Определитель (детерминант) матрицы — некоторое число, с которым можно сопоставить любую квадратную матрицу А = ( a i j ) n × n .
|А|, ∆ , det A – символы, которыми обозначают определитель матрицы.
Способ вычисления определителя выбирают в зависимости от порядка матрицы.
Определитель матрицы 2-го порядка вычисляют по формуле:
d e t A = 1 – 2 3 1 = 1 × 1 – 3 × ( – 2 ) = 1 + 6 = 7
Определитель матрицы 3-го порядка: правило треугольника
Чтобы найти определитель матрицы 3-го порядка, необходимо одно из правил:
правило треугольника;
правило Саррюса.
Как найти определитель матрицы 3-го порядка по методу треугольника?
а 11 а 12 а 13 а 21 а 22 а 23 а 31 а 32 а 33 = a 11 × a 22 × a 33 + a 31 × a 12 × a 23 + a 21 × a 32 × a 13 – a 31 × a 22 × a 13 – a 21 × a 12 × a 33 – a 11 × a 23 × a 32
Чтобы вычислить определитель по методу Саррюса, необходимо учесть некоторые условия и выполнить следующие действия:
дописать слева от определителя два первых столбца;
перемножить элементы, которые расположены на главной диагонали и параллельных ей диагоналях, взяв произведения со знаком «+»;
перемножить элементы, которые расположены на побочных диагоналях и параллельных им, взяв произведения со знаком «—».
а 11 а 12 а 13 а 21 а 22 а 23 а 31 а 32 а 33 = a 11 × a 22 × a 33 + a 31 × a 12 × a 23 + a 21 × a 32 × a 13 – a 31 × a 22 × a 13 – a 21 × a 12 × a 33 – a 11 × a 23 × a 32
Чтобы вычислить определитель матрицу 4-го порядка, можно воспользоваться одним из 2-х способов:
разложением по элементам строки;
разложением по элементам столбца.
Представленные способы определяют вычисление определителя n как вычисление определителя порядка n-1 за счет представления определителя суммой произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Разложение матрицы по элементам строки:
d e t A = a i 1 × A i 1 + a i 2 × A i 2 + . . . + а i n × А i n
Разложение матрицы по элементам столбца:
d e t A = а 1 i × А 1 i + а 2 i × А 2 i + . . . + а n i × А n i
Если раскладывать матрицу по элементам строки (столбца), необходимо выбирать строку (столбец), в которой(-ом) есть нули.
если преобразовывать столбцы или строки незначительными действиями, то это не влияет на значение определителя;
если поменять местами строки и столбцы, то знак поменяется на противоположный;
определитель треугольной матрицы представляет собой произведение элементов, которые расположены на главной диагонали.
Пример 6
А = 1 3 4 0 2 1 0 0 5
d e t А = 1 3 4 0 2 1 0 0 5 = 1 × 5 × 2 = 10
Определитель матрицы, который содержит нулевой столбец, равняется нулю.
Матрицы и определители. Лекция 4.
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел.
Пример 13. , , , .
В общем случае матрица может содержать строк и столбцов
.
Числа называются элементами матрицы, где – указывает номер строки, – указывает номер столбца.
Элементы образуют главную диагональ матрицы. Если число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной. Квадратная матрица размеров называется матрицей – го порядка.
Матрицы называются равными, если у них равны элементы, стоящие на соответствующих местах, т. е. тогда и только тогда, когда , для всех , .
Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме главной диагонали равны 0, называется диагональной.
Пример 14. .
Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется нулевой.
Пример 15. .
Диагональная матрица, у которой каждый элемент диагонали равен 1, называется единичной.
Пример 16. , .
Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от диагонали, равны нулю.
Пример 17. , .
Матрица, содержащая одну строку (столбец), называется вектором (вектор-строкой, вектор-столбцом).
Пример 18. , .
Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной .
Пример 19. ;
Очевидно, что .
