Зависимость уровня ферми от температуры

Одним из основных параметров, характеризующих газ свободных носителей в полупроводниках, является химический потенциал m.. В применении к электронному и дырочному газу его называют обычно уровнем Ферми.

В металлах уровень Ферми яв­ляется последним заполненным уровнем в зоне проводимости. Концентрация электронного газа в металлах сравнима по порядку величины с числом состояний в зоне проводимости. Поэтому этот газ является вырожденным и распределение электронов по состояниям описывается квантовой ста­тистикой Ферми – Дирака. Концентрация электронов такого газа практически не зависит от температуры.

В собственных и слаболегированных полупроводниках электронный (дырочный) газ является невырожденным и распределе­ние электронов по состояниям описывается классической статистикой Максвелла-Больцмана. Для таких полупроводников концентрация свободных носителей (n – электронов и р – дырок) зависит от положения уровня Ферми и темпера­туры Т:

(4.24)

, (4.25)

где m_n, m_p – эффективная масса электронов и дырок.

Из (4.24) и (4.25) видно, что чем больше расстояние зоны от уровня Ферми, тем ниже концентрация носителей, т.к. µ

Произведение пр для данного полупроводника является постоянной величиной и равно

(4.26)

В собственных полупроводниках концентрация электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне равны. Поэтому приравнивая правые части (4.24) и (4.25) и решая относительно µ, получаем:

(4.27)

При абсолютном нуле , т.е. уровень Ферми расположен посредине запрещенной зоны, а при повышении смещается вверх, если m_p>m_n (линия 2 на рис. 4.14) и вниз, если m_p

В примесных полупроводниках изменение положения уровня Ферми в зависимости от температуры показано на рисунке 4.15 (а – для полупроводников n – типа, б – для полупроводников р – типа).

В области низких температур (левая часть зоны 1) средняя энергия тепловых колебаний решетки kT ниже E_g, поэтому переброса электронов из валентной зоны в зону проводимости практически не происходит. В то же время для перехода электронов с донорных уровней в зону проводимости и дырок с акцепторных уровней в валентную зону требуется энергия ≈ 0,01Е_g – энергия активации примесей. Поэтому в области низких температур возбуждаются в основном только примесные носители и уровень Ферми находится между Е_Д и Е_С в полупроводниках n-типа и Е_А и Е_V в полупроводниках р-типа.

При повышении температуры примесные уровни постепенно начинают истощаться (правая часть зоны 1 и левая часть зоны 2). При полном истощении примесных уровней концентрация электронов в зоне проводимости (рис. 4.15 а) и дырок в валентной зоне (рис. 4.15 б) становится практически равна концентрации примеси (n≈N_Д; р≈N_А). При этом уровень Ферми начинает уменьшаться. Температура истощения примесей Т_S возрастает с увеличением N_Д (N_А) и энергии активации Е_С (Е_А). При Т_S уровень Ферми становится равным Е_Д (Е_А). Для германия, содержащего N_Д = 10 22 м -3 , температура T_S≈30 К.

При дальнейшем повышении температуры (правая часть зоны 2) постепенно начинают возбуждаться собственные носители и уровень Ферми приближается к положению в собственном полупроводнике. Переход к собственной проводимости наступает при температуре T_i. Эта температура тем выше, чем больше концентрация примесей и Е_g. Для германия, содержащего N_Д = 10 22 м -3 , температура T_i≈450 К.

Выше температуры T_i уровень Ферми в примесном полупроводнике совпадает с собственным полупроводником и количе­ственно описывается формулой (4.27).

Отметим, что в отличие от собственных полупровод­ников, в которых проводимость осуществляется одновременно элек­тронами и дырками, в примесных полупроводниках проводимость обуславливается в основном носителями одного знака: электронами в полупроводниках донорного типа и дырками в полупроводниках акцепторного типа. Эти носители называют основными.

Помимо них полупроводники всегда содержат и неосновные носи­тели: донорный полупроводник — дырки, акцепторный полупровод­ник — электроны.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студентов недели бывают четные, нечетные и зачетные. 9469 – | 7451 – или читать все.

78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Понятия энергии Ферми и уровня Ферми были введены ранее для металлов. В полупроводниках функция распределения электронов по состояниям имеет тот же вид, что и в металлах. Энергия Ферми в полупроводниках имеет тот же физический смысл: энергия Ферми – это максимально допустимая энергия, ниже которой при нулевой абсолютной температуре все энергетические уровни заняты [f(E)= 1], а выше которой все уровни пусты [f(E) = 0]. Для полупроводников, у которых при абсолютном нуле валентная зона полностью заполнена, а зона проводимости совершенно свободна, функция распределения имеет разрыв. Следовательно, уровень Ферми в полупроводнике должен лежать при абсолютном нуле в запрещенной зоне.

