с энергией колебаний.

Общее решение таких задач примерно одинаково. Рассматриваемые параметры колебания (период и частота) выражаются уникальными для каждого маятника формулами, а энергия универсальна для любой системы. Так что просто определяем вид маятника и используем соответствующие уравнения.

Пример . Тело массой m=2 кг подвешено к упругой пружине, совершает гармонические колебания. Определите жёсткость k пружины, если за время t=1,5мин число N полных колебаний равно 60.

Решение: Период гармонических колебаний тела, подвешенного на пружине (пружинный маятник),

,

где m- масса тела; k- жёсткость пружины.

С другой стороны, период колебаний

,

где t – время, за которое совершается N полных колебаний.

Приравняв оба выражения

Найдём искомую жёсткость пружины

Пример . При подвешивании грузов массами m₁ и m₂=2 m₁ к свободным пружинам пружины удлинились одинаково (Δх=15см). Пренебрегая массой пружин, определите: 1) периоды колебаний грузов; 2) какой из грузов при одинаковых амплитудах обладает большей энергией и во сколько раз?

Найти: 1) Т₁; Т₂ ; 2) .

Решение. Из условия равновесия грузов на пружине следует, что

(удлинение в обоих случаях одинаково), где k₁ и k₂ – соответственно жёсткость первой и второй пружин. Тогда

и (1)

Периоды колебаний грузов на пружинах соответственно

и (2)

Подставив выражения (1) в формулу (2), найдём

и

т.е. периоды колебаний равны:

.

Механическая энергия груза, колеблющегося на пружине,

(3)

где А – амплитуда колебаний; – циклическая частота.

Поскольку по условию задачи А₁=А₂=А и нашли, что Т₁=Т₂, поэтому искомое отношение энергий, согласно формуле (3),

.

Следовательно, Е₁ в два раза меньше, чем Е₂.

Пример . Один из математических маятников совершил N₁=20 колебаний, другой за то же время совершил N₂=12 колебаний. Определите длины обоих маятников, если разность их длин Δℓ=16см.

,

где t – время, за которое совершилось полных колебаний.

По условию задачи,

где периоды колебаний первого и второго математических маятников

и (2)

(где g – ускорение свободного падения).

Из выражения (1) и (2) следует, что

(3)

И решая уравнения (3) и (4), найдём искомые длины математических маятников:

; .

Пример . Тонкий обруч подвешен на вбитый в стену гвоздь и совершает гармонические колебания с периодом Т=1,56 с в плоскости, параллельной стене. Определите радиус обруча.

Решение. Тонкий обруч под действием силы тяжести совершает колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс. С обруча (см.рисунок).

Это – пример физического маятника.

Период колебаний физического маятника

(1)

где I– момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса О; ℓ – расстояние между точкой подвеса О и центром масс С маятника; m- масса обруча; g – ускорение свободного падения.

Согласно теореме Штейнера, момент инерции I диска относительно оси не проходящей через его центр масс,

гдеI–момент инерции обруча относительно оси, проходящей через центр масс обруча; a– расстояние между осями. Учитывая, что I=mR 2 (тонкостенный диск); а=R, последняя формула запишется в виде

I= mR 2 + mR 2 = 2mR 2 . (2)

Подставив выражение (2) в формулу (1), учитывая, что ℓ=R, найдём искомый радиус диска:

Пример . Физический маятник в виде тонкого однородного стержня длиной 0,5м совершает гармонические колебания вокруг неподвижной оси, проходящей через точку подвеса О, не совпадающую с центром масс С. Определите, на каком расстоянии х от центра масс должна находиться точка подвеса, чтобы циклическая частота колебаний была максимальна.

Решение: Период колебаний физического маятника

гдеI – момент инерции стержня относительно горизонтальной оси, проходящей через точку подвеса О, не совпадающую с центром масс С стержня (см. рисунок); m – масса стержня; g- ускорение свободного падения; х – расстояние между точкой подвеса О и центром масс С.

(1)

Согласно теореме Штейнера, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через точку подвеса, находящуюся от центра масс на расстоянии х,

(2)

где -момент инерции стержня относительно горизонтальной оси, проходящей через центр масс стержня (через середину стержня).

Подставив (2) в (1), получим

(3)

Найдём экстремум функции (3) (по условию задачи циклическая частота максимальна):

; ,

(нас интересуют только положительные решения), т.е. искомое расстояние

Пример . Материальная точка массой m=10г совершает гармонические колебания с амплитудой А=40см и периодом Т=4с. В начальный момент времени t=0 смещение x достигает максимально возможного значения. Запишите уравнение колебаний точки.

Решение : Уравнение гармонических колебаний

где циклическая частота (учли условие задачи); φ – начальная фаза колебаний.