Действия над матрицами.
Матрицы одинаковых размерностей можно складывать и вычитать. Если
, , то , причем
, для всех .
Пример 20. ,
.
Умножение матрицы на число.
Чтобы умножить матрицу на число, необходимо каждый ее элемент умножить на это число.
Пример 21. Пусть , тогда . Матрица называется противоположной к матрице.
Умножение матриц можно только в том случае, когда число столбцов матрицы равно числу строк матрицы Пример 22. Пусть , . Тогда
,
.
Видим, что в общем случае . Если же выполняется условие , то матрицы
Матрица называется ступенчатой, если для её элементов выполняются условия:
под первым не нулевым элементом каждой строки находится 0;
первый ненулевой элемент любой строки находится правее первого не нулевого элемента любой строки, расположенной выше.
Пример 23. Следующая матрица является ступенчатой.
.
Элементарные преобразования матриц.
Элементарными преобразованиями матриц являются:
Перестановка местами двух любых её строк (столбцов).
Умножение элементов какой-нибудь строки (столбца) на некоторое не нулевое число.
Прибавление ко всем элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.
Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований
Любую матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к ступенчатому виду.
Определителем называется квадратная числовая таблица, вычисляемая по определенным правилам.
Пример 24. Если , то . Так .
Если , то .
Так .
Если , то
. Так
.
При вычислении определителей 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников. С плюсом берутся произведения элементов стоящих на главной диагонали и элементы, стоящие в вершинах следующих треугольников.
С минусом берутся произведения элементов, стоящих на второй диагонали и в вершинах следующих треугольников.
Второй метод заключается в том, что рядом с определителем справа записываются первый и второй столбцы и тогда с плюсом берутся произведения элементов, стоящих на главной диагонали и двух ей параллельных, с минусом – произведения элементов, стоящих на второй диагонали и двух ей параллельных.
Вычисление определителей более высоких порядков осуществляется путем использования их свойств.
Пусть дана квадратная матрица
Из элементов этой матрицы можно составить определитель, который называется детерминантом матрицы и обозначается
Минором некоторого элемента определителя называют определитель, который получается вычеркиванием из него строки и столбца. Например
, .
Алгебраическим дополнением элемента определителя называют число . Например
, .
1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами и наоборот, т. е. .
2. Определитель меняет знак при перестановке любых двух его строк (столбцов).
3. Определитель, имеющий две равные строки (столбца), равен 0.
4. Общий множитель строки (столбца) можно выносить за знак определителя, например
.
5. Если элементы какой-нибудь строки (столбца) представимы в виде суммы двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, например
6. Определитель не изменится, если к какой-нибудь строке (столбцу) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на некоторое ненулевое число.
(I=I+II).
7. Определитель треугольной матрицы равен произведению её диагональных элементов.
8. Определитель равен сумме произведений элементов какой-нибудь его строки (столбца) на их алгебраические дополнения. Например
.
Для вычисления определителя мы использовали разложение по второй строке, так как она содержит большее число нулевых элементов.
9. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на соответствующее алгебраическое дополнение другой строки (столбца) равна 0.
Разделы: Математика
Матрица, её история и применение
Термин « матрица » имеет много значений. Например, в математике матрицей называется система элементов, имеющая вид прямоугольной таблицы, в программировании матрица – это двумерный массив, в электронике – набор проводников, которые можно замкнуть в точках их пересечений. Покерные фишки также имеют непосредственное отношение к матрице. Фишки для покера изготавливаются из высококачественного композиционного материала, зачастую с металлической сердцевиной. В свою очередь композиционный материал или композит имеет матрицу и включенные в нее армирующие элементы (исключение составляют слоистые композиты). Матрица в фотографии – это интегральная микросхема (аналоговая или цифро-аналоговая), которая состоит из фотодиодов (светочувствительных элементов). Благодаря светочувствительной матрице происходит преобразование спроецированного на нее оптического изображения в электрический сигнал аналогового типа, а при наличии в составе матрицы АЦП, то преобразование происходит в поток цифровых данных. Матрица – основной элемент цифровых фотоаппаратов, всех современных видео- и телекамер, фотокамер, встроенных в мобильный телефон и системы видеонаблюдения.
Основное значение термин «матрица» имеет в математике.
Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы, в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.
Впервые матрицы упоминались ещё в древнем Китае, называясь тогда «волшебным квадратом». Основным применением матриц было решение линейных уравнений. Так же, волшебные квадраты были известны чуть позднее у арабских математиков, примерно тогда появился принцип сложения матриц. После развития теории определителей в конце 17-го века, Габриэль Крамер начал разрабатывать свою теорию в 18-ом столетии и опубликовал «правило Крамера» в 1751 году. Примерно в этом же промежутке времени появился «метод Гаусса». Теория матриц начала своё существование в середине XIX века в работах Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат Вейерштрассу, Жордану, Фробениусу. Термин «матрица» ввел Джеймс Сильвестр в 1850 г.
Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае, количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.
Матрицы допускают следующие алгебраические операции:
сложение матриц, имеющих один и тот же размер;
умножение матриц подходящего размера (матрицу, имеющую nстолбцов, можно умножить справа на матрицу, имеющую nстрок);
умножение матрицы на элемент основного кольца или поля (т. е. скаляр).
Матрица – множество чисел, образующих прямоугольную таблицу, которая содержит m – строк и n – столбцов. Для обозначения матрицы используется надпись:
А=,
аij, где i – номер строки, j – номер столбца
Далее рассмотрим виды матриц.
Матрицы С и D имеют размеры 3х3 и 2х2. В том случае, когда количество строк матрицы равняется количеству ее столбцов, матрица называется квадратной. Значит матрица C – квадратная матрица третьего порядка, а матрица D – квадратная матрица второго порядка.
С=; D=.
Матрица, которая содержит только одну строчку или один столбец называется вектором. В таких матрицах можновыделить вектор-строка и вектор-столбец. Так, матрица K – это вектор-строка, а матрица F – вектор-столбец.
K=; F=.
Квадратная матрица, у которой в главной диагонали стоят ненулевые элементы, а все остальные – нули называется диагональной матрицей. Матрица L – диагональная матрица третьего порядка. Если ненулевые элементы равны только единицам, то это единичная матрица, она всегда обозначается буквой Е. В нашем случае матрица Е – тоже единичная матрица третьего порядка.
L= E=.
Если все элементы матрицы нули, то это нулевая матрица. Например, матрица V – нулевая матрица третьего порядка.
V=.
Если в данной матрице поменять строки и столбцы местами, то получится транспонированная матрица данной. Например, дана матрица М, каждую строчку этой матрицы перенесем в соответствующий столбец матрицы, стоящей на рисунке рядом. Вторая матрица – это транспонированная матрица матрицы М.
К середине XIX в. матрицы стали самостоятельными объектами математических исследований. К этому времени были сформулированы правила сложения и умножения матриц. Основную роль в их разработке сыграли работы Гамильтона, Кэли и Сильвестра (J.J.Sylvester, 1814–1897). Современное обозначение матрицы предложил Кэли в 1841 году. Исследования Вейерштрасса (K.Th.W.Weierstrass, 1815–1897) и Фробениуса (F.G.L. Frobenius, 1849–1917) далеко продвинули теорию матриц, обогатив ее новым содержанием.
Но существует ещё особая разновидность матриц, называемая магическим квадратом. Магический квадрат – квадратная таблица из целых чисел, в которой суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны одному и тому же числу.
Магический квадрат – древнекитайского происхождения. Согласно легенде, во времена правления императора Ю (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы и эти знаки известны под названием лошу и равносильны магическому квадрату. В 11 в. о магических квадратах узнали в Индии, а затем в Японии, где в 16 в. магическим квадратам была посвящена обширная литература. Европейцев с магическими квадратами познакомил в 15 в. византийский писатель Э.Мосхопулос. Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат А.Дюрера изображенный на его знаменитой гравюре Меланхолия 1. Дата создания гравюры (1514) указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки. Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. В 16 в. Корнелий Генрих Агриппа построил квадраты 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го, 8-го и 9-го порядков, которые были связаны с астрологией 7 планет. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты.
В 19 и 20 вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры и операционного исчисления.
Магические квадраты нечетного порядка можно построить с помощью метода французского геометра 17 в. А.де лаЛубера. Рассмотрим этот метод на примере квадрата 5-го порядка. Число 1 помещается в центральную клетку верхней строки. Все натуральные числа располагаются в естественном порядке циклически снизу вверх в клетках диагоналей справа налево. Дойдя до верхнего края квадрата (как в случае числа 1), продолжаем заполнять диагональ, начинающуюся от нижней клетки следующего столбца. Дойдя до правого края квадрата (число 3), продолжаем заполнять диагональ, идущую от левой клетки строкой выше. Дойдя до заполненной клетки (число 5) или угла (число 15), траектория спускается на одну клетку вниз, после чего процесс заполнения продолжается.
Где ещё применяются матрицы?
Таблица умножения – это произведение матриц (1,2,3,4,5,6,7,8,9)Т ×(1,2,3,4,5,6,7,8,9).
В физике и других прикладных науках матрицы – являются средством записи данных и их преобразования. В программировании – в написании программ. Они еще называются массивами. Широко применение и в технике. Например, любая картинка на экране – это двумерная матрица, элементами которой являются цвета точек.
В психологии понимание термина сходно с данным термином в математике, но взамен математических объектов подразумеваются некие "психологические объекты" – например, тесты.
Кроме того, матрицы имеет широкое применение в экономике, биологии, химии и даже в маркетинге.
Также авторы нашли абстрактную модель – теорию бракосочетаний в первобытном обществе, где с помощью матриц были показаны разрешенные варианты браков для представителей и даже потомков того или иного племени, что явилось свидетельством разнопланового применения матриц.
Теперь подробнее остановимся на некоторых областях применения матриц.
Рассмотрим теорию бракосочетаний, о которой уже упоминалось.
В некоторых первобытных обществах существуют строгие правила относительно того, в каких случаях допустимы браки. Эти правила направлены на предотвращение браков между слишком близкими родственниками.
Эти правила допускают точную математическую формулировку в терминах «p-матриц». Одним из первых изложил эти правила в виде аксиом Андре Вейль.
Правила бракосочетания характеризуются следующими аксиомами:
Аксиома 1: каждому члену общества приписывается определенный брачный тип.
Аксиома 2: двум индивидуумам разрешается вступать в брак тогда и только тогда, когда они принадлежат к одному и тому же брачному типу.
Аксиома 3: тип индивидуума определяется полом индивидуума и типом его родителей.
Аксиома 4: два мальчика (или две девочки), родители которых принадлежат к разным типам, сами принадлежат к разным типам.
Аксиома 5: правила, разрешающие или не разрешающие мужчине вступить в брак со своей родственницей, зависят только от вида родства. В частности, мужчине не разрешается жениться на своей сестре.
Аксиома 6: для любых двух индивидуумов можно указать таких их потомков, которым разрешается вступать в брак.
Из аксиом следует, что нужно задать зависимость между типом родителей и типами сыновей и дочерей.
Для установления отношения родства пользовались следующими обозначениями:
Вот примеры видов отношений:
Данные схемы далее объединяются в большие матрицы, где условные обозначения преобразуются в числа. С помощью таких матриц удобно видеть кровное родство в нескольких поколениях.
