Содержание
- 1 Метод Гаусса
- 2 Примеры решения системы линейных уравнений методом Гаусса
- 3 Ответ или решение 1
- 4 Метод Гаусса в 5 классе школы
- 5 Методы объяснения метода Гаусса в 5 классе школы
- 6 Мои комментарии к школьной версии метода Гаусса
- 7 Метод Гаусса, мои объяснения
- 8 Еще о школьном методе Гаусса: "зачем науку-то из этого делать. "
- 9 Главное преступление учителя математики
- 10 Несколько слов в защиту учителей .
Данный онлайн калькулятор находит решение системы линейных уравнений (СЛУ) методом Гаусса. Дается подробное решение. Для вычисления выбирайте количество переменных и количество уравнений. Затем введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку "Вычислить."
Предупреждение
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Метод Гаусса
Метод Гаусса − это метод перехода от исходной системы линейных уравнений (при помощи эквивалентных преобразований) к системе, которая решается проще, чем исходная система.
Эквивалентными преобразованиями системы линейных уравнений являются:
- перемена местами двух уравнений в системе,
- умножение какого-либо уравнения в системе на ненулевое действительное число,
- прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на произвольное число.
Рассмотрим систему линейных уравнений:
(1) |
Запишем систему (1) в матричном виде:
Ax=b | (2) |
(3) |
A-называется матрица коэффициентов системы, b − правая часть ограничений, x− вектор переменных, которую нужно найти. Пусть rang(A)=p.
Эквивалентные преобразования не меняют ранг матрицы коэффициентов и ранг расширеннной матрицы системы. Не меняется также множество решений системы при эквивалентных преобразованиях. Суть метода Гаусса заключается в приведении матрцы коэффициентов A к диагональному или ступенчатому.
Построим расшренную матрицу системы:
(4) |
Предположим a11≠0. Если это не так, то можно поменять местами эту строку со строкой с ненулевым элементом в столбце 1 (если нет таких строк, то переходим к следующему столбцу). Обнуляем все элементы столбца 1 ниже ведущего элемента a11. Для этого сложим строки 2,3, . m со строкой 1, умноженной на −a21/a11, −a31/a11, . −am1/a11, соответственно. Тогда (4) примет следующий вид:
(5) |
На следующем этапе обнуляем все элементы столбца 2, ниже элемента . Если данный элемент нулевой, то эту строку меняем местами со строкой, лежащий ниже данной строки и имеющий ненулевой элемент во втором столбце. Далее обнуляем все элементы столбца 2 ниже ведущего элемента a22. Для этого сложим строки 3, . m со строкой 2, умноженной на −a32/a22, . −am2/a22, соответственно. Продолжая процедуру, получим матрицу диагонального или ступенчатого вида. Пусть полученная расширенная матрица имеет вид:
(6) |
Обратим внимание на последние строки. Если . равны нулю, то система линейных уравнений имеет решение, если же хотя бы один из этих чисел отлично от нуля, то система несовместна. Иными словами, система (2) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы A навен рангу расширенной матрицы (A|b).
Пусть . Тогда
(7) |
Так как rangA=rang(A|b), то множество решений (7) есть (n−p)− многообразие. Следовательно n−p неизвестных можно выбрать произвольно. Остальные неизвестные из системы (7) вычисляются так. Из последнего уравнения выражаем xp через остальные переменные и вставляем в предыдущие выражения. Далее из предпоследнего уравнения выражаем xp−1 через остальные переменные и вставляем в предыдущие выражения и т.д. Рассмотрим метод Гаусса на конкретных примерах.
Примеры решения системы линейных уравнений методом Гаусса
Пример 1. Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса:
Матричный вид записи: Ax=b, где
Для решения системы, запишем расширенную матрицу:
Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.
Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a1 1. Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на -2/3,-1/2 соответственно:
Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a2 2. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на 9/8:
Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):
Из вышеизложенной таблицы можно записать:
Подставив верхние выражения в нижние, получим решение.
,,. |
Пример 2. Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса:
Матричный вид записи: Ax=b, где
Для решения системы, построим расширенную матрицу:
Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.
Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a11. Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на -1/5,-6/5 соответственно:
Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a22. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на -1:
Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):
Выразим переменные x1, x2 относительно остальных переменных.
где x3, x4− произвольные действительные числа.
Подставив верхние выражения в нижние, получим решение.
где x3, x4− произвольные действительные числа.
Векторный вариант решения:
Запишем вышеизложенное решение, представив свободные переменные в виде тождеств:
Тогда векторное решение можно представить так:
где x3, x4− произвольные действительные числа.
