Содержание
Статья рассказывает о понятии прямой на плоскости. Рассмотрим основные термины и их обозначения. Поработаем со взаимным расположением прямой и точки и двух прямых на плоскости. Поговорим об аксиомах. В итоге обсудим методы и способы задания прямой на плоскости.
Прямая на плоскости – понятие
Для начала необходимо иметь четкое представление о том, что такое плоскость. Любую поверхность чего-либо можно отнести к плоскости, только от предметов она отличается своей безграничностью. Если представить, что плоскость – это стол, то в нашем случае он не будет иметь границ, а будет бесконечно огромен.
Если карандашом дотронуться до стола, останется отметина, которую можно называть «точкой». Таким образом, получим представление о точке на плоскости.
Рассмотрим понятие прямой линии на плоскости. Если провести прямую на листе, то она отобразится на нем с ограниченной длиной. Мы получили не всю прямую, а только ее часть, так как на самом деле она не имеет конца, как и плоскость. Поэтому изображение прямых и плоскостей в тетради формальное.
Взаимное расположение прямой и точки
На каждой прямой и в каждой плоскости могут быть отмечены точки.
Точки обозначают как большими, так и маленькими латинскими буквами. Например, А и D или a и d .
Для точки и прямой известны только два варианта расположения: точка на прямой, иначе говоря, что прямая проходит через нее, или точка не на прямой, то есть прямая не проходит через нее.
Чтобы обозначить, принадлежит точка плоскости или точка прямой, используют знак « ∈ ». Если в условии дано, что точка A лежит на прямой a , тогда это имеет такую форму записи A ∈ a . В случае, когда точка А не принадлежит, тогда другая запись A ∉ a .
Через любые две точки, находящиеся в любых плоскостях, существует единственная прямая, которая проходит через них.
Данное высказывание считается акисомой, поэтому не требует доказательств. Если рассмотреть это самостоятельно, видно, что при существующих двух точках имеется только один вариант их соединения. Если имеем две заданные точки А и В , то прямую, проходящую через них можно назвать данными буквами, например, прямая А В . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Прямая, расположенная на плоскости, имеет большое количество точек. Отсюда исходит аксиома:
Если две точки прямой лежат в плоскости, то и все остальные точки данной прямой принадлежат плоскости.
Множество точек, находящееся между двумя заданными, называют отрезком прямой. Он имеет начало и конец. Введено обозначение двумя буквами.
Если дано, что точки А и Р – концы отрезка, значит, его обозначение примет вид Р А или А Р . Так как обозначения отрезка и прямой совпадают, рекомендовано дописывать или договаривать слова «отрезок», «прямая».
Краткая запись принадлежности включает в себя использование знаков ∈ и ∉ . Для того, чтобы зафиксировать расположение отрезка относительно заданной прямой, применяют ⊂ . Если в условии дано, что отрезок А Р принадлежит прямой b , значит, и запись будет выглядеть следующим образом: А Р ⊂ b .
Случай принадлежности одновременно трех точек одной прямой имеет место быть. Это верно, когда одна точка лежит между двумя другими. Данное утверждение принято считать аксиомой. Если даны точки А , В , С , которые принадлежат одной прямой, а точка В лежит между А и С , следует, что все заданные точки лежат на одной прямой, так как лежат по обе стороны относительно точки B .
Точка делит прямую на две части, называемые лучами. Имеем аксиому:
Любая точка O , находящаяся на прямой, делит ее на два луча, причем две любые точки одного луча лежат по одну сторону луча относительно точки O , а другие – по другую сторону луча.
Взаимное расположение прямых на плоскости
Расположение прямых на плоскости может принимать вид двух состояний.
Две прямые на плоскости могут совпадать.
Такая возможность появляется, когда прямые имеют общие точки. Исходя из аксиомы, написанной выше, имеем, что через две точки проходит прямая и только одна. Значит, что при прохождении 2 прямых через заданные 2 точки, они совпадают.