Согласно условию задачи, в момент времени t=0 смещение x=А (А- амплитуда колебаний). Тогда уравнение (1) можно записать в виде

откуда cos φ =1. Следовательно, начальная фаза φ=0.

Используя найденные значения ω, φ и заданное А, искомое уравнение колебаний точки:

,м

Пример 6.1. Материальная точка, совершающая гармонические колебания с

частотой ν=1Гц, в момент времени t=0 проходит положение, определяемое координатой x=4см, со скоростью υ=-16см/с. Определите амплитуду колебаний.

Решение :Уравнение гармонических колебаний материальной точки

Скорость точки, совершающей гармонические колебания,

(2)

В начальный момент времени (t=0) смещение и скорость материальной точки, согласно (1) и (2)

Поделив (4) на (3), получим

откуда

Из формулы (3) амплитуда колебаний равна

Учитывая, что cosφ=0, 843, получаем А=4,74 см.

Пример . Материальная точка массой m=10г совершает гармонические колебания с частотой ν=0,2 Гц. Амплитуда колебаний равна 5 см. Определите: 1) максимальную силу, действующую на точку; 2) полную энергию колеблющейся точки.

Решение : Уравнение гармонических колебаний материальной точки

Тогда скорость и ускорение колеблющейся точки

Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на точку,

F=F_max при cos(ωt+φ)= ±1, поэтому искомое максимальное значение силы

Полная энергия колеблющейся точки

Подставив сюда ω, найдём искомую полную энергию:

Пример . Материальная точка массой m= 5г совершает гармонические колебания с амплитудой А=10см и частотой ν =1Гц. В начальный момент времени t=0 смещение x=А. Определите кинетическую и потенциальную энергии в момент времени t = 2,2с

Решение : Кинетическая и потенциальная энергии материальной точки, совершающей гармонические колебания,

; (1)

; (2)

где циклическая частота ω=2π ν =2π с -1 (учли условие задачи); φ– начальная фаза.

Уравнение гармонических колебаний:

которое для условий задачи запишется в виде

Для определения начальной фазы учтём, что при t=0 смещение x=А. Тогда можем, согласно (3), записать

т.е. cosφ=1 и φ=0. Таким образом, фаза колебаний равна 2πt c -1 .

При заданной фазе колебаний уравнения (1) и (2) примут вид:

;

Задача № 1. Шарик на нити совершил 60 колебаний за 2 мин. Определите период и частоту колебаний шарика.

Задача № 2. На рисунке изображен график зависимости координаты от времени колеблющегося тела.

По графику определите: 1) амплитуду колебаний; 2) период колебаний; 3) частоту колебаний; 4) запишите уравнение координаты.

Задача № 3. Амплитуда незатухающих колебаний точки струны 2 мм, частота колебаний 1 кГц. Какой путь пройдет точка струны за 0,4 с? Какое перемещение совершит эта точка за один период колебаний?

Задача № 4. Пользуясь графиком изменения координаты колеблющегося тела от времени, определить амплитуду, период и частоту колебаний. Записать уравнение зависимости x(t) и найти координату тела через 0,1 и 0,2 с после начала отсчета времени.

Задача № 5. Какова длина математического маятника, совершающего гармонические колебания с частотой 0,5 Гц на поверхности Луны? Ускорение свободного падения на поверхности Луны 1,6 м/с 2 .

Задача № 6. Груз массой 400 г совершает колебания на пружине с жесткостью 250 Н/м. Амплитуда колебаний 15 см. Найти полную механическую энергию колебаний и наибольшую скорость движения груза.

Задача № 7. Частота колебаний крыльев вороны в полете равна в среднем 3 Гц. Сколько взмахов крыльями сделает ворона, пролетев путь 650 м со скоростью 13 м/с?

Задача № 8. Гармоническое колебание описывается уравнением
Чему равны циклическая частота колебаний, линейная частота колебаний, начальная фаза колебаний?

Задача № 9. Математический маятник длиной 0,99 м совершает 50 полных колебаний за 1 мин 40 с. Чему равно ускорение свободного падения в данном месте на поверхности Земли? (Можно принять π 2 = 9,87.)

Задача № 10. ОГЭ Как и во сколько раз изменится период колебаний пружинного маятника, если шарик на пружине заменить другим шариком, радиус которого вдвое меньше, а плотность — в два раза больше?

Задача № 11. ЕГЭ Два математических маятника за одно и то же время совершают — первый N₁ = 30, а второй — N₂ = 40 колебаний. Какова длина каждого из них, если разность их длин Δl = 7 см?

Краткая теория для решения Задачи на Механические колебания.

Это конспект по теме «ЗАДАЧИ на Механические колебания». Выберите дальнейшие действия: