Две одинаковые лодки идут параллельными курсами

7. Тяжелый брусок удерживается силой трения между двумя горизонтальными стержнями А и В (см. рис.). Каково должно быть расстояние от центра тяжести бруска до точки соприкосновения со стержнем А, чтобы он не мог выскользнуть из своих опор? Расстояние L и коэффициент трения k заданы. (Гольдфарб , №8.44)

Решение.
Брусок не будет соскальзывать, если составляющая силы тяжести вдоль бруска не будет превышать максимальную силу трения
Mgsinα ≤ F_{тр.макс} = N_Ak + N_Bk.

Силы давления N_A и N_B стержней на брусок находятся из условия равенства нулю суммы моментов сил относительно точек А и В соответственно:

Mg (L + x)cosα – N_AL = 0.

С учетом этого найдем, что брусок не будет проскальзывать, если

III. Законы Сохранения.
3.1. Импульс.
1. В каких случаях можно пользоваться законом сохранения импульса?

Ответ. Законом сохранения импульса можно пользоваться: 1) в случаях, когда векторная сумма внешних сил, действующих на систему равна нулю и 2) при быстрых воздействиях (взрывах, ударах), если внешние силы ограничены по величине.
2. За счет какой энергии поднимаются вверх стратостаты шар – зонды?

Ответ. За счет потенциальной энергии воздуха. При подъеме шара его потенциальная энергия увеличивается, однако на занимаемое им место опускается воздух, плотность которого больше средней плотности шара.
3. Как объяснить тот факт, что при падении камня на Землю изменение импульса Земли равно изменению импульса камня, а изменение кинетической энергии Земли настолько мало, что его можно не учитывать.

Ответ. Изменение импульса тела равно импульсу силы тяжести. Так как силы, действующие на камень и Землю, равны и действуют одинаковое время, то равны и изменения импульсов этих тел. Изменение кинетической энергии тела равно работе сил тяготения. Силы равны, но пути, пройденные камнем и Землей, обратно пропорциональны их массам. Поэтому закон сохранения энергии можно записать в форме, не учитывающей изменения кинетической энергии Земли.

4. Как должна измениться мощность насоса, чтобы он стал перегонять через узкое отверстие вдвое большее количество воды в единицу времени?

Ответ. Для того чтобы прогнать за единицу времени вдвое большее количество воды, нужно сообщить вдвое большей массе вдвое большую скорость (работа насоса идет на сообщение воде кинетической энергии ½ mv 2 ). Поэтому мощность насоса должна быть увеличена в восемь раз.

5. Несколько одинаковых упругих шаров подвешены рядом на нитях равной длины таким образом, что расстояние между соседними шарами очень малы (см. рис.). Как будут вести себя шары, если отклонить крайний шар и отпустить, отклонить одновременно два шара, три шара и т.д.?

Ответ. Если отклонить один правый шар, то после удара отскочит крайний левый шар на угол, равный углу отклонения правого шара. Если отклонить одновременно два шара и отпустить их, то после удара отскочат два крайних шара и т.д. Произойдет обмен скоростями при каждом соударении. При одновременном отклонении нескольких шаров они передают свой импульс цепочки не одновременно, а по очереди через очень малый (неуловимый на глаз) промежуток времени.
6. На плоскости лежат в ряд (с небольшими промежутками) шарики одинакового размера (см. рис.). Один из средних шаров сделан из стали, а остальные – из слоновой кости (стальной шар тяжелее костяного). На шарики справа вдоль линии центров налетает костяной шар. Как будут двигаться шары после удара?

Ответ. Ударяющий шар отскочит назад, шары, находящиеся между стальным и ударяющим, останутся неподвижными. Стальной шарик и все последующие начнут двигаться влево, причем скорости их будут различны. Наиболее быстро будет двигаться крайний левый шар. Следующий будет двигаться медленнее и т.д. Шарики разойдутся.
7. На какую высоту подпрыгнул бы космонавт на сферическом астероиде радиуса R = 5.5 км со средней плотностью вещества ρ = 5.5 г/см 3 , если бы при отталкивании он получил ту же самую начальную скорость, которая необходима для подпрыгивания на Земле на высоту h = 2 см? Ответ: Н = 23 м.
Ответ. Поскольку масса космонавта во много раз меньше массы астероида, пренебрегая влиянием всех тел на движение астероида и Земли, системы отсчета связанные с астероидом и Землей, можно считать инерциальными. Тогда, учитывая, что в обоих случаях космонавт при отталкивании должен получить одинаковые скорости, соотношение между максимальными высотами h и H, на которые подпрыгнет космонавт на Земле и астероиде, найдем, сравнивая работы космонавта против сил тяжести в указанных случаях. Полагая, что и на астероиде космонавт подпрыгнет на высоту значительно меньшую радиуса астероида, можно считать, что и здесь космонавт движется в однородном поле силы тяжести, причем ускорение свободного падения равно

где G = 6.67 . 10 -11 Нм 2 /кг 2 – гравитационная постоянная. Поэтому

Полученное значение H

ЗАДАЧИ:
3.1. Импульс.
1. В начальный момент времени ракета массы М имела скорость v_o . В конце каждой секунды из ракеты выбрасывается порция газа массы m. Скорость порции газа отличается от скорости ракеты до сгорания этой порции газа на постоянную величину u, т.е. скорость истечения газа относительно ракеты постоянна. Пренебрегая действием силы тяжести, определить скорость ракеты через n секунд. Будет ли увеличиваться скорость ракеты, если скорость истечения газа относительно ракеты меньше скорости самой ракеты, т.е. вытекающий из сопла ракеты газ летит вслед за ракетой?

