Возведение обеих частей уравнения в квадрат

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

Что такое иррациональные уравнения

Иррациональными уравнениями называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или знаком возведения в дробную степень. А вот как это выглядит: ; .

Сначала разберемся что такое рациональные уравнения, а потом поймем что же из себя представляет решение иррациональных уравнений .

Итак, что такое рациональные уравнения , а что – иррациональные:

• как думаешь, какое это? Тут сложение, умножение, нет корней, и степеней никаких – рациональное!
• – вот тебе и корень из переменной, значит уравнение НЕ рациональное (или иррациональное);
• а это – рациональное;
• тут вот степень, но она с целым показателем степени ( – целое число) – значит это тоже рациональное уравнение;
• даже уравнение с отрицательным показателем степени тоже является рациональным, ведь по сути – это ;
• – тоже рациональное, т.к. ;
• – а с ним поосторожнее, степень-то дробная, а по свойству корней , как ты помнишь корня в рациональных уравнениях не бывает. Надеюсь, теперь ты сможешь различать, к какому виду относится уравнение.

Но только отличать рациональное от иррационального недостаточно, тебе же решать их надо! Вся сложность в корнях, так?

Так избавься от них, вот и все дела!

Если еще не догадался как, то я подскажу – просто возведи в нужную степень обе части уравнения, а потом решай его как простое рациональное уравнение, но проверяй все корни, позже поймешь почему.

Как рациональные уравнения решать помнишь? Если забыл, то советую почитать («Рациональные уравнения»).

Если читать лень, напомню вкратце. Для верного решения рациональных уравнений, ты должен придерживаться следующего руководства:

1. Понять, точно ли перед тобой рациональное уравнение (убедись, что в нем нет корней);
2. Определить ОДЗ;
3. Найти общий знаменатель дробей и умножить на него обе части уравнения;
4. Решить получившееся целое уравнение;
5. Исключить из его корней те, которые обращают в ноль знаменатель дробей.

Вроде все объяснил, давай решать, математика слов не любит.

Решение иррациональных уравнений

Вот такое вот уравнение , корень из икса видишь? Значит, какое уравнение?

Верно, оно иррациональное! Что дальше?

Избавляемся от корней, поскольку корень второй степени, то обе части уравнения возводим в квадрат и упрощаем:

Вот и все, почти все, что осталось сделать?

Правильно, решая иррациональное уравнение, обязательно надо проводить проверку полученных корней!

Подставим в исходное уравнение, именно в исходное уравнение, потому, что нам нужно найти его корни, а возведя в квадрат, мы могли получить посторонние корни (об этом позже). тут все верно.

Давай еще одно .

О том, что это иррациональное уравнение, думаю, ты и сам знаешь. Как и раньше возводим в квадрат обе части:

Проверка, подставим в исходное уравнение:

– вот это да, ничего тебя тут не смущает? Под квадратным корнем у нас отрицательное число!

Как же так вышло?

А это говорит о том, что это посторонний корень для исходного уравнения, да, это корень уравнения , но оно-то не исходное, его мы получили после преобразований!

В ответе пишем «нет решения».

Чтобы разобраться в ситуации мы сделаем что? Будем еще решать, вот уравнение .

После возведения обеих частей в квадрат имеем:

, упрощаем и решаем квадратное уравнение по теореме Виета

У нас два корня, пробуем их подставить в исходное для проверки: подставляем , ,

но ведь ! Что же получается, – посторонний корень.

Думаю, интрига затянулась, настало время объяснить, почему получаются какие-то посторонние корни. Опять объяснять буду на примере:

, но если мы возведем в квадрат обе части, , .

о же самое получается и в нашем примере с иррациональным уравнением, в результате преобразования мы можем найти все корни, но могут примешаться и посторонние, которые и надо отфильтровать проверкой, проверив, будет ли соблюдаться равенство исходного уравнения при их подстановке.

А если взять не квадрат, а третью степень: , , какой же отсюда вывод? Ну, вообще это в свойствах корней почитаешь («Корень степени n > 1 и его свойства»), а так я напомню только основные принципы.

• Если показатель степени четный, т.е. мы берем корень квадратный или корень степени и т.д.,
• Если подкоренное выражение отрицательно , то корень не имеет смысла (не существует);
• Если подкоренное выражение равно нулю, то корень тоже равен нулю;
• Если подкоренное выражение положительно, то значение корня существует и положительно.

Примеры: – не существует, , .

Если показатель степени нечетный ( ), то корни определены при любом значении подкоренного выражения.

При этом корень отрицателен, если подкоренное выражение отрицательно; равен нулю, если подкоренное выражение равно нулю; положителен, если покоренное выражение положительно. Примеры: , , .

Но не все так просто как хотелось бы, и опять пример .

В этом примере есть два подкоренных выражения и число .

Чтобы избавиться от корня нужно обе части возвести в квадрат, но прежде чем это сделать перенесем в правую часть.

«Зачем?» – спросишь ты.

Дело в том, что если возводить в квадрат в таком виде то упрощать придется дольше, не веришь – попробуй сам, я, пожалуй, избавлю себя от расписывания этого. Теперь возводим в квадрат обе части и упрощаем.

Понял в чем сложность? Да, этот метод решения (математики называют его «метод уединения радикала»; радикал, а попросту выражение с корнем надо уединить в одной стороне уравнения) предусматривает возможность того, что уединять и возводить в степень придется не один раз. Т

Какие замысловатые махинации по уединению одного из выражений с корнем в одной стороне и возведении всего выражения в степень нужно делать пока от корней не избавимся вовсе, чтоб получилось нормальное такое, рациональное уравнение (без корней в смысле).

Но с другой стороны, можно заметить, что на определенной стадии решения становится без дальнейших упрощений понятно, что в уравнении, например, нет решений.

На этапе, когда мы получили вместо того, чтобы тупо возводить все очередной раз в квадрат можно прикинуть, что квадратный корень берется только из неотрицательных чисел, значит, икс в данном случае будет больше либо равен нолю.

А что из этого следует?

А то, что икс не может быть равен , т.к. и икс и корень из икс неотрицательны. В то время, как равенство говорит, будто неотрицательное умноженное на отрицательное равно неотрицательному, но все ведь знают, что минус на плюс дает минус.

Значит это равенство возможно лишь в случае, когда икс равен нолю. Я бы назвал решение методом уединения радикала решением «в лоб», а изложенный сейчас способ более рациональным с точки зрения лишней писанины и подсчетов. Если ты понял то, что я сейчас объяснял, то тебе, возможно, стоит ознакомиться с этой темой в изложении для среднего уровня.

Вернемся к нашему несчастному примеру,

Опять возводим в квадрат обе части.

Дальше, как ты уже запомнил нужно подставить корни и в исходное уравнение для проверки, скажу лишь, что тут будет побочным корнем, а ты давай, давай, подставляй, проверь на всякий случай. А ответ, соответственно будет .

Решать тебе, применять до последнего метод уединения радикала или на определенной стадии решить, что выражение можно не упрощать больше и решение очевидно и сейчас.

Давай еще сделаем выжимку из сказанного выше, решение иррациональных уравнений включает в себя три шага:

1. Уединить одно из выражений с корнем в одной части и избавиться от знака корня (возвести в соответствующую степень обе части уравнения и упростить его) – повторять эту процедуру пока все корни не уйдут или пока решение не станет очевидным;
2. Решить получившееся рациональное уравнение;
3. Для проверки подставить получившиеся корни уравнения в исходное уравнение.

Вот, собственно, и все, а чтоб слова которые ты тут прочел не остались просто словами и ты на собственном опыте понял, что здесь к чему, вот порешай

но не проходит проверку

2. реши самостоятельно. Подсказка: Ответ :

3.

, но не проходит проверку.

Так же можно на второй строке решения понять, что равенство не имеет смысла, т.к. , только в случае, когда , но в данном случае не подходит.

СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Иррациональным называется уравнение, содержащее переменную под знаком радикала (корня).

Чтобы хорошо понять, о чем здесь пойдет речь, повтори темы:

Простейшие иррациональные уравнения

Начнем с самого простого: уравнения вида .

Например: . Как его решить? Как избавиться от корня? Правильно, квадратный корень убирается возведением в квадрат:

А как решить такое: ?

И снова вспомним определение корня степени : – это такое число, которое нужно возвести в степень , чтобы получить . В данном случае эта степень равна :

Итак, общее правило:

Хорошо, а что с этим: ? Все просто: квадрат и корень уничтожаются, и получаем , верно?

Нет! Когда мы проходили корни, на это обращали особое внимание: здесь два корня – и , ведь . Не забываем правило:

Реши сам:

Ответы:

Учет ОДЗ

Помнишь, что такое ОДЗ? ОДЗ (область допустимых значений) уравнения или неравенства – это множество значений переменной, при которых обе части данного уравнения (или неравенства) имеют смысл.

Например, в уравнении присутствует квадратный корень. А квадратный корень не имеет смысла, если подкоренное выражение отрицательно. То есть, в данном случае ОДЗ – это решения неравенства .

Нет необходимости искать ОДЗ в каждой задаче, содержащей корень.

Взять, например, задачу из предыдущей главы: . При возведении в квадрат получаем , то есть подкоренное выражение автоматически неотрицательно! Так зачем лишняя писанина?

Но в некоторых случаях это может быть очень полезно. Более того, иногда можно решить пример просто найдя ОДЗ.

Пример:

Но при таких правая часть уравнения неположительна, а левая, как и любой приличный квадратный корень, неотрицательна.

Тогда равенство возможно только если обе части уравнения равны нулю, то есть при : .

Ответ: .

Еще пример:

Решение:

Итак, уравнение имеет смысл только при одном значении переменной. Проверим его – подставим в уравнение. Что получилось? Если получилось , все верно: корень подходит.

Ответ: .

Большинство стандартных иррациональных уравнений не требуют нахождения ОДЗ – как и в приведенном в начале примере, ОДЗ оказывается автоматически учтенной после равносильного преобразования.

Иррациональные уравнения вида √A = √B

Здесь и далее большими буквами , , , и т.д. я буду обозначать не переменные или параметры, а целые выражения, содержащие переменную. Так, общая запись соответствует, например, уравнению : здесь и .

Как решить такое уравнение?

Во-первых, корни равны только когда подкоренные выражения равны: . Но недаром мы недавно вспоминали про ОДЗ. Есть ли какие-нибудь ограничения в этом уравнении?

Действительно, чтобы уравнение имело смысл, необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательны:

Но поскольку эти выражения равны друг другу, достаточно потребовать неотрицательности только одного из них:

Примеры (реши сам):

Ответы:

1. Какое из выражений будем проверять на неотрицательность? Конечно же то, которое проще, то есть :

Все понятно в этих решениях? Если нет, значит ты скорее всего не повторил тему «Квадратные неравенства».

Иррациональные уравнения вида​ A√B = 0

Что написано в левой части? Правильно, произведение выражений. А при каких условиях произведение равно нулю? Конечно, если один из множителей равен нулю, то есть верна совокупность

Но, как ты догадался, это еще не все. Что нужно добавить? ОДЗ. Причем в той части, где , все хорошо. Но если мы выбираем , придется кое-что сказать и про :

Примеры (реши сам):

Ответы:

Иррациональные уравнения вида √A=B

Наиболее распространённый тип иррациональных уравнений.

Возводим обе части в квадрат:

Все верно? Это ответ?

– все и правда верно, – подходящий корень.

– а вот здесь ошибка. Значит, корень – сторонний.

И правда, мы ведь помним, что результат извлечения квадратного корня всегда неотрицателен! Значит, прежде чем возводить в квадрат, нужно убедиться, что правая часть неотрицательна. Тоже своего рода ОДЗ.

Проверять же ОДЗ корня ( ) здесь снова не нужно (почему?).

Примеры:

Ответы:

Корни степени больше 2

Ты спросишь: а что всё про квадратные корни? Как же быть с остальными степенями?

Спрошу в ответ: а чем они отличаются?

Отличие, на самом деле, есть. Но важна не конкретная степень корня, а четность этой степени.

I. Корни четной степени.

Корни , , , и т.д. степеней очень похожи друг на друга, и принцип решения уравнений с ними абсолютно одинаковый. Дело в том, что корень четной степени можно всегда привести к квадратному (вспоминаем тему «Корень и его свойства»!):

II. Корни нечетной степени.

С нечетными степенями ( , , …) все намного проще!

Дело в том, что корень нечетной степени можно извлекать из любого числа! (И снова, если ты этого не знал, вспомни тему «Корень и его свойства»!)

Теперь никаких дополнительных условий, никаких ограничений – просто возводим все в нужную степень и решаем:

2. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.

Пусть даны два уравнения (1) и . Если – корень первого уравнения, то верно равенство . Из равенства двух чисел вытекает равенство их квадратов, т.е. , а это означает, что – корень уравнения (2). Значит из уравнения (1) следует уравнение (2).

В то же время из равенства квадратов чисел не следует равенство этих чисел (числа могут быть противоположенными). Поэтому из уравнения (2) не следует уравнение (1). Отсюда вытекает, что если при решении уравнения использовалось возведение обеих частей уравнения в квадрат, то нужно повести дополнительное исследование, позволяющее исключить «посторонние» корни, если они появились.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Возведем обе части этого уравнения в квадрат.

; .Тогда , .

Если , то , равенство не верно, следовательно, -1- не является корнем исходного уравнения.

Если , то 4=4, равенство верно.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень: 4.

3. Выполнение в одной части (или в обеих частях) уравнения тождественных преобразований, приводящих к расширению области определения равнения.

Если некоторое тождественное преобразование привело к расширению области определения уравнения, то получаем уравнения – следствие. При этом могут существовать такие значения переменной, которые являются корнями исходного уравнения.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Выполнив приведение подобных слагаемых, получим: . Тогда , .

Если , то выражение не имеет смысла.

Если , то , равенство верно.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень:5.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. или . Тогда , .

Если , то выражение не имеет смысла.

Если , то , равенство верно.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень:-2.

Если при решении уравнения мы заменили его уравнением – следствием, то указанная выше проверка является неотъемлемой частью решения уравнения. Поэтому важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в следствие.

Рассмотрим уравнение (3) и умножим обе части его на одно и тоже выражение , имеющее смысл при всех значениях . Получим уравнение: (4), корнями которого служат как корни уравнения (3), так и корни уравнения .

Значит, уравнение (4) есть следствие уравнения (3). Ясно, что уравнения (3) и (4) равносильны, если «постороннее» уравнение не имеет корней. Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Если обе части уравнения умножить на , то получится уравнение, являющееся следствием исходного. Если уравнение не имеет корней, то полученное уравнение равносильно исходному (если область допустимых значений не уже области допустимых значений переменной данного уравнения).

Пример 1. .

Заметим, что подобное преобразование, т.е. переход от уравнения (4) к уравнению (3) делением обеих частей уравнения (4) на выражение , как правило, недопустимо, поскольку можно привести к потери корней, в этом случае могут «потеряться» корни уравнения .

Пример 2. Уравнение имеет два корня: 3 и 4.

Деление обеих частей уравнения на приводит к уравнению , имеющий только один корень 4, т.е. произошла потеря корня.

Снова возьмем уравнение (3) и возведем обе его части в квадрат. Получим уравнение: (5), корнями которого служат как корни уравнения (3), так и корни «постороннего» уравнения . Ясно, что уравнения (3) и (5) равносильны, если у «постороннего» уравнения нет корней.

Пример 3. Уравнение имеет корень 4. Если обе части этого уравнения возвести в квадрат, то получится уравнение , имеющие два корня: -2 и 4. Значит, уравнение – следствие уравнения . При переходе от уравнения к уравнению появился «посторонний» корень: -2.

Теорема 2. При возведении обеих частей уравнения в квадрат (и вообще в любую четную степень) получается уравнение, являющееся следствием исходного.

Пример 1. .

При решении иррационального уравнения чаще всего стараются заменить его более простым, но равносильным исходному. Поэтому важно знать равносильные преобразования.

Определение 10. Уравнение, имеющее одни и те же корни, называют равносильными уравнениями. Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными. Другими словами два уравнения называют равносильными, если множества их решений совпадают. Равносильность обозначается следующим образом: .

Пример 1. Уравнения и равносильны, т.к. каждое из них имеет единственный корень – число 3. .

Пример 2. Уравнения и не равносильны, т.к. первое имеет только один корень: 6, а второе имеет два корня: 6 и -6.

Пример 3. Уравнения и равносильны, т.к. множества их решений пусты. .

Определение 11. Пусть даны уравнения и и некоторое множество М. Если любой корень первого уравнения, принадлежащий множеству М, удовлетворяют второму уравнению, а любой корень второго уравнения, принадлежащий множеству М, удовлетворяет первому уравнению, то эти уравнения называются равносильными на множестве М.

Пример 1. и не являются равносильными на множестве всех действительных чисел, т.к. первое уравнение имеет единственный корень 1, а второе имеет два корня: -1 и 1. Но эти уравнения равносильны на множестве всех неотрицательных чисел, т.к. каждое из них имеет на этом множестве единственный корень: 1.

Отметим, что часто множество М совпадает либо с ОДЗ уравнения , либо множеством всех действительных чисел.

Имеется ряд теорем о равносильности уравнений.

Теорема 3. При возведении обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную степень получается уравнение, равносильное исходному.

Пример 1. .

Теорема 4. Если в уравнении какое-нибудь слагаемое перенести из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное исходному.

Пример 1. .

Теорема 5. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и тоже отличное от ноля число, то получится уравнение, равносильное исходному.

Пример 1. (обе части первого уравнения разделили на 2).

Теорема 6. Если в какой либо части уравнения выполнить тождественные преобразования, не меняющие области определения уравнения, то получится уравнение, равносильное исходному.

В школьной практике при решении иррациональных уравнений чаще всего используются два основных метода:

1) обеих частей уравнения в одну и ту же степень;

2) введение новых (вспомогательных) переменных.

Эти методы будем считать стандартными. В обязательном школьном курсе обычно этими методами и ограничиваются. Однако иногда приходится применять нестандартные методы и искусственные приемы решения иррациональных уравнений.

Типичная ошибка при решении иррациональных уравнений состоит в том, что школьники без дополнительных пояснений используют преобразования, нарушающие равносильность, что приводит к потере корней и появлению «посторонних» корней.

При возведении обеих частей иррационального уравнения в одну и ту же степень надо иметь в виду, что если степень – не четное число, то получим равносильное уравнение, если же степень – четное число, то получим уравнение – следствие. Поэтому при решении иррациональных уравнений в большинстве случаев необходима проверка найденных решений.

Проверки можно избежать, если решать иррациональные уравнения с помощью равносильных замен. Для этого полезно знать следующие теоремы.

Теорема 7. Уравнение вида равносильно смешанной системе

Уравнение вида

Теорема 8. Уравнение вида или .

Уравнение вида .

Далее рассмотрим более подробно типы иррациональных уравнений и методы их решения.

kor.giorgio@gmail.com Выход

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить иррациональное уравнение или неравенство. Программа для решения иррациональных уравнений и неравенств не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> –> sqrt(x) – квадратный корень x
x^(1/n) – корень степени n

Введите иррациональное уравнение или неравенство
Решить уравнение или неравенство

В решении ошибка
Если вы считаете, что задача решена не правильно, то нажмите на эту кнопку.

Решение иррациональных уравнений и неравенств

1. Иррациональные уравнения

Иррациональными называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень. Для таких уравнений ищут, как правило, только действительные корни.

Основной метод решения иррациональных уравнений — метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. При этом следует иметь в виду, что возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечётную степень есть равносильное преобразование уравнения, а в чётную — НЕравносильное. Значит, основные принципиальные трудности связаны с возведением обеих частей уравнения в одну и ту же чётную степень, когда из-за неравносильности преобразования могут появиться посторонние корни, а потому обязательна проверка всех найденных корней.

ПРИМЕР 1.
( sqrt[Large6
ormalsize] = sqrt[Large6
ormalsize] <2x-6>)

Возведя обе части уравнения в шестую степень, получим:
( x^2-5x = 2x-6 Rightarrow )
( x^2-7x +6= 0 Rightarrow )
( x_1=1, ; x_2=6 )
Проверка. «Хорошие» корни можно проверить непосредственной подстановкой в исходное уравнение. При x = 1 заданное уравнение принимает вид ( sqrt[Large6
ormalsize] <-4>= sqrt[Large6
ormalsize] <-4>), во множестве действительных чисел такое «равенство» не имеет смысла. Значит, 1 — посторонний корень, он появился по причине расширения ОДЗ уравнения после возведения в шестую степень. При х = 6 заданное уравнение принимает вид ( sqrt[Large6
ormalsize] <6>= sqrt[Large6
ormalsize] <6>) — это верное равенство.
Итак, уравнение имеет единственный корень: х = 6.
Ответ: х = 6

Введя новую переменную ( u=x^2-x), получим существенно более простое иррациональное уравнение:
( sqrt+sqrt = sqrt <2u+21>).
Возведём обе части уравнения в квадрат:
( (sqrt+sqrt)^2 = (sqrt<2u+21>)^2 Rightarrow )
( u+2 +2sqrtsqrt +u+7 = 2u+21 Rightarrow )
( sqrt <(u+2)(u+7)>= 6 Rightarrow )
( u^2+9u+14=36 Rightarrow )
( u^2+9u-22=0 Rightarrow )
( u_1=2, ; u_2=-11 )
Проверка найденных значений их подстановкой в уравнение ( sqrt+sqrt = sqrt <2u+21>) показывает, что ( u_1=2 ) — корень уравнения, а ( u_2=-11 ) — посторонний корень.
Возвращаясь к исходной переменной x, получаем уравнение ( x^2-x=2 Rightarrow x^2-x-2=0 ), решив которое находим два корня: ( x_1=2, ; x_2=-1 )
Ответ: 2; -1.

Уединение корня и возведение обеих частей уравнения в квадрат привело бы к громоздкому уравнению. В то же время, если проявить некоторую наблюдательность, можно заметить, что уравнение легко сводится к квадратному. Действительно, умножим обе его части на 2:
( 2x^2 +6 -2sqrt <2x^2-3x+2>= 3x+12 Rightarrow )
( 2x^2 -3x +2 -2sqrt <2x^2-3x+2>-8 = 0 Rightarrow )

Введя новую переменную ( y=sqrt <2x^2-3x+2>), получим: ( y^2-2y-8=0 ), откуда ( y_1=4, ; y_2=-2 ). Значит, исходное уравнение равносильно следующей совокупности уравнений:
( left[egin sqrt <2x^2-3x+2>=4 \ sqrt <2x^2-3x+2>= -2 end
ight. )

Из первого уравнения этой совокупности находим: ( x_1=3<,>5; ; x_2=-2 ). Второе уравнение корней не имеет.

Проверка. Так как совокупность уравнений равносильна исходному уравнению, причём второе уравнение этой совокупности корней не имеет, то найденные корни можно проверить подстановкой в уравнение ( sqrt <2x^2-3x+2>=4). Эта подстановка показывает, что оба найденных значения x являются корнями этого уравнения, а значит, и исходного уравнения.
Ответ: 3,5; -2.

Областью определения уравнения является луч ( [5; ; +infty) ). В этой области выражение ( sqrt ) можно представить следующим образом: ( sqrt = sqrtsqrt ). Теперь уравнение можно переписать так:
( x+x -5 +2sqrtsqrt +2sqrt +2sqrt -48 = 0 Rightarrow ) ( (sqrt)^2 +2sqrtsqrt +(sqrt)^2 +2(sqrt+sqrt) -48 = 0 Rightarrow ) ( (sqrt +sqrt)^2 +2(sqrt+sqrt) -48 = 0 )

Введя новую переменную ( y= sqrt +sqrt ), получим квадратное уравнение ( y^2+2y-48=0 ), из которого находим: ( y_1=6, ; y_2=-8 ). Таким образом, задача свелась к решению совокупности уравнений:
( left[egin sqrt +sqrt =6 \ sqrt +sqrt = -8 end
ight. )
Из первого уравнения совокупности находим ( x= left( frac<41> <12>
ight)^2 ), второе уравнение совокупности решений явно не имеет.

Проверка. Нетрудно проверить (подстановкой), что ( x= left( frac<41> <12>
ight)^2 ) — является корнем уравнения ( sqrt +sqrt =6 ). Но это уравнение равносильно исходному уравнению, значит, ( x= left( frac<41> <12>
ight)^2 ) — является корнем и исходного уравнения.
Ответ: ( x= left( frac<41> <12>
ight)^2 )

Иногда при решении иррациональных уравнений оказывается удобным ввести две новые переменные.

ПРИМЕР 5.
( sqrt[Large4
ormalsize] <1-x>+ sqrt[Large4
ormalsize] <15+x>=2 )

Введём новые переменные: ( left<egin u=sqrt[Large4
ormalsize] <1-x>\ v=sqrt[Large4
ormalsize] <15+x>end
ight. )

Тогда уравнение примет вид (u+v=2). Но для нахождения значений двух новых переменных одного уравнения недостаточно. Возведя в четвёртую степень обе части каждого из уравнений системы, получим:
( left<egin u^4=1-x \ v^4= 15+x end
ight. )

Сложим уравнения последней системы: (u^4 +v^4 =16). Таким образом, для нахождения u, v мы имеем следующую симметрическую систему уравнений:
( left<egin u+v=2 \ u^4 +v^4 =16 end
ight. )
Решив её, находим: ( left<egin u_1=0 \ v_1 =2; end
ight. ) ( left<egin u_2=2 \ v_2 =0 end
ight. )

Таким образом, исходное уравнение свелось к следующей совокупности систем уравнений: ( left<egin sqrt[Large4
ormalsize] <1-x>=0 \ sqrt[Large4
ormalsize] <15+x>=2; end
ight. ) ( left<egin sqrt[Large4
ormalsize] <1-x>=2 \ sqrt[Large4
ormalsize] <15+x>=0 end
ight. )

Решив эту совокупность, находим: (x_1=1, ; x_2=-15 )

Проверка. Проще всего проверить найденные корни непосредственной подстановкой в заданное уравнение. Проделав это, убеждаемся, что оба значения являются корнями исходного уравнения.
Ответ: 1; -15.

ПРИМЕР 6.
( sqrt[Large3
ormalsize] <2x+1>+ sqrt[Large3
ormalsize] <6x+1>= sqrt[Large3
ormalsize] <2x-1>)

Возведём обе части уравнения в куб:
( 2x+1 + 3sqrt[Large3
ormalsize] <(2x+1)^2>cdot sqrt[Large3
ormalsize] <6x+1>+ 3sqrt[Large3
ormalsize] <2x+1>cdot sqrt[Large3
ormalsize] <(6x+1)^2>+6x+1 = 2x-1 Rightarrow ) ( 3sqrt[Large3
ormalsize] <2x+1>cdot sqrt[Large3
ormalsize] <6x+1>cdot (3sqrt[Large3
ormalsize] <2x+1>+ sqrt[Large3
ormalsize] <6x+1>) = -6x-3 )

Воспользовавшись исходным уравнением, заменим сумму ( sqrt[Large3
ormalsize] <2x+1>+ sqrt[Large3
ormalsize] <6x+1>) на выражение ( sqrt[Large3
ormalsize] <2x-1>):
( 3sqrt[Large3
ormalsize] <2x+1>cdot sqrt[Large3
ormalsize] <6x+1>cdot sqrt[Large3
ormalsize] <2x-1>= -6x-3 Rightarrow )
( 3sqrt[Large3
ormalsize] < (2x+1)(6x+1)(2x-1) >= -2x-1 )
Возведём обе части в куб:
( (2x+1)(6x+1)(2x-1) = -(2x+1)^3 Rightarrow )
( (2x+1)((6x+1)(2x-1) + (2x+1)^2) =0 Rightarrow )
( 16x^2(2x+1) =0 Rightarrow )
( x_1= -0<,>5; ; x_2=0 )

Проверка. Подстановкой найденных значений x в исходное уравнение убеждаемся, что его корнем является только x = -0,5.
Ответ: -0,5.

2. Иррациональные неравенства

Рассмотрим иррациональное неравенство вида ( sqrt 0 ). Осталось лишь заметить, что при одновременном выполнении указанных выше условий обе части заданного иррационального неравенства неотрицательны, а потому их возведение в квадрат представляет собой равносильное преобразование неравенства.

Таким образом, иррациональное неравенство ( sqrt 0 \ f(x) 0 \ x^2-x-12 0 \ x > -12 end
ight. )

Получаем: ( x geq 4)

Ответ: ( x geq 4)

Рассмотрим теперь неравенство вида ( sqrt > g(x) ).

Ясно, во-первых, что его решения должны удовлетворять условию ( f(x) geq 0 ).
Во-вторых, замечаем, что при ( g(x) g(x) ) не вызывает сомнений.
В-третьих, замечаем, что если ( g(x) geq 0 ), то можно возвести в квадрат обе части заданного иррационального неравенства.

Таким образом, иррациональное неравенство ( sqrt > g(x) ) равносильно совокупности систем неравенств:
( left<egin f(x) geq 0 \ g(x) (g(x))^2 end
ight. )

Во второй системе первое неравенство является следствием третьего, его можно не писать.

Данное неравенство равносильно совокупности систем неравенств:
( left<egin x^2-x-12 geq 0 \ x 0 )

Преобразуем неравенство к виду ( x^2+3x-10 +3sqrt >0 ) и введём новую переменную ( y= sqrt ). Тогда последнее неравенство примет вид ( y^2+3y-10 >0 ), откуда находим, что либо (y 2).

Таким образом, задача сводится к решению совокупности двух неравенств:
( left[egin sqrt 2 end
ight. )

Первое неравенство не имеет решений, а из второго находим:
( x^2+3x >4 Rightarrow )
( (x+4)(x-1) >0 Rightarrow )
( x 1 )
Ответ: ( x 1 ).