Задачи по электротехнике с решениями постоянный ток

В.В. АФОНИН И.Н. АКУЛИНИН А.А. ТКАЧЕНКО

ЗАДАЧ ПО ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ

Министерство образования и науки Российской Федерации

Тамбовский государственный технический университет

В.В. АФОНИН, И.Н. АКУЛИНИН, А.А. ТКАЧЕНКО

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ

Рекомендовано Ученым советом университета в качестве учебного пособия

УДК 621.3 ББК Á 29-5 я 73-5

Кандидат технических наук, доцент

Афонин В.В., Акулинин И.Н., Ткаченко А.А.

А44 Сборник задач по электротехнике: Учеб. пособие. В 3-х ч. Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2004. Ч. 1. 80 с.

Содержит краткий учебный материал и примеры решения типовых задач по теме «Линейные электрические цепи постоянного тока».

Предназначено для студентов неэлектротехнических специальностей дневной и заочной форм обучения.

УДК 621.3 ББК Á 29-5 я 73-5

© Афонин В.В., Акулинин И.Н., Ткаченко А.А., 2004

АФОНИН Владимир Васильевич, АКУЛИНИН Игорь Николаевич, ТКАЧЕНКО Александр Алексеевич

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ

Редактор В.Н. Митрофанова Инженер по компьютерному макетированию Т.А. Сынкова

Подписано к печати 29.03.2004.

Формат 60 × 84/16. Гарнитура Times. Бумага офсетная. Печать офсетная. Объем: 4,65 усл. печ. л.; 4,5 уч.-изд. л.

Тираж 100 экз. С. 259

Издательско-полиграфический центр Тамбовского государственного технического университета

392000, Тамбов, ул. Советская, 106, к. 14

Целью настоящего пособия является закрепление теоретического материала по теме «Линейные электрические цепи постоянного тока». Пособие предназначено для студентов, изучающих курс элек-

тротехники и основы электроники.

Сборник содержит задачи по основным методам расчета электрических цепей постоянного тока. В

начале каждого параграфа даются теоретические положения метода и решение двух–трех типовых за-

дач. В параграфах пособия для удобства пользования принята тройная нумерация задач и рисунков. Ряд задач имеют ответы.

Предлагаемый сборник будет полезен для студентов очной и заочной форм обучения.

1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. ПРОСТЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

1.1 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ И ЭЛЕМЕНТЫ ЦЕПЕЙ

1 Электродвижущая сила (эдс) E характеризует способность стороннего поля вызывать электрический ток и численно равна работе сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда по замкнутому контуру

где E – электродвижущая сила, В; A ст – работа сторонних сил, Дж; Q – заряд, Кл.

2 Электрический ток – направленное движение свободных носителей заряда. Характеристикой электрического тока является сила тока i , равная скорости изменения электрического заряда

Для постоянного тока

где Q – весь заряд, переносимый за время t .

Из последнего соотношения определяется единица измерения силы тока

3 Напряжение – скалярная величина, равная линейному интегралу напряженности электрического поля

т.е. напряжение – это работа сил кулоновского поля, затрачиваемая на перенос единицы положительного заряда

где U – напряжение, В.

4 Электрический потенциал и разность потенциалов . Электрическое напряжение вдоль пути вне источника между точками a и b называют также разностью потенциалов U ab = ϕ a – ϕ b между этими точками. Однозначно определяется только разность потенциалов, равная соответствующему напряжению. Чтобы определить потенциал, нужно придать нулевое значение потенциалу одной из точек цепи (например, узлу), тогда потенциал любой другой точки будет равен напряжению между этой точкой и точкой, потенциал которой выбран равным нулю.

5 Электрическое сопротивление . Сопротивление внешнего участка цепи (вне источников) равно отношению постоянного напряжения на участке к току в нем

где R – сопротивление, Ом.

Для проводов сопротивление определяется по формуле

где ρ – удельное сопротивление, Ом·м; S – площадь поперечного сечения провода, м 2 ; l – длина провода, м.

Сопротивление проводов, резисторов зависит от температуры t окружающей среды

R = R 20 [1 + α ( t – 20 o )],

где R 20 – сопротивление при температуре 20 °С; α – температурный коэффициент сопротивления. Значения ρ и α приводятся в справочниках.

6 Электрическая проводимость – величина обратная сопротивлению

[ G ] = R 1 = Ом 1 = A B = См.

