Дифференциальное уравнение гармонического осциллятора

КОЛЕБАНИЯ

Лекция 1

ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Идеальный гармонический осциллятор. Уравнение идеального осциллятора и его решение. Амплитуда, частота и фаза колебаний

Колебание – один из самых распространённых процессов в природе и технике. Колебания – это процессы, повторяющиеся во времени. Колеблются высотные здания и высоковольтные провода под действием ветра, маятник заведённых часов и автомобиль на рессорах во время движения, уровень реки в течение года и температура человеческого тела при болезни. Звук – это колебания давления воздуха, радиоволны – периодические изменения напряжённости электрического и магнитного поля, свет – это тоже электромагнитные колебания. Землетрясения – колебания почвы, приливы и отливы – изменение уровней морей и океанов, вызываемые притяжением луны и т.д.

Колебания бывают механические, электромагнитные, химические, термодинамические и др. Несмотря на такое многообразие, все колебания описываются одними и теми же дифференциальными уравнениями.

Первыми учёными, изучавшими колебания, были Галилео Галилей и Христиан Гюйгенс. Галилей установил независимость периода колебаний от амплитуды. Гюйгенс изобрёл часы с маятником.

Любая система, которая, будучи слегка выведена из положения равновесия, совершает устойчивые колебания, называется гармоническим осциллятором. В классической физике такими системами являются математический маятник в пределах малых углов отклонения, груз в пределах малых амплитуд колебаний, электрический контур, состоящий из линейных элементов ёмкости и индуктивности.

Гармонический осциллятор можно считать линейным, если смещение от положения равновесия прямо пропорционально возмущающей силе. Частота колебаний гармонического осциллятора не зависит от амплитуды. Для осциллятора выполняется принцип суперпозиции – если действуют несколько возмущающих сил, то эффект их суммарного действия может быть получен как результат сложения эффектов от действующих сил в отдельности.

Гармонические колебания описываются уравнением (рис.1.1.1)

(1.1.1)

где х -смещение колеблющейся величины от положения равновесия, А – амплитуда колебаний, равная величине максимального смещения, – фаза колебаний, определяющая смещение в момент времени , – начальная фаза, определяющая величину смещения в начальный момент времени, – циклическая частота колебаний.

Время одного полного колебания называется периодом, , где – число колебаний, совершенных за время .

Частота колебаний определяет число колебаний, совершаемых в единицу времени, она связана с циклической частотой соотношением , тогда период .

Скорость колеблющейся материальной точки

,

. (1.1.2)

Таким образом, скорость и ускорение гармонического осциллятора также изменяются по гармоническому закону с амплитудами и соответственно. При этом скорость опережает по фазе смещение на , а ускорение – на (рис.1.1.2).

Из сопоставления уравнений движения гармонического осциллятора (1.1.1) и (1.1.2) следует, что , или

. (1.1.3)

Это дифференциальное уравнение второго порядка называется уравнением гармонического осциллятора. Его решение содержит два постоянные а и , которые определяются заданием начальных условий

.

Отсюда .

Если периодически повторяющийся процесс описывается уравнениями, не совпадающими с (1.1.1), он н6азывается ангармоническим. Система, совершающая ангармонические колебания, называется ангармоническим осциллятором.

1.1.2. Свободные колебания систем с одной степенью свободы. Комплексная форма представления гармонических колебаний

В природе очень распространены малые колебания, которые система совершает вблизи своего положения равновесия. Если система, выведенная из положения равновесия, предоставлена себе, то есть на неё не действуют внешние силы, то такая система будет совершать свободные незатухающие колебания. Рассмотрим систему с одной степенью свободы.