Понятие матрицы и основанный на нем раздел математики – матричная алгебра – имеют чрезвычайно важное значение для экономистов. Объясняется это тем, что значительная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в достаточно простой, а главное – компактной матричной форме.
С помощью матриц удобно записывать некоторые экономические зависимости.
Например, рассмотрим таблицу распределения ресурсов по отдельным отраслям экономики (усл. ед.):
Ресурсы
Отрасли экономики
Промышленность
Сельское хозяйство
Электроэнергия
5,3
4,1
Трудовые ресурсы
2,8
2,1
Водные ресурсы
4,8
5,1
Данная таблица может быть записана в компактной форме в виде матрицы распределения ресурсов по отраслям:
А=
В данной записи, например, матричный элемент = 5,3 показывает, сколько электроэнергии употребляет промышленность, а элемент = 2,1 – сколько трудовых ресурсов потребляет сельское хозяйство.
Далее рассмотрим применение матриц в психологии.
Прогрессивные матрицы Равена– тест на наглядное и в то же время абстрактное мышление по аналогии (тест интеллекта), разработанный англ. психологом Дж. Равеном (1938).
Каждая задача состоит из 2 частей: основного рисунка (какого–либо геометрического узора) с пробелом в правом нижнем углу и набора из 6 или 8 фрагментов, находящихся под основным рисунком. Из этих фрагментов требуется выбрать один, который, будучи поставленным на место пробела, точно подходил бы к рисунку в целом. Прогрессивные матрицы Равена разделяются на 5 серий по 12 матриц в каждой. Благодаря увеличению числа элементов матриц и усложнению принципов из взаимоотношений задачи постепенно усложняются как в пределах одной серии, так и при переходе от серии к серии. Имеется также облегченный вариант прогрессивных матриц Равена, предназначенный для исследования детей и взрослых с нарушениями психической деятельности.
На рисунке показаны примеры таких матриц:
Мы рассмотрели основные области применения матриц. Выяснилось, что данный термин употребляется не только в математике, но и в других науках, таких, как информатика, биология, химия, физика, психология, экономика и т. д. Кроме того, матрицы могут быть практически применимы, например, как это делали в первобытном обществе для определения разрешённых вариантов брака.
МАТРИЦА— (нем., Matrize, от лат. matrix матка). 1) в литейном производстве: медная форма для отливки букв, а также монет. 2) в типографском деле: бумажная форма для отливки стереотипа.
С помощью матриц можно решать системы уравнений, в них удобно представлять какие-либо данные.
Таким образом, мы пришли к выводу, что матрицы широко применялись и применяются до сих пор.
, 
, 
, 
.
строк и 
столбцов
.
называются элементами матрицы, где 
– указывает номер строки, 
– указывает номер столбца.
образуют главную диагональ матрицы. Если число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной. Квадратная матрица размеров 
называется матрицей 
– го порядка.
тогда и только тогда, когда 
, для всех 
, 
.
.
.
, 
.
, 
.
, 
.
.
;
.
, 
, то 
, причем
, для всех 
.
,
.
, тогда 
. Матрица 
называется противоположной к матрице
.
можно только в том случае, когда число столбцов матрицы 
равно числу строк матрицы 
Пример 22. Пусть 
, 
. Тогда
,
.
. Если же выполняется условие 
, то матрицы 
.
называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований
, то 
. Так 
.
, то 
.
.
, то
. Так
.
Из элементов этой матрицы можно составить определитель, который называется детерминантом матрицы 
и обозначается
Минором 
некоторого элемента определителя 
называют определитель, который получается вычеркиванием из него 
строки и 
столбца. Например
, 
.
определителя называют число 
. Например
, 
.
.
.
(I=I+II).
.
,
; D=
.
; F=
.
E=
.
.
= 5,3 показывает, сколько электроэнергии употребляет промышленность, а элемент 
= 2,1 – сколько трудовых ресурсов потребляет сельское хозяйство.
