Содержание
- 1 Правило Лопиталя и раскрытие неопределённостей
- 2 Раскрытие неопределённостей видов "ноль делить на ноль" и "бесконечность делить на бесконечность"
- 3 Раскрытие неопределённостей вида "ноль умножить на бесконечность"
- 4 Раскрытие неопределённостей видов "ноль в степени ноль", "бесконечность в степени ноль" и "один в степени бесконечность"
- 5 Раскрытие неопределённостей вида "бесконечность минус бесконечность"
- 6 Раскрытие неопределенностей
- 7 Выводы
- 8 Пример [ править | править код ]
Правило Лопиталя и раскрытие неопределённостей
Производная от функции недалеко падает, а в случае правил Лопиталя она падает точно туда же, куда падает исходная функция. Это обстоятельство помогает в раскрытии неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ и некоторых других неопределённостей, возникающих при вычислении предела отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций. Вычисление значительно упрощается с помощью этого правила (на самом деле двух правил и замечаний к ним):
.
Как показывает формула выше, при вычислении предела отношений двух бесконечно малых или бесконечно больших функций предел отношения двух функций можно заменить пределом отношения их производных и, таким образом, получить определённный результат.
Перейдём к более точным формулировкам правил Лопиталя.
Правило Лопиталя для случая предела двух бесконечно малых величин. Пусть функции f(x) и g(x) имеют производные (то есть дифференцируемы) в некоторой окрестности точки a. А в самой точке a они могут и не иметь производных. При этом в окрестности точки a производная функции g(x) не равна нулю ( g‘(x)≠0 ) и пределы этих функций при стремлении икса к значению функции в точке a равны между собой и равны нулю:
.
Тогда предел отношения этих функций равен пределу отношения их производных:
.
Правило Лопиталя для случая предела двух бесконечно больших величин. Пусть функции f(x) и g(x) имеют производные (то есть дифференцируемы) в некоторой окрестности точки a. А в самой точке a они могут и не иметь производных. При этом в окрестности точки a производная функции g(x) не равна нулю ( g‘(x)≠0 ) и пределы этих функций при стремлении икса к значению функции в точке a равны между собой и равны бесконечности:
.
Тогда предел отношения этих функций равен пределу отношения их производных:
.
Иными словами, для неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ предел отношения двух функций равен пределу отношения их производных, если последний существует (конечный, то есть равный определённому числу, или бесконечный, то есть равный бесконечности).
Замечания.
1. Правила Лопиталя применимы и тогда, когда функции f(x) и g(x) не определены при x = a.
2. Если при вычисления предела отношения производных функций f(x) и g(x) снова приходим к неопределённости вида 0/0 или ∞/∞, то правила Лопиталя следует применять многократно (минимум дважды).
3. Правила Лопиталя применимы и тогда, когда аргумент функций (икс) стремится не к конечному числу a, а к бесконечности (x → ∞).
К неопределённостям видов 0/0 и ∞/∞ могут быть сведены и неопределённости других видов.
Раскрытие неопределённостей видов "ноль делить на ноль" и "бесконечность делить на бесконечность"
Пример 1. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:
Решение. Подстановка в заданную функцию значения x=2 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому производную каждой функции и получаем
В числителе вычисляли производную многочлена, а в знаменателе – производную сложной логарифмической функции. Перед последним знаком равенства вычисляли обычный предел, подставляя вместо икса двойку.
Пример 2. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:
.
Решение. Подстановка в заданную функцию значения x=0 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому вычисляем производные функций в числителе и знаменателе и получаем:
Пример 3. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:
.
Решение. Подстановка в заданную функцию значения x=0 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому вычисляем производные функций в числителе и знаменателе и получаем:
Пример 4. Вычислить
.
Решение. Подстановка в заданную функцию значения икса, равного плюс бесконечности, приводит к неопределённости вида ∞/∞. Поэтому применим правило Лопиталя:
Замечание. Переходим к примерам, в которых правило Лопиталя приходится применять дважды, то есть приходить к пределу отношений вторых производных, так как предел отношения первых производных представляет собой неопределённость вида 0/0 или ∞/∞.
Пример 5. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:
.
Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных дают неопределённость вида ∞/∞.
Пример 6. Вычислить
.
Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных дают неопределённость вида 0/0.
Пример 7. Вычислить
.
Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных сначала дают неопределённость вида – ∞/∞, а затем неопределённость вида 0/0.
Пример 8. Вычислить
.
Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных сначала дают неопределённость вида ∞/∞, а затем неопределённость вида 0/0.
Применить правило Лопиталя самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 9. Вычислить
.
Подсказка. Здесь придётся попыхтеть несколько больше обычного над преобразованием выражений под знаком предела.
Пример 10. Вычислить
.
Подсказка. Здесь правило Лопиталя придётся применять трижды.
Раскрытие неопределённостей вида "ноль умножить на бесконечность"
Пример 11. Вычислить
.
(здесь неопределённость вида 0∙∞ мы преобразовали к виду ∞/∞, так как
а затем применили правила Лопиталя).
Пример 12. Вычислить
.
В этом примере использовано тригонометрическое тождество 
.
Раскрытие неопределённостей видов "ноль в степени ноль", "бесконечность в степени ноль" и "один в степени бесконечность"
Неопределённости вида 
, 
или 
обычно приводятся к виду 0/0 или ∞/∞ с помощью логарифмирования функции вида 
Чтобы вычислить предел выражения , следует использовать логарифмическое тождество 
, частным случаем которого является 
и свойство логарифма 
.
Используя логарифмическое тождество и свойство непрерывности функции (для перехода за знак предела), предел следует вычислять следующим образом:
Отдельно следует находить предел выражения в показателе степени и возводить e в найденную степень.
Пример 13. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя
.
Вычисляем предел выражения в показателе степени
.
.
Пример 14. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя
.
Вычисляем предел выражения в показателе степени
.
.
Пример 15. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя
.
Вычисляем предел выражения в показателе степени
.
Раскрытие неопределённостей вида "бесконечность минус бесконечность"
Это случаи, когда вычисление предела разности функций приводит к неопределённости "бесконечность минус бесконечность": 
.
Вычисление такого предела по правилу Лопиталя в общем виде выглядит следующим образом:
В результате таких преобразований часто получаются сложные выражения, поэтому целесообразно использовать такие преобразования разности функций, как приведение к общему знаменателю, умножение и деление на одно и то же число, использование тригонометрических тождеств и т.д.
Пример 16. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя
.
Решение. Пользуясь вышеперечисленными рекомендациями, получаем
Пример 17. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя
.
Решение. Пользуясь вышеперечисленными рекомендациями, получаем
В предыдущей статье мы рассказывали, как правильно вычислять пределы элементарных функций. Если же мы возьмем более сложные функции, то у нас в расчетах появятся выражения с неопределенным значением. Они и называются неопределенностями.
Выделяют следующие основные виды неопределенностей:
- Деление 0 на 0 " open=" 0 0 ;
- Деление одной бесконечности на другую " open=" ∞ ∞ ;
0 , возведенный в нулевую степень " open=" 0 0 ;
Мы перечислили все основные неопределенности. Другие выражения в различных условиях могут принимать конечные или бесконечные значения, следовательно, они не могут считаться неопределенностями.
Раскрытие неопределенностей
Раскрыть неопределенность можно:
-
С помощью упрощения вида функции (использование формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, дополнительное умножение на сопряженные выражения и последующее сокращение и др. );
С помощью замечательных пределов;
С помощью правила Лопиталя;
Заменив одно бесконечно малое выражение на эквивалентное ему выражение (как правило, это действие выполняется с помощью таблицы бесконечно малых выражений).