Устойчивому равновесию соответствует такое положение системы, в котором её потенциальная энергия имеет минимум (q – обобщённая координата системы). Отклонение системы от положения равновесия приводит к возникновению силы , которая стремится вернуть систему обратно. Значение обобщённой координаты, соответствующей положению равновесия, обозначим , тогда отклонение от положения равновесия

Будем отсчитывать потенциальную энергию от минимального значения . Примем Полученную функцию разложим в ряд Маклорена и оставим первый член разложения, имеем: о

,

где . Тогда с учётом введённых обозначений:

, (1.1.4)

С учётом выражения (1.1.4) для силы, действующей на систему, получаем:

Согласно второму закону Ньютона, уравнение движения системы имеет вид: ,

, (1.1.5)

Выражений (1.1.5) совпадает с уравнением (1.1.3) свободных гармонических колебаний при условии, что

, (1.1.6)

и имеет два независимых решения: и , так что общее решение:

, или

,

где

Из формулы (1.1.6) следует, что частота определяется только собственными свойствами механической системы и не зависит от амплитуды и от начальных условий движения.

Зависимость координаты колеблющейся системы от времени можно определить в виде вещественной части комплексного выражения , где A=Xe-iα – комплексная амплитуда, её модуль совпадает с обычной амплитудой, а аргумент – с начальной фазой.

1.1.3. Примеры колебательных движений различной физической природы

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Сдача сессии и защита диплома – страшная бессонница, которая потом кажется страшным сном. 8800 – | 7160 – или читать все.

78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Страницы работы

Содержание работы

1.Гармонические колебания. Характеристики и формы представления.

В общем случае состояние системы изменяется. Если в изменение обнаруживается повторяемость, то в системе происходят колебания. Если колебания повторяются через строго определенный промежуток времени, то такое колебание периодическое, а сам промежуток – это период Т. Колебания, происходящие по закону Sin или Cos называются гармоническими.

Причины гармонических колебаний:

1. Многие колебания во многих системах близки к гармоническим.
2. Любое произвольное колебание можно представить в виде суммы гармонических колебаний.

Уравнение гармонического колебательного движения имеет вид , где – смещение точки от положения равновесия, разное для разных моментов времени, – амплитуда, – период, – начальная фаза, – частота колебаний, – круговая частота. Скорость и ускорение точки, совершающей колебание, определяются соотношениями , . Сила, под действием которой точка массой совершает гармоническое колебание, , где , т.е. . Здесь – период колебаний точки, совершающей колебания под действием силы , где – жесткость пружины, численно равная силе, вызывающей смещение, равное единице. Кинетическая и потенциальная энергии колеблющейся точки имеют вид , . Полная энергия . Примером гармонических колебательных движений могут служить малые колебания маятника. Период колебаний математического маятника .

Характеристики и способы представления гармонических колебаний

x – смещение;

A – амплитуда (максимальное значение x);

– фаза;

– начальная фаза, при t = 0, зависит от состояния система и времени;

– скорость изменения фазы с течением времени, циклическая частота;

Применяется для сложных колебаний. Угловая скорость – циклическая частота.

2.Сложение однонаправленных колебаний. Векторные диаграммы. Биения.

При сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний одинакового периода получается гармоническое колебание того же периода с амплитудой и с начальной фазой, определяемой из уравнения , где и – амплитуды слагаемых колебаний, и – их начальные фазы.

1. Сложение однонаправленных колебаний с одинаковыми частотами:

Пусть система принимает участие в двух однонаправленных колебаниях с одной .

Сколько бы гармонических колебаний ни складывалось, получаем гармоническое колебание с такой же частотой, но у него своя амплитуда, которая зависит от амплитуды складываемых колебаний и от начальных фаз.

2. Сложение однонаправленных колебаний с разными частотами. Биения.

Результирующее x – это быстрое колебание с медленно изменяющейся амплитудой.

Если амплитуды разные, то нулевой амплитуды не получится. Если складываются колебания с разными частотами, то получаются не гармонические колебания.

3.Сложение перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу.

При сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний одинакового периода уравнение траектории результирующего движения имеет вид .

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Разные

Результирующее движение в общем случае сложное. Траектория может получиться не замкнутой. Замкнутая, если – кратны друг другу или частоты относятся, как целые числа, , тогда получится фигура Лиссажу.

В общем случае фигура Лиссажу пересекает целое число раз каждую ось. Тогда частоты колебаний относятся между собой так, как относятся обратные числа:

4.Гармонические осцилляторы. Дифференциальное уравнение гармонического осциллятора. Собственные колебания и энергия осциллятора.

Среди любых систем можно выделить колебательную систему или осциллятор.

Такая система может совершать колебания сама по себе, те за счет внутренних причин, если у нее есть энергия. Если собственные колебания системы являются гармоническими то система- осциллятор.

Динамика гармонических колебаний описывается дифуром:

(1)

Если для системы получается уравнение (1) то система – гармонический осциллятор.

– собственная частота.

Дифференциальное уравнение гармонического осциллятора.

=> – решение этого уравнения есть функции вида

, .

Пример 1 (Пружинный маятник.)

– дифференциальное уравнение гармонического осциллятора.

Решением дифференциального уравнения будет.

Величина собственной частоты зависит от свойств системы.

Причин колебаний 2:

3 свойства осциллятора:

1. Начальное положение.

2. Возвращающая сила.

Пример 2 (Физический маятник).

Равновесие когда

Если угол мал то:

– собственная частота.

Пример 3 (Колебательный контур)

Сообщение заряда колебательному контуру выводит систему из положения равновесия.

– закон Кирхгофа.

=>

Возвращающие воздействие связанно с зарядом.

Энергия гармонического осциллятора.

Рассмотренные в примерах осцилляторы являются консервативными системами. Энергия с течением времени не меняется.

Первая (скорость) и вторая (ускорение) производные по времени от гармонически колеблющейся величины s также совершают гармонические колебания с той же циклической частотой:

Из последнего уравнения видно, что s удовлетворяет уравнению

или

Это уравнение называется дифференциальным уравнением гармони­ческих колебаний. Его решение:

4. Метод векторных диаграмм.

армонические колебания изображаются графическиметодом вращающегося вектора амплитуды или методом векторных диаграмм.

Из произвольной точки О, выбранной на оси х, под углом φ, равным начальной фазе

колебания, откладывается вектор А, модуль которого равен амплитуде А, рассматриваемого колебания. Если этот вектор будет вращаться

вокруг точки О с угловой скоростью со, то проекция вектора на ось х будет совершать колебания по закону s = A·cos(ωt + φ).

5. Экспоненциальная форма записи гармонических колебаний.

Согласно формуле Эйлера для комплексных чисел

где — мнимая единица. Поэтому уравнение гармонического колебанияs = A·cos(ωt +φ) можно записать в комплексной экспоненциальной форме:

Физический смысл имеет только вещественная часть комплексной функции , которая и представляет собой гармоническое колебание:

Re() = A cos(ωt +φ) = s

6. Механические гармонические колебания.

Пусть материальная точка совершает прямолинейные гармонические

олебания вдоль осих около положения равновесия принятого, за начало координат. Тогда для колеблющейся точки

Скорость:= = -Аωcos(ωt + φ + )

a = = =Аω 2 cos(ωt + φ +)

Амплитуды скорости и ускорения равны Aω и Aω 2

Фаза скорости отличается от фазы смещения на , а фаза ускорения на.

Сила, действующая на колеблющуюся материальную точку массой т равна

Таким образом, сила пропорциональна смещению материальной точки и

направлена в сторону, противоположную смещению (к положению равновесия).

Такая зависимость от смещения характерна для упругих сил и поэтому силы,

которые аналогичным образом зависят от смещения, называются

7. Энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания.

Кинетическая энергия материальной точки:

Потенциальная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания под действием квазиупругой силы:

Полная энергия:

остается постоянной, с течением времени происходит только превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно.

8. Гармонический осциллятор.

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описываемые дифференциальным уравнением

Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, математический и физический маятники и электрический колебательный контур.

9. Пружинный маятник.

Пружинный маятник — это груз массой т, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы

=

где — жесткость пружины.

Уравнение движения маятника

или

Сравнивая это уравнение с уравнением движения

гармонического осциллятора , мы видим, что пружинный маятник совершает колебания по закону с циклической частотой и периодом:

Если на маятник действует сила трения, пропорциональная скорости ,где r — коэффициент сопротивления, то колебания маятника будут

затухающими и закон движения маятника будет иметь вид или

“>