Запас устойчивости по модулю и фазе

10.1. Понятие структурной устойчивости. АФЧХ астатических САУ

САУ может быть неустойчивой по двум причинам: неподходящий состав динамических звеньев и неподходящие значения параметров звеньев.

САУ, неустойчивые по первой причине называются структурно неустойчивыми . Это означает, что изменением параметров САУ нельзя добиться ее устойчивости, нужно менять ее структуру.

Например, если САУ состоит из любого количества инерционных и колебательных звеньев, она имеет вид, показанный на рис.72 . При увеличении коэффициента усиления САУ K каждая точка ее АФЧХ удаляется от начала координат, пока при некотором значении K _крит АФЧХ не пересечет точку ( -1, j0 ). При дальнейшем увеличении K , САУ будет неустойчива. И наоборот, при уменьшении K такую САУ в принципе возможно сделать устойчивой, поэтому ее называют структурно устойчивой .

Если САУ астатическая, то при ее размыкании характеристическое уравнение можно представить в виде: pD ₁ p(p) = 0 , где n – порядок астатизма , равный количеству последовательно включенных интеграторов. Это уравнение имеет нулевые корни, поэтому при 0 , АФЧХ стремится к (рис.71в и 71г). Например, пусть W _р (p) = , здесь = 1 , тогда АФЧХ разомкнутой САУ:

W(j) = = P() + jQ().

Так как порядок знаменателя больше порядка числителя, то при 0 имеем P() – , Q() -j . Подобная АФЧХ представлена на рис.73.

Так как АФЧХ терпит разрыв, трудно сказать, охватывает ли она точку (-1,j0) . В этом случае пользуются следующим приемом: если АФЧХ терпит разрыв, уходя в бесконечность при 0 , ее дополняют мысленно полуокружностью бесконечного радиуса, начинающейся на положительной вещественной полуоси и продолжающейся до АФЧХ в отрицательном направлении. После этого можно применить критерий Найквиста. Как видно из рисунка, САУ, имеющая одно интегрирующее звено, является структурно устойчивой.

Если САУ имеет два интегрирующих звена (порядок астатизма = 2 ), ее АФЧХ уходит в бесконечность во втором квадранте (рис.74). Например, пусть W _р (p) = , тогда АФЧХ САУ:

W(j) = = P() + jQ().

При 0 имеем P() –, Q() + j. Такая САУ не будет устойчива ни при каких значениях параметров, то есть она структурно неустойчива.

Структурно неустойчивую САУ можно сделать устойчивой, включив в нее корректирующие звенья (например, дифференцирующие или форсирующие) или изменив структуру САУ, например, с помощью местных обратных связей.

10.2. Понятие запаса устойчивости

В условиях эксплуатации параметры системы по тем или иным причинам могут меняться в определенных пределах (старение, температурные колебания и т.п.). Эти колебания параметров могут привести к потере устойчивости системы, если она работает вблизи границы устойчивости. Поэтому стремятся спроектировать САУ так, чтобы она работала вдали от границы устойчивости. Степень этого удаления называют запасом устойчивости .

Согласно критерия Найквиста, чем дальше АФЧХ от критической точки (-1, j0) , тем больше запас устойчивости. Различают запасы устойчивости по модулю и по фазе.

Запас устойчивости по модулю характеризует удаление годографа АФЧХ разомкнутой САУ от критической точки в направлении вещественной оси и определяется расстоянием h от критической точки до точки пересечения годографом оси абсцисс (рис.75).

Запас устойчивости по фазе характеризует удаление годографа от критической точки по дуге окружности единичного радиуса и определяется углом между отрицательным направлением вещественной полуоси и лучом, проведенным из начала координат в точку пересечения годографа с единичной окружностью.

Как уже отмечалось, с ростом коэффициента передачи разомкнутой САУ растет модуль каждой точки АФЧХ и при некотором значении K = K _кр АФЧХ пройдет через критическую точку (рис.76) и попадет на границу устойчивости, а при K > K _кр замкнутая САУ станет неустойчива. Однако в случае “клювообразных” АФЧХ (получаются из-за наличия внутренних обратных связей) не только увеличение, но и уменьшение K может привести к потере устойчивости замкнутых САУ (рис.77). В этом случае запас устойчивости определяется двумя отрезками h ₁ и h ₂ , заключенными между критической точкой и АФЧХ.