Всю информацию, представленную выше, можно наглядно представить в виде таблицы. С левой стороны в ней приводится вид неопределенности, с правой – подходящий метод ее раскрытия (нахождения предела). Этой таблицей очень удобно пользоваться при расчетах, связанных с нахождением пределов.
| Неопределенность | Метод раскрытия неопределенности |
| 1. Деление 0 на 0 | Преобразование и последующее упрощение выражения. Если выражение имеет вид sin ( k x ) k x или k x sin ( k x ) то нужно использовать первый замечательный предел. Если такое решение не подходит, пользуемся правилом Лопиталя или таблицей эквивалентных бесконечно малых выражений |
| 2. Деление бесконечности на бесконечность | Преобразование и упрощение выражения либо использование правила Лопиталя |
| 3. Умножение нуля на бесконечность или нахождение разности между двумя бесконечностями | Преобразование в " open=" 0 0 или " open=" ∞ ∞ с последующим применением правила Лопиталя |
| 4. Единица в степени бесконечности | Использование второго замечательного предела |
| 5. Возведение нуля или бесконечности в нулевую степень | Логарифмирование выражения с применением равенства lim x → x 0 ln ( f ( x ) ) = ln lim x → x 0 f ( x ) |
Разберем пару задач. Эти примеры довольно простые: в них ответ получается сразу после подстановки значений и неопределенности при этом не возникает.
Вычислите предел lim x → 1 x 3 + 3 x – 1 x 5 + 3 .
Решение
Выполняем подстановку значений и получаем ответ.
lim x → 1 x 3 + 3 x – 1 x 5 + 3 = 1 3 + 3 · 1 – 1 1 5 + 3 = 3 4 = 3 2
Ответ: lim x → 1 x 3 + 3 x – 1 x 5 + 3 = 3 2 .
Вычислите предел lim x → 0 ( x 2 + 2 , 5 ) 1 x 2 .
Решение
У нас есть показательно степенная функция, в основание которой нужно подставить x = 0 .
( x 2 + 2 , 5 ) x = 0 = 0 2 + 2 , 5 = 2 , 5
Значит, мы можем преобразовать предел в следующее выражение:
lim x → 0 ( x 2 + 2 , 5 ) 1 x 2 = lim x → 0 2 , 5 1 x 2
Теперь разберемся с показателем – степенной функцией 1 x 2 = x – 2 . Заглянем в таблицу пределов для степенных функций с показателем меньше нуля и получим следующее: lim x → 0 + 0 1 x 2 = lim x → 0 + 0 x – 2 = + ∞ и lim x → 0 + 0 1 x 2 = lim x → 0 + 0 x – 2 = + ∞
Таким образом, можно записать, что lim x → 0 ( x 2 + 2 , 5 ) 1 x 2 = lim x → 0 2 , 5 1 x 2 = 2 , 5 + ∞ .
Теперь берем таблицу пределов показательных функций с основаниями, большими 0 , и получаем:
lim x → 0 ( x 2 + 2 , 5 ) 1 x 2 = lim x → 0 2 , 5 1 x 2 = 2 , 5 + ∞ = + ∞
Ответ: lim x → 0 ( x 2 + 2 , 5 ) 1 x 2 = + ∞ .
Далее мы приведем примеры решений задач на раскрытие неопределенностей с использованием метода преобразования. На практике выполнять это приходится довольно часто.
Вычислите предел lim x → 1 x 2 – 1 x – 1 .
Решение
Выполняем подстановку значений.
lim x → 1 x 2 – 1 x – 1 = 1 2 – 1 1 – 1 = " open=" 0 0
В итоге у нас получилась неопределенность. Используем таблицу выше, чтобы выбрать метод решения. Там указано, что нужно выполнить упрощение выражения.
lim x → 1 x 2 – 1 x – 1 = " open=" 0 0 = lim x → 1 ( x – 1 ) · ( x + 1 ) x – 1 = = lim x → 1 ( x – 1 ) · ( x + 1 ) · ( x + 1 ) x – 1 = lim x → 1 ( x + 1 ) · x – 1 = = 1 + 1 · 1 – 1 = 2 · 0 = 0
Как мы видим, упрощение привело к раскрытию неопределенности.