Уровень Ферми в собственном полупроводнике

Для собственного полупроводника концентрации электронов и дырок равны (), т.к. каждый электрон, покинувший валентную зону, создает одну дырку. Приравнивая равенства (17) и (19), получим

Разрешая последнее равенство относительно Е_F, получим

Если эффективные массы электронов и дырок равны [= ,то = 0] и уровень Ферми собственного полупроводника при любой температуре располагается посередине запрещенной зоны.

Температурная зависимость положения уровня Ферми в собственном полупроводнике определяется третьим слагаемым в уравнении (23). Если эффективная масса дырки в валентной зоне больше эффективной массы электрона в зоне проводимости, то уровень Ферми смещается с повышением температуры ближе к дну зоны проводимости. В противоположном случае уровень Ферми смещается к потолку валентной зоны. Положение уровня Ферми в собственном полупроводнике с изменением температуры схематически показано на рис. 5.

Для большинства полупроводников эффективная масса дырки не намного превышает эффективную массу электрона и смещение уровня Ферми с изменением температуры незначительно. Однако у антимонида индия (InSb) , а ширина запрещенной зоны невелика (E_g = 0,17 эВ), так что при Т > 450K уровень Ферми входит в зону проводимости. При этой температуре полупроводник переходит в вырожденное состояние.

Рис. 5. Зависимость уровня Ферми от температуры в собственном полупроводнике при различных соотношениях эффективных масс электронов и дырок.

1 – ; 2 – ; 3 – .

Уровень Ферми в примесных полупроводниках

Положение уровня Ферми в примесных полупроводниках может быть найдено из условия электронейтральности кристалла. Для донорного полупроводника это условие записывается в виде

здесь N_d– концентрация донорных уровней,n_d– концентрация электронов на донорных уровнях. Концентрация электронов в зоне проводимости равна сумме концентраций дырок в валентной зоне и концентрации положительно заряженных ионов доноров (последняя, очевидно, равнаN_d–n_d).

Концентрацию электронов на донорных уровнях можно вычислить, умножив концентрацию этих уровней N_d на функцию распределения Ферми-Дирака:

где Е_d– энергия активации донорных уровней.

Подстановка в условие электронейтральности (24) концентраций электронов (17) и дырок (19), а также концентрации электронов на донорных уровнях (25) приводит к следующему уравнению относительно положения уровня Ферми Е_F :

При подстановке концентрации электронов на донорных уровнях в уравнение (24) было сделано предположение, что газ электронов примесных атомов невырожденный, что позволило пренебречь единицей в знаменателе формулы (25).

Уравнение (26) ввиду его сложности обычно в общем виде не решают, а ограничиваются рассмотрением частных случаев. Например, при низких температурах, когда электроны в зоне проводимости появляются в основном за счет переходов с примесных уровней, а концентрация дырок близка к нулю, решение уравнения (26) имеет вид

Рисунок 6 Температурные зависимости положения уровня Ферми в донорном (а) и акцепторном (б) полупроводниках.

Из уравнения (27) следует, что при абсолютном нуле температуры энергия Ферми донорного полупроводника находится строго посередине между дном зоны проводимости и донорными уровнями. Температурная зависимость положения уровня Ферми определяется третьим членом в уравнении (27), который меняет знак с изменением температуры. Поэтому уровень Ферми с повышением температуры сначала смещается к зоне проводимости, а затем – к валентной зоне (рис. 6а).

Аналогично можно получить выражение для температурной зависимости уровня Ферми в акцепторном полупроводнике. График этой зависимости схематически приведен на рис. 6б.

Читайте также:

1. D. Инфракрасные датчики температуры или пирометры.
2. А. Биметаллические датчики температуры
3. Адресация и маршрутизация – функции сетевого уровня пакетной сети передачи данных. Их реализация на примерах IPv4 и RIP.
4. Анализ динамики среднего уровня показателя
5. Анализ уровня и динамики финансовых результатов производства с использованием метода горизонтального анализа.
6. Анализ уровня квалификации кадров предприятия.
7. Анализ уровня организации производства
8. Анализ уровня организации производства
9. Анализ уровня техники и технологии производства
10. Анализ уровня управления
11. АСР температуры в печи
12. Б. Показатели вариации уровня риска.

Полупроводник может содержать как донорную, так и акцепторную примесь. Примеси создают дополнительные энергетические уровни, в том числе и в запрещенной зоне (см. раздел 2.3). Поскольку энергетическое расстояние от этих уровней до границ разрешенных зон существенно меньше (у мелких уровней – величина порядка нескольких kT, т.е. в десятки раз меньше ширины запрещенной зоны), вероятность их ионизации и образования подвижных носителей заряда (электронно-дырочных пар) при тепловом возбуждении оказывается гораздо более высокой, чем в случае собственного полупроводника.

Примеси, создающие мелкие донорные и акцепторные уровни и наиболее часто использующиеся для легирования полупроводника называются основными легирующими примесями. Для каждого полупроводника существует свой набор легирующих примесей, которые являются основными. В кремнии основными легирующими примесями являются:

– донорные – пятивалентные элементы, такие как P, As, Sb; концентрацию доноров обозначим N_d;

акцепторные – трёхвалентные элементы – B, Al, Ga; их концентрация – N_a.

На основании того, какие из примесей являются преобладающими, различают полупроводники n-типа проводимости или p-типа. В полупроводниках n-типа основными носителями являются электроны, а неосновными – дырки. Основные носители в данном случае создаются пятивалентными атомами элемента, принадлежащими V группе периодической системы Менделеева. В полупроводниках p-типа основные носители – дырки, а неосновные – электроны. Здесь свободную дырку создаёт трёхвалентный атом элемента. Зонная диаграмма примесного полупроводника имеет вид:

E n EC Ed Nd, nd, pd Ea Na, na, pa EV p	Раздел 2.3, формулы (2.42), (2.43), (2.46) и (2.47) ; ;
Рис. 2.13. Зонная структура полупроводника, имеющего примеси как донорного, так и акцепторного типа.

Уровни E_d и E_a оказываются весьма близкими к зоне проводимости и к валентной зоне соответственно (0.01-0.04 эВ). Понятно, поэтому, что получив небольшую порцию энергии, электрон, первоначально находящийся на уровне E_d, попадает в зону проводимости. Аналогичным образом электрон, находящийся в валентной зоне вблизи её потолка, переходит на уровень E_a. В результате таких процессов в зоне проводимости возникают электроны, а в валентной зоне – дырки. При комнатной температуре все примесные атомы оказываются ионизованными.

Для определения положения уровня Ферми в зонной структуре полупроводника используется условие электронейтральности, согласно которому в кристалле суммарный заряд всех заряженных частиц должен быть равен нулю.

Для полупроводника с двумя видами примеси уравнение электронейтральности запишется в виде: (2.76)

где N_d + – число ионизованных атомов донорной примеси (отдали электрон в зону проводимости = появление свободного электрона),

N_a – – число ионизованных атомов акцепторной примеси (взяли электрон из валентной зоны = появление дырки в валентной зоне).

Подчеркнем, что в полупроводнике имеется 4 типа зарядов: 2 подвижных (электроны и дырки) и 2 неподвижных (ионизованные атомы).

Предположим далее, что N_a=0, т.е. будем рассматривать донорный полупроводник.

Вначале ограничимся областью температур, при которых имеет место лишь ионизация примесных атомов (уровней), а собственная проводимость отсутствует, т.е. p=0. В этом случае условие электронейтральности имеет следующий вид:

(2.77)

где

Здесь p_d – количество ионизованных донорных атомов.

n_d – количество электронов, остающихся с атомами донорной примеси (т.е. количество неионизованных донорных атомов).

Тогда (2.78)

Концентрацию ионизованных центров можно определить, используя функцию Ферми-Дирака.

Количество положительно заряженных ионов донорной примеси при тепловом равновесии составляет (раздел 2.3, формула (2.43)):

(2.79)

Тогда из (2.78) и (2.79) можно записать:

(2.80)

где, напомним: – приведённый уровень Ферми, а – приведенный донорный уровень. (т.к. (Е_F-E_d)/kT=(Е_F-E_C+E_C-E_d)/kT=h+e_d)

С другой стороны, для невырожденного полупроводника ранее получали: , откуда: (2.81)

Подставив (2.80) в (2.81) получим уравнение для концентрации электронов в зоне проводимости:

(2.82)

Решив это квадратичное уравнение относительно n (знак (-) отбрасываем, т.к.) следует:

(2.83)

Это соотношение можно свести к следующему выражению:

(2.84)

Подставим (2.84) в (2.81), прологарифмируем и преобразуем к следующему виду для определения положения уровня Ферми:

(2.85)

Рассмотрим три различных температурных диапазона изменения E_F:

Случай А. При достаточно низкой температуре может быть выполнено неравенство: или, что эквивалентно, (2.86)

Тогда (2.85) легко преобразуется к виду:

(2.87)

Следовательно, при Т=0 уровень Ферми лежит между дном зоны проводимости E_c и примесным уровнем E_d. При повышении температуры уровень Ферми повышается, проходит при некоторой температуре через максимум, затем опускается. При он снова будет находиться посередине между E_c и E_d (ln1=0).