Обычно при создании САУ задаются требуемыми запасами устойчивости h и , за пределы которых она выходить не должна. Эти пределы выставляются в виде сектора, вычерчиваемого вокруг критической точки, в который АФЧХ разомкнутой САУ входить не должна (рис.78).

10.3. Анализ устойчивости по ЛЧХ

Оценку устойчивости по критерию Найквиста удобнее производить по ЛЧХ разомкнутой САУ. Очевидно, что каждой точке АФЧХ будут соответствовать определенные точки ЛАЧХ и ЛФЧХ.

Пусть известны частотные характеристики двух разомкнутых САУ (1 и 2), отличающихся друг от друга только коэффициентом передачи K _{1 2} . Пусть первая САУ устойчива в замкнутом состоянии, вторая нет.(рис.79).

Если W ₁ (p) – передаточная функция первой САУ, то передаточная функция второй САУ W ₂ (p) = KW ₁ (p) , где K = K ₂ /K ₁ . Вторую САУ можно представить последовательной цепочкой из двух звеньев с передаточными функциями K (безынерционное звено) и W ₁ (p) , поэтому результирующие ЛЧХ строятся как сумма ЛЧХ каждого из звеньев.

Поэтому ЛАЧХ второй САУ: L ₂ () = 20lgK + L ₁ () ,

а ЛФЧХ: ₂ () = ₁ () .

Пересечениям АФЧХ вещественной оси соответствует значение фазы = – . Это соответствует точке пересечения ЛФЧХ = – линии координатной сетки. При этом, как видно на АФЧХ, амплитуды A ₁ () ₂ () > 1 , что соответствует на САЧХ значениям L ₁ () = 20lgA ₁ () ₂ () > 0 .

Сравнивая АФЧХ и ЛФЧХ можно заключить, что система в замкнутом состоянии будет устойчива, если значению ЛФЧХ = – будут соответствовать отрицательные значения ЛАЧХ и наоборот. Запасам устойчивости по модулю h ₁ и h ₂ , определенным по АФЧХ соответствуют расстояния от оси абсцисс до ЛАЧХ в точках, где = – , но в логарифмическом масштабе.

Особыми точками являются точки пересечения АФЧХ с единичной окружностью. Частоты _c1 и _c2 , при которых это происходит называют частотами среза .

В точках пересечения A() = 1 = > L() = 0 – ЛАЧХ пересекает горизонтальную ось. Если при частоте среза фаза АФЧХ c1 > – (рис.79а кривая 1), то замкнутая САУ устойчива. На рис.79б это выглядит так, что пересечению ЛАЧХ горизонтальной оси соответствует точка ЛФЧХ, расположенная выше линии = – . И наоборот для неустойчивой замкнутой САУ (рис.79а кривая 2) c2 – , поэтому при = _c2 ЛФЧХ проходит ниже линии = – . Угол ₁ = _c1 -(-) является запасом устойчивости по фазе. Этот угол соответствует расстоянию от линии = – до ЛФЧХ.

Исходя из сказанного, критерий устойчивости Наквиста по логарифмическим ЧХ, в случаях, когда АФЧХ только один раз пересекает отрезок вещественной оси [-;-1] , можно сформулировать так: для того, чтобы замкнутая САУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы частота, при которой ЛФЧХ пересекает линию = – , была больше частоты среза.

Если АФЧХ разомкнутой САУ имеет сложный вид (рис.80), то ЛФЧХ может несколько раз пересекать линию = – . В этом случае применение критерия Найквиста несколько усложняется. Однако во многих случаях данной формулировки критерия Найквиста оказывается достаточно.

, (5.13)

, (5.14)

, (5.15)

, (5.16)

, (5.17)

. (5.18)

Функция Л. А. Ч. Х. разомкнутой системы:

. (5.19)

Функции Л.Ф.Ч.Х. звеньев в порядке изображения их на преобразованной структурной схеме разомкнутой САР:

, (5.20)

, (5.21)

, (5.22)

, (5.23)

, (5.24)

. (5.25)

Функция Л. Ф. Ч. Х. разомкнутой системы:

(5.26)

Рассчитав необходимые данные и характеристики типовых динамических звеньев, строятся Л. А. Ч. Х. и Л. Ф. Ч. Х. разомкнутой системы.

График Л.А.Ч.Х. разомкнутой системы:

График Л.Ф.Ч.Х. разомкнутой системы:

6 ПРОВЕРКА ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ НА УСТОЙЧИВОСТЬ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАПАСА УСТОЙЧИВОСТИ ПО МОДУЛЮ И ФАЗЕ

6.1 Проверка замкнутой САР на устойчивость

Проверка САР на устойчивость будет осуществляться по критерию устойчивости Гурвица.

Передаточная функция замкнутой системы:

, (6.1)

(6.2)

Приравняем знаменатель этого выражения к нулю, получим характеристическое уравнение замкнутой системы:

(6.3)

Коэффициенты характеристического уравнения:

Коэффициенты характеристического уравнения положительны, значит можно рассматривать систему на устойчивость.

Критерий устойчивости системы Гурвица: Система будет устойчива, если все коэффициенты характеристического уравнения и все диагональные миноры определителя Гурвица положительны.

У нас характеристическое уравнение 4-го порядка, следовательно определитель Гурвица будет иметь вид:

(6.4)

Для определения устойчивости составляем и миноры определителя:

, (6.5)

, (6.6)

, (6.7)

(6.8)

Все определители Гурвица (все n диагональные миноры матрицы) положительны, значит условие устойчивости системы по критерию Гурвица выполняется, а следовательно данная замкнутая САР устойчива.

6.2 Определение запаса устойчивости системы по фазе

Запас устойчивости может быть определен с использованием логарифмического критерия устойчивости Найквиста, который опирается на логарифмические характеристики разомкнутой системы. Он гласит: система находится в устойчивом состоянии, если частота среза меньше частоты, при которой Л.Ф.Ч.Х. переходит через угол .

Графики Л. А. Ч. Х. и Л. Ф. Ч. Х. разомкнутой системы.

Л.А.Ч.Х. разомкнутой системы на графике пресекает ось абсцисс

при (6.9)

Фаза при 62,98Гц равна:

. (6.10)

Запас устойчивости по фазе:

. (6.11)

6.3 Определение запаса устойчивости системы по модулю

Л.Ф.Ч.Х. разомкнутой системы на графике пресекает прямую при .

, (6.12)

дБ. (6.13)

Запас устойчивости по модулю:

, (6.14)

. (6.15)

Т.е. можно увеличить коэффициент усиления передаточной функции в 3,16 раза.

Можно сделать вывод, что, данная система обладает запасом устойчивости как по модулю, так и по фазе.

7 РАСЧЁТ УСТАНОВИВШЕЙСЯ ОШИБКИ СЛЕЖЕНИЯ ЗА ЗАДАЮЩИМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ ().

Передаточная функция по ошибке:

. (7.1)

=100 c – 1 (7.2)

Изображение входного сигнала:

. (7.3)

Найдём установившуюся ошибку слежения воспользовавшись теоремой об установившемся значении оригинала:

, (7.4)

. (7.5)

Установившееся значение ошибки:

. (7.6)

1 Юревич Е.И. Теория автоматического управления. «БХВ-Петербург», Санкт-Петербург, 2007.

2 Никулин Е.А. Основы теории автоматического управления. Частотные методы анализа и синтеза систем. «БХВ-Петербург», Санкт-Петербург, 2004.

• АлтГТУ 419
• АлтГУ 113
• АмПГУ 296
• АГТУ 266
• БИТТУ 794
• БГТУ «Военмех» 1191
• БГМУ 172
• БГТУ 602
• БГУ 153
• БГУИР 391
• БелГУТ 4908
• БГЭУ 962
• БНТУ 1070
• БТЭУ ПК 689
• БрГУ 179
• ВНТУ 119
• ВГУЭС 426
• ВлГУ 645
• ВМедА 611
• ВолгГТУ 235
• ВНУ им. Даля 166
• ВЗФЭИ 245
• ВятГСХА 101
• ВятГГУ 139
• ВятГУ 559
• ГГДСК 171
• ГомГМК 501
• ГГМУ 1967
• ГГТУ им. Сухого 4467
• ГГУ им. Скорины 1590
• ГМА им. Макарова 300
• ДГПУ 159
• ДальГАУ 279
• ДВГГУ 134
• ДВГМУ 409
• ДВГТУ 936
• ДВГУПС 305
• ДВФУ 949
• ДонГТУ 497
• ДИТМ МНТУ 109
• ИвГМА 488
• ИГХТУ 130
• ИжГТУ 143
• КемГППК 171
• КемГУ 507
• КГМТУ 269
• КировАТ 147
• КГКСЭП 407
• КГТА им. Дегтярева 174
• КнАГТУ 2909
• КрасГАУ 370
• КрасГМУ 630
• КГПУ им. Астафьева 133
• КГТУ (СФУ) 567
• КГТЭИ (СФУ) 112
• КПК №2 177
• КубГТУ 139
• КубГУ 107
• КузГПА 182
• КузГТУ 789
• МГТУ им. Носова 367
• МГЭУ им. Сахарова 232
• МГЭК 249
• МГПУ 165
• МАИ 144
• МАДИ 151
• МГИУ 1179
• МГОУ 121
• МГСУ 330
• МГУ 273
• МГУКИ 101
• МГУПИ 225
• МГУПС (МИИТ) 636
• МГУТУ 122
• МТУСИ 179
• ХАИ 656
• ТПУ 454
• НИУ МЭИ 641
• НМСУ «Горный» 1701
• ХПИ 1534
• НТУУ «КПИ» 212
• НУК им. Макарова 542
• НВ 777
• НГАВТ 362
• НГАУ 411
• НГАСУ 817
• НГМУ 665
• НГПУ 214
• НГТУ 4610
• НГУ 1992
• НГУЭУ 499
• НИИ 201
• ОмГТУ 301
• ОмГУПС 230
• СПбПК №4 115
• ПГУПС 2489
• ПГПУ им. Короленко 296
• ПНТУ им. Кондратюка 119
• РАНХиГС 186
• РОАТ МИИТ 608
• РТА 243
• РГГМУ 118
• РГПУ им. Герцена 124
• РГППУ 142
• РГСУ 162
• «МАТИ» — РГТУ 121
• РГУНиГ 260
• РЭУ им. Плеханова 122
• РГАТУ им. Соловьёва 219
• РязГМУ 125
• РГРТУ 666
• СамГТУ 130
• СПбГАСУ 318
• ИНЖЭКОН 328
• СПбГИПСР 136
• СПбГЛТУ им. Кирова 227
• СПбГМТУ 143
• СПбГПМУ 147
• СПбГПУ 1598
• СПбГТИ (ТУ) 292
• СПбГТУРП 235
• СПбГУ 582
• ГУАП 524
• СПбГУНиПТ 291
• СПбГУПТД 438
• СПбГУСЭ 226
• СПбГУТ 193
• СПГУТД 151
• СПбГУЭФ 145
• СПбГЭТУ «ЛЭТИ» 380
• ПИМаш 247
• НИУ ИТМО 531
• СГТУ им. Гагарина 114
• СахГУ 278
• СЗТУ 484
• СибАГС 249
• СибГАУ 462
• СибГИУ 1655
• СибГТУ 946
• СГУПС 1513
• СибГУТИ 2083
• СибУПК 377
• СФУ 2423
• СНАУ 567
• СумГУ 768
• ТРТУ 149
• ТОГУ 551
• ТГЭУ 325
• ТГУ (Томск) 276
• ТГПУ 181
• ТулГУ 553
• УкрГАЖТ 234
• УлГТУ 536
• УИПКПРО 123
• УрГПУ 195
• УГТУ-УПИ 758
• УГНТУ 570
• УГТУ 134
• ХГАЭП 138
• ХГАФК 110
• ХНАГХ 407
• ХНУВД 512
• ХНУ им. Каразина 305
• ХНУРЭ 324
• ХНЭУ 495
• ЦПУ 157
• ЧитГУ 220
• ЮУрГУ 306

Полный список ВУЗов

Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).

Читайте также:

1. I. Запасные фонды страховщика.
2. II. Законодательное и нормативно-правовое регулирование вопросов воинского учета и бронирование граждан, пребывающих в запасе и работающих в организациях здравоохранения.
3. U Чем больше константа устойчивости, тем устойчивее комплекс.
4. Абсолютные показатели и коэффициенты финансовой устойчивости
5. Абсолютные показатели финансовой устойчивости
6. Абсолютные показатели финансовой устойчивости. Определение типа финансовой устойчивости
7. Алгебраические критерии устойчивости
8. Алгебраические критерии устойчивости
9. Алгебраический матричный критерий устойчивости
10. Анализ абсолютных и относительных показателей финансовой устойчивости
11. Анализ и оценка финансовой устойчивости организации.
12. Анализ обеспеченности запасов источниками их формирования