Ответ: lim x → 1 x 2 – 1 x – 1 = 0
Вычислите предел lim x → 3 x – 3 12 – x – 6 + x .
Решение
Подставляем значение и получаем запись следующего вида.
lim x → 3 x – 3 12 – x – 6 + x = 3 – 3 12 – 3 – 6 + 3 = 0 9 – 9 = " open=" 0 0
Мы пришли к необходимости делить нуль на нуль, что является неопределенностью. Посмотрим нужный метод решения в таблице – это упрощение и преобразование выражения. Выполним дополнительное умножение числителя и знаменателя на сопряженное знаменателю выражение 12 – x + 6 + x :
lim x → 3 x – 3 12 – x – 6 + x = " open=" 0 0 = lim x → 3 x – 3 12 – x + 6 + x 12 – x – 6 + x 12 – x + 6 + x
Домножение знаменателя выполняется для того, чтобы потом можно было воспользоваться формулой сокращенного умножения (разность квадратов) и выполнить сокращение.
lim x → 3 x – 3 12 – x + 6 + x 12 – x – 6 + x 12 – x + 6 + x = lim x → 3 x – 3 12 – x + 6 + x 12 – x 2 – 6 + x 2 = lim x → 3 ( x – 3 ) 12 – x + 6 + x 12 – x – ( 6 + x ) = = lim x → 3 ( x – 3 ) 12 – x + 6 + x 6 – 2 x = lim x → 3 ( x – 3 ) 12 – x + 6 + x – 2 ( x – 3 ) = = lim x → 3 12 – x + 6 + x – 2 = 12 – 3 + 6 + 3 – 2 = 9 + 9 – 2 = – 9 = – 3
Как мы видим, в результате этих действий нам удалось избавиться от неопределенности.
Ответ: lim x → 3 x – 3 12 – x – 6 + x = – 3 .
Важно отметить, что при решении подобных задач подход с использованием домножения используется очень часто, так что советуем запомнить, как именно это делается.
Вычислите предел lim x → 1 x 2 + 2 x – 3 3 x 2 – 5 x + 2 .
Решение
lim x → 1 x 2 + 2 x – 3 3 x 2 – 5 x + 2 = 1 2 + 2 · 1 – 3 3 · 1 2 – 5 · 1 + 2 = " open=" 0 0
В итоге у нас вышла неопределенность. Рекомендуемый способ решения задачи в таком случае – упрощение выражения. Поскольку при значении x , равном единице, числитель и знаменатель обращаются в 0 , то мы можем разложить их на множители и потом сократить на х – 1 ,и тогда неопределенность исчезнет.
Выполняем разложение числителя на множители:
x 2 + 2 x – 3 = 0 D = 2 2 – 4 · 1 · ( – 3 ) = 16 ⇒ x 1 = – 2 – 16 2 = – 3 x 2 = – 2 + 16 2 = 1 ⇒ x 2 + 2 x – 3 = x + 3 x – 1
Теперь делаем то же самое со знаменателем:
3 x 2 – 5 x + 2 = 0 D = – 5 2 – 4 · 3 · 2 = 1 ⇒ x 1 = 5 – 1 2 · 3 = 2 3 x 2 = 5 + 1 2 · 3 = 1 ⇒ 3 x 2 – 5 x + 3 = 3 x – 2 3 x – 1
Мы получили предел следующего вида:
lim x → 1 x 2 + 2 x – 3 3 x 2 – 5 x + 2 = " open=" 0 0 = lim x → 1 x + 3 · x – 1 3 · x – 2 3 · x – 1 = = lim x → 1 x + 3 3 · x – 2 3 = 1 + 3 3 · 1 – 2 3 = 4
Как мы видим, в ходе преобразования нам удалось избавиться от неопределенности.
