Содержание
- 0.1 Вывод законов Ома и Джоуля-Ленца из классических электронных представлений
- 0.2 Закон Видемана-Франца. Затруднения классической электронной теории
- 0.3 Вывод законов Ома и Джоуля-Ленца из классических электронных представлений
- 0.4 Закон Видемана-Франца. Затруднения классической электронной теории
- 1 Закон Джоуля Ленца в интегральной форме
- 2 Закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме
Опытом установлено, что если в проводнике течет ток, то работа сторонних сил расходуется на его нагревание. Предположим, что на концах участка проводника имеется разность потенциалов U = φ1 – φ2.
Тогда работа по переносу заряда Q на этом участке равна:
Если ток постоянный, то:
и
Эта работа равна количеству теплоты Q, и формула Q = I · U · t выражает закон Джоуля-Ленца в интегральной форме.
Используя выражение закона Ома получим:
.
Преобразуем закон Джоуля–Ленца. Введем плотность тепловой мощности w – величину, равную энергии, выделяемой за время t прохождения тока в единице объема проводника:
,
где S – сечение, l – длина проводника. Подставляя Q = I 2 R t и , получим .
Здесь – плотность тока, , и учитывая, что j = γE, получим
.
Это есть выражение закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме. Плотность тепловой мощности в проводнике, по которому течет ток, прямо пропорциональна квадрату напряженности поля в проводнике. Коэффициентом пропорциональности является удельная проводимость проводника.
Вывод законов Ома и Джоуля-Ленца из классических электронных представлений
Какова природа носителей тока в металлах? В 1901 г. Рикке проделал опыты: через 3 цилиндра, установленных друг на друга в течение 3-х лет пропускал постоянный ток. Был пропущен заряд, равный 3,5 ·10 6 Кл. Взвешивание показало неизменный вес цилиндров. Исследование торцов цилиндров не показало следов переноса вещества. Из этого был сделан вывод, что носители заряда не ионы, а открытые Томпсоном в 1897 г. электроны.
Чтобы отождествить носители заряда с электронами, нужно было определить знак и величину удельного заряда носителей.
Если в металле имеются легко перемещающиеся заряженные частицы, то при торможении металлического проводника эти частицы должны некоторое время продолжать двигаться по инерции, в результате чего в проводнике возникнет импульс тока и будет перенесен некоторый заряд.
Мандельштам и Папалекси в 1913 г. проделали такой опыт – они приводили в быстрое крутильное колебание катушку с проводом вокруг ее оси. К концам катушки подключили телефон, в котором был слышен звук, обусловленный импульсами тока. Был получен качественный результат – зарегистрирован импульс тока.
Толмен и Стюарт в 1916 г. получили количественный результат. Катушка с проводом длиной 500 м приводилась во вращение со скоростью v=300 м/с. Катушка резко тормозилась и с помощью баллистического гальванометра измеряли заряд, протекавший в цепи во время торможения. Вычисленное значение отношения заряда к массе e/m получалось очень близким для электронов. Таким образом было доказано, что носителем тока являются электроны.
Исходя из представлений о свободных электронах была создана классическая теория электропроводности металлов в предположении, что:
– электроны в металле ведут себя подобно молекулам идеального газа;
– движение электронов подчиняется законам классической механики;
– взаимодействие электронов сводится к соударениям с ионами кристаллической решетки;
– силами взаимодействия между электронами можно пренебречь и они между собой не сталкиваются;
– электроны в отсутствие электрического поля движутся хаотически.
Вычислим плотность тока j в проводнике, возникающего под действием поля напряженностью Е.
По определению плотность тока j = n·e· – это заряд, переносимый через единицу площади S = 1м 2 за единицу времени t=1 с; n – концентрация электронов, е – заряд электрона, · – средняя скорость упорядоченного движения электронов.
На каждый электрон действует сила F = eE = ma, поэтому электрон приобретает ускорение: и к концу свободного пробега он достигнет скорости:
, а средняя скорость
Если – средняя скорость теплового хаотичного движения электронов, а средняя длина свободного пробега электронов , то среднее время между соударениями = .
Подставляя в формулу для получим:
.
Подставляя в формулу для j, получим:
,
т.е. плотность тока прямо пропорциональна Е, а это и есть выражение закона Ома в дифференциальной форме. Если положить, что:
то
j= γ E.
Удельная проводимость γ
T, поэтому проводимость снижается с ростом температуры, а удельное сопротивление повышается с ростом температуры. К концу свободного пробега электрон приобретает кинетическую энергию
Предполагается, что вся энергия при соударении передается узлу кристаллической решетки и переходит в тепло. За 1 с электрон испытывает / cоударений, а значит выделяет во столько же раз больше тепла. Если в единице объема n электронов, то в единице объема за единицу времени выделится количество тепла
.
Таким образом, – выражение закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.
Закон Видемана-Франца. Затруднения классической электронной теории
Известно, что металлы наряду с высокой электропроводностью обладают также большой теплопроводностью. Видеман и Франц в 1853 г. эмпирически установили закон: отношение коэффициента теплопроводности χ к коэффициенту электропроводности γ для всех металлов приблизительно одинаково и прямо пропорционально абсолютной температуре
.
Таким образом, классическая электронная теория хорошо объясняет существование электрического сопротивления металлов, законы Ома и Джоуля-Ленца, позволяет выразить удельную теплопроводность через атомарные постоянные металла, объясняет зависимость электропроводности от температуры и позволяет понять связь между теплопроводностью и электропроводностью металлов.
Однако в некоторых вопросах, классическая электронная теория приходит к выводам, находящимся в противоречии с опытом.
1. Исходя из классической электронной теории удельная электропроводность равна:
,
, но ,
т.е. ∼ .
Следовательно, по теории ρ ∼ , тогда как на практике
,
т.е. удельное сопротивление пропорционально первой степени температуры Т.
Кроме того, согласно классической электронной теории удельное сопротивление ρ должно монотонно уменьшаться при охлаждении, оставаясь при всех температурах по значению конечным. Это и наблюдается при сравнительно высоких температурах. Однако при достаточно низких температурах удельное сопротивление перестает зависеть от температуры и достигает некоторого предельного значения, которое называют остаточным сопротивлением (велико у сплавов, существует у чистых металлов и тем меньше, чем чище металл и меньше структурных дефектов).
Если понижать температуру еще ниже, то в некоторых веществах наблюдается явление сверхпроводимости, т.е. удельное сопротивление внезапно скачком уменьшается практически до нуля (рис. 96). В сверхпроводниках однажды возбужденный электрический ток может длительно существовать без источника тока (в течение нескольких суток). В таком состоянии не выполняется закон Ома.
2. Другим затруднением классической электронной теории металлов может служить теория теплоемкости кристаллов. Согласно этой теории “электронный газ” металлов должен обладать молярной теплоемкостью . Добавляя эту теплоемкость к теплоемкости кристаллической решетки, составляющей 3R, получим для молярной теплоемкости металла значение (9/2)R. Таким образом, согласно классической электронной теории молярная теплоемкость металла должна быть в 1,5 раза выше, чем у диэлектриков. Однако на практике их молярные теплоемкости практически не различаются. Объяснение этих различий и явлений дается в рамках квантовой теории металлов.
В классической теории неверным является предположение, что электроны проводимости подчиняются законам статистики Максвелла-Больцмана и что для них справедлив закон распределения энергии Максвелла. На самом деле они подчиняются законам квантовой статистики и закону распределения энергий Ферми-Дирака.
Энергия электронов в металлах слабо зависит от температуры и теплоемкость электронного газа оказывается близка к нулю, поэтому наличие электронного газа в металлах практически не сказывается на теплоемкости.
