Двоичные числа в порядке возрастания

Задание 1.Переведите число из указанной системы счисления (см. вариант) в десятичную систему счисления.

Варианты	Задание	Варианты	Задание
1.	242,38	2.	A2F,C16
3.	161,28	4.	12B,816
5.	146,28	6.	22C,816
7.	103,248	8.	172,28
9.	11D,416	10.	12F,816
11.	214,48	12.	22D,316

Задание 2.Переведите число (см. вариант) из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления с точностью 3 знака после запятой.

Варианты	Задание	Варианты	Задание
1.	51,7610	2.	57,4910
3.	39,5410	4.	64,510
5.	56,4210	6.	61,2910
7.	47,2910	8.	54,6110
9.	45,3110	10.	65,5210
11.	36,7410	12.	66,3610

Задание 3.Переведите число (см. вариант) из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления с точностью 4 знака после запятой.

Варианты	Задание	Варианты	Задание
1.	82,210	2.	71,610
3.	84,910	4.	52,1510
5.	73,810	6.	73,410
7.	67,210	8.	91,310
9.	80,410	10.	86,510
11.	12.

Задание 4.Выполните указанные действия над двоичными числами:

Варианты	Задание	Варианты	Задание
1.	a. 110012 + 10012; b. 10112 * 1012.	2.	a. 100012 + 1112; b. 10102 * 112.
3.	a. 1100102 + 11012; b. 1012 * 1012.	4.	a. 101012 + 10112; b. 1002 * 112.
5.	a. 1010112 + 10012; b. 10112 * 112.	6.	a. 100012 + 101012; b. 1112 * 1012.
7.	a. 110102 + 10112; b. 10002 * 112.	8.	a. 10012 + 10012; b. 10012 * 10012.
9.	a. 100012 + 10112; b. 1002 * 1012.	10.	a. 100012 + 1112; b. 101012 * 112.
11.	c. 1101102 + 10112; d. 1012 * 1112.	12.	c. 111012 + 10112; d. 1012 * 112.

Задание 5.Переведите число из указанной системы счисления (см. вариант) в двоичную и восьмеричную(шестнадцатеричную) системы счисления. (Примечание. Использовать Табл.3)

Варианты	Задание	Варианты	Задание
1.	2AC,3B16	2.	426,358
3.	9A1,F216	4.	173,468
5.	42A,1816	6.	532,418
7.	8E1,A16	8.	D2,A16
9.	412,738	10.	317,128
11.	5A,1916	12.	D3,С16

Задание 6.

Варианты	Задание
1.	Выберите число, которое является минимальным среди следующих чисел: 10000002, 628, 3916, 5210.
2.	Расположите числа в порядке возрастания: 1100102, 738, 4016, 6110.
3.	Выберите число, которое является максимальным среди следующих чисел: 1000012, 528, 4216, 6310.
4.	Расположите числа в порядке убывания: 1010012, 438, 3616, 5210.
5.	Выберите число, которое является минимальным среди следующих чисел: 1001102, 238, 2316, 2310.
6.	Расположите числа в порядке убывания: 1101112, 768, 3A16, 5410.
7.	Выберите число, которое является максимальным среди следующих чисел: 110012, 248, 2416, 2410.
8.	Выберите число, которое является минимальным среди следующих чисел: 110012, 238, 2316, 2310.
9.	Расположите числа в порядке убывания: 1100102, 738, 2B16, 7410.
10.	Расположите числа в порядке возрастания: 1000102, 328, 3216, 3210.

Задание 7.Если обратный код целого числа X имеет указанный вид (см. вариант), то чему будет равно его значение в десятичной системе счисления.

Варианты	Задание	Варианты	Задание
1.	111000012	2.	110001102
3.	000001012	4.	111101102
5.	111100012	6.	111110012
7.	111011012	8.	111101012
9.	111100112	10.	000011012
11.	101100012	12.	111101012

Задание 8.Какой вид имеет дополнительный двоичный код указанного числа (см. вариант) в однобайтовом формате.

Варианты	Задание	Варианты	Задание
1.	-510	2.	210
3.	-410	4.	310
5.	-210	6.	710
7.	1010	8.	910
9.	1310	10.	-810
11.	-610	12.	-710

Задание 9.Найдите основание системы счисления, если

Варианты	Задание	Варианты	Задание
1.	1410 = 16X	2.	1010 = 12X
3.	510 = 12X	4.	1710 = 11X
5.	410 = 11X	6.	310 = 11X
7.	2110 = 15X	8.	2410 = 30X
9.	2210 = 26X	10.	210 = 10X
11.	510 = 12X	12.	510 = 11X

Задание 10.Установите соответствие между указанным выражением (см. вариант) и выражением в дополнительном двоичном коде.

Варианты	Задание	Варианты	Задание
1.	(-310 + 1010 =)	2.	(910 – 310 =)
3.	(-1010 – 110 =)	4.	(-810 – 410 =)
5.	(-1210 + 210 =)	6.	(1410 – 510 =)
7.	(-1210 + 410 =)	8.	(-1310 – 310 =)
9.	(-1010 – 510 =)	10.	(1410 – 710 =)
11.	(-1010 – 210 =)	12.	(1410 – 310 =)

Контрольные вопросы

1. Что понимают под системой счисления?

2. В чем отличие позиционной системы счисления от непозиционной?

3. Что понимают под алфавитом системы счисления?

4. Что принято считать основанием системы счисления?

5. Какие системы счисления используются в информатике?

6. Каковы правила перевода чисел из одной системы счисления в другую?

7. Каковы правила выполнения арифметических операций с двоичными числами?

8. Охарактеризуйте машинные двоичные коды: прямой, обратный и дополнительный?

Вернуться на главную страницу. или ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ

78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

С помощю этого онлайн калькулятора можно перевести целые и дробные числа из одной системы счисления в другую. Дается подробное решение с пояснениями. Для перевода введите исходное число, задайте основание сисемы счисления исходного числа, задайте основание системы счисления, в которую нужно перевести число и нажмите на кнопку "Перевести". Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Предупреждение

Перевод целых и дробных чисел из одной системы счисления в любую другую − теория, примеры и решения

Существуют позиционные и не позиционные системы счисления. Арабская система счисления, которым мы пользуемся в повседневной жизни, является позиционной, а римская − нет. В позиционных системах счисления позиция числа однозначно определяет величину числа. Рассмотрим это на примере числа 6372 в десятичном системе счисления. Пронумеруем это число справа налево начиная с нуля:

число	6	3	7	2
позиция	3	2	1

Тогда число 6372 можно представить в следующем виде:

6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .

Число 10 определяет систему счисления (в данном случае это 10). В качестве степеней взяты значения позиции данного числа.

Рассмотрим вещественное десятичное число 1287.923. Пронумеруем его начиная с нуля позиции числа от десятичной точки влево и вправо:

число	1	2	8	7	.	9	2	3
позиция	3	2	1		-1	-2	-3

Тогда число 1287.923 можно представить в виде:

1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3·10 -3 .

В общем случае формулу можно представить в следующем виде:

где Ц_n-целое число в позиции n, Д_-k– дробное число в позиции (-k), s – система счисления.

Несколько слов о системах счисления.Число в десятичной системе счисления состоит из множества цифр <0,1,2,3,4,5,6,7,8,9>, в восьмеричной системе счисления – из множества цифр <0,1,2,3,4,5,6,7>, в двоичной системе счисления – из множества цифр <0,1>, в шестнадцатеричной системе счисления – из множества цифр <0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F>, где A,B,C,D,E,F соответствуют числам 10,11,12,13,14,15.

В таблице Таб.1 представлены числа в разных системах счисления.

Таблица 1
Система счисления
10	2	8	16
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Для перевода чисел с одной системы счисления в другую, проще всего сначала перевести число в десятичную систему счисления, а затем, из десятичной системы счисления перевести в требуемую систему счисления.

Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления

С помощью формулы (1) можно перевести числа из любой системы счисления в десятичную систему счисления.

Пример 1. Переводить число 1011101.001 из двоичной системы счисления (СС) в десятичную СС. Решение:

1·2 6 + 0 ·2 5 + 1·2 4 + 1·2 3 + 1·2 2 + 0·2 1 + 1·2 0 + 0·2 -1 + 0·2 -2 + 1·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125

Пример 2. Переводить число 1011101.001 из восьмеричной системы счисления (СС) в десятичную СС. Решение:

Пример 3. Переводить число AB572.CDF из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную СС. Решение:

Здесь A -заменен на 10, B – на 11, C- на 12, F – на 15.

Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления

Для перевода чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления нужно переводить отдельно целую часть числа и дробную часть числа.

Целую часть числа переводится из десятичной СС в другую систему счисления – последовательным делением целой части числа на основание системы счисления (для двоичной СС – на 2, для 8-ичной СС – на 8, для 16-ичной – на 16 и т.д.) до получения целого остатка, меньше, чем основание СС.

Пример 4. Переведем число 159 из десятичной СС в двоичную СС:

159	2
158	79	2
1	78	39	2
1	38	19	2
1	18	9	2
1	8	4	2
1	4	2	2
	2	1

Как видно из Рис. 1, число 159 при делении на 2 дает частное 79 и остаток 1. Далее число 79 при делении на 2 дает частное 39 и остаток 1 и т.д. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в двоичной СС: 10011111. Следовательно можно записать:

Пример 5. Переведем число 615 из десятичной СС в восьмеричную СС.

615	8
608	76	8
7	72	9	8
4	8	1
1

При приведении числа из десятичной СС в восьмеричную СС, нужно последовательно делить число на 8, пока не получится целый остаток меньшее, чем 8. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в восьмеричной СС: 1147(см. Рис. 2). Следовательно можно записать:

Пример 6. Переведем число 19673 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.

19673	16
19664	1229	16
9	1216	76	16
13	64	4
12

Как видно из рисунка Рис.3, последовательным делением числа 19673 на 16 получили остатки 4, 12, 13, 9. В шестнадцатеричной системе счисления числе 12 соответствует С, числе 13 – D. Следовательно наше шестнадцатеричное число – это 4CD9.

Далее рассмотрим перевод правильных десятичных дробей в двоичную СС, в восьмеричную СС, в шестнадцатеричную СС и т.д.

Для перевода правильных десятичных дробей (вещественное число с нулевой целой частью) в систему счисления с основанием s необходимо данное число последовательно умножить на s до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль, или же не получим требуемое количество разрядов. Если при умножении получится число с целой частью, отличное от нуля, то эту целую часть не учитывать (они последовательно зачисливаются в результат).

Рассмотрим вышеизложенное на примерах.

Пример 7. Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в двоичную СС.

0.214
x	2
	0.428
x	2
	0.856
x	2
1	0.712
x	2
1	0.424
x	2
	0.848
x	2
1	0.696
x	2
1	0.392

Как видно из Рис.4, число 0.214 последовательно умножается на 2. Если в результате умножения получится число с целой частью, отличное от нуля, то целая часть записывается отдельно (слева от числа), а число записывается с нулевой целой частью. Если же при умножении получиться число с нулевой целой частью, то слева от нее записывается нуль. Процесс умножения продолжается до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль или же не получим требуемое количество разрядов. Записывая жирные числа (Рис.4) сверху вниз получим требуемое число в двоичной системе счисления: 0. 0011011.

Следовательно можно записать:

Пример 8. Переведем число 0.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС.

0.125
x	2
	0.25
x	2
	0.5
x	2
1	0.0

Для приведения числа 0.125 из десятичной СС в двоичную, данное число последовательно умножается на 2. В третьем этапе получилось 0. Следовательно, получился следующий результат:

Пример 9. Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.

0.214
x	16
3	0.424
x	16
6	0.784
x	16
12	0.544
x	16
8	0.704
x	16
11	0.264
x	16
4	0.224

Следуя примерам 4 и 5 получаем числа 3, 6, 12, 8, 11, 4. Но в шестнадцатеричной СС числам 12 и 11 соответствуют числа C и B. Следовательно имеем:

Пример 10. Переведем число 0.512 из десятичной системы счисления в восьмеричную СС.

0.512
x	8
4	0.096
x	8
	0.768
x	8
6	0.144
x	8
1	0.152
x	8
1	0.216
x	8
1	0.728

Пример 11. Переведем число 159.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 4) и дробную часть числа (Пример 8). Далее объединяя эти результаты получим:

Пример 12. Переведем число 19673.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 6) и дробную часть числа (Пример 9). Далее объединяя эти результаты получим:

Двоичная система счисления — позиционная система счисления с основанием 2. Благодаря непосредственной реализации в цифровых электронных схемах на логических вентилях, двоичная система используется практически во всех современных компьютерах и прочих вычислительных электронных устройствах.

Индо-арабская
Арабская Тамильская Бирманская	Кхмерская Лаосская Монгольская Тайская
Восточноазиатские
Китайская Японская Сучжоу Корейская	Вьетнамская Счётные палочки
Алфавитные
Абджадия Армянская Ариабхата Кириллическая Греческая	Грузинская Эфиопская Еврейская Акшара-санкхья
Другие
Вавилонская Египетская Этрусская Римская Дунайская	Аттическая Кипу Майяская Эгейская Символы КППУ
2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 16, 20, 60
Нега-позиционная
Симметричная
Фибоначчиева
Единичная (унарная)

Содержание

В двоичной системе счисления числа записываются с помощью двух символов ( и 1). Чтобы не путать, в какой системе счисления записано число, его снабжают указателем справа внизу. Например, число в десятичной системе 5₁₀, в двоичной 101₂. Иногда двоичное число обозначают префиксом 0b или символом & (амперсанд) [1] , например 0b101 или соответственно &101.

В двоичной системе счисления (как и в других системах счисления, кроме десятичной) знаки читаются по одному. Например, число 101₂ произносится «один ноль один».

Натуральные числа Править

Натуральное число, записываемое в двоичной системе счисления как ( a n − 1 a n − 2 … a 1 a 0 ) 2 <displaystyle (a_a_dots a_<1>a_<0>)_<2>> , имеет значение:

Отрицательные числа Править

Отрицательные двоичные числа обозначаются так же как и десятичные: знаком «−» перед числом. А именно, отрицательное целое число, записываемое в двоичной системе счисления ( − a n − 1 a n − 2 … a 1 a 0 ) 2 <displaystyle (-a_a_dots a_<1>a_<0>)_<2>> , имеет величину:

В вычислительной технике широко используется запись отрицательных двоичных чисел в дополнительном коде.

Дробные числа Править

Дробное число, записываемое в двоичной системе счисления как ( a n − 1 a n − 2 … a 1 a 0 , a − 1 a − 2 … a − ( m − 1 ) a − m ) 2 <displaystyle (a_a_dots a_<1>a_<0>,a_<-1>a_<-2>dots a_<-(m-1)>a_<-m>)_<2>> , имеет величину:

+		1
		1
1	1	0 (перенос 1 в старший разряд)

–		1
		1
1	1(заём из старшего разряда)

Пример сложения «столбиком» (десятичное выражение 14₁₀ + 5₁₀ = 19₁₀ в двоичном виде выглядит как 1110₂ + 101₂ = 10011₂):

+	1	1	1
	1		1
1			1	1

×		1
1		1

Пример умножения «столбиком» (десятичное выражение 14₁₀ * 5₁₀ = 70₁₀ в двоичном виде выглядит как 1110₂ * 101₂ = 1000110₂):

×	1	1	1
	1		1
+	1	1	1
	1	1	1
1				1	1

Для преобразования из двоичной системы в десятичную используют следующую таблицу степеней основания 2:

1024

512

256

128

64

32

16

8

4

2

1

Начиная с цифры 1 все цифры умножаются на два. Точка, которая стоит после 1, называется двоичной точкой.

Преобразование двоичных чисел в десятичные Править

Допустим, дано двоичное число 110001₂. Для перевода в десятичное запишите его как сумму по разрядам следующим образом:

То же самое чуть иначе:

Можно записать это в виде таблицы следующим образом:

512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
1	1				1
+32	+16	+0	+0	+0	+1

Двигайтесь справа налево. Под каждой двоичной единицей напишите её эквивалент в строчке ниже. Сложите получившиеся десятичные числа. Таким образом, двоичное число 110001₂ равнозначно десятичному 49₁₀.

Преобразование дробных двоичных чисел в десятичные Править

Нужно перевести число 1011010,101₂ в десятичную систему. Запишем это число следующим образом:

1 * 2 6 + * 2 5 + 1 * 2 4 + 1 * 2 3 + * 2 2 + 1 * 2 1 + * 2 0 + 1 * 2 −1 + * 2 −2 + 1 * 2 −3 = 90,625

То же самое чуть иначе:

64	32	16	8	4	2	1	0.5	0.25	0.125
1		1	1		1		,	1		1
+64	+0	+16	+8	+0	+2	+0	+0.5	+0	+0.125

Преобразование методом Горнера Править

Для того, чтобы преобразовывать числа из двоичной в десятичную систему данным методом, надо суммировать цифры слева направо, умножая ранее полученный результат на основу системы (в данном случае 2). Методом Горнера обычно переводят из двоичной в десятичную систему. Обратная операция затруднительна, так как требует навыков сложения и умножения в двоичной системе счисления.

Например, двоичное число 1011011₂ переводится в десятичную систему так:

То есть в десятичной системе это число будет записано как 91.

Перевод дробной части чисел методом Горнера Править

Цифры берутся из числа справа налево и делятся на основу системы счисления (2).

Преобразование десятичных чисел в двоичные Править

Допустим, нам нужно перевести число 19 в двоичное. Вы можете воспользоваться следующей процедурой :

19/2 = 9 с остатком 1
9/2 = 4 c остатком 1
4/2 = 2 без остатка
2/2 = 1 без остатка
1/2 = 0 с остатком 1

Итак, мы делим каждое частное на 2 и записываем остаток в конец двоичной записи. Продолжаем деление до тех пор, пока в частном не будет 0. Результат записываем справа налево. То есть нижняя цифра (1) будет самой левой и т. д. В результате получаем число 19 в двоичной записи: 10011.

Преобразование дробных десятичных чисел в двоичные Править

Если в исходном числе есть целая часть, то она преобразуется отдельно от дробной. Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную осуществляется по следующему алгоритму:

• Дробь умножается на основание двоичной системы счисления (2);
• В полученном произведении выделяется целая часть, которая принимается в качестве старшего разряда числа в двоичной системе счисления;
• Алгоритм завершается, если дробная часть полученного произведения равна нулю или если достигнута требуемая точность вычислений. В противном случае вычисления продолжаются над дробной частью произведения.

Пример: Требуется перевести дробное десятичное число 206,116 в дробное двоичное число.

Перевод целой части дает 206₁₀=11001110₂ по ранее описанным алгоритмам. Дробную часть 0,116 умножаем на основание 2, занося целые части произведения в разряды после запятой искомого дробного двоичного числа:

0,116 • 2 = ,232
0,232 • 2 = ,464
0,464 • 2 = ,928
0,928 • 2 = 1,856
0,856 • 2 = 1,712
0,712 • 2 = 1,424
0,424 • 2 = ,848
0,848 • 2 = 1,696
0,696 • 2 = 1,392
0,392 • 2 = ,784
и т. д.

Получим: 206,116₁₀ ≈ 11001110,0001110110₂

В цифровых устройствах Править

Двоичная система используется в цифровых устройствах, поскольку является наиболее простой и соответствует требованиям:

• Чем меньше значений существует в системе, тем проще изготовить отдельные элементы, оперирующие этими значениями. В частности, две цифры двоичной системы счисления могут быть легко представлены многими физическими явлениями: есть ток (ток больше пороговой величины) — нет тока (ток меньше пороговой величины), индукция магнитного поля больше пороговой величины или нет (индукция магнитного поля меньше пороговой величины) и т. д.
• Чем меньше количество состояний у элемента, тем выше помехоустойчивость и тем быстрее он может работать. Например, чтобы закодировать три состояния через величину напряжения, тока или индукции магнитного поля, потребуется ввести два пороговых значения и два компаратора,

В вычислительной технике широко используется запись отрицательных двоичных чисел в дополнительном коде. Например, число −5₁₀ может быть записано как −101₂ но в 32-битном компьютере будет храниться как 11111111111111111111111111111011₂.

В английской системе мер Править

При указании линейных размеров в дюймах по традиции используют двоичные дроби, а не десятичные, например: 5¾″, 7 15 / 16″, 3 11 / 32″ и т. д.

Двоичная система счисления является комбинацией двоичной системы кодирования и показательной весовой функции с основанием равным 2. Следует отметить, что число может быть записано в двоичном коде, а система счисления при этом может быть не двоичной, а с другим основанием. Пример: двоично-десятичное кодирование, в котором десятичные цифры записываются в двоичном виде, а система счисления — десятичная.