Ответ или решение 1
Наш пример состоит из модулей чисел, для начала раскроем знак модуля в соответствии с его свойствами (модуль числа это его абсолютная величина и он всегда положительный). Получаем следующее выражение:
Метод сложения Гаусса это сложение всего ряда чисел попарно, а после умножение количества пар на полученную сумму. В нашем случае – складываем первое и последнее число, таким образом формируя пары:
11+13 = 24, в результате мы получили 4 пары с суммой 24, далее умножаем:
Карл Фридрих Гаусс, величайший математик долгое время колебался, выбирая между философией и математикой. Возможно, именно такой склад ума позволил ему столь заметно "наследить" в мировой науке. В частности, создав "Метод Гаусса" .
. Почти 4 года статьи этого сайта касались школьного образования, в основном, со стороны философии, принципов (не)понимания, внедряемых в сознание детей. Приходит время бОльшей конкретики, примеров и методов . Я верю, что именно такой подход к привычным, запутанным и важным областям жизни дает лучшие результаты.
. Мы, люди так устроены, что сколько ни говори об абстрактном мышлении, но понимание всегда происходит через примеры. Если примеры отсутствуют, то принципы уловить невозможно . Как невозможно оказаться на вершине горы иначе, как пройдя весь ее склон от подножия.
Тоже и со школой: пока живых историй недостаточно мы инстинктивно продолжаем считать ее местом, где детей учат понимать.
Например, обучая методу Гаусса .
Метод Гаусса в 5 классе школы
Оговорюсь сразу: метод Гаусса имеет гораздо более широкое применение, например, при решении систем линейных уравнений. То, о чем мы будем говорить, проходят в 5 классе. Это начала, уяснив которые, гораздо легче разобраться в более "продвинутых вариантах". В этой статье мы говорим о методе (способе) Гаусса при нахождении суммы ряда
Вот пример, который принес из школы мой младший сын, посещающий 5 класс московской гимназии.
Школьная демонстрация метода Гаусса
. Учитель математики с использованием интерактивной доски (современные методы обучения ) показал детям презентацию истории "создания метода" маленьким Гауссом.
. Школьный учитель выпорол маленького Карла (устаревший метод, нынче в школах не применяется) за то, что тот,
. Этим и ценна математика, развивающая способность видеть общее в частном – абстрактное мышление. Поэтому большинство родителей и работодателей инстинктивно считают математику важной дисциплиной .
"Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит.
М.В.Ломоносов".
Однако, последователи тех, кто порол розгами будущих гениев, превратили Метод в нечто противоположное. Как 35 лет назад говорил мой научный руководитель: "Занаучили вопрос". Или как сказал вчера о методе Гаусса мой младший сын: "Может не стоит из этого большую науку делать-то, а?"
Последствия творчества "ученых" видны по уровню нынешней школьной математики, уровню ее преподавания и понимания "Царицы наук" большинством.
Методы объяснения метода Гаусса в 5 классе школы
Учитель математики московской гимназии, объясняя метод Гаусса по-Виленкину, усложнил задание.
Что, если разность (шаг) арифметической прогрессии будет не единица, а другое число? Например, 20.
Задача, которую он дал пятиклассникам:
посчитать сумму ряда чисел:
Прежде, чем познакомиться с гимназическим методом, заглянем в Сеть: как это делают школьные учителя – репетиторы по математике.
Метод Гаусса: объяснение №1
Известный репетитор на своем канале YOUTUBE приводит следующие рассуждения:
"запишем числа от 1 до 100 следующим образом:
1, 2, 3, . 48, 49, 50
100, 99, 98 . 53, 52, 51
"Обратите внимание: сумма каждой пары чисел из верхнего и нижнего рядов одинакова и равняется 101 ! Посчитаем количество пар, оно составляет 50 и умножим сумму одной пары на количество пар! Вуаля: Ответ готов!".
"Если вы не смогли понять – не расстраивайтесь!", – три раза в процессе объяснения повторил учитель. "Этот метод вы будете проходить в 9 классе!"
Метод Гаусса: объяснение №2
Другой репетитор, менее известный (судя по числу просмотров) использует более научный подход, предлагая алгоритм решения из 5 пунктов, которые необходимо выполнить последовательно.
Для непосвященных: 5 это одно из чисел Фибоначчи, традиционно считающееся магическим. Метод из 5 шагов всегда более научен, чем метод, например, из 6 шагов. . И это вряд ли случайность, скорее всего, Автор – скрытый приверженец теории Фибоначчи
Дана арифметическая прогрессия: 4, 10, 16 . 244, 250, 256.
Алгоритм нахождения суммы чисел ряда методом Гаусса:
4, 10, 16 . 244, 250, 256
256, 250, 244 . 16, 10, 4
Шаг 2: посчитать суммы пар чисел, расположенных в вертикальных рядах: 260.
Шаг 3: посчитать, сколько таких пар в числовом ряду. Для этого вычесть из максимального числа числового ряда минимальное и разделить на величину шага: (256 – 4) / 6 = 42.
При этом нужно помнить о правиле "Плюс один" : к полученному частному необходимо прибавить единицу: иначе мы получим результат, меньший на единицу, чем истинное число пар: 42 + 1 = 43.
Это и есть искомая сумма арифметической прогрессии от 4 до 256 с разницей 6 !
Метод Гаусса: объяснение в 5 классе московской гимназии
А вот как требовалось решить задачу нахождения суммы ряда:
20+40+60+ . +460+480+500
в 5 классе московской гимназии, учебник Виленкина (со слов моего сына).
. Показав презентацию, учительница математики показала пару примеров по методу Гаусса и дала классу задачу по нахождению суммы чисел ряда с шагом 20.
При этом требовалось следующее:
Шаг 3: посчитать "сумму сумм" и найти сумму всего ряда.
Как видим, это более компактная и эффективная методика: число 3 – также член последовательности Фибоначчи
Мои комментарии к школьной версии метода Гаусса
Великий математик определенно выбрал бы философию, если бы предвидел, во что превратят его "метод" последователи немецкого учителя, выпоровшего Карла розгами. Он узрел бы и символизм, и диалектическую спираль и неумирающую глупость "учителей", пытающихся измерить алгеброй непонимания гармонию живой математической мысли .
Между прочим: знаете ли вы. что наша система образования уходит корнями в немецкую школу 18 – 19 веков?
Но Гаусс выбрал математику.
В чем суть его метода?
Почему репетитор так настойчиво советовал пятиклассникам "не бояться непонимания" метода, убеждая, что "такие" задачи они будут решать аж в 9 классе? Психологически безграмотное действие. Удачным приемом было отметить: "Видите? Вы уже в 5 классе можете решать задачи, которые будете проходить только через 4 года! Какие вы молодцы!".
Для использования метода Гаусса достаточно уровня 3 класса, когда нормальные дети уже умеют складывать, умножать и делить 2 -3 значные числа. Проблемы возникают из-за неспособности взрослых учителей, "не въезжающих", как объяснить простейшие вещи нормальным человеческим языком, не то что математическим . Не способных заинтересовать математикой и напрочь отбивающих охоту даже у "способных".
. Или, как прокомментировал мой сын: "делающих из этого большую науку".
Метод Гаусса, мои объяснения
Нашему ребенку мы с супругой объясняли этот "метод", кажется, еще до школы .
Простота вместо усложнения или игра в вопросы – ответы
""Посмотри, вот числа от 1 до 100. Что ты видишь?"
"Как можно их сложить?" Сын уловил, что такие вопросы не задаются "просто так" и нужно взглянуть на вопрос "как-то по-другому, иначе, чем он делает обычно"
"Что легче: сложить, например, 5 и 6 или 5 и 95?" Наводящий вопрос . Но ведь любое обучение и сводится к "наведению" человека на "ответ" – любым приемлемым для него способом.
На этом этапе уже могут возникнуть догадки о том, как "сэкономить" на вычислениях.
Если ребенок обнаружил, что сложение пар чисел, дающих в сумме сотню, плевое занятие, то "арифметическая прогрессия с разницей 1" – довольно муторная и неинтересная для ребенка вещь – вдруг для него обрела жизнь. Из хаоса возник порядок, а это всегда вызывает энтузиазм: так мы устроены!
Зачем заставлять тупо переписывать числа последовательности в тетрадь: чтобы даже у способных не возникло и единого шанса на понимание? Статистически, конечно, а ведь массовое образование заточено на "статистику" .
Куда делся ноль?
И все-таки складывать числа, дающие в сумме 100 для ума гораздо более приемлемо, чем дающие 101 .
"Школьный метод Гаусса" требует именно этого: бездумно складывать равноотстоящие от центра прогрессии пары чисел, несмотря ни на что.
А если посмотреть?
Все-таки ноль – величайшее изобретение человечества, которому более 2 000 лет. А учителя математики продолжают его игнорировать.
Как упразднить "правило плюс 1"?
Если честно, то я о таком правиле впервые услышал от того ютубовского репетитора .
Как я до сих пор поступаю, когда требуется определить количество членов какого-нибудь ряда?
Смотрю на последовательность:
а когда совсем устал, то на более простой ряд:
и прикидываю: если вычесть из 5 единицу, то получится 4, но я совершенно ясно вижу 5 чисел! Следовательно, нужно прибавить единицу! Чувство числа, развитое в начальной школе, подсказывает: даже если членов ряда будет целый гугл (10 в сотой степени), закономерность останется той же.