Далее, в классической электронной теории не учитывается взаимодействие электронов друг с другом, а их взаимодействие с решеткой металла описывается с помощью представления о соударениях. При низких температурах взаимодействие между электронами начинает играть решающую роль. Кроме того, оказалось, что взаимодействие электронов с решеткой имеет иной характер – электроны движутся в периодическом поле электрического потенциала решетки.
И, наконец, движение электронов в металлах подчиняется законам квантовой, а не классической механики.
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Опытом установлено, что если в проводнике течет ток, то работа сторонних сил расходуется на его нагревание. Предположим, что на концах участка проводника имеется разность потенциалов U = φ1 – φ2.
Тогда работа по переносу заряда Q на этом участке равна:
Если ток постоянный, то:
и
Эта работа равна количеству теплоты Q, и формула Q = I · U · t выражает закон Джоуля-Ленца в интегральной форме.
Используя выражение закона Ома получим:
.
Преобразуем закон Джоуля–Ленца. Введем плотность тепловой мощности w – величину, равную энергии, выделяемой за время t прохождения тока в единице объема проводника:
,
где S – сечение, l – длина проводника. Подставляя Q = I 2 R t и , получим .
Здесь – плотность тока, , и учитывая, что j = γE, получим
.
Это есть выражение закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме. Плотность тепловой мощности в проводнике, по которому течет ток, прямо пропорциональна квадрату напряженности поля в проводнике. Коэффициентом пропорциональности является удельная проводимость проводника.
Вывод законов Ома и Джоуля-Ленца из классических электронных представлений
Какова природа носителей тока в металлах? В 1901 г. Рикке проделал опыты: через 3 цилиндра, установленных друг на друга в течение 3-х лет пропускал постоянный ток. Был пропущен заряд, равный 3,5 ·10 6 Кл. Взвешивание показало неизменный вес цилиндров. Исследование торцов цилиндров не показало следов переноса вещества. Из этого был сделан вывод, что носители заряда не ионы, а открытые Томпсоном в 1897 г. электроны.
Чтобы отождествить носители заряда с электронами, нужно было определить знак и величину удельного заряда носителей.
Если в металле имеются легко перемещающиеся заряженные частицы, то при торможении металлического проводника эти частицы должны некоторое время продолжать двигаться по инерции, в результате чего в проводнике возникнет импульс тока и будет перенесен некоторый заряд.
Мандельштам и Папалекси в 1913 г. проделали такой опыт – они приводили в быстрое крутильное колебание катушку с проводом вокруг ее оси. К концам катушки подключили телефон, в котором был слышен звук, обусловленный импульсами тока. Был получен качественный результат – зарегистрирован импульс тока.
Толмен и Стюарт в 1916 г. получили количественный результат. Катушка с проводом длиной 500 м приводилась во вращение со скоростью v=300 м/с. Катушка резко тормозилась и с помощью баллистического гальванометра измеряли заряд, протекавший в цепи во время торможения. Вычисленное значение отношения заряда к массе e/m получалось очень близким для электронов. Таким образом было доказано, что носителем тока являются электроны.
Исходя из представлений о свободных электронах была создана классическая теория электропроводности металлов в предположении, что:
– электроны в металле ведут себя подобно молекулам идеального газа;
– движение электронов подчиняется законам классической механики;
– взаимодействие электронов сводится к соударениям с ионами кристаллической решетки;
– силами взаимодействия между электронами можно пренебречь и они между собой не сталкиваются;
– электроны в отсутствие электрического поля движутся хаотически.
Вычислим плотность тока j в проводнике, возникающего под действием поля напряженностью Е.
По определению плотность тока j = n·e· – это заряд, переносимый через единицу площади S = 1м 2 за единицу времени t=1 с; n – концентрация электронов, е – заряд электрона, · – средняя скорость упорядоченного движения электронов.
На каждый электрон действует сила F = eE = ma, поэтому электрон приобретает ускорение: и к концу свободного пробега он достигнет скорости:
, а средняя скорость
Если – средняя скорость теплового хаотичного движения электронов, а средняя длина свободного пробега электронов , то среднее время между соударениями = .