Две прямые на плоскости могут пересекаться.
Данный случай показывает, что имеется одна общая точка, которую называют пересечением прямых. Вводится обозначение пересечение знаком ∩ . Если имеется форма записи a ∩ b = M , то отсюда следует, что заданные прямые a и b пересекаются в точке M .
При пересечении прямых имеем дело образовавшимся углом. Отдельному рассмотрению подвергается раздел пересечения прямых на плоскости с образованием угла в 90 градусов, то есть прямого угла. Тогда прямые называют перпендикулярными. Форма записи двух перпендикулярных прямых такая: a ⊥ b , а это значит, что прямая a перпендикулярна прямой b .
Две прямые на плоскости могут быть параллельны.
Только в том случае, если две заданные прямые не имеют общих пересечений, а, значит, и точек, они параллельны. Используется обозначение, которое можно записать при заданной параллельности прямых a и b : a ∥ b .
Прямая на плоскости рассматривается вместе с векторами. Особое значение придается нулевым векторам, которые лежат на данной прямой или на любой из параллельных прямых, имеют название направляющие векторы прямой. Рассмотрим рисунок, расположенный ниже.
Ненулевые векторы, расположенные на прямых, перпендикулярных данной, иначе называют нормальными векторами прямой. Подробно имеется описание в статье нормальный вектор прямой на плоскости. Рассмотрим рисунок ниже.
Если на плоскости даны 3 линии, их расположение может быть самое разное. Есть несколько вариантов их расположения: пересечение всех, параллельность или наличие разных точек пересечения. На рисунке показано перпендикулярное пересечение двух прямых относительно одной.
Для этого приводим необходимы факторы, доказывающие их взаимное расположение:
- если две прямые параллельны третьей, тогда они все параллельны;
- если две прямые перпендикулярны третьей, тогда эти две прямые параллельны;
- если на плоскости прямая пересекла одну параллельную прямую, тогда пересечет и другую.
Рассмотрим это на рисунках.
Способы задания прямой на плоскости
Прямая на плоскости может быть задана несколькими способами. Все зависит от условия задачи и на чем будет основано ее решение. Эти знания способны помочь для практического расположения прямых.
Прямая задается при помощи указанных двух точек, расположенных в плоскости.
Из рассмотренной аксиомы следует, что через две точки можно провести прямую и притом только одну единственную. Когда прямоугольная система координат указывает координаты двух несовпадающих точек, тогда можно зафиксировать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Рассмотрим рисунок, где имеем прямую, проходящую через две точки. 
Прямая может быть задана через точку и прямую, которой она параллельна.
Данный способ имеет место на существование, так как через точку можно провести прямую, параллельную заданной, причем, только одну. Доказательство известно еще из школьного курса по геометрии.
Если прямая задана относительно декартовой системы координат, тогда возможно составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданной прямой. Рассмотрим принцип задания прямой на плоскости.
Прямая задается через указанную точку и направляющий вектор.
Когда прямая задается в прямоугольной системе координат, есть возможность составления канонического и параметрического уравнений на плоскости. Рассмотрим на рисунке расположение прямой при наличии направляющего вектора.
Четвертым пунктом задания прямой имеет смысл, когда указана точка, через которую ее следует начертить, и прямая, перпендикулярная ей. Из аксиомы имеем:
Через заданную точку, расположенную на плоскости, пройдет только одна прямая, перпендикулярная заданной.
И последний пункт, относящийся к заданию прямой на плоскости, это при указанной точке, через которую проходит прямая, и при наличии нормального вектора прямой. При известных координатах точки, которая расположена на заданной прямой, и координатах нормального вектора есть возможность записывания общего уравнения прямой.
Идёт приём заявок
Подать заявку 
Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Взаимное расположение плоскости, прямой и луча.
Цели: сформировать понятие луча, дополнительных лучей, научить находить их на чертеже, называть, чертить, формулировать определения.
Оборудование: интерактивная доска.
Коммуникативные: воспринимать текст с учетом поставленной учебной задачи, находить в тексте информацию, необходимую для решения.
Регулятивные определять последовательности промежуточных целей с учетом конечного результата; составлять план последовательности действий.
Познавательные: выполнять учебные задачи, не имеющие однозначного решения
I. Актуализация знанийй.
1. Вывешивается плакат.
а) Назвать все отрезки, прямые.
б) Какую ещё видите фигуру? ( Треугольник .)
в) Назвать вершины этого треугольника.
Изучение нового материала.
Как могут располагаться две прямые по отношению друг к другу?
Ответ: пересекаться, быть параллельными.
Как могут располагаться три прямые по отношению друг к другу?
Ответ: пересекаться (2 случая), быть параллельными.
2. Работа с рисунком
3. Работа с учебником. №80 стр. 18.
5. Домашнее задание № 90 стр.18.
6. Подведение итогов урока, выставление оценок.
2. Отгадайте чайнворд (заранее начерчен на доске).
1. Назвать число, содержащее 1000 миллионов. ( Миллиард.)
2. Как по-другому называется расстояние между концами отрезка? ( Длина) .
3. Как назывались счёты в древности? ( Аб б к. )
4. Как называется точка М для отрезка MN ? ( Конец. )
5. Для записи чисел употребляются…; одна из них называется? ( Цифра. )
6. Раздел математики, который изучает свойства чисел и действия над ними. ( Арифметика. )
7. Фигура, состоящая из трёх точек и отрезков, соединяющих эти точки. ( Треугольник .)
II. Изучение нового материала.
1. Объявляется и записывается тема на доске и в тетрадях.
Учитель: Сегодня вы будете сами получать знания из учебника. Вы прочитаете, постараетесь понять, выучить на уроке, а затем напишете самостоятельную работу на тему «Плоскость. Прямая. Луч».
2. Прочитайте 1-й абзац. О чем говорится в этом абзаце? Как мы его озаглавим? Как вы думаете, почему эту фигуру назвали «луч»?
3. Прочитайте второй абзац. О чем говорится в этом абзаце? Как его озаглавим?
4. Что обозначает в учебнике вертикальная черта? ( Сведения, на которые следует обратить внимание .)
5. Прочитайте третий абзац и рассмотрите рис. 15.
6. Что обозначает вертикальная черта? ( Сведения, которые надо хорошо запомнить .)
Учитель: Выучите сейчас на уроке это определение. Проверьте друг друга, как вы выучили.
III. Физкультминутка для мышц спины и глаз.
1) На сколько частей делят плоскость две пересекающиеся прямые?
2) Как фигуры начерчены на доске? (Заранее начерчены на откидной доске.)
Как называются точки А и В? Можно ли измерить длину прямой? Луча? Как правильно обозначить луч?
3) Какое определение мы выучили на уроке?
V. Самостоятельная работа (из ДМ, выполняется на листках).
1. Найдите и запишите два отрезка, две прямые, три луча.
2. Начертите луч ЕК . Постройте луч, дополнительный лучу ЕК , и обозначьте его. На каждом луче отложите от его начала отрезок длиной 2 см 7 мм.
2. Начертите луч CD . Постройте луч, дополнительный лучу CD , и обозначьте его. На каждом луче отложите от его начала отрезок длиной 3 см 4 мм.
3. Начертите прямую МК , луч NP и отрезки АВ и CD так, чтобы прямая МК пересекала отрезки АВ и CD .
3. Начертите прямую АВ , луч CD и отрезки МК и ОР так, чтобы луч CD пересекал отрезок МК , а прямая АВ пересекала бы отрезок ОР .
VI. Домашнее задание: п. 3 (весь), № 101, 102, 103, 104. На следующий урок обязательно принести линейку.
Раздаточный материал к уроку 13
1. Найдите и запишите два отрезка, две прямые, три луча.
2. Начертите луч ЕК . Постройте луч, дополнительный лучу ЕК , и обозначьте его. На каждом луче отложите от его начала отрезок длиной 2 см 7 мм.
2. Начертите луч CD . Постройте луч, дополнительный лучу CD , и обозначьте его. На каждом луче отложите от его начала отрезок длиной 3 см 4 мм.
3. Начертите прямую МК , луч NP и отрезки АВ и CD так, чтобы прямая МК пересекала отрезки АВ и CD .
3. Начертите прямую АВ , луч CD и отрезки МК и ОР так, чтобы луч CD пересекал отрезок МК , а прямая АВ пересекала бы отрезок ОР .
1. Найдите и запишите два отрезка, две прямые, три луча.
2. Начертите луч ЕК . Постройте луч, дополнительный лучу ЕК , и обозначьте его. На каждом луче отложите от его начала отрезок длиной 2 см 7 мм.
2. Начертите луч CD . Постройте луч, дополнительный лучу CD , и обозначьте его. На каждом луче отложите от его начала отрезок длиной 3 см 4 мм.
3. Начертите прямую МК , луч NP и отрезки АВ и CD так, чтобы прямая МК пересекала отрезки АВ и CD .
3. Начертите прямую АВ , луч CD и отрезки МК и ОР так, чтобы луч CD пересекал отрезок МК , а прямая АВ пересекала бы отрезок ОР .
1. Найдите и запишите два отрезка, две прямые, три луча.
2. Начертите луч ЕК . Постройте луч, дополнительный лучу ЕК , и обозначьте его. На каждом луче отложите от его начала отрезок длиной 2 см 7 мм.
2. Начертите луч CD . Постройте луч, дополнительный лучу CD , и обозначьте его. На каждом луче отложите от его начала отрезок длиной 3 см 4 мм.
3. Начертите прямую МК , луч NP и отрезки АВ и CD так, чтобы прямая МК пересекала отрезки АВ и CD .
3. Начертите прямую АВ , луч CD и отрезки МК и ОР так, чтобы луч CD пересекал отрезок МК , а прямая АВ пересекала бы отрезок ОР .
Раздаточный материал к уроку 13
1. Назвать число, содержащее 1000 миллионов.
2. Как по-другому называется расстояние между концами отрезка?
3. Как назывались счёты в древности?
4. Как называется точка М для отрезка MN ?
5. Для записи чисел употребляются…; одна из них называется?
Раздел математики, который изучает свойства чисел и действия над ними.
7. Фигура, состоящая из трёх точек и отрезков, соединяющих эти точки.
1. Назвать число, содержащее 1000 миллионов.
2. Как по-другому называется расстояние между концами отрезка?
3. Как назывались счёты в древности?
4. Как называется точка М для отрезка MN ?
5. Для записи чисел употребляются…; одна из них называется?
Раздел математики, который изучает свойства чисел и действия над ними.
7. Фигура, состоящая из трёх точек и отрезков, соединяющих эти точки.
1. Назвать число, содержащее 1000 миллионов.
2. Как по-другому называется расстояние между концами отрезка?
3. Как назывались счёты в древности?
4. Как называется точка М для отрезка MN ?
5. Для записи чисел употребляются…; одна из них называется?
Раздел математики, который изучает свойства чисел и действия над ними.
7. Фигура, состоящая из трёх точек и отрезков, соединяющих эти точки.
1. Назвать число, содержащее 1000 миллионов.
2. Как по-другому называется расстояние между концами отрезка?
3. Как назывались счёты в древности?
4. Как называется точка М для отрезка MN ?
5. Для записи чисел употребляются…; одна из них называется?
Раздел математики, который изучает свойства чисел и действия над ними.
7. Фигура, состоящая из трёх точек и отрезков, соединяющих эти точки.
1. Назвать число, содержащее 1000 миллионов.
2. Как по-другому называется расстояние между концами отрезка?
3. Как назывались счёты в древности?
4. Как называется точка М для отрезка MN ?
5. Для записи чисел употребляются…; одна из них называется?
Раздел математики, который изучает свойства чисел и действия над ними.
7. Фигура, состоящая из трёх точек и отрезков, соединяющих эти точки.
1. Назвать число, содержащее 1000 миллионов.
2. Как по-другому называется расстояние между концами отрезка?
3. Как назывались счёты в древности?
4. Как называется точка М для отрезка MN ?
5. Для записи чисел употребляются…; одна из них называется?
Раздел математики, который изучает свойства чисел и действия над ними.
7. Фигура, состоящая из трёх точек и отрезков, соединяющих эти точки.
Вступление
Это вторая часть моей статьи посвящена вычислительной геометрии. Думаю, эта статья будет интереснее предыдущей, поскольку задачки будут чуть сложнее.
Начнем с взаимного расположения точки относительно прямой, луча и отрезка.
Задача №1
Определить взаимное расположении точки и прямой: лежит выше прямой, на прямой, под прямой.
Решение
Понятно, что если прямая задана своим уравнением ax + by + c = 0, то тут и решать нечего. Достаточно подставить координаты точки в уравнение прямой и проверить чему оно равно. Если больше нуля, то точка находится в верхней полуплоскости, если равна нулю, то точка находится на прямой и если меньше нуля, то точка находится в нижней полуплоскости. Интереснее случай, когда прямая задана, задана координатами двух точек назовем их P1(x1, y1), P2(x2, y2). В этом случае можно спокойно найти коэффициенты a, b и c и применить предыдущее рассуждение. Но надо сначала подумать, оно нам надо? Конечно, нет! Как я говорил косое произведения — это просто жемчужина вычислительной геометрии. Давайте применим его. Известно, что косое произведение двух векторов положительно, если поворот от первого вектора ко второму идет против часовой стрелки, равно нулю, если векторы коллинеарны и отрицательно, если поворот идет по часовой стрелки. Поэтому нам достаточно посчитать косое произведение векторов P1P2 и P1M и по его знаку сделать вывод.
Задача №2
Определить принадлежит ли точка лучу.
Решение
Давайте вспомним, что такое луч: луч — это прямая, ограниченная точкой с одной стороны, а с другой стороны бесконечная. То есть луч задается некоторой начальной точкой и любой точкой лежащей на нем. Пусть точка P1(x1, y1) — начало луча, а P2(x2, y2) — любая точка принадлежащая лучу. Понятно, что если точка принадлежит лучу, то она принадлежит и прямой проходящей через эти точки, но не наоборот. Поэтому принадлежность прямой является необходимым, но не достаточным условием для принадлежности лучу. Поэтому от проверки косового произведения нам никуда не деться. Для достаточного условия нужно вычислить еще и скалярное произведение тех же векторов. Если оно меньше нуля, то точка не принадлежит лучу, если же оно не отрицательно, то точка лежит на луче. Почему так? Давайте посмотрим на рисунок.
Итак, для того чтобы точка M(x, y) лежала на луче с начальной точкой P1(x1, y1), где P2(x2, y2) лежит на луче необходимо и достаточно выполнения двух условий:
1. [P1P2, P1M] = 0 – косое произведение (точка лежит на прямой)
2. (P1P2, P1M) ≥ 0 – скалярное произведение (точка лежит на луче)
Задача №3
Определить принадлежит ли точка отрезку.
Решение
Пусть точки P1(x1, y1), P2(x2, y2) концы заданного отрезка. Опять-таки необходимым условием принадлежности точки отрезку является ее принадлежность прямой проходящей через P1, P2. Далее нам нужно определить лежит ли точка между точками P1 и P2, для этого нам на помощь приходит скалярное произведение векторов только на этот раз других: (MP1, MP2). Если оно меньше либо равно нуля, то точка лежит на отрезке, иначе вне отрезка. Почему так? Посмотрим на рисунок.
Итак, для того чтобы точка M(x, y) лежала на отрезке с концами P1(x1, y1), P2(x2, y2) необходимо и достаточно выполнения условий:
1. [P1P2, P1M] = 0 – косое произведение (точка лежит на прямой)
2. (MP1,MP2) ≤ 0 – скалярное произведение (точка лежит между P1 и P2)
Задача №4
Взаимное расположение двух точек относительно прямой.
Решение
В этой задаче необходимо определить по одну или по разные стороны относительно прямой находятся две точки.
Если точки находятся по разные стороны относительно прямой, то косые произведения имеют разные знаки, а значит их произведение отрицательно. Если же точки лежат по одну сторону относительно прямой, то знаки косых произведений совпадают, значит, их произведение положительно.
Итак:
1. [P1P2, P1M1] * [P1P2, P1M2] 0 – точки лежат по одну сторону.
3. [P1P2, P1M1] * [P1P2, P1M2] = 0 – одна (или две) из точек лежит на прямой.
Кстати, задача об определении наличия точки пересечения у прямой и отрезка решается точно также. Точнее, это и есть эта же задача: отрезок и прямая пересекаются, когда концы отрезка находятся по разные стороны относительно прямой или когда концы отрезка лежат на прямой, то есть необходимо потребовать [P1P2, P1M1] * [P1P2, P1M2] ≤ 0.
Задача №5
Определить пересекаются ли две прямые.
Решение
Будем считать, что прямые не совпадают. Понятно, что прямые не пересекаются, только если они параллельны. Поэтому, найдя условие параллельности, мы можем, определить пересекаются ли прямые.
Допустим прямые заданы своими уравнениями a1x + b1y + c1 = 0 и a2x + b2y + c2 = 0. Тогда условие параллельности прямых заключается в том, что a1b2 — a2b1 = 0.
Если же прямые заданы точками P1(x1, y1), P2(x2, y2), M1(x3, y3), M2(x4, y4), то условие их параллельности заключается в проверки косого произведения векторов P1P2 и M1M2: если оно равно нулю, то прямые параллельны.
В общем, то когда прямые заданы своими уравнениями мы тоже проверяем косое произведение векторов (-b1, a1), (-b2, a2) которые называются направляющими векторами.
Задача №6
Определить пересекаются ли два отрезка.
Решение
Вот эта задача мне, действительно, нравится. Отрезки пересекаются тогда, когда, концы каждого отрезка лежат по разные стороны от другого отрезка. Посмотрим на рисунок:
Итак, нам нужно проверить, чтобы концы каждого из отрезков лежали по разные стороны относительного концов другого отрезка. Пользуемся косым произведением векторов. Посмотрите на первый рисунок: [P1P2, P1M2] > 0, [P1P2, P1M1] [P1P2, P1M2] * [P1P2, P1M1] 2 + b 2 ).
Задача №8
Расстояние от точки до луча.
Решение
Эта задача отличается от предыдущей тем, что в этом случае может получиться, так что перпендикуляр из точки не падает на луч, а падает на его продолжение.
В случае, когда перпендикуляр не падает на луч необходимо найти расстояние от точки до начала луча – это и будет ответом на задачу.
Как же определить падает ли перпендикуляр на луч или нет? Если перпендикуляр не падает на луч, то угол MP1P2 – тупой иначе острый (прямой). Поэтому по знаку скалярного произведения векторов мы можем определить попадает ли перпендикуляр на луч или нет:
1. (P1M, P1P2) 2 .
Теперь рассмотрим случай, когда центр второго круга O2 находится между точками O1 и C. В этом случае получим отрицательное значение величины d2. Использование отрицательного значения d2 приводит к отрицательному значению α. В этом случае необходимо для правильного ответа прибавить к α 2π. 
Заключение
Ну вот и все. Мы рассмотрели не все, но наиболее часто встречаемые задачи вычислительной геометрии касающиеся взаимного расположения объектов.