Чтобы через пару – тройку лет заполнить все пространство между лбом и затылком и перестать соображать? А зарабатывать на хлеб с маслом как? Ведь мы ровными шеренгами движемся в эпоху цифровой экономики!
Еще о школьном методе Гаусса: "зачем науку-то из этого делать. "
Я не зря разместил скриншот из тетрадки сына.
"Что там было, на уроке?"
"Ну, я сосчитал сразу, поднял руку, но она не спросила. Поэтому, пока остальные считали я стал делать ДЗ по русскому языку, чтобы не тратить время. Потом, когда остальные дописали (. ), она вызвала меня к доске. Я сказал ответ."
"Правильно, покажи, как ты решал", – сказала учительница. Я показал. Она сказала: "Неправильно, нужно считать так, как я показала!"
"Хорошо, что двойку не поставила. И заставила написать в тетради "ход решения" по-ихнему. Зачем науку-то большую из этого делать. "
Главное преступление учителя математики
Вряд ли после того случая Карл Гаусс испытал высокое чувство уважения по отношению к школьному учителю математики. Но если бы он знал, как последователи того учителя извратят самую суть метода . он взревел бы от негодования и через Всемирную организацию интеллектуальной собственности ВОИС добился запрета на использование своего честного имени в школьных учебниках.
В чем главная ошибка школьного подхода? Или, как я выразился – преступление школьных учителей математики против детей?
Алгоритм непонимания
Что делают школьные методисты, абсолютное большинство которых думать не умеет ни фига?
Создают методики и алгоритмы (см. статью об этом). Это защитная реакция, предохраняющая учителей от критики ("Все делается согласно . "), а детей – от понимания. И таким образом – от желания критиковать учителей! (Вторая производная чиновничьей "мудрости", научный подход к проблеме ). Человек не улавливая смысл скорее будет пенять на собственное непонимание, а не на тупость школьной системы.
Что и происходит: родители пеняют на детей, а учителя . то же на детей, "не понимающих математику.
Что сделал маленький Карл?
Абсолютно нешаблонно подошел к шаблонной задаче. Это квинтэссенция Его подхода. Это главное, чему следует учить в школе: думать не учебниками, а головой. Конечно, есть и инструментальная составляющая, которую вполне можно использовать . в поисках более простых и эффективных методов счета.
Метод Гаусса по-Виленкину
В школе учат, что метод Гаусса состоит в том, чтобы
что, если число элементов ряда окажется нечетным, как в задаче, которую задали сыну.
"Подвох" состоит в том, что в этом случае следует обнаружить "лишнее" число ряда и прибавить его к сумме пар. В нашем примере это число 260.
Как обнаружить? Переписывая все пары чисел в тетрадь! (Именно почему учительница заставила детей делать эту тупую работу, пытаясь научить "творчеству" методом Гаусса . И именно поэтому такой "метод" практически неприменим к большим рядам данных, И именно поэтому он не является методом Гаусса).
Немного творчества в школьной рутине .
Сын же поступил иначе.
Сначала он отметил, что умножать легче число 500, а не 520
(20 + 500, 40 + 480 . ).
А практически делается еще легче, что и позволяет выкроить 2-3 минуты на ДЗ по русскому, пока остальные "считают". К тому же сохраняет количество шагов методики: 5, что не позволяет критиковать подход за антинаучность.
Явно этот подход проще, быстрее и универсальнее, в стиле Метода. Но . учительница не то, что не похвалила, но и заставила переписать "правильным образом" (см. скриншот). То есть предприняла отчаянную попытку задушить творческий импульс и способность понимать математику на корню! Видимо, чтобы потом наняться репетитором . Не на того напала .
Все, что я так долго и нудно описал можно объяснить нормальному ребенку максимум за полчаса. Вместе с примерами.
Причем так, что он это никогда не забудет.
И это будет шаг к пониманию . не только математики.
Признайтесь: сколько раз в жизни вы складывали методом Гаусса? И я ни разу!
Но инстинкт понимания, который развивается (или гасится) в процессе изучения математических методов в школе . О. Это поистине незаменимая вещь!
Особенно в век всеобщей цифровизации, в который мы незаметно вошли под чутким руководством Партии и Правительства.
Несколько слов в защиту учителей .
Несправедливо и неправильно всю ответственность за такой стиль обучения сваливать исключительно на школьных учителей. Действует система.
Некоторые учителя понимают абсурдность происходящего, но что делать? Закон об образовании, ФГОСы, методики, технологические карты уроков . Все должно делаться "в соответствии и на основании" и все должно быть задокументировано. Шаг в сторону – встал в очередь на увольнение. Не будем ханжами: зарплата московских учителей ну очень неплохая . Уволят – куда идти.
Поэтому сайт этот не об образовании. Он об индивидуальном образовании, единственно возможном способе выбраться из толпы поколения Z .