Закон движения точки имеет вид

Кинематические законы движения

Механическим движением называют изменение положения тела относительно тел, составляющих систему отсчета. Для того чтобы описать движение тела следует выбрать систему отсчета в которую ходят: тело отсчёта, система координат, которая связана с телом отсчета и часы (отсчет времени). Движение можно описать при помощи трех способов: координатного (скалярного), векторного, траекторного (натурального).

В декартовой системе координат (рис.1) положение материальной точки (M) определяют три координаты () или радиус-вектор , который проведен из начала системы координат в рассматриваемую точку.

Если точка перемещается, то в любой следующий момент времени координаты изменяются:

Уравнения (1) называют скалярными кинематическими уравнениями движения материальной точки (параметрическими уравнениями). Данные уравнения определяют перемещение точки координатным способом.

Радиус- вектор можно определить как:

где , , — единичные векторы по осям X,Y,Z (рис.1).Выражение:

является векторным кинематическим уравнением движения материальной точки. Выражения 1-3 называют кинематическими законами движения материальной точки. Данные законы полностью описывают движение точки.

Модуль (длина) радиус- вектора находится при помощи формулы:

Динамические законы движения материальной точки

Динамика рассматривает движение материальной точки в зависимости от сил, которые к ней приложены. Основные законы классической динамики сформулированы Ньютоном.

Первый закон Ньютона:

Материальная точка не изменяет своего состояния покоя или движется равномерно и прямолинейно, если внешние силы на нее не действуют или действие их взаимно скомпенсированы.

Второй закон Ньютона:

В инерциальных системах отсчета результирующая сил (), приложенных к материальной точке равна произведению ее массы () на ускорение ():

Дифференциальные уравнения движения материальной точки записываю как:

где — координаты перемещающейся материальной точки, , , —проекции сил, приложенных к точке.

С помощью дифференциальных уравнений перемещения материальной точки при известной массе находят силы, которые действуют на точку.

Примеры решения задач

Задание

На материальную точку действуют сила тяжести () и сила сопротивления, пропорциональная скорости () движения точки () (рис.2). Составьте динамические уравнения движения материальной точки.

Решение Проекциями векторного равенства являются выражения:

Применяя второй закон Ньютона выражения (1.1) — (1.3) преобразуем к виду:

Ответ

Задание	Радиус — вектор материальной точки задан функцией: , где 0" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="16" w />, , — орты осей X и Y. Запишите уравнение траектории (, изобразите ее график.
Решение	Векторное кинематическое уравнение имеет вид:

В условии задачи радиус 0 вектор задан как:

Следовательно, сравнивая выражения (2.1) и (2.2) имеем:

Выразим из первого уравнения (2.3) время и подставим его во второе уравнение, получим:

Уравнение траектории — это парабола (рис.3).

Ответ

Проверено экспертом

ВСТРЕТИЛИСЬ – это значит что координаты точек К и М должны быть одинаковыми.

Составляем уравнение:
19 – 3t = 3+5t
16 = 8t
t=2 c

Точки встретятся через 2 секунды после начала движения в точке с координатой
Xк = Хм = 3+5*2=13 м

Ну а график (пересечение двух прямых, построите сами. Это не сложно, вспомните линейные функции из алгебры)

Под естественной координатой S понимают расстояние, отсчитываемое по дуге траектории в соответствующем направлении (рис. 4.3).

Скалярной скоростью точки в данный момент времени называют предел средней скалярной скорости при :

Скалярная скорость точки в данный момент времени равна производной от естественной координаты по времени:

Скалярным касательным ускорением точки в данный момент времени называют предел среднего скалярного касательного ускорения точки при :

или .

Скалярное касательное ускорение точки в данный момент времени равно первой производной от скалярной скорости по времени или второй производной от естественной координаты по времени.

Модуль нормального ускорения точки в данный момент времени определяется выражением:

, где ρ – радиус кривизны траектории в точке.

Касательное ускорение направлено по касательной к траектории, нормальное – по главной нормали в сторону вогнутости траектории.

Касательное ускорение характеризует изменение модуля скорости, а нормальное – изменение направления скорости.

Ускорение точки при движении по любой траектории равно сумме касательного и нормального ускорения:

.

Классификация движений точки по ускорениям:

1. – движение неравномерное, прямолинейное;

2. – движение неравномерное, криволинейное;

3. – движение равномерное, криволинейное;

4. – движение равномерное, прямолинейное.

4.1.1. К -1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям её движения

Дано:точкаВ движется в плоскости XOY. Закон движения точки задан уравнениями: x=f₁(t), y=f₂(t) (табл. К -1), где x и y выражены в сантиметрах, t – в секундах.

Определить:уравнение траектории точки; для момента времени t₁=1с найти скорость и ускорение точки, а также её касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Указания: задача К1 относится к кинематике точки; скорость и ускорение точки в декартовых координатах определяются по формулам координатного способа задания движения точки, а касательное и нормальное ускорения точки – по формулам естественного способа задания её движения.

По предпоследней цифре шифра зачетной книжки выбирается уравнение, задающее изменении координаты X(t), а по последней – Y(t).

В задаче все искомые величины следует определить для момента времени t₁=1с.

Таблица К-1

№№ п/п	x=f1(t)	y=f2(t)
Для строк 0-2	Для строк 3-6	Для строк 7-9
6cos(πt/6) – 3	12sin(πt/6)	2t 2 + 2	4cos(πt/6)
4cos(πt/6)	-6cos(πt/3)	8sin(πt/4)	6cos 2 (πt/6)
2 – 3cos(πt/6)	-3sin 2 (πt/6)	(2+t) 2	4cos(πt/3)
t-4	9sin(πt/6)	2t 3	10cos(πt/6)
4-2t	3cos(πt/3)	2cos(πt/4)	-4cos 2 (πt/6)
2-t	10sin(πt/6)	2 – 3t 2	12cos(πt/3)
2t	6sin 2 (πt/6)	2sin(πt/4)	-3cos(πt/6)
8sin(πt/6) – 2	-2sin(πt/6)	(t+1) 3	-8cos(πt/3)
12sin(πt/6)	9cos(πt/3)	2 – t 3	9cos(πt/6)
4 – 6sin(πt/6)	-8sin(πt/6)	4cos(πt/4)	-6cos(πt/3)

Дано: уравнения движения точки в плоскости XOY:

x=12sin(πt/6), y=4cos(πt/6), где x, y – в сантиметрах, t – в секундах.

Определить: уравнение траектории точки; для момента времени t₁=1с найти скорость и ускорение точки, а также её касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

1. Для определения уравнения траектории точки исключим из данных уравнений движения параметр t:

– уравнение траектории точки – эллипс с полуосями 12 см и 4 см (рис. К -1).

2. Определим положение точки на траектории в момент времени t₁=1с :

3. Скорость точки находим по её проекциям на координатные оси:

, при t₁=1с

4. Аналогично найдём ускорение точки при t₁=1с :

, при t₁=1с

5. Находим касательное ускорение точки, зная численные значения всех величин, входящих в правую часть выражения:

при t₁=1с

6. Нормальное ускорение точки определяем по формуле , подставляя известные численные значения. При t₁=1с получим

7. Определяем радиус кривизны траектории: ρ=v 2 /a n при t₁=1с ρ₁=24,93 (см).

4.2. Плоскопараллельное (плоское) движение
твердого тела

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: На стипендию можно купить что-нибудь, но не больше. 9013 – | 7251 – или читать все.

78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно