Движение материальной точки это

Движение материальной точки в пространстве – это изменение ее положения относительно других тел с течением времени.

Имеет смысл говорить только о движении в некоторой системе отсчета.

Система отсчета. Системы координат

Точки, располагаемые в пустом пространстве, не различаются. Поэтому о точке рассуждают при условии нахождения в ней материальной точки. Определить ее положение можно при помощи измерений в системе координат, где и проводится нахождение пространственных координат. Если рассматривать в виде примера поверхность Земли, то следует учитывать широту и долготу располагаемой точки.

В теории используется декартова прямоугольная система координат, где определение точки возможно при наличии радиус-вектора r и трех проекций x , y , z – ее координат. Могут быть применены другие:

• сферическая система с положением точек и ее радиус-вектором, определенных координатами r , υ , φ ;
• цилиндрическая система с координатами p , z , α ;
• на полярной плоскости с параметрами r , φ .

В теории зачастую не принимают во внимание реальную систему отсчета, а сохраняют только ту, которая представляет собой ее математическую модель, применяемую во время практических измерений.

Кинематическое уравнение движения материальной точки

Любая система отсчета или координат предполагает определение координат материальной точки в любой момент времени.

При условии положения и определения материальной точки в данной системе отсчета считается, что ее движение задано или описано.

Это возможно при использовании кинематического уравнения движения:

Аналитически положение точки определяется совокупностью трех независимых между собой чисел. Иначе говоря, свободная точка имеет три степени свободы движения.

Ее перемещение по уравнению ( 1 ) определено, если имеется указанное положение в любой момент времени t . Для этого следует задавать декартовы координаты точки в качестве однозначных и непрерывных функций времени:

x ( t ) = x , y ( t ) = y , z ( t ) = z ( 2 ) .

Прямоугольные декартовы координаты x , y , z – это проекции радиус-вектора r ¯ , проведенного из начала координат. Очевидно, что длину и направление r ¯ можно найти из соотношений, где a , β , γ являются образованными радиус-вектором углами с координатными осями.

Равенства ( 2 ) считают кинематическими уравнениями движения материальной точки в декартовых координатах.

Они могут быть записаны в другой системе координат, которая связана с декартовой взаимно однозначным преобразованием. Если движение точки происходит в плоскости О х у , тогда применимы полярные координаты r , φ , относящиеся к декартовым преобразованиям. Данный случай подразумевает использование уравнения движения точки следующего вида:

r = r ( t ) , φ = φ ( t ) ( 3 ) .

Кинематическое уравнение движения точки в криволинейных координатах q 1 , q 2 , q 3 , связанных с декартовыми преобразованиями вида x = x ( q 1 , q 2 , q 3 ) , y = y ( q 1 , q 2 , q 3 ) , z = z ( q 1 , q 2 , q 3 ) ( 4 ) , записывается как

q 1 = q 1 ( t ) , q 2 = q 2 ( t ) , q 3 = q 3 ( t ) ( 5 ) .

Кривая радиус-вектора, описываемая концом вектора r при движении точки, совпадает с ее траекторией. Параметрическое уравнение траектории с t представлено кинематическими уравнениями ( 2 ) , ( 5 ) . Чтобы получить координатное уравнение траектории следует исключить время из кинематических уравнений.

Определение движения точки возможно с помощью задания траектории и мгновенного положения точки на ней. Ее положение на кривой определяется с помощью указания только одной величины: расстояния вдоль кривой от некоторой начальной точки с положительным направлением:

Это и есть уравнение движения точки по траектории. Способ его задания относят к естественному или траекторному.

Понятия координатного и естественного способа задания движения точки физически эквивалентны. С математической стороны это рассматривают как возможность применения разных методов, исходя из случая математической задачи.

Задание такого закона возможно аналитическим, графическим путем или с использованием таблицы, последние два из которых зачастую рассматривают в виде графиков и расписаний движений поездов.

Дано уравнение движения материальной точки x = 0 , 4 t 2 . Произвести запись формулы зависимости υ x ( t ) , построить график зависимости скорости от времени. На графике отметить площадь, численно равную пути, пройденному точкой за 4 секунды, произвести вычисление.

Дано: x = 0 , 4 t 2 , t = 4 c

Найти: υ x ( t ) , S – ?

Решение

При решении необходимо учитывать зависимость скорости от времени:

υ x = υ 0 x + a x t .

Зависимость координаты от времени и сравнение уравнения с заданным принимает вид:

x = x 0 + υ 0 x t + a x t 2 2 , x = 0 , 4 t 2 .

Очевидно, что x 0 = 0 , υ 0 x = 0 , a x = 0 , 8 м / с 2 .

После подстановки данных в уравнение:

Определим точки, изобразим график:

υ x = 0 , t = 0 , υ x = 4 , t = 5

Путь, по которому двигалось тело, равняется площади фигуры, ограниченной графиком, и находится с помощью формулы:

Nav view search

Навигация

Искать

Виды механического движения

Подробности Категория: Механика Опубликовано 17.03.2014 18:55 Просмотров: 16012

Механическое движение рассматривают для материальной точки и для твёрдого тела.

Движение материальной точки

Понятие материальной точки вводится для облегчения решения практических задач.

Если размеры тела малы по сравнению с расстоянием, которое оно проходит, или по сравнению с другими телами, то тело условно можно считать материальной точкой. Так, самолёт по отношению к Земле можно считать материальной точкой. Но по отношению к человеку, который передвигается внутри салона, материальной точкой самолёт уже не будет. То есть, если размерами тела в конкретном случае можно пренебречь, то движение этого тела можно рассматривать, как движение материальной точки.

Изучением движения материальной точки занимается кинематика материальной точки.

Положение точки в пространстве

Мы знаем, что в один и тот же момент времени положение точки в пространстве различно относительно разных тел. Для того, чтобы описать движение материальной точки, необходимо выбрать систему координат и тело отсчёта.

Из курса математики нам известно, что положение любой точки на плоскости можно задать с помощью системы координат. Две взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в одной точке, называются координатными прямыми. А их точка пересечения называется началом координат. Если перпендикулярно плоскости из начала координат провести третью прямую, то с помощью такой системы координат можно задавать положение точки в пространстве.

Положение точки задаётся также с помощью радиус-вектора. Радиус-вектор – это отрезок, проведённый из точки начала координат в заданную точку.

Положение материальной точки при движении в пространстве меняется в зависимости от времени. Рассчитать положение точки в какой-то определённый момент мы сможет только в том случае, если сможем измерить время.

В совокупности тело отсчёта, связанная с ним система координат и прибор отсчёта времени, называется системой отсчёта.

От выбора системы отсчёта зависит траектория, пройденный путь, перемещение и скорость.

Например, два автомобиля движутся по соседним полосам в одном направлении с одинаковой скоростью. Если в качестве тела отсчёта выбран один из автомобилей, то в такой системе отсчёта, скорость второго автомобиля, его путь и перемещение будут равны нулю. То есть, второй автомобиль по отношению к первому будет находиться в покое. А если телом отсчёта считать дорогу, то скорость, путь и перемещение будут иметь конкретное значение.

Траекторией материальной точки считают линию, которую описывает материальная точка при движении в пространстве. Эта линия состоит из множества точек, в которых материальная точка находилась в предыдущий момент, находится в настоящий момент и будет находиться в следующий момент времени.

Перемещение материальной точки – это вектор, начало которого находится в точке траектории в начальный момент времени, а конец – в точке траектории в конечный момент времени.

Путь материальной точки – это сумма всех участков, которые проходит материальная точка при движении.

Путь – это скалярная величина, всегда имеющая только положительное значение. В процессе движения путь может только увеличиваться.

Путь, пройденный материальной точкой, обозначают как S. Если же говорят о каком-то участке траектории, то путь обозначают ΔS.

Средняя скорость перемещения – векторная величина, определяемая по формуле

Средняя скорость пути – величина скалярная.

Среднее ускорение – величина, определяемая по формуле

Среднее ускорение – величина векторная.

Прямолинейное движение

Если точка движется по прямой, её движение называют прямолинейным. Траектория прямолинейного движения точки – прямая линия. Равномерное движение вдоль прямой – это самый простой вид движения. Такое движение называется равномерным прямолинейным.

При равномерном движении материальная точка проходит равные пути за равные промежутки времени.

Величина, равная отношению перемещения к промежутку времени, в течение которого это перемещение происходило, называется скоростью равномерного прямолинейного движения.

Вектор скорости имеет такое же направление, как и вектор перемещения.

