Задачи на второй замечательный предел с решениями

Обычно второй замечательный предел записывают в такой форме:

Число $e$, указанное в правой части равенства (1), является иррациональным. Приближённое значение этого числа таково: $eapprox<2<,>718281828459045>$. Если сделать замену $t=frac<1>$, то формулу (1) можно переписать в следующем виде:

Как и для первого замечательного предела, неважно, какое выражение стоит вместо переменной $x$ в формуле (1) или вместо переменной $t$ в формуле (2). Главное – выполнение двух условий:

1. Основание степени (т.е. выражение в скобках формул (1) и (2)) должно стремиться к единице;
2. Показатель степени (т.е. $x$ в формуле (1) или $frac<1>$ в формуле (2)) должен стремиться к бесконечности.

Говорят, что второй замечательный предел раскрывает неопределенность $1^infty$. Заметьте, что в формуле (1) мы не уточняем, о какой именно бесконечности ($+infty$ или $-infty$) идёт речь. В любом из этих случаев формула (1) верна. В формуле (2) переменная $t$ может стремиться к нулю как слева, так и справа.

Отмечу, что есть также несколько полезных следствий из второго замечательного предела. Примеры на использование второго замечательного предела, равно как и следствий из него, очень популярны у составителей стандартных типовых расчётов и контрольных работ.

Сразу отметим, что основание степени (т.е. $frac<3x+1><3x-5>$) стремится к единице:

При этом показатель степени (выражение $4x+7$) стремится к бесконечности, т.е. $lim_(4x+7)=infty$.

Основание степени стремится к единице, показатель степени – к бесконечности, т.е. мы имеем дело с неопределенностью $1^infty$. Применим формулу (1) для раскрытия этой неопределённости. В основании степени формулы (1) расположено выражение $1+frac<1>$, а в рассматриваемом нами примере основание степени таково: $frac<3x+1><3x-5>$. Посему первым действием станет формальная подгонка выражения $frac<3x+1><3x-5>$ под вид $1+frac<1>$. Для начала прибавим и вычтем единицу:

Следует учесть, что просто так добавить единицу нельзя. Если мы вынуждены добавить единицу, то её же нужно и вычесть, дабы не изменять значения всего выражения. Для продолжения решения учтём, что

Продолжим «подгонку». В выражении $1+frac<1>$ формулы (1) в числителе дроби находится 1, а в нашем выражении $1+frac<6><3x-5>$ в числителе находится $6$. Чтобы получить $1$ в числителе, опустим $6$ в знаменатель с помощью следующего преобразования:

Итак, основание степени, т.е. $1+frac<1><frac<3x-5><6>>$, подогнано под вид $1+frac<1>$, который требуется в формуле (1). Теперь начнём работать с показателем степени. Заметьте, что в формуле (1) выражения, стоящие в показатели степени и в знаменателе, одинаковы:

Значит, и в нашем примере показатель степени и знаменатель нужно привести к одинаковой форме. Чтобы получить в показателе степени выражение $frac<3x-5><6>$, просто домножим показатель степени на эту дробь. Естественно, что для компенсации такого домножения, придется тут же домножить на обратную дробь, т.е. на $frac<6><3x-5>$. Итак, имеем:

Отдельно рассмотрим предел дроби $frac<6cdot(4x+7)><3x-5>$, расположенной в степени:

Согласно формуле (1) имеем $lim_left(1+frac<1><frac<3x-5><6>>
ight )^<frac<3x-5><6>>=e$. Кроме того, $lim_frac<6cdot(4x+7)><3x-5>=8$, поэтому возвращаясь к исходному пределу, получим:

Полное решение без промежуточных пояснений будет иметь такой вид:

Кстати сказать, вовсе не обязательно использовать первую формулу. Если учесть, что $frac<6><3x-5> o<0>$ при $x oinfty$, то применяя формулу (2), получим:

Выражение, стоящее в основании степени, т.е. $7-6x$, стремится к единице при условии $x o<1>$, т.е. $lim_<1>>(7-6x)=7-6cdot1=1$. Для показателя степени, т.е. $frac<3x-3>$, получаем: $lim_<1>>frac<3x-3>=infty$. Итак, здесь мы имеем дело с неопределенностью вида $1^infty$, которую раскроем с помощью второго замечательного предела.

Для начала отметим, что в формуле (1) переменная $x$ стремится к бесконечности, в формуле (2) переменная $t$ стремится к нулю. В нашем случае $x o<1>$, поэтому имеет смысл ввести новую переменную, чтобы она стремилась или к нулю (тогда применим формулу (2)), или к бесконечности (тогда применим формулу (1)). Введение новой переменной, вообще говоря, не является обязательным, это будет сделано просто для удобства решения. Проще всего новую переменную $y$ ввести так: $y=x-1$. Так как $x o<1>$, то $ o<0>$, т.е. $y o<0>$. Подставляя $x=y+1$ в рассматриваемый пример, и учитывая $y o<0>$, получим:

Применим формулу (2). Выражение в основании степени в формуле (2), т.е. $1+t$, соответствует форме выражения в основании степени нашего примера, т.е. $1+(-6y)$ (выражение $-6y$ играет роль $t$). Формула (2) предполагает, что показатель степени будет иметь вид $frac<1>$, т.е. в нашем случае в показателе степени следует получить $frac<1><-6y>$. Домножим показатель степени на выражение $frac<1><-6y>$. Для компенсации такого домножения нужно домножить показатель степени на обратную дробь, т.е. на выражение $frac<-6y><1>=-6y$:

Полное решение без пояснений таково:

Так как $lim_<0>>(cos<2x>)=1$ и $lim_<0>>frac<1><sin^2<3x>>=infty$ (напомню, что $sin o<0>$ при $u o<0>$), то мы имеем дело с неопределённостью вида $1^infty$. Преобразования, аналогичные рассмотренным в примерах №1 и №2, укажем без подробных пояснений, ибо они были даны ранее:

Так как $sin^2x=frac<1-cos<2x>><2>$, то $cos<2x>-1=-2sin^2x$, поэтому:

Здесь мы учли, что $lim_<0>>frac<sin^2><sin^2<3x>>=frac<1><9>$. Подробное описание того, как находить этот предел, дано в соответствующей теме.

Так как при $x>0$ имеем $ln(x+1)-ln=lnleft(frac
ight)$, то:

Раскладывая дробь $frac$ на сумму дробей $frac=1+frac<1>$ получим:

Так как $lim_<2>>(3x-5)=6-5=1$ и $lim_<2>>frac<2x>=infty$, то мы имеем дело с неопределенностью вида $1^infty$. Подробные пояснения даны в примере №2, здесь же ограничимся кратким решением. Сделав замену $t=x-2$, получим:

Можно решить данный пример и по-иному, используя замену: $t=frac<1>$. Разумеется, ответ будет тем же:

Выясним, к чему стремится выражение $frac<2x^2+3><2x^2-4>$ при условии $x oinfty$:

Таким образом, в заданном пределе мы имеем дело с неопределенностью вида $1^infty$, которую раскроем с помощью второго замечательного предела:

Применяемые формулы, свойства и теоремы

Здесь мы рассмотрим примеры решений задач на вычисление пределов, в которых используется второй замечательный предел и его следствия.
Ниже перечислены формулы, свойства и теоремы, которые наиболее часто применяются в подобного рода вычислениях.

Здесь мы будем иметь дело со степенно-показательной функцией, у которой основание и показатель являются функциями от некоторой переменной: . Ее удобно представить как экспоненту: . В этой связи полезна следующая лемма.

Лемма о пределе степенно-показательной функции
Пусть – функции переменной x , имеющие конечные пределы:
. Здесь .
Тогда
.
Доказательство ⇓

В случае бесконечных пределов, или когда , мы проводим исследование произведения , применяя свойства пределов бесконечно больших и малых функций.

В случае и , мы имеем неопределенность вида единица в степени бесконечность. Для ее раскрытия используется второй замечательный предел.

Раскрытие неопределенности 1 в степени бесконечность

Пусть u и v есть функции от переменной x : . И пусть при . Тогда выражение является неопределенным при . Для раскрытия этой неопределенности, мы вводим переменную t из соотношения
.
Тогда . При .
;
.

Таким образом задача сводится к вычислению предела .

Доказательство леммы о пределе степенно-показательной функции

Представим степенно-показательную функцию в виде показательной функции:
.
Поскольку логарифмическая функция непрерывна на своей области определения, то по теореме о пределе непрерывной функции от функции,
.
По теореме о пределе произведения двух функций,
.
Поскольку показательная функция непрерывна на всей числовой оси, то по теореме о пределе непрерывной функции от функции,
.

Примеры решений

Все примеры Далее мы приводим подробные решения с объяснениями следующих пределов:
⇓, ⇓, ⇓, ⇓, ⇓.

Пример 1

При , . Это неопределенность вида один в степени бесконечность.

Сделаем замену переменной . При . Применим второй замечательный предел:
.

Находим предел дроби, разделив числитель и знаменатель на x :
.

Пример 2

При , . при . Это неопределенность вида один в степени бесконечность. Раскрываем ее с помощью второго замечательного предела.

Введем переменную t из соотношения: . Тогда при ,
.
.

Применим второй замечательный предел к основанию степени:
.

Найдем предел показателя степени. Для этого применим тригонометрическую формулу

и первый замечательный предел:

.

Пример 3

Все примеры ⇑ Найти предел последовательности:
.

При . Элементы последовательности равны единице. Поэтому . Рассмотрим случай .

При . Это неопределенность вида единица в степени бесконечность. Для ее раскрытия применим второй замечательный предел.

Введем переменную t из соотношения: . Тогда при ,
.
.

Применим второй замечательный предел к основанию степени:
.

Найдем предел показателя степени. Для этого применим тригонометрическую формулу

и первый замечательный предел:

.

Применяем лемму о пределе степенно-показательной функции ⇑ учитывая, что при :
.
Эта формула справедлива и при .

Пример 4

Пусть . Рассмотрим функцию в проколотой окрестности точки , на которой . Для определения предела, функция должна быть определена на любой проколотой окрестности этой точки. Считаем, что . Тогда . При . Поэтому .
Теперь рассмотрим предел при .

При . У нас неопределенность вида 0/0 .

Для ее раскрытия приведем степенно-показательную функцию к основанию e учитывая, что :
.
Согласно следствию второго замечательного предела:
.
В последнем множителе сделаем замену переменной:
.
При . Кроме этого, при . Тогда
.

Применяем арифметические свойства предела функции:
.
Это же значение является правильным и при .

Пример 5

Решение с помощью второго замечательного предела и его следствий

При . Это неопределенность вида 0/0 . Для ее раскрытия, применим следствия второго замечательного предела.

Преобразуем числитель дроби:

.
Преобразуем знаменатель:
.

Разделим числитель и знаменатель на x :
.
Чтобы не загромождать формулы, мы ввели обозначение .

Применяя первый замечательный предел и следствия второго, имеем:
; ; ; ; .
Применяем арифметические свойства предела функции:
.

Решение с помощью эквивалентных функций

Мы можем упростить решение, если применим теорему о замене функций эквивалентными в пределе частного. Считаем, что предел существует. Тогда мы можем заменить знаменатель эквивалентной функцией при . Из таблицы эквивалентных функций находим:
.

Получаем более простой предел:
.
Далее делаем преобразования аналогично предыдущему:
.
Поскольку при , то применяем следствие второго замечательного предела:
;
.
В дробях и заменим функции в числителе эквивалентными:
;
.

Применяем арифметические свойства предела функции:
.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 05-04-2019 Изменено: 05-09-2019

Формула второго замечательного предела имеет вид lim x → ∞ 1 + 1 x x = e . Другая форма записи выглядит так: lim x → 0 ( 1 + x ) 1 x = e .

Когда мы говорим о втором замечательном пределе, то нам приходится иметь дело с неопределенностью вида " open=" 1 ∞ , т.е. единицей в бесконечной степени.

Рассмотрим задачи, в которых нам пригодится умение вычислять второй замечательный предел.

Найдите предел lim x → ∞ 1 – 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .

Решение

Подставим нужную формулу и выполним вычисления.

lim x → ∞ 1 – 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 – 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 – 0 ∞ = " open=" 1 ∞

У нас в ответе получилась единица в степени бесконечность. Чтобы определиться с методом решения, используем таблицу неопределенностей. Выберем второй замечательный предел и произведем замену переменных.

t = – x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = – t 2

Если x → ∞ , тогда t → – ∞ .

Посмотрим, что у нас получилось после замены:

lim x → ∞ 1 – 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = " open=" 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t – 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t – 1 2 = e – 1 2

Ответ: lim x → ∞ 1 – 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e – 1 2 .

Вычислите предел lim x → ∞ x – 1 x + 1 x .

Решение

Подставим бесконечность и получим следующее.

lim x → ∞ x – 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 – 1 x 1 + 1 x x = 1 – 0 1 + 0 ∞ = " open=" 1 ∞

В ответе у нас опять получилось то же самое, что и в предыдущей задаче, следовательно, мы можем опять воспользоваться вторым замечательным пределом. Далее нам нужно выделить в основании степенной функции целую часть:

x – 1 x + 1 = x + 1 – 2 x + 1 = x + 1 x + 1 – 2 x + 1 = 1 – 2 x + 1

После этого предел приобретает следующий вид:

lim x → ∞ x – 1 x + 1 x = " open=" 1 ∞ = lim x → ∞ 1 – 2 x + 1 x

Заменяем переменные. Допустим, что t = – x + 1 2 ⇒ 2 t = – x – 1 ⇒ x = – 2 t – 1 ; если x → ∞ , то t → ∞ .

После этого записываем, что у нас получилось в исходном пределе:

lim x → ∞ x – 1 x + 1 x = " open=" 1 ∞ = lim x → ∞ 1 – 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t – 2 t – 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t – 2 t · 1 + 1 t – 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t – 2 t · lim x → ∞ 1 + 1 t – 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t – 2 · 1 + 1 ∞ = e – 2 · ( 1 + 0 ) – 1 = e – 2

Чтобы выполнить данное преобразование, мы использовали основные свойства пределов и степеней.

Ответ: lim x → ∞ x – 1 x + 1 x = e – 2 .

Вычислите предел lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 – 1 3 x 4 2 x 3 – 5 .

Решение

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 – 1 3 x 4 2 x 3 – 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x – 1 x 3 3 2 x – 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 – 0 3 0 – 0 = " open=" 1 ∞

После этого нам нужно выполнить преобразование функции для применения второго замечательного предела. У нас получилось следующее:

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 – 1 3 x 4 2 x 3 – 5 = " open=" 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 – 2 x 2 – 1 – 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 – 1 3 x 4 2 x 3 – 5 = = lim x → ∞ 1 + – 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 – 1 3 x 4 2 x 3 – 5

Далее нам нужно домножить показатель на x 3 + 2 x 2 – 1 – 2 x 2 + 2 , после чего разделить на то же выражение, используя свойства степеней.

lim x → ∞ 1 + – 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 – 1 3 x 4 2 x 3 – 5 = lim x → ∞ 1 + – 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 – 1 x 3 + 2 x 2 – 1 – 2 x 2 + 2 – 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 – 1 3 x 4 2 x 3 – 5 = = lim x → ∞ 1 + – 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 – 1 x 3 + 2 x 2 – 1 – 2 x 2 + 2 – 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 – 1 3 x 4 2 x 3 – 5

Поскольку сейчас у нас есть одинаковые показатели степени в числителе и знаменателе дроби (равные шести), то предел дроби на бесконечности будет равен отношению данных коэффициентов при старших степенях.

lim x → ∞ 1 + – 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 – 1 x 3 + 2 x 2 – 1 – 2 x 2 + 2 – 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 – 1 3 x 4 2 x 3 – 5 = = lim x → ∞ 1 + – 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 – 1 x 3 + 2 x 2 – 1 – 2 x 2 + 2 – 6 2 = lim x → ∞ 1 + – 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 – 1 x 3 + 2 x 2 – 1 – 2 x 2 + 2 – 3

При замене t = x 2 + 2 x 2 – 1 – 2 x 2 + 2 у нас получится второй замечательный предел. Значит, что:

lim x → ∞ 1 + – 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 – 1 x 3 + 2 x 2 – 1 – 2 x 2 + 2 – 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t – 3 = e – 3

Ответ: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 – 1 3 x 4 2 x 3 – 5 = e – 3 .

Выводы

Неопределенность " open=" 1 ∞ , т.е. единица в бесконечной степени, является степенной неопределенностью, следовательно, ее можно раскрыть, используя правила нахождения пределов показательно степенных функций.

Советуем также изучить материалы, посвященные пределам, основным определениям и задачам на их нахождение.