Ответ: lim x → 1 x 2 + 2 x – 3 3 x 2 – 5 x + 2 = 4 .
Далее нам нужно рассмотреть случаи пределов на бесконечности от степенных выражений. Если показатели этих выражений будут больше 0 , то предел на бесконечности также окажется бесконечным. При этом основное значение имеет самая большая степень, а остальные можно не учитывать.
Например, lim x → ∞ ( x 4 + 2 x 3 – 6 ) = lim x → ∞ x 4 = ∞ или lim x → ∞ x 4 + 4 x 3 + 21 x 2 – 11 5 = lim x → ∞ x 4 5 = ∞ .
Если под знаком предела у нас стоит дробь со степенными выражениями в числителе и знаменателе, то при x → ∞ у нас возникает неопределенность вида " open=" ∞ ∞ . Чтобы избавиться от этой неопределенности, нам нужно разделить числитель и знаменатель дроби на x m a x ( m , n ) . Приведем пример решения подобной задачи.
Вычислите предел lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 – 4 3 x 7 + 12 .
Решение
lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 – 4 3 x 7 + 12 = " open=" ∞ ∞
Степени числителя и знаменателя равны 7 . Делим их на x 7 и получаем:
lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 – 4 3 x 7 + 12 = lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 – 4 x 7 3 x 7 + 12 x 7 = = lim x → ∞ 1 + 2 x 2 – 4 x 7 3 + 12 x 7 = 1 + 2 ∞ 2 – 4 ∞ 7 3 + 12 ∞ 7 = 1 + 0 – 0 3 + 0 = 1 3
Ответ: lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 – 4 3 x 7 + 12 = 1 3 .
Вычислите предел lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 .
Решение
lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = " open=" ∞ ∞
Числитель имеет степень 8 3 , а знаменатель 2 . Выполним деление числителя и знаменателя на x 8 3 :
lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = " open=" ∞ ∞ = lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 8 3 x 2 + x + 1 x 8 3 = = lim x → ∞ 1 + 11 x 8 3 1 x 2 3 + 1 x 5 3 + 1 x 8 3 = 1 + 11 ∞ 3 1 ∞ + 1 ∞ + 1 ∞ = 1 + 0 3 0 + 0 + 0 = 1 0 = ∞
Ответ: lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ .
Вычислите предел lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 – 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 .
Решение
lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 – 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = " open=" ∞ ∞
У нас есть числитель в степени 3 и знаменатель в степени 10 3 . Значит, нам нужно разделить числитель и знаменатель на x 10 3 :
lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 – 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = " open=" ∞ ∞ = lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 – 1 x 10 3 x 10 + 56 x 7 + 12 3 x 10 3 = = lim x → ∞ 1 x 1 3 + 2 x 4 3 – 1 x 10 3 1 + 56 x 3 + 12 x 10 3 = 1 ∞ + 2 ∞ – 1 ∞ 1 + 56 ∞ + 12 ∞ 3 = 0 + 0 – 0 1 + 0 + 0 3 = 0
Ответ: lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 – 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = 0 .
Выводы
В случае с пределом отношений возможны три основных варианта:
Если степень числителя равна степени знаменателя, то предел будет равен отношению коэффициентов при старших степенях.
Если степень числителя будет больше степени знаменателя, то предел будет равен бесконечности.
Если степень числителя меньше степени знаменателя, то предел будет равен нулю.
Другие методы раскрытия неопределенностей мы разберем в отдельных статьях.
Раскрытие неопределённостей — методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа:
(Здесь 0 <displaystyle 0> 
— бесконечно малая величина, а ∞ <displaystyle infty > — бесконечно большая величина)
по которым невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.
Самым мощным методом является правило Лопиталя, однако и оно не во всех случаях позволяет вычислить предел. К тому же напрямую оно применимо только ко второму и третьему из перечисленных видов неопределённостей, то есть отношениям, и чтобы раскрыть другие типы, их надо сначала привести к одному из этих.