Примеры решения задач

1.1.1)В цепи постоянного тока (рис. 1.1.1) напряжением U = 110 В непрерывно в течение одних суток горят лампы H 1 и H 2 мощностью 60 Вт и 40 Вт соответственно. Определить токи ламп, общий ток в цепи, сопротивление нитей накала горящих ламп и стоимость энергии, полученной лампами от сети пи-

Решение . К каждой из ламп приложено напряжение 110 В. Токи в лампах H 1 и H 2 соответственно

I 1 = U P 1 = 110 60 = 0,545 A;

I 2 = U P 2 = 110 40 = 0,364 A.

I = I 1 + I 2 = 0,545 + 0,364 = 0,909 A.

Общая мощность ламп

P = P 1 + P 2 = 60 + 40 = 100 Вт.

Полученная энергия за одни сутки

W = Pt = 100 24 = 2400 Вт ч = 2,4 кВт ч.

Стоимость полученной энергии

1.1.2)Для схемы рис. 1.1.2. заданы: внутреннее сопротивление источника R вт = 0,1 Ом и сопротивление проводов линии R л = 0,5 Ом. Определить кпд цепи, если напряжение приемника U cd и сопротивление R н те же, что и в примере 1.1.1.

Решение . Очевидно, что мощность ламп P 1 + P 2 и ток I те же, что и в примере 1.1.1. Мощность потерь в линии I 2 R л и во внутреннем сопротивлении источника I 2 R вт . Поэтому кпд

P вт + P л + P 1 + P 2

0,909 2 0,1 + 0,909 2 0,5 + 60 + 40

1.1.3)Допустимая плотность тока в нихромовой проволоке нагревательного элемента кипятильника j = 10 A/мм 2 . Какой ток I можно пропустить по нихромовой проволоке диаметром d = 0,4 мм?

Решение . Поперечное сечение нихромовой проволоки

Допустимый ток проволоки

I = jS = 10 0,126 = 1,26 A.

1.1.4)Определить сопротивление медных проводов телефонной линии длиной l = 28,5 км, диамет-

d = 5 мм, длиной l = 57 км при t = 40 °C.

220 В включен в сеть напряжением 110 В. Определить мощность приемника, токи при номинальном напряжении и при напряжении 110 В.

1.1.7)К двухпроводной линии постоянного тока (эквивалентная схема на рис. 1.1.2) с сопротивлением R л = 4 Ом присоединен приемник сопротивлением R н , изменяющимся от 0 до ∞ . Напряжение в начале линии U ab . Определить ток I в линии, напряжение U cd на выводах приемника, мощность P 1 , отдаваемую источником, мощность P 2 приемника. Вычисления производить для значений сопротивлений при-

емника R н = 0; R л ; 2 R л ; 5 R л ; 10 R л ; ∞ .

1.1.8)По медному проводнику сечением 1 мм 2 течет ток 1 А. Определить среднюю скорость упорядоченного движения электронов вдоль проводника, предполагая, что на каждый атом меди приходится один свободный электрон. Плотность меди 8,9 г/см 3 .

1.1.9)Как изменится сила тока, проходящего через неактивную цепь, если при постоянном напряжении на зажимах ее температура повышается от t 1 = 20 °С до t 2 = 1200 °С. Температурный коэффициент сопротивления платины принять равным 3,65 10 –3 K –1 .

1.1.10) По медному проводу сечением 0,3 мм 2 течет ток 0,3 А. Определить силу, действующую на отдельные свободные электроны со стороны электрического поля. Удельное сопротивление меди 17 мОм м.

1.1.11) Сила тока в проводнике сопротивлением 10 Ом равномерно убывает от I 0 = 3 А до I = 0 за 30 с. Определить выделившуюся за это время в проводнике количество теплоты.

1.1.12) Плотность электрического поля в алюминиевом проводе равна 5 А/см 2 . Определить удель-

ную тепловую мощность тока, если удельное сопротивление алюминия 26 мОм м.

= 1 Ом. При каком значении внешнего сопротивления его мощность будет максимальной и чему она равна?

1.1.14) Обмотка возбуждения электрической машины присоединена к сети напряжением U = 120 В.

В первое время после включения показаний амперметра в цепи обмотки I 1 = 1,2 А, а после нагрева обмотки до установившейся температуры I 2 = 1 А. Учитывая, что температура воздуха в помещении 20 °С

4 10 –3 K –1 , найти температуру обмотки.

1.1.15) Определить сопротивление проводов воздушной линии при температурах +40 и –40 °С. Дли-

на линии l = 28,5 км, диаметр медных проводов d = 5 мм.