Кинематическое уравнение равномерного и прямолинейного движения в векторной форме имеет вид:
r = r + v t,

где r – положение материальной точки в начальный момент времени t_о;

v – скорость равномерного прямолинейного движения:

t – значение времени в текущий момент

Равномерное прямолинейное движение может быть описано с помощью уравнений в проекциях на оси координат.

Если систему координат выбрать таким образом, что тело будет двигаться вдоль оси ОХ, то проекция радиус-вектора на эту ось будет выражена уравнением

А проекции на остальные оси будут равны нулю.

Предположим, что точка начала движение от начала координат. Тогда за время t при прямолинейном равномерном движении она прошла путь s = vt

При прямолинейном движении вектор перемещения не меняет своего направления. А его модуль равен длине пути, которое проходит тело.

Но прямолинейное движение может быть и неравномерным. При таком движении за равные промежутки времени тело проходит разные расстояния.

Простейшее прямолинейное неравномерное движение – равноускоренное движение.

При равноускоренном движении скорость материальной точки увеличивается на одинаковую величину за равные промежутки времени.

Скорость прямолинейного равноускоренного движения определяется по формуле:

где а – ускорение – векторная величина, которая показывает изменение скорости.

Если ускорение имеет отрицательную величину, то значение скорости уменьшается. Такое движение называется равнозамедленным.

Единица измерения ускорения м/с 2 .

Криволинейное движение

Если точка движется по траектории, которая не является прямой, то такое движение называется криволинейным.

Для криволинейного движение вводятся понятия средней и мгновенной скорости.

Средняя скорость перемещения – это отношение вектора перемещения за время Δt.

Vср = ∆r/∆t

Мгновенная скорость материальной точки в момент времени t – это предел отношения перемещения Δr к промежутку времени Δt при стремлении этого промежутка к нулю.

Мгновенная скорость направлена по касательной к траектории движения материальной точки.

Движение твёрдого тела

Абсолютно твёрдым телом считается такое тело, взаимное положение частей которого не изменяется, каким бы воздействиям тело в процессе движения не подвергалось. Считается, что абсолютно твёрдое тело не подвергается деформации.

Конечно же, в реальности абсолютно твёрдых тел не бывает. Но если при движении твёрдое тело деформируется мало, его можно рассматривать как абсолютно твёрдое.

Механическое движение твёрдого тела может быть поступательным и вращательным.

Поступательное движение

Поступательное движение абсолютно твёрдого тела — это механическое движение, в процессе которого любой отрезок прямой, связанный с этим телом, всегда параллелен самому себе в любой момент времени.

Если мысленно соединить прямой две любые точки твёрдого тела, то полученный отрезок всегда будет параллельным себе в процессе поступательного движения.

При поступательном движении все точки тела движутся одинаково. То есть, они проходят одинаковое расстояние за одинаковые промежутки времени и движутся в одном направлении.

Примеры поступательного движения: движение кабины лифта, чашек механических весов, санок, мчащихся с горы, педалей велосипеда, платформы железнодорожного состава, поршней двигателя относительно цилиндров.

Вращательное движение

При вращательном движении все точки физического тела движутся по окружностям. Все эти окружности лежат в плоскостях, параллельных друг другу. А центры вращения всех точек расположены на одной неподвижной прямой, которая называется осью вращения. Окружности, которые описываются точками, лежат в параллельных плоскостях. И эти плоскости перпендикулярны оси вращения.

Вращательное движение встречается очень часто. Так, движение точек на ободе колеса является примером вращательного движения. Вращательное движение описывает пропеллер вентилятора и др.

Вращательное движение характеризуют следующие физические величины: угловая скорость вращения, период вращения, частота вращения, линейная скорость точки.

Угловой скоростью тела при равномерном вращении называют величину, равную отношению угла поворота к промежутку времени, в течение которого этот поворот произошёл.

Время, за которое тело проходит один полный оборот, называется периодом вращения (T).

Число оборотов, которые тело совершает в единицу времени, называется частотой вращения (f).

Частота вращения и период связаны между собой соотношением T = 1/f.

Если точка находится на расстоянии R от центра вращения, то её линейная скорость определяется по формуле:

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Сегодня мы поговорим о систематическом изучении физики и первом ее разделе – механике. Физика изучает разные виды изменений или процессов, происходящих в природе, а какие процессы в первую очередь интересовали наших предков? Конечно, это процессы, связанные с движением. Им было интересно, долетит ли копье, которое они бросили, и попадет ли оно в мамонта; им было интересно, успеет ли гонец с важной вестью добежать до заката к соседней пещере. Все эти виды движения и вообще механическое движение как раз и изучает раздел, который называется механика.

Кинематика. Механическое движение

Куда бы мы ни посмотрели – вокруг нас масса примеров механического движения: что-то вращается, что-то прыгает вверх-вниз, что-то движется вперед-назад, а другие тела могут находиться в состоянии покоя, которое тоже является примером механического движения, скорость которого равна нулю.

Механическим движением называется изменение положения тел в пространстве относительно других тел с течением времени (рис. 1).

Рис. 1. Механическое движение

Как физика делится на несколько разделов, так и механика имеет свои разделы. Первый из них называется кинематика. Раздел механики кинематика отвечает на вопрос, как движется тело. Прежде чем начать работать над изучением механического движения, необходимо определить и выучить основные понятия, так называемую азбуку кинематики. На уроке мы научимся:

– выбирать систему отсчета для изучения движения тела;

– упрощать задачи, мысленно заменяя тело материальной точкой;

– определять траекторию движения, находить путь;

– различать виды движений.

Система отсчета

В определении механического движения особое значение имеет выражение относительно других тел. Нам всегда необходимо выбрать так называемое тело отсчета, то есть тело, относительно которого мы будем рассматривать движение исследуемого нами объекта. Простой пример: подвигайте рукой и скажите – движется ли она? Да, конечно, по отношению к голове, но по отношению к пуговице на вашей рубашке она будет недвижима. Поэтому выбор отсчета очень важен, ведь относительно некоторых тел движение совершается, а относительно других тел движения не происходит. Чаще всего телом отсчета выбирают тело, которое всегда есть под руками, точнее под ногами, – это наша Земля, которая является телом отсчета в большинстве случаев.

Издавна ученые спорили о том, Земля ли вращается вокруг Солнца или Солнце вращается вокруг Земли. На самом деле, с точки зрения физики, с точки зрения механического движения это всего лишь спор о теле отсчета. Если телом отсчета считать Землю, то да – Солнце вращается вокруг Земли, если телом отсчета считать Солнце – то Земля вращается вокруг Солнца. Поэтому тело отсчета – это важное понятие.

Как же описывать изменение положения тела?

Чтобы точно задать положение интересующего нас тела относительно тела отсчета, надо связать с телом отсчета систему координат (рис. 2).

Рис. 2. Декартовая система координат

При движении тела координаты меняются, а для того чтобы описать их изменение, нам необходим прибор для измерения времени. Чтобы описывать движение, нужно иметь:

– связанную с телом отсчета систему координат;

– прибор для измерения времени (часы).

Все эти объекты составляют вместе систему отсчета. До тех пор пока мы не выбрали систему отсчета, не имеет смысла описывать механическое движение – мы не будем уверены в том, как движется тело. Простой пример: чемодан, лежащий на полке в купе поезда, который движется, для пассажира просто покоится, а для человека, стоящего на перроне, движется. Как мы видим, одно и то же тело и движется, и покоится, вся проблема в том, что системы отсчета различны (рис. 3).

Рис. 3. Различные системы отчета

Зависимость траектории от выбора системы отсчета

Ответим на интересный и важный вопрос, зависит ли форма траектории и пройденный телом путь от выбора системы отсчета. Рассмотрим ситуацию, когда есть пассажир поезда, радом с которым на столе стоит стакан с водой. Какой же будет траектория стакана в системе отчета, связанной с пассажиром (телом отсчета является пассажир)?

Конечно, относительно пассажира стакан неподвижен. Это значит, что траектория является точкой, а перемещение равно (рис. 4).

Рис. 4. Траектория стакана относительно пассажира в поезде

Какой же будет траектория стакана относительно пассажира, который ожидает поезда на перроне? Для этого пассажира будет казаться, что стакан движется по прямой линии и у него ненулевой путь (рис. 5).

Рис. 5. Траектория стакана относительно пассажира на перроне

Из вышесказанного можно сделать вывод, что траектория и путь зависят от выбора системы отсчета.

Для того чтобы описывать механическое движение, в первую очередь необходимо определиться с системой отсчета.

Движение изучается нами для того, чтобыпредсказать, где окажется тот или иной объект в необходимый момент времени. Основная задача механики – определить положение тела в любой момент времени. Что же значит описать движение тела?

Рассмотрим пример: автобус едет из Москвы в Санкт-Петербург (рис. 6). Важны ли нам размеры автобуса по сравнению с расстоянием, которое он преодолеет?

Рис. 6. Движение автобуса из Москвы в Санкт-Петербург

Конечно же, размерами автобуса в данном случае можно пренебречь. Мы можем описывать автобус как одну движущуюся точку, по-другому ее называют материальной точкой.

Тело, размерами которого в данной задаче можно пренебречь, называют материальной точкой.

Одно и то же тело, в зависимости от условий задачи, может быть или не быть материальной точкой. При перемещении автобуса из Москвы в Санкт-Петербург автобус можно считать материальной точкой, ведь его размеры несопоставимы с расстоянием между городами. Но если в салон автобуса влетела муха и мы хотим исследовать ее движение, тогда в этом случае нам важны размеры автобуса, и он уже не будет являться материальной точкой.

Траектория движения тела. Путь

Чаще всего в механике мы будем изучать именно движение материальной точки. При своем перемещении материальная точка последовательно проходит положение вдоль некоторой линии.

Линия, вдоль которой движется тело (или материальная точка), называется траекторией движения тела (рис. 7).

Рис. 7. Траектория точки

Иногда мы наблюдаем траекторию (например, процесс выставления оценки за урок), но чаще всего траектория – это какая-то воображаемая линия. При наличии средств измерения мы можем замерить длину траектории, вдоль которой двигалось тело, и определим величину, которая называется путь (рис. 8).

Путь, пройденный телом за некоторое время, – это длина участка траектории.

Разделяют два основных вида движения – это прямолинейное и криволинейное движение.

Если траектория тела – это прямая линия, то движение называется прямолинейным. Если тело движется по параболе или по любой другой кривой – мы говорим о криволинейном движении. При рассмотрении движения не просто материальной точки, а движения реального тела различают еще два вида движения: поступательное движение и вращательное движение.

Поступательное и вращательное движение. Пример

Какие же движения называются поступательными, а какие – вращательными? Рассмотрим этот вопрос на примере колеса обозрения. Как движется кабина колеса обозрения? Отметим две произвольные точки кабины и соединим их прямой. Колесо вращается. Через некоторое время отметим те же точки и соединим их. Полученные прямые будут лежать на параллельных прямых (рис. 9).

Рис. 9. Поступательное движение кабины колеса обозрения

Если прямая, проведенная через любые две точки тела, при движении остается параллельной сама себе, то такое движение называют поступательным.

В противном случае мы имеем дело с вращательным движением. Если бы прямая не была параллельной сама тебе, то пассажир, скорее всего, вывалился бы из кабины колеса (рис. 10).

Рис. 10. Вращательное движение кабины колеса

Вращательным называют такое движение тела, при котором его точки описывают окружности, лежащие в параллельных плоскостях. Прямая, соединяющая центры окружностей, называется осью вращения.

Очень часто нам приходится сталкиваться с комбинацией поступательного и вращательного движения, так называемым поступательно-вращательным движением. Самый простой пример такого движения – это движение прыгуна в воду (рис. 11). Он выполняет вращение (сальто), но при этом центр его масс поступательно движется в направлении воды.

Рис. 11. Поступательно-вращательное движение

Заключение

Мы сегодня изучили азбуку кинематики, то есть основные, самые важные понятия, которые в дальнейшем позволят нам перейти к решению главной задачи механики – определению положения тела в любой момент времени.

1. Тихомирова С.А., Яворский Б.М. Физика (базовый уровень) – М.: Мнемозина, 2012.
2. Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И. Физика 10 класс. – М.: Мнемозина, 2014.
3. Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика – 9, Москва, Просвещение, 1990.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «Av-physics.narod.ru» (Источник).
2. Интернет-портал «Rushkolnik.ru» (Источник).
3. Интернет-портал «Testent.ru» (Источник).

Подумайте, что является телом отсчета, когда мы говорим:

• книга неподвижно лежит на столике в купе движущегося поезда;
• стюардесса после взлета проходит по пассажирскому салону самолета;
• Земля вращается вокруг своей оси.

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

“>