Подставляя в формулу для получим:
.
Подставляя в формулу для j, получим:
,
т.е. плотность тока прямо пропорциональна Е, а это и есть выражение закона Ома в дифференциальной форме. Если положить, что:
то
j= γ E.
Удельная проводимость γ
T, поэтому проводимость снижается с ростом температуры, а удельное сопротивление повышается с ростом температуры. К концу свободного пробега электрон приобретает кинетическую энергию
Предполагается, что вся энергия при соударении передается узлу кристаллической решетки и переходит в тепло. За 1 с электрон испытывает / cоударений, а значит выделяет во столько же раз больше тепла. Если в единице объема n электронов, то в единице объема за единицу времени выделится количество тепла
.
Таким образом, – выражение закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.
Закон Видемана-Франца. Затруднения классической электронной теории
Известно, что металлы наряду с высокой электропроводностью обладают также большой теплопроводностью. Видеман и Франц в 1853 г. эмпирически установили закон: отношение коэффициента теплопроводности χ к коэффициенту электропроводности γ для всех металлов приблизительно одинаково и прямо пропорционально абсолютной температуре
.
Таким образом, классическая электронная теория хорошо объясняет существование электрического сопротивления металлов, законы Ома и Джоуля-Ленца, позволяет выразить удельную теплопроводность через атомарные постоянные металла, объясняет зависимость электропроводности от температуры и позволяет понять связь между теплопроводностью и электропроводностью металлов.
Однако в некоторых вопросах, классическая электронная теория приходит к выводам, находящимся в противоречии с опытом.
1. Исходя из классической электронной теории удельная электропроводность равна:
,
, но ,
т.е. ∼ .
Следовательно, по теории ρ ∼ , тогда как на практике
,
т.е. удельное сопротивление пропорционально первой степени температуры Т.
Кроме того, согласно классической электронной теории удельное сопротивление ρ должно монотонно уменьшаться при охлаждении, оставаясь при всех температурах по значению конечным. Это и наблюдается при сравнительно высоких температурах. Однако при достаточно низких температурах удельное сопротивление перестает зависеть от температуры и достигает некоторого предельного значения, которое называют остаточным сопротивлением (велико у сплавов, существует у чистых металлов и тем меньше, чем чище металл и меньше структурных дефектов).
Если понижать температуру еще ниже, то в некоторых веществах наблюдается явление сверхпроводимости, т.е. удельное сопротивление внезапно скачком уменьшается практически до нуля (рис. 96). В сверхпроводниках однажды возбужденный электрический ток может длительно существовать без источника тока (в течение нескольких суток). В таком состоянии не выполняется закон Ома.
2. Другим затруднением классической электронной теории металлов может служить теория теплоемкости кристаллов. Согласно этой теории “электронный газ” металлов должен обладать молярной теплоемкостью . Добавляя эту теплоемкость к теплоемкости кристаллической решетки, составляющей 3R, получим для молярной теплоемкости металла значение (9/2)R. Таким образом, согласно классической электронной теории молярная теплоемкость металла должна быть в 1,5 раза выше, чем у диэлектриков. Однако на практике их молярные теплоемкости практически не различаются. Объяснение этих различий и явлений дается в рамках квантовой теории металлов.
В классической теории неверным является предположение, что электроны проводимости подчиняются законам статистики Максвелла-Больцмана и что для них справедлив закон распределения энергии Максвелла. На самом деле они подчиняются законам квантовой статистики и закону распределения энергий Ферми-Дирака.
Энергия электронов в металлах слабо зависит от температуры и теплоемкость электронного газа оказывается близка к нулю, поэтому наличие электронного газа в металлах практически не сказывается на теплоемкости.
Далее, в классической электронной теории не учитывается взаимодействие электронов друг с другом, а их взаимодействие с решеткой металла описывается с помощью представления о соударениях. При низких температурах взаимодействие между электронами начинает играть решающую роль. Кроме того, оказалось, что взаимодействие электронов с решеткой имеет иной характер – электроны движутся в периодическом поле электрического потенциала решетки.
И, наконец, движение электронов в металлах подчиняется законам квантовой, а не классической механики.
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Закон Джоуля Ленца в интегральной форме
Форма энергии, которая выделяется при прохождении по проводнику электрического тока, зависит от природы физических факторов, которые вызывают падение потенциала. Так, например, изменение потенциала на сопротивлении проводов сопровождается выделением тепла, падение напряжения на клеммах двигателя постоянного тока связано с производством механической работы.
Допустим, что участок цепи — неподвижный проводник. Вся работа тока превращается в тепло, которое на проводнике выделяется. Если проводник однороден, подчиняется закону Ома:
где $R$ — сопротивление проводника, то можно записать, что работа (А) электрического тока равна:
где $t$ — время прохождения током рассматриваемого проводника, то вся выделенная на проводнике энергия в виде тепла равна:
Формула (3) есть закон Джоуля — Ленца в интегральной форме. Этот закон открыт в 1841 г. Джоулем и позднее Ленц подробно исследовал его.
В том случае, если сила тока не постоянна во времени, то количество тепла, которое выделяется на проводнике можно рассчитать в соответствии с формулой:
Попробуй обратиться за помощью к преподавателям
Необходимо отметить, что эффект нагревания проводника током находит применение на практике. Наиболее известное из них — лампы накаливания.
Закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме
Над электроном, который движется в проводнике со скоростью $overrightarrow
где $overrightarrow
В металлах эта работа идет на приращение внутренней энергии, так как прохождение электрического тока по проводнику не сопровождается изменением структуры металла. Значит, можно записать, что удельное количество тепла (удельная мощность тепловыделения) $Q_
Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!
Формула (8) закон Джоуля — Ленца в локальной (дифференциальной) форме. В форме (8) данный закон не зависит от природы сил, которые порождают ток, значит, в такой формулировке носит общий характер. В том случае, если сила, которая действует на электроны исключительно электрической природы, то есть:
выражение (8) можно представить как:
Закон Джоуля — Ленца справедлив и для электролитов. Что означает, работа электрического поля не тратится на образование ионов. Ионы в растворе образуются в результате диссоциации молекул, когда происходит процесс растворения.
Задание: Электрический ток проходит по спирали с сопротивлением R. Ток равномерно убывает до нуля за время $ riangle t$. За обозначенный период времени через спираль проходит заряд q. Какое количество тепла выделится на спирали за данный промежуток времени?
В качестве основы для решения задачи примем закон Джоуля Ленца в виде:
Из определения силы тока запишем:
следовательно, заряд, который проходит через проводник, равен:
В условии задачи сказано, что ток убывает равномерно, следовательно, закон убывания тока ищем в виде:
где $a,b$ постоянные. За начальный момент времени примем $t_1$=0, тогда $t_2= riangle t. $Подставим (1.4) в (1.3) проведем интегрирование:
По условию задачи в некоторый момент времени $t_2$ ток стал равен нулю, то есть:
[I=a riangle t+b=0 left(1.6
ight),]
Найдем коэффициент a из (1.5), учитывая (1.7):
Подставим (1.8) в (1.1), получим искомое тепло:
Задание: Сравните удельную мощность тепловыделения электрического поля для сечений $S_1$ и $S_2$ (рис.1) проводника. Если по проводнику течет постоянный ток ($I=const$).
В качестве основания для решения используем локальную формулировку закона Джоуля Ленца:
Для проводника в месте сечения $S_1$ можно записать, что:
Для проводника в месте сечения $S_2$ можно записать, что:
Тогда формула (2.1) преобразуется к виду:
Мы получили, что удельное количество тепла обратно пропорционально площади сечения проводника.
Так и не нашли ответ
на свой вопрос?
Просто напиши с чем тебе
нужна помощь