24 кВт ч электроэнергии при напряжении 220 В. Определить ток и сопротивление приемника.

1.1.17) Определить плотность тока в проводах диаметром 4 мм, соединяющих приемник с генерато-

ром. Суточная выработка энергии генератора, составляет 48 кВт ч при напряжении U = 220 В.

R вт = 0,22 Ом. Определить эдс и кпд генератора.

1.1.19) Механическая мощность электродвигателя постоянного тока 8,5 кВт при напряжении U = 220 В, кпд 85 %. Определить электрическую мощность и ток двигателя.

1.1.20) На изготовление катушки израсходовано 200 м медного провода диаметром 0,5 мм. На какое постоянное напряжение можно включать эту катушку, если допустимая плотность тока j = 2 А/мм 2 ?

1.1.21) Составить схему электрической цепи, в которой к аккумуляторной батарее присоединены три резистора. Один – регулируемый, включен последовательно с группой из двух нерегулируемых, соединенных между собой параллельно. В схеме предусмотреть управление с помощью двухполюсного выключателя, защиту плавкими предохранителями, измерение общего тока в цепи и напряжения на зажимах батареи.

1.1.22) Составить схему электрической цепи, в которой четыре резистора (один из них регулируемый) образуют замкнутый контур в виде четырехугольника. В одной диагонали четырехугольника – гальванический элемент, присоединенный к цепи через однополюсный выключатель, в другой находится гальванометр, который можно включить и выключить кнопочным выключателем.

1.1.23) Составить схему электрической цепи, в которой последовательно включены два нерегулируемых резистора, аккумуляторная батарея и генератор, которые можно включить согласно или встречно. В схеме предусмотреть защиту цепи плавкими предохранителями, измерение тока, измерение напряжения на зажимах батареи и генератора одним вольтметром с помощью переключателя.

1.1.24) Составить схему электрической цепи, в которой генератор постоянного тока и аккумуляторная батарея, включенные параллельно, снабжают энергией внешнюю часть цепи, состоящей из трех нерегулируемых резисторов, включенных также параллельно. Каждый элемент цепи присоединяется к ней однополюсным выключателем. В схеме предусмотреть измерение общего напряжения, тока в каждом источнике и общего тока приемников энергии.

1.1.25) Два генератора постоянного тока, работая круглосуточно на общий приемник, выработали вместе за месяц 96 000 кВт ч энергии. В течение 10 суток этого месяца первый генератор находился в ремонте. За это время счетчик электрической энергии, установленный на линии к приемнику, показал 2 400 кВт ч. Определить мощность и эдс каждого генератора, если амперметр в цепи первого генератора во время работы показывал 500 А, а в цепи второго – 100 А.

1.1.26) Источник электрической энергии имеет в качестве нагрузки реостат с переменным сопротивлением R , эдс источника Е = 24 В, а его внутреннее сопротивление R = 1 Ом. Построить графики зависимости напряжения U на зажимах источника, мощности источника P и , мощности приемника P п , кпд источника, мощности потерь внутри источника P вт от тока в цепи при изменении сопротивления нагрузки от R = ∞ (холостой ход) до R = 0 (короткое замыкание), считая эдс источника постоянной.

1 В электрической цепи за положительное направление эдс Е принимается направление, совпадающее с силой, действующей на положительный заряд, т.е. от «–» источника к «+» источника питания.

За положительное направление напряжения U принято направление, совпадающее с направлением действия электрического поля, т.е. от «+» к «–» источника.

За положительное направление тока I принято направление, совпадающее с перемещением положительных зарядов, т.е. от «+» к «–» источника.

Электродвижущая сила источника в электрической цепи может иметь одинаковое и противоположное направление с током. В первом случае источник эдс работает в режиме генератора, т.е. является источником электрической энергии. При этом эдс оказывается больше напряжения на его зажимах ( Е > U ). При направлении эдс в цепи противоположно току источник становится потребителем электрической энергии, и эдс оказывается меньше напряжения U на зажимах источника ( Е U ) на величину внутреннего падения напряжения IR вт , где R вт – внутреннее сопротивление источника.

При расчетах электрических цепей реальные источники электрической энергии заменяются схемами замещения. Схема замещения источника эдс содержит эдс и внутреннее сопротивление R вт источника, которое много меньше сопротивления R н потребителя электроэнергии ( R вт R н ). При расчетах часто приходится внутреннее сопротивление источника эдс приравнивать нулю.

2 В идеализированном источнике эдс падение напряжения на внутреннем сопротивлении IR вт = 0, при этом напряжение на зажимах источника U = const не зависит от тока I и равно эдс источника ( U = E ). В этом случае источник электроэнергии работает в режиме, близком к режиму холостого хода.

3 В источниках тока внутреннее сопротивление во много раз превосходит сопротивление потреби-

теля электроэнергии ( R вт >> R н ), при этом в источнике тока ток является величиной практически постоянной, не зависящей от нагрузки ( j = const).

4 Реальный источник электрической энергии можно представить в схеме замещения последова-

тельным соединением идеального источника эдс и внутреннего сопротивления R вт или параллельным соединением

Срок выполнения	от 1 дня
Цена	от 100 руб./задача
Предоплата	50 %
Кто будет выполнять?	преподаватель или аспирант

УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ РАБОТЫ
Теоретические основы электротехники являются фундаментальной дисциплиной для всех электротехнических специальностей, а так же для некоторых неэлектротехнических (например, сварочное производство). На этой дисциплине основываются все спец. предметы электриков. Несмотря на большой объем дисциплины и кажущуюся сложность, она основана всего на нескольких законах. В этой статье я постараюсь рассмотреть решение основных задач, встречающихся в данном курсе.

Законы Кирхгофа. Расчет цепей постоянного тока

В электротехнике существует два основных закона, на основании которых, теоретически можно решить все цепи.

Первый закон Кирхгофа выглядит следующим образом.
Сумма токов, входящих в узел, равна сумме токов, отходящих от узла.

Для данного рисунка имеем:
I1 + I2 + I4 = I3 + I5.

Второй закон Кирхгофа.
Сумма напряжений вдоль замкнутого контура равна сумме ЭДС вдоль этого же контура. Для схемы на рисунке (стрелкой обозначим направление вдоль контура, которое будем считать условно положительным).

Начиная с узла, где сходятся токи I1, I3, I4 запишем все напряжения (по закону Ома):
-I1⋅R1 — I1⋅R2 – в первой ветви (знак минус означает, что ток имеет направление противоположное выбранному направлению контура).
I3⋅R3 – во второй ветви (знак «плюс», направление совпадает).

Теперь запишем ЭДС:
E2 — E3 (знак «минус» у E3, потому что направление ЭДС противоположно направлению контура).

В соответствии с законом Кирхгофа напряжения равны ЭДС:
-I1⋅R1 — I1⋅R2 + I3⋅R3 = E2 — E3.

Как видите, все довольно просто.

В большинстве случаев перед студентами стоит задача рассчитать величины токов во всех ветвях, зная величины ЭДС и резисторов. Для расчета сложной, разветвленной цепи постоянного тока, например этой, найденной на просторах интернета, воспользуемся следующими действиями.

Для начала задаемся условно положительными направлениями токов в ветвях (это значит, что ток может течь и в противоположном направлении, тогда он будет иметь отрицательное значение).

Составляем систему уравнений по второму закону Кирхгофа для каждого замкнутого контура так, чтобы охватить каждый неизвестный ток (в данной схеме имеем 3 таких контура). Направления контуров выбираем для удобства по часовой стрелке (хоть это и необязательно):

По первому закону Кирхгофа составляем столько уравнений, чтоб охватить все неизвестные токи (в данной схеме для любых трех узлов):

Итого, имеем систему из 6 уравнений. Чтобы решить такую систему можно воспользоваться программой MathCad. Решается она следующим образом:

Это скриншот программы. Знак «равно» в уравнения должен быть жирным (вкладка «булевы», CTRL + “=/+”).
MathCad может решать системы любого порядка (например, схема имеет 10 независимых контуров). Но, во-первых, функция “Given” не работает с комплексными числами (об этом позже), во-вторых, не всегда есть под рукой компьютер или условие задачи поставлено так, что требуется решить схему другим методом.

Данный метод решения задач называется методом непосредственного применения законов Кирхгофа. Большинство студентов старших курсов (уже прослушавших курс ТОЭ), инженеров-электриков, даже преподавателей и докторов наук могут решать схемы только этим методом, т.к. другие методы применяются крайне редко.

Переменный ток.

Переменный синусоидальный ток (или напряжение) задается уравнением:

Здесь I_m – амплитуда тока.
ω – угловая частота, находится как ω = 2⋅π⋅f (обычно в условии задается либо f, либо ω)
φ – фаза.

Обычно в задачах условия задают либо в таком формате, либо в действующем значении. Амплитудное больше действующего всегда в √2 раз. Если в условии задано просто значение (например, E₁ = 220 В), то это значит, что дано действующее значение.

Если же в условии дано «250⋅sin(314t – 15°), В», то его нужно перевести в действующее комплексное значение.

Про комплексные числа можно подробнее прочитать на нашем сайте.

Для перевода величин к действующим необходимо:

,

Точечка над I означает, что это комплекс.

Чтобы не путать с током, в электротехнике комплексная единица обозначается буквой «j».

Для заданного напряжения имеем:

В решении задач обычно оперируют действующими значениями.

В переменном токе вводятся новые элементы:

Катушка индуктивности	L – [Гн]
Конденсатор [емкость]	С – [Ф]

Их сопротивления (реактивные сопротивления) находятся как:


(сопротивление конденсатора — отрицательное)

Например, имеем схему, она подключена на напряжение 200 В, имеющего частоту 100 Гц. Требуется найти ток. Параметры элементов заданы:

Чтоб найти ток, необходимо напряжение разделить на сопротивление (из закона Ома). Здесь основная задача – найти сопротивление.

Комплексное сопротивление находится как:

Напряжение делим на сопротивление и получаем ток.

Все эти действия удобно проводить в MathCad. Комплексная единица ставится «1i» или «1j». Если нет возможности, то:

1. Деление удобно производить в показательной форме.
2. Сложение и вычитание – в алгебраической.
3. Умножение – в любой (оба числа в одинаковой форме).

Также, скажем пару слов о мощности. Мощность есть произведение тока и напряжения для цепей постоянного тока. Для цепей переменного тока вводится еще один параметр – угол сдвига фаз (вернее его косинус) между напряжением и током.

Предположим, для предыдущей цепи нашли ток и напряжение (в комплексной форме).

Также мощность можно найти и по другой формуле:

В этой формуле — сопряженный комплекс тока. Сопряженный – значит, что его мнимая часть (та, что с j) меняет свой знак на противоположный (минус/плюс).
Re – означает действительная часть (та, что без j).

Это были формулы для активной (полезной) мощности. В цепях переменного тока существует так же и реактивная мощность (генерируется конденсаторами, потребляется – катушками).

Реактивная мощность цепи:

Im – мнимая часть комплексного числа (та, что с j).

Зная реактивную и активную мощность можно подсчитать полную мощность цепи:

Для упрощенного расчета цепей постоянного и переменного тока, содержащих большое число ветвей, пользуются одним из упрощенных методов анализа цепей. Рассмотрим подробнее метод контурных токов.

Метод контурных токов (МКТ)

Данный метод подходит для решения схем, содержащих больше узлов, чем независимых контуров (например, схема из раздела про постоянный ток). Принцип решения состоит в следующем:

Выделяем независимые контуры (их должно быть столько, чтоб охватить все неизвестные токи). Контурные токи обычно называют I₁₁, I₂₂ и т.д.

Определяем контурные сопротивления (сумма сопротивлений вдоль контура):

Далее определяются общие контурные сопротивления (те, что относятся одновременно к 2 контурам), они берутся со знаком минус:

Также определяем контурные ЭДС (алгебраическая сумма ЭДС вдоль контура):

Далее составляются уравнения (если имеем 4 контура, то система будет из 4 уравнений с 4 контурными токами в каждом, если из 5, то 5 и т.д.):

Данная система легко решается методом Крамера. Также в сети есть много онлайн-калькуляторов.

Зная контурные токи, можно найти токи в ветвях:
I₁ = I₁₁ (в первой ветви протекает только контурный ток I₁₁)
I₂ = I₃₃ – I₂₂ (направления контурного тока I₃₃ совпадает с направлением I₂, направление I₂₂ – противоположно, поэтому берем со знаком минус)
По аналогии находим остальные токи.

Данный метод, как и другие (например, метод узловых потенциалов, эквивалентного генератора, наложения) пригоден для цепей как постоянного, так и переменного тока. При расчете цепей переменного тока сопротивления элементов приводятся к комплексной форме записи. Система уравнений решается также в комплексной форме.

Литература

Из литературы можно порекомендовать Бессонова Л.А. «Теоретические основы электротехники: Электрические цепи». Также много информации в интернете на сайтах, посвященных электротехнике.

Решение электротехники на заказ

И помните, что наши решатели всегда готовы помочь Вам с ТОЭ. Подробнее.

Разделы: Физика

Решение задач – неотъемлемая часть обучения физике, поскольку в процессе решения задач происходит формирование и обогащение физических понятий, развивается физическое мышление учащихся и совершенствуется их навыки применения знаний на практике.

В ходе решения задач могут быть поставлены и успешно реализованы следующие дидактические цели:

• Выдвижение проблемы и создание проблемной ситуации;
• Обобщение новых сведений;
• Формирование практических умений и навыков;
• Проверка глубины и прочности знаний;
• Закрепление, обобщение и повторение материала;
• Реализация принципа политехнизма;
• Развитие творческих способностей учащихся.

Наряду с этим при решении задач у школьников воспитываются трудолюбие, пытливость ума, смекалка, самостоятельность в суждениях, интерес к учению, воля и характер, упорство в достижении поставленной цели. Для реализации перечисленных целей особенно удобно использовать нетрадиционные задачи.

§1. Задачи по расчету электрических цепей постоянного тока

По школьной программе на рассмотрение данной темы очень мало отводится времени, поэтому учащиеся более или менее успешно овладевают методами решения задач данного типа. Но часто такие типы задач встречаются олимпиадных заданиях, но базируются они на школьном курсе.

К таким, нестандартным задачам по расчету электрических цепей постоянного тока можно отнести задачи, схемы которых:

1) содержат большое число элементов – резисторов или конденсаторов;

3) состоят из сложных смешанных соединений элементов.

В общем случае всякую цепь можно рассчитать, используя законы Кирхгофа. Однако эти законы не входят в школьную программу. К тому же, правильно решить систему из большого числа уравнений со многими неизвестными под силу не многим учащимся и этот путь не является лучшим способом тратить время. Поэтому нужно уметь пользоваться методами, позволяющими быстро найти сопротивления и емкости контуров.

§2. Метод эквивалентных схем

Метод эквивалентных схем заключается в том, что исходную схему надо представить в виде последовательных участков, на каждом из которых соединение элементов схемы либо последовательно, либо параллельно. Для такого представления схему необходимо упростить. Под упрощением схемы будем понимать соединение или разъединение каких-либо узлов схемы, удаление или добавление резисторов, конденсаторов, добиваясь того, чтобы новая схема из последовательно и параллельно соединенных элементов была эквивалентна исходной.

Эквивалентная схема – это такая схема, что при подаче одинаковых напряжений на исходную и преобразованную схемы, ток в обеих цепях будет одинаков на соответствующих участках. В этом случае все расчеты производятся с преобразованной схемой.

Чтобы начертить эквивалентную схему для цепи со сложным смешанным соединением резисторов можно воспользоваться несколькими приемами. Мы ограничимся рассмотрением в подробностях лишь одного из них – способа эквипотенциальных узлов.

Этот способ заключается в том, что в симметричных схемах отыскиваются точки с равными потенциалами. Эти узлы соединяются между собой, причем, если между этими точками был включен какой-то участок схемы, то его отбрасывают, так как из-за равенства потенциалов на концах ток по нему не течет и этот участок никак не влияет на общее сопротивление схемы.

Таким образом, замена нескольких узлов равных потенциалов приводит к более простой эквивалентной схеме. Но иногда бывает целесообразнее обратная замена одного узла

несколькими узлами с равными потенциалами, что не нарушает электрических условий в остальной части.

Рассмотрим примеры решения задач эти методом.

Рассчитать сопротивление между точками А и В данного участка цепи. Все резисторы одинаковы и их сопротивления равны r.

В силу симметричности ветвей цепи точки С И Д являются эквипотенциальными. Поэтому резистор между ними мы можем исключить. Эквипотенциальные точки С и Д соединяем в один узел. Получаем очень простую эквивалентную схему:

Сопротивление которой равно:

В точках F и F` потенциалы равны, значит сопротивление между ними можно отбросить. Эквивалентная схема выглядит так:

Сопротивления участков DNB;F`C`D`; D`, N`, B`; FCD равны между собой и равны R1:

С учетом этого получается новая эквивалентная схема:

Ее сопротивление и сопротивление исходной цепи RАВ равно:

Точки С и Д имеют равные потенциалы. Исключением сопротивление между ними. Получаем эквивалентную схему:

Искомое сопротивление RАВ равно:

Как видно из схемы узлы 1,2,3 имеют равные потенциалы. Соединим их в узел 1. Узлы 4,5,6 имеют тоже равные потенциалы- соединим их в узел 2. Получим такую эквивалентную схему:

Сопротивление на участке А-1, R 1-равно сопротивлению на участке 2-В,R3 и равно:

Сопротивление на участке 1-2 равно: R2=r/6.

Теперь получается эквивалентная схема:

Общее сопротивление RАВ равно:

RАВ= R1+ R2+ R3=(5/6)*r.

Точки C и F-эквивалентные. Соединим их в один узел. Тогда эквивалентная схема будет иметь следующий вид:

Сопротивление на участке АС:

Сопротивление на участке FN:

R_FN =

Сопротивление на участке DB:

Получается эквивалентная схема:

Искомое общее сопротивление равно:

Заменим общий узел О тремя узлами с равными потенциалами О, О₁ , О₂. Получим эквивалентную систему:

Сопротивление на участке ABCD:

Сопротивление на участке A`B`C`D`:

Сопротивление на участке ACВ

Получаем эквивалентную схему:

Искомое общее сопротивление цепи R_AB равно:

“Разделим” узел О на два эквипотенциальных угла О₁ и О₂. Теперь схему можно представить, как параллельные соединение двух одинаковых цепей. Поэтому достаточно подробно рассмотреть одну из них:

Сопротивление этой схемы R₁ равно:

Тогда сопротивление всей цепи будет равно:

Узлы 1 и 2 – эквипотенциальные, поэтому соединим их в один узел I. Узлы 3 и 4 также эквипотенциальные – соединимих в другой узел II. Эквивалентная схема имеет вид:

Сопротивление на участке A- I равно сопротивлению на участке B- II и равно:

R_I =

Сопротивление участка I-5-6- II равно:

Cопротивление участка I- II равно:

R_III =

Получаем окончательную эквивалентную схему:

Искомое общее сопротивление цепи R_AB=(7/12)*r.

В ветви ОС заменим сопротивление на два параллельно соединенных сопротивления по 2r. Теперь узел С можно разделить на 2 эквипотенциальных узла С₁ и С₂. Эквивалентная схема в этом случае выглядит так:

Сопротивление на участках ОС_IB и DC_IIB одинаковы и равны, как легко подсчитать 2r. Опять чертим соответствующую эквивалентную схему:

Сопротивление на участке AOB равно сопротивлению на участке ADB и равно (7/4)*r. Таким образом получаем окончательную эквивалентную схему из трех параллельно соединенных сопротивлений:

Ее общее сопротивление равно R_AB= (7/15)*r

З а д а ч а № 10

Точки СОD имеют равные потенциалы – соединим их в один узел О I .Эквивалентная схема изображена на рисунке :

Сопротивление на участке А О I равно . На участке О I В сопротивление равно .Получаем совсем простую эквивалентную схему:

ЕЕ сопротивление равно искомому общему сопротивлению

Задачи № 11 и № 12 решаются несколько иным способом, чем предыдущие. В задаче №11 для ее решения используется особое свойство бесконечных цепей, а в задаче № 12 применяется способ упрощения цепи.

Выделим в этой цепи бесконечно повторяющееся звено, оно состоит в данном случае из трех первых сопротивлений. Если мы отбросим это звено, то полное сопротивление бесконечной цепи R не измениться от этого , так как получится точно такая же бесконечная цепь. Так же ничего не измениться, если мы выделенное звено подключим обратно к бесконечному сопротивлению R, но при этом следует обратить внимание , что часть звена и бесконечная цепь сопротивлением R соединены параллельно. Таким образом получаем эквивалентную схему :

R_AB=2ч +

Решая систему этих уравнений, получаем:

R=ч (1+ ).

§3. Обучение решению задач по расчету электрических цепей способом эквипотенциальных узлов

Задача – это проблема, для разрешения которой ученику потребуются логические рассуждения и выводы. Строящиеся на основе законов и методов физики. Таким образом, с помощью задач происходит активизация целенаправленного мышления учащихся.

В то же время. Теоретические знания можно считать усвоенными только тогда, когда они удачно применяются на практике. Задачи по физике описывают часто встречающиеся в жизни и на производстве проблемы, которые могут быть решены с помощью законов физики и, если ученик успешно решает задачи, то можно сказать, что он хорошо знает физику.

Для того, чтобы ученики успешно решали задачи, недостаточно иметь набор методов и способов решения задач, необходимо еще специально учить школьников применению этих способов.

Рассмотрим план решения задач по расчету электрических цепей постоянного тока методом эквипотенциальных узлов.

1. Чтение условия.
2. Краткая запись условия.
3. Перевод в единицы СИ.
4. Анализ схемы:

1. установить, является ли схема симметричной;
2. установить точки равного потенциала;
3. выбрать, что целесообразнее сделать – соединить точки равных потенциалов или же, наоборот, разделить одну точку на несколько точек равных потенциалов;
4. начертить эквивалентную схему;
5. найти участки только с последовательным или только с параллельным соединением и рассчитать общее сопротивление на каждом участке по законам последовательного и параллельного соединения;
6. начертить эквивалентную схему, заменяя участки соответствующими им расчетными сопротивлениями;
7. пункты 5 и 6 повторять до тех пор, пока не останется одно сопротивление, величина которого и будет решением задачи.

Анализ реальности ответа.

Подробнее об анализе схемы

а) установить, является ли схема симметричной.

Определение. Схема симметрична, если одна ее половина является зеркальным отражением другой. Причем симметрия должна быть не только геометрической, но должны быть симметричны и численные значения сопротивлений или конденсаторов.

Схема симметричная, так как ветви АСВ и АДВ симметричны геометрически и отношение сопротивления на одном участке АС:АД=1:1 такое же, как и на другом участке СД:ДВ=1:1.

Схема симметричная, так как отношение сопротивлений на участке АС:АД=1:1 такое же, как и на другом участке СВ:ДВ=3:3=1:1

Схема не симметрична, так как отношения сопротивлений численно

не симметричны -1:2 и 1:1.

б) установить точки равных потенциалов.

Из соображений симметрии делаем вывод, что в симметричных точках потенциалы равны. В данном случае симметричными точками являются точки С и Д. Таким образом, точки С и Д – эквипотенциальные точки.

в) выбрать, что целесообразно сделать – соединить точки равных потенциалов или же, наоборот, разделить одну точку на несколько точек равных потенциалов.

Мы видим в этом примере, что между точками равных потенциалов С и Д включено сопротивление, по которому ток не будет течь. Следовательно, мы можем отбросить это сопротивление, а точки С и Д соединить в один узел.

г) начертить эквивалентную схему.

Чертим эквивалентную схему. При этом получаем схему с соединенными в одну точку точками С и Д.

д) найти участки только с последовательным или только с параллельным соединением и рассчитать общее сопротивление на каждом таком участке по законам последовательного и параллельного соединения.

Из полученной эквивалентной схемы видно, что на участке АС мы имеем два параллельно соединенных резистора. Их общее сопротивление находится по закону параллельного соединения:

Таким образом 1/RAC=1/r+1/r=2/r,откуда RAC= r/2.

На участке СВ картина аналогичная:

1/RCB= 1/r+1/r =2/r, откуда RCB=r/2.

е)начертить эквивалентную схему, заменяя участки соответствующими им расчетными сопротивлениями.

Чертим эквивалентную схему подставляя в нее рассчитанные сопротивления участков RAC и RCB:

ж)пункты д) и е) повторять до тех пор, пока останется одно сопротивление, величина которого и будет решением задачи.

Повторяем пункт д): на участке АВ имеем два последовательно соединенных сопротивления. Их общее сопротивление находим по закону последовательного соединения:

Rобщ= R1+R2+R3+… то есть, RAB=RAC+RCB = r/2+r/2 =2r/2 = r.

Повторяем пункт е): чертим эквивалентную схему:

Мы получили схему с одним сопротивлением, величина которого равна сопротивлению исходной схемы. Таким образом, мы получили ответ RAB = r.

Далее, для проверки усвоения данного материала можно учащимся предложить задания для самостоятельной работы, взятые из дидактического материала. (см. приложение)

Балаш. В.А. задачи по физике и методы их решения. – М: Просвещение,1983.

Лукашик В.И. Физическая олимпиада.- М: Просвещение, 2007

Усова А.В., Бобров А.А. Формирование учебных умений и навыков учащихся на уроках физики.- М: Просвещение,1988

Хацет А. Методы расчета эквивалентных схем //Квант.

Чертов А. Г. Задачник по физике. – М.: Высшая школа,1983

Зиятдинов Ш.Г., Соловьянюк С.Г. (методические рекомендации) г. Бирск,1994г

Марон А.Е., Марон Е.А. Физика. Дидактические материалы. Москва, “Дрофа”, 2004г