Решение.
Обозначим через v_k скорость ракеты в конце k-ой секунды. В конце (k + 1)-й секунды из ракеты выбрасывается порция газа массы m , который уносит с собой импульс, равный

Из закона сохранения импульса следует, что

Изменение скорости ракеты за одну секунду

Зная изменение скорости за одну секунду, можно написать выражение для скорости в конце n-ой секунды:

Скорость ракеты будет увеличиваться. Это становится очевидным, если перейти в систему отсчета, относительно которой ракета в данный момент покоится. Давление вытекающих газов будет толкать ракету вперед.
2. С концов неподвижной платформы длины L = 9.2 м бегут навстречу друг другу взрослый и ребенок. Определить, на сколько откатится платформа, когда взрослый добежит с одного конца платформы до другого. Известно, что взрослый бежит в два раза быстрее, чем ребенок. Масса платформы m₁ = 600 кг, масса взрослого m₂ = 60 кг, масса ребенка m₃ = 30 кг.

Ответ: s = 0.6 м.
Решение.
Примем за начало координат ту точку, откуда начал двигаться взрослый. Тогда начальная координата центра масс

Обозначим через x₂ координату центра масс в момент, когда взрослый добегает до края платформы. Тогда

где s – перемещение платформы. Так как в горизонтальном направлении система взрослый- ребенок-платформа замкнута, то x₁ = x₂. Из этого равенства находим s:

При заданных числовых значениях это дает s = 0.6 м.

3. Две лодки одинаковой массы идут параллельными курсами навстречу друг другу с одинаковыми скоростями v_о. Когда лодки встречаются, с одной лодки на другую перебрасывают груз, а затем со второй лодки на первую перебрасывают такой же груз. В другой раз грузы перекидывают из лодки в лодку одновременно. В каком случае скорость лодок после перебрасывания грузов будет больше? (Буховцев, 1987,№ 110)

Ответ: Δv = 2m 2 v_o/[(M + m)(M = 2m)]- конечная скорость лодок в первом случае будет больше
Решение.
Пусть масса лодки равна М, масса груза – m, начальная скорость лодок – v_o. При выбрасывании груза с лодки на лодку действует некоторая сила в направлении перпендикулярном v_o. Однако изменения импульса лодки не происходит, т.к. сила сопротивления воды препятствует поперечному движению лодок. Импульс лодки изменяется только при попадании в нее груза. Применяя закон сохранения импульса к системе ‘груз-лодка’, в первом случае можно записать

Здесь v₁ и v₂ – конечные скорости лодок. Из данной системы уравнений имеем

В случае, когда грузы перебрасываются одновременно, конечные скорости определяются из уравнений

Таким образом, конечная скорость лодок в первом случае будет больше.

4. Человек массы m прыгает с берега в лодку, стоящую в неподвижной воде. Его скорость горизонтальна, равна по модулю v_o и направлена вдоль лодки. На какое расстояние переместится лодка? Сила трения лодки о воду пропорциональна скорости лодки, коэффициент пропорциональности равен k. (МФТИ-79)

Ответ: s = mv _o/k.
Решение.
Обозначим через М массу лодки, а через u_o – начальную скорость лодки с человеком. По закону сохранения импульса имеем:

При дальнейшем движении лодки с человеком удобно все время движения вплоть до остановки разбить на множество сколь угодно малых промежутков Δt. Тогда в течение произвольного i- го промежутка времени изменение Δu_i скорости лодки с человеком и сила сопротивления F_i со стороны воды связаны в направлении движения соотношением

Но u_i Δt = Δs_i – расстояние, проплываемое лодкой за время Δt. Таким образом,

Проведя суммирование этих уравнений по всем значениям i , получим
∑<(m + M)Δu_i> = ∑<- kΔs_i >.

Но ∑Δs_i = s – искомое расстояние, а ∑Δu_i = u_k – u_o , где u_k = 0 – конечное значение скорости. Отсюда приходим к соотношению

s = (m + M)u_o/k = mv_o/k.
5. Три лодки одинаковой массы М идут в кильватер (друг за другом) с одинаковой скоростью v. Из средней лодки одновременно в переднюю и заднюю бросают со скоростью u относительно лодки грузы массой m. Каковы будут скорости лодок после переброски грузов? Сопротивлением воды пренебречь.

Решение

Отсюда скорость передней лодки

скорость средней лодки

скорость задней лодки

Скорость v₁ первой лодки относительно земли получим из формулы

аналогично найдем скорости 2-й и 3-й лодок.

6. Стальной шарик скользит без трения по гладкому полу и налетает на стальную стенку. Каким должен быть угол φ, чтобы шарик отскочил перпендикулярно плоскости стены? Коэффициент трения между шариком и стеной μ.
Ответ: tg φ ≤ 2 μ .

admin

More Posts