Также для вычисления пределов часто используется разложение выражений, входящих в исследуемую неопределённость, в ряд Тейлора в окрестности предельной точки. Для раскрытия неопределённостей видов ( 0 0 ) <displaystyle left(
0^<0>
ight)> , ( 1 ∞ ) <displaystyle left(1^<infty >
ight)> , ( ∞ 0 ) <displaystyle left(infty ^<0>
ight)> пользуются следующим приёмом: находят предел (натурального) логарифма выражения, содержащего данную неопределённость. В результате вид неопределённости меняется. После нахождения предела от него берут экспоненту.
0^<0>
ight)=left(e^<0cdot ln <0>>
ight)=left(e^<0cdot (-infty )>
ight)> ( 1 ∞ ) = ( e ∞ ⋅ ln 1 ) = ( e ∞ ⋅ 0 ) <displaystyle left(
1^<infty >
ight)=left(e^<infty cdot ln <1>>
ight)=left(e^<infty cdot 0>
ight)> ( ∞ 0 ) = ( e 0 ⋅ ln ∞ ) = ( e 0 ⋅ ∞ ) <displaystyle left(
infty ^<0>
ight)=left(e^<0cdot ln <infty >>
ight)=left(e^<0cdot infty >
ight)>
Для раскрытия неопределённостей типа ∞ ∞ <displaystyle <frac <infty ><infty >>> используется следующий алгоритм:
- Выявление старшей степени переменной;
- Деление на эту переменную как числителя, так и знаменателя.
Для раскрытия неопределённостей типа ( 0 0 ) <displaystyle left(<frac <0><0>>
ight)> существует следующий алгоритм:
- Разложение на множители числителя и знаменателя;
- Сокращение дроби.
Для раскрытия неопределённостей типа ( ∞ − ∞ ) <displaystyle (infty -infty )> иногда удобно применить следующее преобразование:
Пусть f ( x ) → x → a ∞ <displaystyle f(x)<xrightarrow >infty > и g ( x ) → x → a ∞ <displaystyle g(x)<xrightarrow >infty > ; lim x → a [ f ( x ) − g ( x ) ] = ( ∞ − ∞ ) = lim x → a ( 1 1 f ( x ) − 1 1 g ( x ) ) = lim x → a 1 g ( x ) − 1 f ( x ) 1 g ( x ) ⋅ 1 f ( x ) = ( 0 0 ) <displaystyle lim _[f(x)-g(x)]=(infty -infty )=lim _left(<frac <1><frac <1>>>-<frac <1><frac <1>>>
ight)=lim _<frac <<frac <1>>-<frac <1>>><<frac <1>>cdot <frac <1>>>>=left(<frac <0><0>>
ight)> .
Данный вид неопределённостей может раскрываться с использованием асимптотических разложений уменьшаемого и вычитаемого, при этом бесконечно большие члены одного порядка должны уничтожаться.
При раскрытии неопределённостей также применяются замечательные пределы и их следствия.
Пример [ править | править код ]
0>"> lim x → a a x − x a x − a , a > 0 <displaystyle lim _<frac 0>"/> — пример [1] неопределённости вида ( 0 0 ) <displaystyle left(<frac <0><0>>
ight)> . По правилу Лопиталя lim x → a a x − x a x − a = lim x → a a x ln a − a x a − 1 1 = a a ( ln a − 1 ) <displaystyle lim _<frac. Второй способ — прибавить и отнять в числителе a a <displaystyle a^> и дважды применить теорему Лагранжа, к функциям a x <displaystyle a^и x a <displaystyle x^> соответственно:
a x − x a x − a = a x − a a − ( x a − a a ) x − a = a c ln a ( x − a ) − a d a − 1 ( x − a ) x − a = a c ln a − a d a − 1 <displaystyle <frac
здесь c, d лежат между a и x, поэтому они стремятся к a при x стремящемся к a, отсюда получаем тот же предел, что и в первом способе.