Концентрация электронов при этом будет, как следует из (2.84) и (2.86):

(2.88)

Из (2.88) видно, что при очень низких температурах концентрация электронов определяется концентрацией легирующей примеси в степени (1/2). Кроме того, тангенс угла наклона зависимости от 1/T равен тогда как для собственной концентрации . Т.е. энергия активации .

Здесь уместно отступление: определение энергии активации по зависимости Аррениуса.

Область изменения уровня Ферми с температурой, которая описывается формулой (2.87) является областью ионизации примеси или областью вымораживания носителей заряда. На рисунке 2.14 эта область обозначена цифрой 1 (как на графике изменения E_F, так и на зависимости для n).

Рис. 2.14. Изменение положения уровня Ферми (а) и концентрации электронов (б) с температурой для донорного полупроводника.

Случай Б. С ростом температуры, стремиться с 1 (т.к.), N_c возрастает и может стать больше N_d. Т.е. при увеличении температуры наступает ситуация, когда выполняются неравенства:

, или , или (2.89)

Тогда выражение (2.85) преобразуется к виду:

(2.90)

Так как оно справедливо при , то логарифм в (2.90) меньше нуля поэтому с ростом температуры уровень Ферми удаляется от E_C (опускается). Подставив (2.90) в (2.81) получим значение n для этого случая:

(2.91)

т.е. концентрация электронов не зависит от температуры и равна концентрации примеси, введенной в полупроводник при его легировании. Это означает, что практически вся донорная примесь ионизована. Область температур, при которой имеет место полная ионизация примеси, носит название области истощения примеси (или область полной ионизации примеси). На рис. 2.14 б эта область обозначена цифрой 2.

Заметим, что согласно закону действующих масс . Поскольку в области истощения примеси концентрация основных носителей заряда n остаётся практически постоянной, то концентрация неосновных носителей заряда p должна резко возрастать с температурой, т.к.: (2.92)

Эта закономерность будет иметь место до тех пор, пока нагрев не приведет к выравниванию количества неосновных и основных носителей заряда .

Случай В. При дальнейшем увеличении температуры рост концентрации электронов в зоне проводимости будет осуществляться за счёт перехода электронов из валентной зоны. При некоторой (достаточно высокой) температуре количество неосновных носителей сравнивается с количеством основных, и полупроводник становится собственным.

Пример. Предположим, что для создания p-n-перехода в кремний была введена донорная примесь (например, мышьяк) в концентрации N_d=10 14 cм -3 (типичная концентрация легирующей примеси при формировании некоторых типов биполярных и полевых транзисторов). При температуре 300 К вся эта примесь оказывается ионизованной. Тогда, принимая во внимание данные рис. 2.10:

где n и p – равновесные концентрации электронов и дырок, n_i и p_i – концентрация электронов и дырок, сформированных при ионизации собственных атомов.

Но при увеличении температуры до 600 К:

Таким образом, при увеличении температуры, даже легированный полупроводник может становиться собственным. Температурные зависимости положения уровня Ферми (формула (2.73)) и концентрации носителей заряда (формулы (2.69) и (2.70)), приведены на рис. 2.14 (область 3).

Температура перехода от области истощения примеси к области собственной проводимости зависит от концентрации примеси для данного полупроводника и от ширины запрещенной зоны при фиксированной концентрации примеси. Из (2.73) и (2.90) после преобразований можно получить:

(2.93)

Из этого выражения можно сделать вывод, что температура перехода к собственной проводимости у донорного полупроводника тем ниже, чем меньше ширина запрещенной зоны и концентрация примеси и чем больше значения эффективных масс носителей заряда.

Как обобщение всего вышеизложенного можно считать иллюстрацию положения уровня Ферми для кремния в зависимости от концентрации примесей и температуры (рис. 2.15). Здесь же приведена и зависимость ширины запрещенной зоны от температуры.

Рис. 2.15. Температурная зависимость положения уровня Ферми в кремниевых образцах с различным уровнем легирования, рассчитанная с учетом температурной зависимости ширины запрещенной зоны.

Дата добавления: 2014-01-07 ; Просмотров: 3227 ; Нарушение авторских прав? ;

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет